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函数幂级数的展开和应用

时间：2023-01-19 11:43:54 下载该word文档

函数幂级数的展开和应用
我们称形如a(xxn0n0na0a1(xx0a2(xx02an(xx0n的级数为幂级数，它是一类最简单的函数项级数.从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸.幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，又由于函数幂级数的逐项求导和逐项可积等好的运算性质，为函数的研究和应用提供了便利的条件.1函数幂级数展开的条件
函数f(x可以在点xx0作幂级数展开，是指存在xx0，使得在（x0r,x0r）上，f(xan(xx0n（1）其中f(x是此幂级数的和函数.n0根据幂级数的逐项可积性，若函数f(x能表示成幂级数a(xxn0n0n且其收敛半径r0，则函数f(x在区间(r,r上有任意阶导数，且f(x'na(xxn0n1n1，
f(x0a1，'，f(nf(n(x0(x0n!,an
n!因此自然会提出下述问题，是否每一个在区间(r,r上有任意阶导数的函数f(x一定能在区间上展成形如a(xxn0n0n的幂级数呢？回答是不一定的.x12x0例1在(,上具有任意阶导数的函数f(xe，易验证
x002x26x24x2'''当x0时，f(x3e，f(x4e6e，xxx一般来说，有f(n1111x2111(xPn(e（x0），其中Pn(是关于的某个多项式.令t2，xxxx1
1
1x2t易得limmelimt0.由此可知
x0xtelimf(n1m2x0(xlimfx0(n1x2(xlimPn(e0(n0,1,2,，x0x'(n1又因为f(x在x0处连续，所以有f(00.类似逐次可推得f(00(n2,3,所以f(x在x0的幂级数为0002x2!0nxn!显然它在(,上收敛，且其和函数s(x0.但是，f(x只在x0处为零值.x0，都有f(xs