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    直线与椭圆位置关系(经典编辑)

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    直线与椭圆(教师版
    知识与归纳：
    1..点与椭圆的位置关系
    2222x0y0x0y0x2y2
    点P(x0，y0在椭圆221内部的充要条件是221；在椭圆外部的充要条件是221；
    ababab22
    x0y0
    在椭圆上的充要条件是221.
    ab
    2.直线与椭圆的位置关系.
    x2y2
    设直线l：Ax+By+C=0，椭圆C：221，联立l与C，消去某一变量(x或y得到关于另一个变量的一元二
    ab
    次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，
    则l与C相离的Δ<0；l与C相切Δ=0；l与C相交于不同两点Δ>0.3.弦长计算
    计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P1(x1，y1，P2(x2，
    2
    y2|P1P2|=(x1x22(y1y221kx1x21
    1
    y1y2（k为直线斜率）形式(利用根与系k2
    数关系
    （推导过程：若点A(x1,y1，B(x2,y2在直线ykxb(k0上，
    则y1kx1b，y2kx2b，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，
    AB(x1x22(y1y22(x1x22(kx1kx22(1k2(x1x22(1k2[(x1x224x1x2]
    或者AB
    111
    (x1x22(y1y22(x1x22(y1y22(12(y1y22
    kkk
    (1
    12
    [(yy4y1y2]。122k
    一，直线与椭圆的位置关系
    x2y2
    1的位置关系例题1、判断直线kxy30与椭圆164
    ykx3
    222
    解：由x2可得(4k1x24kx20016(16k5y2
    1164
    55x2y2
    或k1相交（1）当16(16k50即k时，直线kxy30与椭圆44164
    2

    -!
    55x2y2或k1相切（2）当16(16k50即k时，直线kxy30与椭圆44164
    2
    55x2y2k1相离（3）当16(16k50即时，直线kxy30与椭圆44164
    2
    x2y2
    1恒有公共点，求实数m的取值范围例题2、若直线ykx1(kR与椭圆5m
    解法一：
    ykx1
    2222由x2可得(5kmx10kx55m0，m5k10即m5k11y2
    1m5
    m1且m5
    解法二：直线恒过一定点(0,1
    当m5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长b当m5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长a综述：m1且m5解法三：直线恒过一定点(0,1
    m，要使直线与椭圆恒有交点则m1即1m55可保证直线与椭圆恒有交点即m5
    0212
    1即m1要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1在椭圆内部
    5m
    m1且m5
    [评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y或x得到关于x或y的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0（2）直线与椭圆相切0（3）直线与椭圆相离0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例2中法二是根据两曲线的特征观察所至；法
    xy
    三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点M(xo,yo在椭圆内部或在椭圆上则o2o21
    ab
    二、弦长问题
    22
    x2y2
    1的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求⊿例3、已知椭圆21
    ABF2的面积
    解法一：由题可知：直线lAB方程为2xy20
    y2x2
    41022
    由x2可得9y4y40，y1y2(y1y24y1y2y2
    1912

    -!
    S
    1410F1F2y1y229
    45
    5
    解法二：F2到直线AB的距离h
    y2x2
    10222
    由x2可得9x16x60，又AB1kx1x2y2
    1912S
    1410ABh29
    2
    [评述]在利用弦长公式AB1k
    x1x21
    1
    y1y2（k为直线斜率）或焦（左）半径公式2k
    ABPF1PF2aex1aex22a2e(x1x2时，应结合韦达定理解决问题。
    例题4、已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点F1作倾斜解为

    的直线交椭圆于3
    A，B两点，求弦AB的长．
    分析：可以利用弦长公式AB1kx1x2(1k[(x1x24x1x2]求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．解：(法1利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．
    2
    2
    2
    AB1k2x1x2(1k2[(x1x224x1x2]．因为a6，b3，所以c33．因为焦点在x轴上，
    x2y2
    1，左焦点F(33,0，从而直线方程为y3x9．所以椭圆方程为
    369
    由直线方程与椭圆方程联立得：13x723x3680．设x1，x2为方程两根，所以x1x2
    2
    723
    ，13
    x1x2
    36848222
    ，k3，从而AB1kx1x2(1k[(x1x24x1x2]．1313

    (法2利用椭圆的定义及余弦定理求解．
    x2y2
    1，设AF由题意可知椭圆方程为1m，BF1n，则AF212m，BF212n．369
    在AF1F2中，AF2所以m
    2
    AF1F1F22AF1F1F2cos
    22

    3
    ，即(12mm3632m63
    22
    1
    ；2
    6648
    ．同理在BF1F2中，用余弦定理得n，所以ABmn．
    134343

