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    高中数学经典50题(附问题详解)-

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    高中数学题库
    1. 求如下函数的值域：
    解法2 令t＝sinx,如此f<t>＝－t＋t＋1,∵ |sinx|≤1, ∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f<t>在闭区间[－1,1]上的最值．
    本例题<2>解法2通过换元,将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题,从而达到解决问题的目的,这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题,沟通数学各学科之间的内在联系,是实现转换的关键,转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉,由复杂化简单,一句话：由难化易．可见化归是转换的目的,而转换是实现化归段手段.
    2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此慧星离地球相距m万千米和24m万千米时,经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32和3,求该慧星与地球的最近距离. x2y2解：建立如如下图所示直角坐标系,设地球位于焦点F(c,0处,椭圆的方程为221ab〔图见教材P132页例1〕. 时,由椭圆的几何意义可知,彗星A只能312/满足xFA(或xFA.作ABOx于B，则FBFAm
    3323当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为ca2m(cac故由椭圆第二定义可知得
    24mc(ac2mac33c213m,a2c.代入第一式得m(4ccc, a3222答：彗星与地球的最近距离为m万千米. 3两式相减得m说明：〔1〕在天体运行中,彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点,该椭圆的两个焦点,一个是近地点,另一个如此是远地点,这两点到恒星的距离一个是ac,另一个是ac.
    〔2〕以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的,以数学概念为根基充分表现了数形结合的思想.另外,数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题,善于挖掘隐含条件,有意识地训练数学思维的品质. 3. A,B,C是我方三个炮兵阵地,A在B正东6Km,C在B正北偏西30,相距4Km,P为敌炮阵地,某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号,由于B,C两地比A距P地远,因此4s.
    13
    后,B,C才同时发现这一信号,此信号的传播速度为1Km/s,A假如炮击P地,求炮击的方位角.〔图见优化设计教师用书P249例2〕
    解：如图,以直线BA为x轴,线段BA的中垂线为y轴建立坐标系,如此B(3,0,A(3,0,C(5,23,因为PBPC,所以点P在线段BC的垂直平分线上. 因为kBC3,BC中点D(4,3,所以直线PD的方程为y313(x4 〔1〕
    又PBPA4,故P在以A,B为焦点的双曲线右支上.设P(x,y,如此双曲线方程为x2y21(x0 〔2〕.联立〔1〕〔2〕,得x8,y53, 45所以P(8,53.因此kPA533,故炮击的方位角北偏东30. 83说明：此题的关键是确定P点的位置,另外还要求学生掌握方位角的根本概念. 4. 河上有抛物线型拱桥,当水面距拱顶5米时,水面宽度为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面的局部高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时,小船开始不能通行？ 解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为x2py2(p0
    x23.2y船两侧与抛物线接触时不能通过
    如此A<2,yA>,由22=-3.2 yA得yA 所以h=︱yA︱+0.75=2米
    答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时,小船开始不能通行
    [思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧.． 5. 如以下图,直线l1和l2相交于点M,l1l2,点Nl1,以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等.假如AMN为锐角三角形,AM17,AN3,且NB＝6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程. 解：以直线l1为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,由条件可知,曲线段C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为曲线段C的端点. 设曲线段C的方程为y2px(p0(xAxxB,y0,其中xA,xB为A、B的横坐标,pMN,所以M(2pp,0,N(,0,由AM17,AN3,得22(xAp22pxA17 〔1〕
    2.

    (xA4p2〔2〕联立解得xA,代入〔1〕式,并由p0 2pxA9 〔2〕,〔1〕p2解得p2p4p2p,因为AMN为锐角三角形,所以xA,故舍去,所以或x2x1x22AAAp4 x1A由点B在曲线段C上,得xBBNP4,综上,曲线段C的方程为2y28x(1x4,y0
    [思维点拔]此题表现了坐标法的根本思路,考查了定义法,待定系数法求曲线方程的步骤,综合考查了学生分析问题、解决问题的能力. 6. 设抛物线y4ax(a0的焦点为A,以B点为圆心,︱AB︱为半径,在x轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交与不同的两点M,N.点P是MN的中点. 〔1〕求︱AM︱+︱AN︱的值
    〔2〕是否存在实数a,恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列？假如存在,求出a,不存在,说明理由. 解：<1>设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′. ︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a 又圆方程2[x(a4]2y216
    将y4ax代入得x2(4axa8a0
    2    2    2xMxN24a得︱AM︱+︱AN︱=8 <2>假设存在a 因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱
    所以︱AP︱=︱PP′︱ ,P点在抛物线上,这与P点是MN的中点矛盾.故a不存在. 7. 抛物线y2pxp0上有两动点A,B与一个定点M,F为焦点,假如AF,MF,BF2成等差数列
    （1）求证线段AB的垂直平分线过定点Q （2）假如MF4,OQ6〔O为坐标原点〕,求抛物线的方程. （3）对于〔2〕中的抛物线,求△AQB面积的最大值. 解：〔1〕设Ax1,y1,Bx2,y2,Mx0,y0,如此AFx1xx2ppp,BFx2,MFx0,由题意得x01,AB的中点坐标2222.

