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    最新【解析版】河北省衡水中学2022年高考数学六模试卷(理科)

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    【解析版】河北省衡水中学2013年高考数学六模试卷(理科

    2013年河北省衡水中学高考数学六模试卷（理科）
    一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3，x∈R}，B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}，则A∩B=（）A．（0，2）B．[0，2]C．{0，2}D．{0，1，2}
    考点：交集及其运算．专题：计算题．
    分析：化简集合A={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，B={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，根据两个集合的交集的定义求
    出
    A∩B．
    解答：解：集合A={x|﹣4≤2x≤4，x∈R}={x|﹣2≤x≤2，x∈R}，
    B={x|x（x﹣8）≤0，x∈Z}={x|0≤x≤8，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，∴A∩B={x|0，1，2}，故选D．
    点评：本题主要考查集合的表示方法，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．
    2．（5分）如果复数
    是实数，则实数m=（）
    A．﹣1B．1C．D．
    考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．
    分析：把给出的复数分子分母同时乘以1+mi，化为a+bi（a，b∈R）的形式，由虚部等于0可求m的值．解答：
    解：==．
    ∵是实数，则1+m3=0，
    所以m=﹣1．故选A．
    点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基
    础题．

    3．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线A．


    考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：
    设所求的双曲线方程是
    B．

    有相同的渐近线的双曲线方程是（）C．

    D．

    ，由焦点（0，6）在y轴上，知k＜0，故双曲线方程是


    ，
    据c2=36求出k值，即得所求的双曲线方程．
    解答：
    解：由题意知，可设所求的双曲线方程是
    ，∵焦点（0，6）在y轴上，∴k＜0，
    所求的双曲线方程是
    ，由﹣k+（﹣2k）=c2=36，∴k=﹣12，
    故所求的双曲线方程是，
    故选B．
    点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．
    4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=，b=2，sinB+sinB=，则角A的大小为（）
    30°150°A．60°B．C．D．45°

    考点：正弦定理；二倍角的正弦．专题：计算题；解三角形．分析：
    由sinB+sinB=，平方可求sin2B，进而可求B，然后利用正弦定理可求sinA，进而可求A
    解答：解：由sinB+sinB=，可得1+2sinBcosB=2
    即sin2B=1
    因为0＜B＜π，
    所以B=45°，又因为a=，b=2，
    所以在△ABC中，由正弦定理得：解得sinA=，又a＜b，所以A＜B=45°，
    所以A=30°故选B
    点评：本题主要考查了同角平方关系及正弦定理在求三角形中的应用，解题时要注意大边对大角的应用，
    不要产生A角的多解
    5．（5分）（2012•烟台二模）如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y=x2图象下方的点构成的区域．在D内随机取一点，则该点在E中的概率为（）
    ，


    分析：题目先给循环变量和点的坐标赋值，打印一次后执行运算x=x+1，y=y﹣1，i=i﹣1，然后判断i与0
    的关系满足条件继续执行，不满足条件算法结束．
    解答：解：首先给循环变量i赋值3，给点的横纵坐标x、y赋值﹣2和6，
    打印点（﹣2，6），执行x=﹣2+1=﹣1，y=6﹣1=5，i=3﹣1=2，判断2＞0；打印点（﹣1，5），执行x=﹣1+1=0，y=5﹣1=4，i=2﹣1=1，判断1＞0；打印点（0，4），执行x=0+1=1，y=4﹣1=3，i=1﹣1=0，判断0=0；不满足条件，算法结束，所以点落在坐标轴上的个数是1个．故选B．
    点评：本题主要考查了循环结构，当满足条件，执行循环，不满足条件算法结束，属于基础题．
    7．（5分）在△ABC中，于（）A．

    ，
    ，点P在AM上且满足
    ，则
    •（
    +
    ）等
    B．

    C．
    ﹣D．
    ﹣

    考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：
    易得M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，进而得
    •（+）=，由数量积的定
    义可得答案．
    解答：解：：由题意易知：M是BC的中点，P是三角形ABC的重心，
    因为所以
    •（
    ，所以+
    ）=
    ，
    ，
    ．
    故选D．
    点评：本题考查向量加减混合运算及几何意义，属基础题．
    8．（5分）函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（x∈R）
    的部分图象如图所示，如果
    ，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）