    -!
    一、求中点弦所在直线方程问题
    x2y2
    1内一点M（2，1）引一条弦，使弦被点M平分，求这条弦所在的直线方程。例1过椭圆164
    解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2，代入椭圆方程并整理得：
    (4k21x28(2k2kx4(2k12160
    又设直线与椭圆的交点为A(x1,y1，B（x2,y2），则x1,x2是方程的两个根，于是
    8(2k2k
    x1x2，
    4k21
    x1x24(2k2k
    2，又M为AB的中点，所以
    24k21
    1
    解得k，
    2
    故所求直线方程为x2y40。
    解法二：设直线与椭圆的交点为A(x1,y1，B（x2,y2），M（2，1）为AB的中点，所以x1x24，y1y22，
    又A、B两点在椭圆上，则x14y116，x24y216，两式相减得(x1x24(y1y20，
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    y1y2xx211
    1，即kAB，
    x1x24(y1y222故所求直线方程为x2y40。
    解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y，由于中点为M（2，1），
    所以
    则另一个交点为B(4-x,2y，
    x24y216因为A、B两点在椭圆上，所以有，22
    (4x4(2y16
    两式相减得x2y40，
    由于过A、B的直线只有一条，故所求直线方程为x2y40。二、求弦中点的轨迹方程问题
    x2y2
    1上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。例2过椭圆
    6436
    解法一：设弦PQ中点M（x,y），弦端点P（x1,y1），Q（x2,y2），
    9x1216y125762222
    9(xx16(yy则有，两式相减得12120，22
    9x16y57622
    又因为x1x22x，y1y22y，所以92x(x1x2162y(y1y20，
    所以
    y1y2y9x9xy0
    ，而kPQ，故。
    x1x216y16yx8x(8
    2
    2
    化简可得9x72x16y0（x8）。

    -!
    解法二：设弦中点M（x,y），Q（x1,y1），由x
    2
    2
    x18y
    ，y1可得x12x8，y12y，22
    x1y14(x424y2
    1，即1，又因为Q在椭圆上，所以
    64366436
    (x42y2
    1（x8）。所以PQ中点M的轨迹方程为
    169
    三、弦中点的坐标问题
    例3求直线yx1被抛物线y4x截得线段的中点坐标。
    解：解法一：设直线yx1与抛物线y4x交于A(x1,y1，B(x2,y2，其中点P(x0,y0，由题意得
    2
    2
    yx1
    ，2
    y4x
    2
    2
    消去y得(x14x，即x6x10，
    所以x0
    x1x2
    3，y0x012，即中点坐标为(3,2。2
    2
    解法二：设直线yx1与抛物线y4x交于A(x1,y1，B(x2,y2，其中点P(x0,y0，由题意得
    y124x122
    ，两式相减得y2y14(x2x1，2
    y24x2
    所以
    (y2y1(y2y1
    4，
    x2x1
    所以y1y24，即y02，x0y013，即中点坐标为(3,2。
    x2y2
    1所截得的线段的中点，求直线l的方程．例题5、已知P(4,2是直线l被椭圆
    369

    分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去y(或x，得到关于x(或y
    的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2的值代入计算即得．并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．
    解：方法一：设所求直线方程为y2k(x4．代入椭圆方程，整理得
    (4k21x28k(4k2x4(4k22360①

    -!
    设直线与椭圆的交点为A(x1,y1，B(x2,y2，则x1、x2是①的两根，∴x1x2∵P(4,2为AB中点，∴4
    8k(4k2
    2
    4k1
    x1x24k(4k21
    ，．∴所求直线方程为x2y80．k
    24k212
    方法二：设直线与椭圆交点A(x1,y1，B(x2,y2．∵P(4,2为AB中点，∴x1x28，y1y24．又∵A，B在椭圆上，∴x14y136，x24y236两式相减得(x1x24(y1y20，即(x1x2(x1x24(y1y2(y1y20．∴
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    2
    y1y2(x1x21
    ．∴直线方程为x2y80．
    x1x24(y1y22
    方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y，另一个交点B(8x,4y．
    22
    ∵A、B在椭圆上，∴x4y36①。(8x4(4y36②
    2
    2
    从而A，B在方程①－②的图形x2y80上，而过A、B的直线只有一条，∴直线方程为x2y80．说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．若已知焦点是(33,0、(33,0的椭圆截直线x2y80所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？例题6、已知椭圆4xy1及直线yxm．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为
    2
    2
    210
    ，求直线的方程．5
    2
    222
    解：（1）把直线方程yxm代入椭圆方程4xy1得4xxm1，
    2222
    即5x2mxm10．2m45m116m200，解得
    2

