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    电场强度和电势的关系

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    电势差与电场强度的关系
    非匀强电场的定性分析
    【典例1】某电场中等势面分布如图所示，图中虚线表示等势面，过a、b两点的等势面电势分别为40 V和10 V，则a、b连线的中点c处的电势应为(

    A.一定等于25 V B.大于25 V C.小于25 V D.可能等于25 V 【通型通法】
    1.题型特征：非匀强电场中电势差与电场强度的定性分析。 2.思维导引：

    【解析】选C。因为电场线与等势面垂直，根据等势面的形状可知，电场线从左向右由密变疏，即从a到c，电场强度逐渐减弱，而且电场线方向从a→b。ac段电场线比bc段电场线密，ac段场强较大，根据公式U=Ed可知，a、c间电势差Uac大于c、b间电势差Ucb，即φa-φc>φc-φb，得到： φc<
    如图所示的同心圆是电场中的一簇等势线,一个电子只在电场力作用= V=25 V。

    下沿着直线由A→C运动的速度越来越小,B为线段AC的中点,则下列说法正确的是 (
    A.电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越小 B.电子沿AC方向运动时它具有的电势能越来越大 C.电势差UAB=UBC D.电势φA<φB<φC
    【解析】选B。该电场为负点电荷产生的电场,电子沿AC方向运动时受到的电场力越来越大,选项A错误;根据电子只在电场力作用下沿直线由A→C运动时的速度越来越小,它具有的电势能越来越大,选项B正确;由于电场为非匀强电场,由U=Ed可以定性判断电势差UABBC,选项C错误;电势φA>φB>φC,选项D错误。
    匀强电场的定量计算
    如图所示的匀强电场中,有A、B、C三点,AB=5cm, BC=12cm,其中AB沿电场方向,BC和电场方向成60°角。一个电荷量为q=4×10-8C的正电荷从A移到B,电场力做功为W1=1.2×10-7J。求：
    (1匀强电场的电场强度E的大小。 (2电荷从B到C,电荷的电势能改变多少? 【解析】(1由W1= qE·AB得,该电场的电场强度大小为： E==N/C=60 N/C (2电荷从B到C,电场力做功为：

    W2=F电·BC·cos60°=qE·BC·cos60° =4×10-8×60×12×10-2×0.5J = 1.44×10-7J 所以,该过程电势能减少1.44×10-7J。 答案：(160 N/C (2减少1.44×10-7J

    如图所示是某电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离均为2 cm，A和P点间的距离为1.5 cm，则该电场的场强E和P点的电势φP分别为 A．500 V/m，－2.5 V B.1 0003 V/m，－2.5 V 3C．500 V/m，2.5 V 1 0003D. V/m，2.5 V 3答案 B

    【典例2】如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为零，点A处的电势为6 V，点B处的电势为3 V，则电场强度的大小为 (


    A.200 V/m B.200 V/m V/m C.100 V/m D.100【通型通法】
    1.题型特征：匀强电场中电势差与电场强度的关系。 2.思维导引：

    【解析】选A。匀强电场的电场线与等势面都是平行、等间距排列的，且电场线与等势面处处垂直，沿着电场线方向电势均匀降低，取OA中点C，则C点电势为φC==3 V，连接BC即为电场中的一条等=200 V/m。
    势线，作等势线的垂线，即电场的电场线，E==
    1.

    2.
    【加固训练】
    (多选(2017·全国卷Ⅲ一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是 ( A.电场强度的大小为2.5 V/cm B.坐标原点处的电势为1 V C.电子在a点的电势能比在b点的低7 eV D.电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV 【解析】选A、B、D。如图所示，设ac之间的d点电势与b点相同，则==，所以d点的坐标为(3.5 cm，6 cm，过c点作等势线bd的垂线，由几何关系可得cf的长度为3.6 cm。 电场强度的大小E===2.5 V/cm，故A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac=UOb解得坐标原点O处的电势为1 V ，故B正确；a点电势比b点电势低7 V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故
    C错误；b点电势比c点电势低9 V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9 eV，故D正确。