    A．

    B．

    C．

    D．1

    考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．
    分析：通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析
    式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．
    解答：
    解：由图知，T=2×=π，


    ∴ω=2，因为函数的图象经过（﹣∵∴所以
    ，所以ϕ=
    ，，
    ．
    ），0=sin（﹣+ϕ）
    ，
    故选C．
    点评：本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．9．（5分）（2007•江西）如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）

    A．B．AH垂直平面CB1D1点H是△A1BD的垂心C．AH的延长线经过点C1D．直线AH和BB1所成角为45°
    考点：空间中直线与直线之间的位置关系．
    分析：如上图，正方体的体对角线AC1有以下性质：
    ①AC1⊥平面A1BD，AC1⊥平面CB1D1；②AC1被平面A1BD与平面CB1D1三等分；③AC1=AB等．
    （注：对正方体要视为一种基本图形来看待．）
    解答：解：因为三棱锥A﹣A1BD是正三棱锥，所以顶点A在底面的射影H是底面中心，所以选项A正确；
    易证面A1BD∥面CB1D1，而AH垂直平面A1BD，所以AH垂直平面CB1D1，所以选项B正确；连接正方体的体对角线AC1，则它在各面上的射影分别垂直于BD、A1B、A1D等，所以AC1⊥平面A1BD，则直线A1C与AH重合，所以选项C正确；故选D．
    点评：本题主要考查正方体体对角线的性质．
    10．（5分）已知椭圆在点P使A．（0，
    ）
    B．
    （
    的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），若椭圆上存，则该椭圆的离心率的取值范围为（））
    C．
    （0，
    ）
    D．（
    ，1）

    考点：正弦定理；椭圆的简单性质．
    专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：由“”的结构特征，联想到在△PF1F2中运用由正弦定理得：


    两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：
    a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解出x0，由椭圆的范围，建立关于离心率的不等式求解．要注意椭圆离心率的范围．
    解答：
    解：在△PF1F2中，由正弦定理得：
    则由已知得：
    ，
    即：aPF1=cPF2
    设点P（x0，y0）由焦点半径公式，
    得：PF1=a+ex0，PF2=a﹣ex0则a（a+ex0）=c（a﹣ex0）解得：x0=
    =

    ＞﹣a，
    由椭圆的几何性质知：x0＞﹣a则
    整理得e2+2e﹣1＞0，解得：e＜﹣﹣1或e＞﹣1，又e∈（0，1），故椭圆的离心率：e∈（﹣1，1），故选D．
    点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多
    数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围．
    11．（5分）函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞]B．[0，3]C．[3，12]D．[0，12]
    考点：简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．专题：计算题；压轴题；数形结合．
    分析：判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．解答：解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，
    所以f（x）为奇函数．
    ∴f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）≤0，∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，
    ∴

    即，画出可行域如图，
    可得故选D．
    =x+2y∈[0，12]．



    点评：本题考查函数的奇偶性，线性规划的应用，向量的数量积的知识，是综合题，考查数形结合与计算
    能力．
    12．（5分）（2012•开封一模）已知函数
    的零点按从小到大的顺序排列成一
    个数列，则该数列的前n项的和为Sn，则S10=（）A．B．C．4529﹣1
    D．55

    考点：数列与函数的综合；函数的零点．专题：计算题；压轴题．
    分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），
    （1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．
    ﹣
    解答：解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x1，
    当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x2+1，
    ﹣
    当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x3+2，
    ﹣
    当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x4+3，
    ﹣﹣
    以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2xn1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：
    ①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x的图象，
    取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．
    ﹣
    ②取①中函数f（x）=2x1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，
    ﹣
    即得f（x）=2x1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．
    ﹣
    ③取②中函数f（x）=2x1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
    ﹣
    即得到f（x）=2x2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…
    ﹣