    可设为x0,t,其中
    ty1y20〔否如此AFMFBFp0〕, 2y1y2y1y21x1x222y1y22p2pp,故AB的垂直平分线为y1y2t而kAByttxx0,即txx0pyp0,可知其过定点Qx0p,0
    p〔2〕由MF4,OQ6,得x0〔3〕直线AB,p4,x0p6,联立解得p4,x02y28x. 24：ytx2,代入y28x得ty1y2y1y24y1y2644t222y22ty2t2160,x1x22t22y1y2
    16    ,又,    点    1256t42Q6,0到AB的距4离2d16t2令SAQB1ABd214256t16t14096256t216t4t6
    4u4096256t216t4t6,如此u512t64t36t5,令u0即512t64t36t50,得t0或t216或t2161642,tt3时333SAQB6496. [思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大根本方法,必须熟练掌握,对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味. 228、直线l:ytan(x22交椭圆x9y9于A、B两点,假如为l的倾斜角,且AB的长不小于短轴的长,求的取值X围. 解：将l的方程与椭圆方程联立,消去y,得(19tan2x2362tan2x72tan290
    由AB2,得tan2133,tan, 333.

    5的取值X围是0,,
    66[思维点拔]对于弦长公式一定要能熟练掌握、灵活运用民.此题由于l的方程由tan给出,所以可以认定22,否如此涉与弦长计算时,还要讨论2时的情况. 9、抛物线yx与直线yk(x1相交于A、B两点
    （1） 求证：OAOB
    （2） 当OAB的面积等于10时,求k的值. y2x2（1） 证明：图见教材P127页,由方程组消去x后,整理得kyyk0.yk(x1设A(x1,y1,B(x2,y2,由韦达定理得y1y21A,B在抛物线yx上,y1x1,y2x2,y1y2x1x2
    2    2    2    2    2，即N（－1，0）（2） 解：设直线与x轴交于N,又显然k0,令y0,则x1
    [思维点拔]此题考查了两直线垂直的充要条件,三角形的面积公式,函数与方程的思想,以与分析问题、解决问题的能力.
    210、在抛物线y=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值X围.
    2〖解〗设B、C关于直线y=kx+3对称,直线BC方程为x=-ky+m代入y=4x得：
    2y+4ky-4m=0, 设B〔x1,y1〕、C〔x2,y2〕,BC中点M〔x0,y0〕,如此
    2y0=〔y1+y2〕/2=-2k.x0=2k+m, 2k32k3∵点M〔x0,y0〕在直线上.∴-2k〔2k+m〕+3,∴m=-又BC与抛物线交于不同两k2k32k3(k1(k2k30即0, 点,∴⊿=16k+16m>0把m代入化简得kk2解得-1[思维点拔]对称问题要充分利用对称的性质特点.
    2〕11、椭圆的一个焦点F〔,对应的准线方程为y=-10,-2成等比数列. （1） 求椭圆方程；
    92,且离心率e满足：2/3,e,4/34（2） 是否存在直线l,使l与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN恰被直线x=-假如存在,求l的倾斜角的X围；假如不存在,请说明理由.
    〖解〗依题意e=    1平分.222
    3.