    2. (2017·南昌模拟有一匀强电场,电场线与坐标平面xOy平行,以原点为圆心,半径r=5cm的圆周上任意一点P的电势φ=40sinθ+25V,θ为O、P两点连线与x轴的夹角,如图所示,则该匀强电场的电场强度大小为
    A.60V/m B.600V/m C.80V/m D.800V/m

    【解析】选D。半径r=5cm的圆周上任意一点P的电势φ=40sinθ+25V,当θ=0°和θ=180°时的电势相等,可知电场的方向平行于y轴方向,圆周与y轴正方向的交点的电势φ1=40×1+25V=65V,圆周与x轴正方向的交点的电势φ2=25V,则匀强电场的电场强度1－2E= r 65－25＝ V/m0.05 =800V/m,故选项D正确,A、B、C错误
    (多选如图所示,A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10cm的正六边形的六个顶点,A、B、C三点电势分别为1V、2V、3V,正六边形所在平面与电场线平行。下列说法正确的是 ( A.通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线

    B.匀强电场的电场强度大小为10V/m C.匀强电场的电场强度方向为由C指向A
    D.将一个电子由E点移到D点,电子的电势能将减少1.6×10-19J 【解析】选A、C、D。由AC的中点电势为2V,所以BE为等势线,CD、AF同为等势线,故A正确;CA为电场线方向,电场强度U220E＝＝V/m＝3 V/m，2d210cos3010 3 故B错误,C正确;由UED=UBC=-1V,WED=-eUED=1.6×10-19J,故D正确。 （2019·山西省太原市第五中学高三（5月）模拟）如图所示，匀强电场中的六个点A、B、C、D、E、F为正八面体的六个顶点，已知BE中点O的电势为零，A、B、C三点的电势分别为7 V、-1 V、3 V，则E、F两点的电势分别为
    A．2 V、-2 V B．1 V、-3 VC．1 V、-5 V D．2 V、-4 V 【答案】B 【解析】如图所示。



    设AB的中点为M，MO平行于AE，且AE=2MO，根据U=Ed可知沿着AE方向电势变化量是沿MO方向的2倍，而M点电势为3 V，即UMO=3 V，故有UAE=6 V，由此可知E点电势为1 V；根据正八面体的特点可知，AE平行于CF，故沿CF方向电势降低为UCF=6 V，由此可得F点电势为-3 V，故B正确；ACD错误，故选B。

    （2019年1月云南昆明复习诊断测试）如图所示，一个质量为m，带电量为+q的粒子在匀强电场中运动，依次通过等腰直角三角形的三个顶点A、C、B，粒子在A、B两点的速率均为v0，在C点的速率为5v05，已知AB=d，匀强电场在ABC平面内，粒子仅受电场力作用。则该匀强电场的场强大小为（ ）

    A.D.     24mv05qd B.
    22mv05qd
    C.     222mv05qd

    22mv05qd
    【参考答案】A 【命题意图】本题考查静电场、动能定理的理解和运用。 【解题思路】根据题述，粒子在A、B两点的速率均为v0，A、B两点为等势点，AB两点的连线为等势线，电场强度的方向垂直AB连线，C点到AB的距离s=d/2，对于粒子从C到A（或B），5由动能定理，qEs=1mv02-1m（522 v0）224mv0，解得：E=5qd，选项A正确。
    【易错警示】解答此题常见错误主要有：一是不能根据题述条件找出等势线和匀强电场的方向，二是不能正确运用动能定理列方程得出场强大小。
    3.（2019新疆乌鲁木齐二诊）如图所示，在匀强电场中有一半径为R的圆，场强方向与圆所在平面平行。一群质量为m，电荷量为q的带正电粒子以相同的初速度v沿着各个方向从A点进入圆形区域中，只在电场力作用下运动，从圆周上不同点离开圆形区域，其中从B点离开圆形区域的带电粒子的速度最大且最大速度为2v，已知O是圆心，AB=R，设场强大小为E，方向与AB的夹角为θ（θ为锐角），则（ ）