    （n+1，n+1）．
    即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，
    其通项公式为：an=n﹣1，前n项的和为Sn=
    ，
    ∴S10=45，故选C．
    点评：本题考查了数列递推公式的灵活运用，解题时要注意分类讨论思想和归纳总结；本题属于较难的题
    目，要细心解答．

    二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分．）13．（5分）直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点（2，3），则b的值为：﹣15．
    考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．
    分析：先根据曲线y=x3+ax+1过点（2，3）求出a的值，然后求出x=2处的导数求出k的值，根据切线过
    点（2，3）求出b即可．
    解答：解：∵y=x3+ax+1过点（2，3），
    ∴a=﹣3，∴y'=3x2﹣3，∴k=y'|x=2=3×4﹣3=9，∴b=y﹣kx=3﹣9×2=﹣15，故答案为：﹣15．
    点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，直线的斜率等有关基础知识，考查运算求解能
    力，属于基础题．
    14．（5分）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为4π．


    考点：球内接多面体；由三视图还原实物图．专题：计算题；压轴题；空间位置关系与距离．
    分析：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，与
    底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论．
    解答：解：由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高是的等腰直角三角形，
    与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高长为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为2，半径为


    ∴三棱锥的外接球体积为=4π
    故答案为：4π
    点评：本题考查三视图，几何体的外接球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是中档题．15．（5分）（2013•崇明县二模）某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种类为600．
    考点：排列、组合及简单计数问题．专题：计算题．
    分析：根据题意，分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，再由加法原理计算可
    得答案．
    解答：解：根据题意，分2种情况讨论，
    若甲乙其中一人参加，有若甲乙两人都参加，有
    =480种情况；
    =240种情况，其中甲乙相邻的有
    =120种情况；
    则不同的发言顺序种数480+240﹣120=600种，故答案为：600．
    点评：本题考查排列、组合知识，考查计数原理，利用加法原理，正确分类是关键．16．（5分）（2010•连云港二模）设a1，a2，…，an是各项不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0．若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对
    所组成的集合
    为{（4，﹣4），（4，1）}．
    考点：等比数列的性质；集合的表示法；等差数列的性质．专题：综合题；压轴题．
    分析：设出数列的公差d，列举出数列的各项，讨论从第一项开始删去，由得到的数列为等比数列，利用
    等比数列的性质，列出关于d与首项的方程，求出方程的解即可得到d的值，根据d不为0，得到满足题意的d的值，即可求出满足题意的所有数对，组成集合的形式即可．
    解答：解：设数列{an}的公差为d，则各项分别为：a1，a1+d，a1+2d，…，a1+（n﹣1）d，且a1≠0，d≠0，
    假设去掉第一项，则有（a1+d）（a1+3d）=（a1+2d）2，解得d=0，不合题意；
    去掉第二项，有a1（a1+3d）=（a1+2d）2，化简得：4d2+a1d=0即d（4d+a1）=0，解得d=﹣因为数列的各项不为零，所以数列不会出现第五项（a1+4d=0），所以数对
    ，
    =（4，﹣4）；
    去掉第三项，有a1（a1+3d）=（a1+d）2，化简得：d2﹣a1d=0即d（d﹣a1）=0，解得d=a1则此数列为：a，2a，3a，4a，…此数列仍然不会出现第五项，因为出现第五项，数列不为等比数列，所以数对
    =（4，1）；
    去掉第四项时，有a1（a1+2d）=（a1+d）2，化简得：d=0，不合题意；
    当去掉第五项或更远的项时，必然出现上述去掉第一项和第四项时的情况，即d=0，不合题意．所以满足题意的数对有两个，组成的集合为{（4，﹣4），（4，1）}．故答案为：{（4，﹣4），（4，1）}
    点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，是一道中档题．学生做题时应时刻注意公差d不
    为0和各项不为0的条件．