    55m．22
    m212m
    （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得x1x2，x1x2．
    55
    m212102m2
    根据弦长公式得：11．解得m0．方程为yx．4
    555

    说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式；解决弦长问题，一般应用弦长公式．用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
    例题7、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与该椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
    2
    10
    ，求椭圆方程.2
    【解前点津】由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在y轴上，且对于a、b、c的关系条件未作定性说明，

    -!
    故可设椭圆方程为：mx+ny=1(m>0，n>0简便.
    22
    【规范解答】设椭圆方程为：mx+ny=1(m>0，n>0，设P(x1，y1，Q(x2，y2，
    22
    yx122由2中消去y并依x聚项整理得：(m+n·x+2nx+(n-1=0，Δ=4n-4(m+n·(n-1>0，即m+n-mn>0，2
    mxny1
    OP⊥OQ等价于x1x2+y1y2=0，将y1=x1+1，y2=x2+1代入得：2x1x2+(x1+x2+1=0，
    ∴
    2(n12n
    10mn2①
    mnmn
    又|PQ|=(x1x22(y1y22＝2(x1x22
    2
    (x1x22[(x11(x21]2
    2•(x1x224x1x2
    102nn1
    2②4
    mnmn213
    mm2或2
    联立①②并解之得：
    n3n122
    经检验这两组解都满足Δ>0，故所求椭圆方程为x+3y=2或3x+y=2.
    22
    【解后归纳】中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx+ny=1(m>0，n>0，m与n的大小关系，决定了焦点位置.三，对称问题
    2
    2
    2
    2
    x2y2
    1，试确定m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，椭圆C上有不同的两例题8、已知椭圆C：
    43
    点关于该直线对称．
    分析：若设椭圆上A，B两点关于直线l对称，则已知条件等价于：(1直线ABl；(2弦AB的中点M在l上．
    利用上述条件建立m的不等式即可求得m的取值范围．解：(法1设椭圆上A(x1,y1，B(x2,y2两点关于直线l对称，直线AB与l交于M(x0,y0点．yxn,1
    4∵l的斜率kl4，∴设直线AB的方程为yxn．由方程组消去y得224xy
    1,34
    1
    8nxx24n112n
    ．于是x01，y0x0n，
    13213413
    4n12n4n13,．∵点M在直线y4xm上，∴n4m．解得nm．②即点M的坐标为(
    1313134
    13x28nx16n2480①。∴x1x2
    将式②代入式①得13x26mx169m480③
    2
    2
    22
    ∵A，B是椭圆上的两点，∴(26m413(169m480．解得(法2同解法1得出n
    213213
    m．1313
    13413
    m，∴x0(mm，4134

    -!
    113113
    y0x0m(mm3m，即M点坐标为(m,3m．
    4444
    (m2(3m2213213
    m1．解得∵A，B为椭圆上的两点，∴M点在椭圆的内部，∴．131343
    (法3设A(x1,y1，B(x2,y2是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与l的交点M的坐标为(x0,y0．
    xyxy
    ∵A，B在椭圆上，∴111，221．两式相减得3(x1x2(x1x24(y1y2(y1y20，
    4343
    即32x0(x1x242y0(y1y20．∴
    2222
    3xy1y2
    0(x1x2．
    x1x24y0
    又∵直线ABl，∴kABkl1，∴
    3x0
    41，即y03x0①。4y0
    又M点在直线l上，∴y04x0m②。由①，②得M点的坐标为(m,3m．以下同解法2.
    说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0，建立参数方程．
    xy
    (2利用弦AB的中点M(x0,y0在椭圆内部，满足001，将x0，y0利用参数表示，建立参数不等式．
    ab
    四，最值问题
    例题9、设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e=
    22
    33
    ，已知点P(0，到这个椭圆上的点的最22
    远距离是7，求这个椭圆的方程.
    【解前点津】由条件，可将椭圆标准方程用含一个参数的形式表示，将“最远距离”转化为二次函数的最值.
    3x2y2222
    【规范解答】由e=可推出a=2b，于是可设椭圆方程为：221，即有x=4b-4y.
    24bb
    设M(x，y是椭圆上任意一点，且-b≤y≤b，∴|PM|=-3(y+间［-b，b］，求二次函数的最值.当b<
    2
    122
    +4b+3，由于y∈［-b，b］，于是转化为在闭区2
    199312222
    时，y=-b，|PM|有最大值b+3b+，令b+3b+=(7，解得b=7-，舍去.24422
    x2112222
    y21.当b≥时，取y=-知|PM|有最大值4b+3，令4b+3=(7解得：b=1，a=2，故所求方程为：422
    【解后归纳】这是一道解析几何与函数的综合题，其知识的交汇点及“等价转化”的数学思想，是必须“关注”的.
    x2y2
    1，过原点且倾斜角为θ和π-θ(0<θ<的两条直线分别交椭圆于A、例题10、设椭圆方程为C和B、482
    D两点.
    (1用θ表示四边形ABCD的面积；