    A.θ=30° B. θ=60° C. E= D. E = 3mv2qR

    【参考答案】BC 【名师解析】
    带电粒子仅在电场力作用下从A点进入，离开B点的速度最大，电场力做功最多，则B点是沿电场强度方向离A点最远的点，所以过B的等势线是过B点的切线，如图虚线所示，电场线与过B的切线相垂直，如图红线所示。由几何关系可知，θ=60°；=从A到B，由动能定理得qERcos60°E=．故AD错误，BC正确。
    -，可得
    【关键点拨】带电粒子以相同大小的初速度v沿着各个方向从A点进入圆形区域中，只在电场力作用下，到达B点时速度最大，电场力做功最多，从而得出B点是沿电场强度方向离A点最远，作出等势线和电场线，从而确定θ值，由动能定理求E的值。 解决本题的关键是抓住B点是沿电场强度方向离A点最远，以及电场线与过B的切线相垂直。要注意电场力做功公式W=qEd中，d是沿电场线方向两点间的距离。
    9．（6分）（2019石家庄二模）如图，匀强电场中有一个与电场线平行的平面，平面中有一个直角三角形ABC，其中∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝2m。若在B处有一个放射源，能沿平面向各方向射出动能为10eV的电子，电子经过A、C两点时的动能分别为1leV和7eV．不
    考虑电子间的相互作用，则该电场的电场强度大小为（ ）

    A．1N/C 【参考答案】A 【名师解析】根据W＝Uq和动能定理可得： UBA＝UBC＝ ＝3V B．2N/C C．3N/C D．4N/C 把B沿CB方向延长CB至D，根据匀强电场等分线段等分电势差得UBD＝﹣1V 故AD两点电势相等，连接AD则为等势线，过B做AD垂线则为电场线，如图所示：

    由几何关系得：BD＝＝
    ，∠ADB＝60°，
    则电场强度为：故选项A正确，BCD错误；

    如图所示，匀强电场中有a、b、c三点，在以它们为顶点的三角形中，

    ∠a＝30°，∠c＝90°，电场方向与三角形所在平面平行．已知a、b和c点的电势分别 为(2－3V、(2＋3 V和2 V．该三角形的外接圆上最低、最高电势分别为 A．(2－3 V、(2＋3 V B．0、4 V 4343C．(2－ V、(2＋ V 33D．0、23 V [解析] 如图，圆心O是ab的中点，所以圆心O点的电势为2 V，所以Oc是等势线，则电场线如图中MN所示，方向由M指向N.沿电场线方向电势均匀降低，过圆心的电势为2 V，则圆周上电势最低为N，最高为4 V，选B.
    [答案] B



    （高考题改编）如图,O、A、B为同一竖直平面内的三个点,OB沿竖直方向,∠BOA =60°,OB=OA=d。一匀强电场,场强方向与△OAB所在平面平行.将一质量为m的小球,电荷量为q(q>0,现从O点以Ek0（Ek0=mgd）的初动能沿某一方向抛出此带电小球,该小球通过了A点,到达A点时的动能是初动能的3倍;若该小球从O点以同样的初动能沿另一方向抛出,恰好通过B点,且到达B点时的动能为初动能的6倍。（忽略小球重力）。求:电场强度的大小和方向。 【解题指导】解答本题需要注意:
    要把握匀强电场电势变化的特点,即在匀强电场中电势降落是均匀的。
    小球从O点到A点和B点,高度分别降低了和,设电势能分别减小ΔEpA和ΔEpB,由能量守恒式得

    ΔEpA=3Ek0-Ek0-mgd=Ek0 ΔEpB=6Ek0-Ek0-mgd=Ek0


    在匀强电场中,沿任一直线,电势的降落是均匀的。设直线OB上的M点与A点等电势,M与O点的距离为x,如图,则有=

    解得x=d。MA为等势线,电场必与其垂线OC方向平行。设电场方向与竖直向下的方向的夹角为α,由几何关系可得α=30° 即电场方向与竖直向下的方向的夹角为30°。 设电场强度的大小为E,有qEdcos30°=ΔEpA 得E=
    方向与竖直向下的方向的夹角为30°
    答案:(1 (2

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