    三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
    17．（12分）（2010•茂名一模）在△ABC中，a，b，c分别是三内角A，B，C所对应的三边，已知b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）若
    ，试判断△ABC的形状．

    考点：余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．专题：综合题；转化思想．分析：
    （1）将b2+c2=a2+bc⇒b2+c2﹣a2=bc⇒的大小；
    （2）用半角公式对A=
    ，故B+C=
    进行变形，其可变为cosB+cosC=1，又由（1）的结论知，
    ，与cosB+cosC=1联立可求得B，C的值，由角判断△ABC的形状．
    ，由同性结合余弦定理知cosA=，可求出A
    解答：解：（1）在△ABC中，∵b2+c2=a2+bc，∴b2+c2﹣a2=bc，
    ∴
    ∴cosA=，
    又A是三角形的内角，故A=（2）∵
    ，
    ，
    ∴1﹣cosB+1﹣cosC=1∴cosB+cosC=1，由（1）的结论知，A=∴cosB+cos（即cosB+cos即∴sin（B+又0＜B＜∴B+∴B=
    =

    ）=1，，∴
    ＜B+
    ＜π，故B+C=

    ﹣B）=1，cosB+sin

    sinB=1，
    ，C=
    故△ABC是等边三角形．
    点评：本题考点是三角形中的余弦定理，考查余弦定理与三角恒等变换公式，是解三角形中综合性较强的


    一道题．
    18．（12分）现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．
    月收入（单位百元）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数510151055赞成人数4812521
    （Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异；月收入不低于55百元的人数月收入低于55百元的人数合计赞成a=c=不赞成b=d=合计（Ⅱ）若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．参考公式：
    ，其中n=a+b+c+d．
    参考值表：P（K^2≥k）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
    考点：独立性检验；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．
    分析：（Ⅰ）根据数据统计，可得2×2列联表，利用公式计算K2，与临界值比较，即可得到结论；
    （Ⅱ）确定ξ所有可能取值，计算相应的概率，即可得到ξ的分布列与期望值．
    解答：解：（Ⅰ）2×2列联表
    月收入不低于55百元人数月收入低于55百元人数合计赞成a=3c=2932不赞成b=7d=1118合计104050
    ∴
    ．
    ∴没有99%的把握认为月收入以5500为分界点对“楼市限购令”的态度有差异．（6分）（Ⅱ）ξ所有可能取值有0，1，2，3，P（ξ=0）=
    =
    =

    P（ξ=1）=+==
    P（ξ=2）=+==


    P（ξ=3）===，
    所以ξ的分布列是ξ01P
    所以ξ的期望值是Eξ=0×
    2
    +1×
    3
    +2×
    +3×
    =（12分）
    点评：本题考查概率与统计知识，考查独立性检验的运用，考查离散型随机变量的分布列与期望，正确计
    算概率是关键．
    19．（12分）（2013•青岛一模）如图，几何体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AB=a，面B1C1D1∥面ABCD，BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，且为AB的中点．
    （Ⅰ）求证：△DB1E为等腰直角三角形；（Ⅱ）求二面角B1﹣DE﹣F的余弦值．
    ，E为CC1的中点，F


    考点：二面角的平面角及求法；三角形的形状判断．专题：空间角．
    分析：（Ⅰ）由已知条件，在直角三角形DBB1，B1C1E，DCE中分别求出DB1，B1E，DE的长度，由边
    的关系能够证出△DB1E为等腰直角三角形；
    （Ⅱ）取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1，以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，求出两个平面DB1E和DFE的法向量，根据二面角与其法向量所成角的关系求二面角B1﹣DE﹣F的余弦值．
    解答：（I）证明：连接BD，交AC于O，因为四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，所以BD=a
    因为BB1、CC1都垂直于面ABCD，∴BB1∥CC1，又面B1C1D1∥面ABCD，∴BC∥B1C1所以四边形BCC1B1为平行四边形，则B1C1=BC=a因为BB1、CC1、DD1都垂直于面ABCD，则
    ，