    -!
    (2当θ∈(0，

    时，求S的最大值.4
    【解前点津】设直线方程为y=x·tanθ，利用椭圆图形的“对称性”，易用θ表示S，然后运用函数的知识，求面积S的最大值.
    x2y2
    1求得：【规范解答】(1设经过原点且倾斜角为θ的直线方程为：y=x·tanθ，代入483232tan22
    ,yx=，由对称性知四边形ABCD为矩形，又由于0<θ<，所以四边形ABCD的面22
    84tan84tan2
    2
    积为：S=4|xy|=
    432tan32tan
    .
    84tan22tan2
    (2当0<θ≤
    32t32
    时，0θ≤1，设t=tanθ，则S=(0≤1，2
    242t
    tt
    2
    在(0，2上是单调减函数，t
    32
    ∴f(tmin=f(1=1+2=3，∴当θ=时，Smax=.
    43
    ∵函数f(t=t+
    【解后归纳】从代数角度出发，利用椭圆的几何性质，确定四边形ABCD为矩形，是解题的一个亮点，读者应
    认真体会.
    练习题：
    x2
    y21有两个不同的交点P和Q．1、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2且斜率为k的直线l与椭圆2
    （I）求k的取值范围；
    （II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OPOQ与AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为ykx
    2，
    x21
    (kx221．整理得k2x222kx10①代入椭圆方程得22
    直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于8k4
    2
    1
    k24k220，2
    2222
    解得k或k．即k的取值范围为∞，∞2，．222
    （Ⅱ）设P(x1，y1，Q(x2，y2，则OPOQ(x1x2，y1y2，由方程①，x1x2
    42k
    ．②又y1y2k(x1x222．③
    12k2

    -!
    0B(0，，1AB(2，1．而A(2，，
    所以OPOQ与AB共线等价于x1x22(y1y2，将②③代入上式，解得k
    2
    ．2
    由（Ⅰ）知k
    22或k，故没有符合题意的常数k．22
    22
    xy2、椭圆21a＞b＞0与直线xy1交于P、Q两点，且OPOQ，其中O为坐标原点.2ab
    113≤e≤2，求椭圆长轴的取值范围.e的值；（2）若椭圆的离心率满足
    3a2b22
    [解析]：设P(x1,y1,P(x2,y2，由OP⊥OQx1x2+y1y2=0
    （1）求
    y11x1,y21x2,代入上式得：2x1x2(x1x210①又将y1x代入
    x2y22a2222222
    1(abx2axa(1b0，0,x1x22,a2b2ab2
    a2(1b2
    代入①化简得112.x1x22
    2
    aba2b2
    a2c2b21b211b222
    (2e212122,又由（1）知b2
    32232a1aaaa
    1125356
    ，∴长轴2a∈[5,6].2a2a
    22a134222
    2
    x2
    y21的左、右焦点.3、设F1、F2分别是椭圆4
    （Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值;
    （Ⅱ）设过定点M(0,2的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围.（Ⅰ）易知a2，b1，c
    3．
    ∴F1(3,0，F2(3,0．设P(x,y(x0,y0．则
    x25
    PF1PF2(3x,y(3x,yxy3，又y21，
    44
    2
    2
    722
    x1xyx2134
    P(1,．联立2，解得23，32xy21yy
    424
    （Ⅱ）显然x0不满足题设条件．可设l的方程为ykx2，设A(x1,y1，B(x2,y2．
    x2
    y21联立4x24(kx224(14k2x216kx120
    ykx2

    -!
    ∴x1x2
    1216k22
    (16k4(14k120，由xx1222
    14k14k
    3
    16k23(14k20，4k230，得k2．①
    4
    又AOB为锐角cosAOB0OAOB0，
    2
    ∴OAOBx1x2y1y20又y1y2(kx12(kx22kx1x22k(x1x242
    ∴x1x2y1y2(1kx1x22k(x1x24(1k2
    1216k
    2k(4
    14k214k2
    12(1k22k16k4(4k21
    40∴k24．②222
    14k14k14k4
    综①②可知
    333
    (,2k24，∴k的取值范围是(2,224


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