2019届天津市实验中学高三热身数学（理）试题

一、单选题

1．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】D

【解析】先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.

【详解】

,

因为，所以，

因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.

【点睛】

本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.

2．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先作可行域，再根据目标函数表示直线，结合图象确定最优解.

【详解】

先作可行域，如图，则直线过点A(2,0)时取最大值2，选A.

【点睛】

本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

3．为计算，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.

详解：由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入，选B.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

4．设a，b均为单位向量，则“”是“a⊥b”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】先化简，再比较与a⊥b关系即可得结果.

【详解】

因为a，b均为单位向量，

，所以“”是“a⊥b”的充分必要条件，选C.

【点睛】

本题考查向量的模、向量垂直关系以及充要关系，考查基本分析求解能力，属中档题.

5．将函数=sin (其中)的图象向右平移个长度单位，所得图象经过点（，0），则的最小值是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先根据图像平移得新函数解析式，再根据新函数过点（，0），列方程，解得的最小值.

【详解】

因为函数=sin (其中)的图象向右平移个长度单位得=sin，

所以=sin，

因为，所以，选B.

【点睛】

本题考查三角函数图像平移以及三角函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.

6．已知函数为定义在实数集上的函数，图像关于直线对称，图像关于点对称，且，则的值为

A．5320 B．5325 C．5330 D．5335

【答案】B

【解析】根据对称得等量关系，结合条件列方程组解得，最后代入求的值.

【详解】

因为图象关于直线对称对称，所以，

因为图象关于点对称，所以，

因为，

所以，

即

因此

所以

【点睛】

本题考查函数对称性以及函数解析式，考查基本分析求解能力，属中档题.

7．平面直角坐标系中，是抛物线的焦点，点在抛物线上，满足，，则为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】设坐标，根据向量数量积以及抛物线定义化简条件，即得结果.

【详解】

设,则,

由得

，

因为，所以

因此

从而，

选A.

【点睛】

本题考查向量数量积以及抛物线定义，考查基本分析求解能力，属中档题.

8．设函数，则的最小值为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】法一：根据题意可排除CD，令其中一个式子取最小值，再利用特殊值法计算可取的最小值与选项对比，可以得到结果.

法二：可化，看成单位圆上的点到三个点的距离之和的最小值，再通过讨论点的位置关系可得最小值.

【详解】

法一：根据题意，可排除CD，令其中一个式子为最小值，再结合特殊值对比选项取值，

令，则，

取，

则，

综合四个选项，选A.

法二：

=

设, 如图：

直线AB与圆相切于D点，点C在OD的延长线上，P为圆上的动点，

∴，

当且仅当点P与点D重合时取最小值为，故选A.

【点睛】

本题考查转化思想，解题的关键在于函数转化为直角坐标系中的几何关系，属于中等题.

二、填空题

9．已知(i是虚数单位)，则＝______________．

【答案】

【解析】根据复数除法法则化简即得.

【详解】

【点睛】

本题考查复数除法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．的二项展开式中的系数是_______（用数字作答）.

【答案】

【解析】根据二项展开式通项公式求的系数.

【详解】

因为，

所以令得，系数为

【点睛】

本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

11．如图，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，为等边三角形，则双曲线离心率为_________.

【答案】

【解析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c= a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率.

【详解】

因为△ABF2为等边三角形，可知|AB|=|BF2|=|AF2|

A为双曲线上一点，|A F2|-|A F1| =2a,

B为双曲线上一点，则|BF1|-|BF2|=2a，即|BF1|-|AB|=|AF1|=2a，

∴|AF2|=|AF1|+2a=4a，

由∠ABF2＝600，则∠F1AF2＝1200，已知|F1F2|=2c，

在△F1AF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2-2•2a•4a•cos120°，

得c2=7a2，则e2＝7⇒e＝

【点睛】

求双曲线的离心率，常常不能经过条件直接得到a，c的值，这时可将视为一个整体，把关系式转化为关于的方程，从而得到离心率的值.

12．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，则圆上的点到直线的距离最大值为________ .

【答案】

【解析】先将参数方程以及极坐标方程化为直角坐标方程，再根据直线与圆位置关系求最值.

【详解】

因为所以，

因为，所以，

因此圆上的点到直线的距离最大值为

【点睛】

本题考查参数方程与极坐标方程化为直角坐标方程以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.

13．已知，，则的最大值为________ .

【答案】

【解析】先根据条件确定取值范围，再根据基本不等式以及二次函数性质求最值.

【详解】

因为，

所以，同理可得，

因此，

而

所以，当且仅当时取等号,

即的最大值为.

【点睛】

本题考查利用基本不等式以及二次函数性质求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.

三、解答题

14．中，，则的最大值是___________.

【答案】

【解析】【详解】

由数量积的定义及余弦定理知

.

类似地，，

..

故已知等式化为

.

由余弦定理及基本不等式得:

,

，

当且仅当时，上式等号成立.

因此，的最大值.

15．在中，内角所对的边分别为.已知，，.

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）求的值.

【答案】（Ⅰ）.=.（Ⅱ）.