    所以


    所以△DB1E为等腰直角三角形；
    （II）解：取DB1的中点H，因为O，H分别为DB，DB1的中点，所以OH∥BB1以OA，OB，OH分别为x，y，z轴建立坐标系，则所以
    设面DB1E的法向量为则
    令z1=1，则
    设面DFE的法向量为则
    令x2=1，则
    即

    ，即

    ，且

    ，且



    则=
    ，则二面角B1﹣DE﹣F的余弦值为．

    点评：本题考查了三角形形状的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了平面法向量的求法，利用两
    个平面的法向量所成的角求解二面角时，要注意二面角和法向量所成角的关系，此题是中档题．

    20．（12分）在平面直角坐标系中，已知点点，点C满足
    ，点M满足
    ，向量
    ．
    ，点B为直线
    上的动
    （1）试求动点M的轨迹E的方程；
    （2）设点P是轨迹E上的动点，点R、N在y轴上，圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．
    考点：轨迹方程；点到直线的距离公式．
    专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：
    （1）设M（x，y），B（﹣，m），可得C（0，），进而得到向量、和的坐标，结合题中
    向量等式建立x、y与m的等式，再消去m即可得到动点M的轨迹E的方程；


    （2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），可得PR直线的方程为（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0．由直线PR、PN与题中的圆相切，运用距离公式算出
    ，可得b、c是方程
    、
    +y0x﹣x0=0的两个根，运用根与
    系数的关系算出|b﹣c|关于x0的式子，再代入计算△PRN的面积可得面积S关于x0的表达式，最后利用基本不等式即可求出△PRN的面积的最小值．
    解答：
    解：（1）设，则
    ∵点C满足由此可得：∵
    ，
    ，∴点C是线段AB的中点，可得C（0，）
    ，

    ，

    ∴可得，化简整理得，
    消去参数m得y2=2x，所以动点M的轨迹E的方程为y2=2x；…（4分）（2）设P（x0，y0），R（0，b），N（0，c），且b＞c，∴PR直线的方程为
    ，整理得lPR：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，
    ∵圆（x﹣1）2+y2=1内切于△PRN，可得PR与圆相切，∴
    ，
    注意到x0＞2，化简得：同理可得：因此，b、c是方程
    ，
    ，
    的两个不相等的实数根，…（8分）
    根据根与系数的关系，化简整理可得，
    由此可得△PRN的面积为，
    ∴当x0﹣2=
    时，即当x0=4时，△PRN的面积的最小值为8．…（12分）
    点评：本题给出动点满足的条件，求动点的轨迹方程并求了△PRN的面积的最小值．着重考查了抛物线的标准方程和简单性质、轨迹方程的求法和直线与圆锥曲线关系等知识，属于中档题．

    21．（12分）已知函数f（x）=ax2+lnx（a∈R）．


    （1）当时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；
    （2）如果函数g（x），f1（x），f2（x），在公共定义域D上，满足f1（x）＜g（x）＜f2（x），那么就称g（x）为f1（x），
    f2（x）的“活动函数”．已知函数
    ．
    若在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，求a的取值范围．
    考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：
    （1）由题意得，＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函
    数，即可求出函数的最值．（2）由题意得：令
    恒成立，且h（x）=f1（x）﹣f（x）=
    分类讨论当
    ＜0，对x∈（1，+∞）
    ＜0对x∈（1，+∞）恒成立，或
    时两种情况求函数的最大
    值，可得到a的范围．又因为h′（x）=﹣x+2a﹣=＜0，h（x）
    在（1，+∞）上为减函数，可得到a的另一个范围，综合可得a的范围．
    解答：
    解：（1）当时，，；
    对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，∴
    ，
    ．
    （2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）是f1（x），f2（x）的“活动函数”，则f1（x）＜f（x）＜f2（x）令
    且h（x）=f1（x）﹣f（x）=
    ＜0，对x∈（1，+∞）恒成立，
    ＜0对x∈（1，+∞）恒成立，
    ∵1）若
    ，令p′（x）=0，得极值点x1=1，
    ，

    当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有p′（x）＞0，
    此时p（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有p（x）∈（p（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，p（x）在区间（1，+∞）上，有p（x）∈（p（1），+∞），也不合题意；


    2）若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有p′（x）＜0，
    从而p（x）在区间（1，+∞）上是减函数；要使p（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足所以
    ≤a≤．
    ，
    又因为h′（x）=﹣x+2a﹣数，
    h（x）＜h（1）=综合可知a的范围是[
    =＜0，h（x）在（1，+∞）上为减函
    +2a≤0，所以a≤
    ，]．
    点评：本题考查的知识点是利用导数求函数的最值，利用最值解决恒成立问题，二对于新定义题型关键是
    弄清新概念与旧知识点之间的联系即可，结合着我们已学的知识解决问题，这是高考考查的热点之一．
    22．（2013•郑州二模）如图，已知⊙O和⊙M相交于A、B两点，AD为⊙M的直径，直线BD交⊙O于点C，点G为BD中点，连接AG分别交⊙O、BD于点E、F连接CE．（1）求证：AG•EF=CE•GD；（2）求证：
    ．


    考点：圆的切线的性质定理的证明；与圆有关的比例线段．专题：证明题；压轴题．
    分析：（1）要证明AG•EF=CE•GD我们可以分析积等式中四条线段的位置，然后判断它们所在的三角形
    是否相似，然后将其转化为一个证明三角形相似的问题．
    （2）由（1）的推理过程，我们易得∠DAG=∠GDF，又由公共角∠G，故△DFG∽△AGD，易得DG2=AG•GF，结合（1）的结论，不难得到要证明的结论．
    解答：证明：（1）连接AB，AC，
    ∵AD为⊙M的直径，∴∠ABD=90°，∴AC为⊙O的直径，∴∠CEF=∠AGD，∵∠DFG=∠CFE，∴∠ECF=∠GDF，∵G为弧BD中点，∴∠DAG=∠GDF，∵∠ECB=∠BAG，∴∠DAG=∠ECF，


    ∴△CEF∽△AGD，∴
    ，
    ∴AG•EF=CE•GD（2）由（1）知∠DAG=∠GDF，∠G=∠G，
    ∴△DFG∽△AGD，∴DG2=AG•GF，由（1）知
    ，
    ∴．
    点评：证明三角形相似有三个判定定理：（1）如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比
    例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似（2）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似（3）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似．我们要根据已知条件进行合理的选择，以简化证明过程．

    23．（10分）（选做题在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
    为参数），曲线P在以该直
    角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0．（1）求曲线C的普通方程和曲线P的直角坐标方程；（2）设曲线C和曲线P的交点为A、B，求|AB|．
    考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．
    分析：（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出；
    （2）利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离d和弦长l=
    解答：
    解：（1）由曲线C的参数方程为
    1=0；
    ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，曲线P在极坐标系下的方程为ρ2﹣4ρcosθ+3=0，∴曲线P的直角坐标方程为x2+y2﹣4x+3=0．
    （2）曲线P可化为（x﹣2）2+y2=1，表示圆心在（2，0），半径r=1的圆，则圆心到直线C的距离为所以
    ．
    是解题的关键．
    ，
    即可得出．
    为参数），消去参数t得到曲线C的普通方程为x﹣y﹣
    点评：
    熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、点到直线的距离公式、弦长l=24．（2011•晋中三模）设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）若∀x∈R，
    恒成立，求实数t的取值范围．



    考点：一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．专题：计算题；压轴题．
    分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）
    ＞2，
    （2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，
    即可，求出实数t的取值范围．
    解答：
    解：（1）

    恒成立，只须
    当当
    ，∴x＜﹣5，∴1＜x＜2
    当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2
    综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）由（1）得则只需综上所述
    ，若∀x∈R，
    恒成立，，
    ．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
    点评：考查了绝对值的代数意义、一元二次不等式的应用、分段函数的解析式等基本，去绝对值体现了分
    类讨论的数学思想，属中档题．


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