【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系，再根据余弦定理求出，

进而得到，由转化为，求出，进而求出，从而求出的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.

试题解析：（Ⅰ） 解：在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，有，所以.

由正弦定理,得.

所以，的值为，的值为.

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及，得，所以，

.故.

【考点】正弦定理、余弦定理、解三角形

【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

16．某市随机抽取部分企业调查年上缴税收情况（单位：万元），将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），年上缴税收范围是，样本数据分组为，．

（Ⅰ）求直方图中的值；

（Ⅱ）如果年上缴税收不少于万元的企业可申请政策优惠，若共抽取企业个，试估计有多少企业可以申请政策优惠；

（Ⅲ）从企业中任选个，这个企业年上缴税收少于万元的个数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）144（Ⅲ）分布列见解析，数学期望为1.

【解析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中各小长方体面积之和为1.列式求的值；（Ⅱ）先确定可以申请政策优惠的概率，再根据频数等于总数与频率的乘积得结果，（Ⅲ）先确定企业年上缴税收少于万元的概率，再根据服从二项分布，确定分布列与数学期望.

【详解】

（Ⅰ）因为，

所以，

（Ⅱ）可以申请政策优惠的概率为，

所以企业有个，

（Ⅲ）企业年上缴税收少于万元的概率为

【点睛】

本题考查频率分布直方图、二项分布以及分布列与数学期望，考查基本分析求解能力，属中档题.

17．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点.

（Ⅰ）证明： //平面；

（Ⅱ）证明：⊥平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

【解析】（1）连接交于点，连接，证明，问题得解。

（2）证明，再证平面，从而证得问题得证。

（3）就是二面角的一个平面角，解三角形即可。

【详解】

证明：（1）连接交于点，连接

在中，

分别是的中点，

是中位线

平面平面

平面

（2）平面

，

可知是等腰直角三角形，而是斜边的中点

，

底面是正方形

又

平面

而平面

平面

又

平面

（3）由（2）知

就是二面角的一个平面角

设正方形的边长为，则，

在中，

在中，

所以二面角的大小为60°

【点睛】

本题主要考查了线面平行、线面垂直的证明，考查了转化思想及空间思维能力，还考查了二面角求解，考查计算能力，属于难题。

18．在数列与中，，数列的前n项和满足，为与的等比中项，.

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）求数列与的通项公式；

（Ⅲ）设，证明

【答案】（Ⅰ）,（Ⅱ）,（Ⅲ）见解析

【解析】（Ⅰ）根据得，解得，根据为与的等比中项，得，解得的值；（Ⅱ）根据和项与通项关系得通项递推关系，再根据叠乘法得数列的通项公式，根据等比条件可得，再用数学归纳法得的通项公式；（Ⅲ）根据符号变化规律，分类求和，再比较大小证明不等式.

【详解】

（Ⅰ）因为，所以，

因为为与的等比中项，

所以

（Ⅱ）

因此

所以

因为，所以，

因为为与的等比中项，

所以

下面用数学归纳法证明

（1）当时，，结论成立，

（2）假设当时，结论成立，即，

当时，结论成立，

综合（1）（2）可得

（Ⅲ）因为，，

所以当时

当时

当时，

当时，

，

当时，

综上.

【点睛】

本题考查由和项与通项关系求通项、利用数学归纳法求通项以及利用分组法求和，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.

19．已知椭圆C:的离心率为，且过点（1，）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设与圆相切的直线交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，及取得最大值时直线的方程．

【答案】（1）；

（2）面积的最大值为，此时直线方程．

【解析】试题分析：（1）利用由条件求出椭圆的几何量，然后求解椭圆方程；（2）①当不存在时，直接求解三角形的面积；②当存在时，设直线为，联立直线与椭圆的方程组，通过韦达定理与距离公式表示出三角形的面积，利用基本不等式求出最大值．然后求解直线方程.

试题解析：（1）由题意可得：

（2）①当不存在时，，

②当不存在时，设直线为，

, ,

,

当且仅当，即时等号成立

，

面积的最大值为，此时直线方程.

【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；

20．已知函数的最小值为0，其中.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若对任意的,有成立，求实数的最小值；

（Ⅲ）证明.

【答案】(1)a=1；(2)；(3)证明见解析.

【解析】试题分析; （1）对进行求导，已知最小值为0，可得极小值也为0，得，从而求出的值；

（2）由题意任意的，有成立，可以令求出的最大值小于0即可，可以利用导数研究的最值；

(3)由(2)知：令得：

令得:＜ ,累加即可的证

试题解析;(1)函数的定义域为.

由得：＞ 又由得：

∴在单调递减，在单调递增

∴

(2)设，则在恒成立()

注意到

＞0 ……5分

又

①当＜0＜)时，由得.

∵在单减，单增，这与()式矛盾；

②当时

∵在恒成立 ∴符合()

∴

(3)由(2)知：令得：

令得:＜

当i=1时，＜2；

当时，＜

从而＜＜2.

【点评】此题考查利用导数求函数的最值问题及函数的恒成立问题，第二问构造新函数，将问题转化为的最小值大于等于0即可，这种转化的思想在高考中经常会体现，要认真体会，属难题．