    a292222〔1〕∵-c=-22=,又e=∴a=3,c=22,b=1,又F1〔0,-22〕,对应c434的准线方程为y=-92.∴椭圆中心在原点,所求方程为：
    4y2x=1 92〔2〕假设存在直线l,依题意l交椭圆所得弦MN被x=-线l：ykxm由 ykxm
    1平分,∴直线l的斜率存在.设直2y2x=1消去y,整理得
    9    2(k29x22kmxm29=0 ∵直线l与椭圆交于不同的两点M、N∴⊿=4km-4+9>-9>>0 22即m-k-9<0 ① 设M 〔x1,y1〕、N〔x2,y2〕
    22    2    2x1x2k29km12,∴m∴②
    2k22k9把②代入①可解得：k∴直线l倾斜角3或k3
    2,, 3223[思维点拔]倾斜角的X围,实际上是求斜率的X围. 3xy6012、设x,y满足约束条件xy20 ,假如目标函数z=ax+by〔a>0,b>0〕的值是最大值x0,y0为12,如此23的最小值为〔 〕 ab82511A． B． C． D．
    4 363答案：A 解析：不等式表示的平面区域如以下图阴影局部,当直线ax+by= z〔a>0,b>0〕过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点〔4,6〕时,目标函数z=ax+by〔a>0,b>0〕取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而23232a3b13ba1325=((2,应当选A． abab66ab66.

    点评：此题综合地考查了线性规划问题和由根本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值,对于形如2a+3b=6,求最小值常用乘积进而用根本不等式解答．
    13、本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟,规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告,能给公司事来的收益分别为0．3万元和0．2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才能使公司的收益最大,最大收益是万元．
    答案：70
    解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟,总收益为z23的 abxy≤300，元,由题意得500x200y≤90000，
    x≥0，y≥0.目标函数为z3000x2000y．
    y     500     400 xy≤300，二元一次不等式组等价于5x2y≤900，
    x≥0，y≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域,即可行域． 如图：作直线l:3000x2000y0,即3x2y0． 平移直线,从图中可知,当直线过M点时,目标函数取得最大值． 联立300 l 200 100 M 0 100 200 300 x xy300，解得x100，y200．点M的坐标为5x2y900.(100，200．
    zmax3000x2000y700000〔元〕．
    点评：此题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题．用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、解决问题的能力,随着课改的深入,这类试题应该是高考的热点题型之一．
    14、设a为实数,函数f(x2x2(xa|xa|．
    .

    <1>假如f(01,求a的取值X围； <2>求f(x的最小值；
    <3>设函数h(x解集．
    f(x,x(a,,直接写出<不需给出演算步骤>不等式h(x1的．．．．a0a12解析：〔1〕假如f(01,如此a|a|1a1；
    〔2〕当xa时,f(x3x2axa,f(xmin222f(a,a02a,a0, a2a2f(,a0,a033当xa时,f(xx2axa,f(xmin222f(a,a02a,a0, 22a,a0f(a,a0综上f(xmin2a2,a02a2；
    ,a03〔3〕x(a,时,h(x1得3x22axa210, 当a66或a时,0,x(a,； 2222a32aa32a66(x0； 当时,△>0,得：(xa3322xa讨论得：当a(26,时,解集为(a,； 22a32a2a32a262][,； ,时,解集为(a,当a(332222a32a2,]时,解集为[当a[,． 223点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象与解一元二次不等式等根底知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进展探索、分析与解决问题的综合能力．
    15、知函数f(x13xx22．
    3    2〔Ⅰ〕设an是正数组成的数列,前n项和为Sn,其中a13．假如点(an,an12an1∈N*>在函数yf(x的图象上,求证：点(n,Sn也在yf(x的图象上；
    .
    ''
    〔Ⅱ〕求函数f(x在区间(a1,a内的极值． 解析：<Ⅰ>证明： 因为f(x13xx22,所以f'(xx22x, 3'222由点(an,an12an1(nN在函数yf(x的图象上,an12an1an2an
    (an1an(an1an2(anan1, 又an0(nN, 所以an1an2,an是a13,d2的等差数列, 所以Sn3nn(n12=n22n,又因为f'(nn22n,所以Snf(n, 2' 故点(n,Sn也在函数yf(x的图象上．
    2<Ⅱ>解:f(xx2xx(x2,令f(x0,得x0或x2．
    当x变化时,f(x﹑f(x的变化情况如下表: x
    <-∞,-2>
    -2
    <-2,0>
    f f
    + ↗
    0 极大值
    - ↘
    注意到(a1a12,从而
    ①当a12a,即2a1时,f(x的极大值为f(2值；
    ②当a10a,即0a1时,f(x的极小值为f(02,此时f(x无极大值； ③当a2或1a0或a1时,f(x既无极大值又无极小值．
    点评：本小题主要考查函数极值、等差数列等根本知识,考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法,考查分析问题和解决问题的能力．
    2,此时f(x无极小311的最小值为〔 〕 ab1 A．8 B．4 C．1 D．
    4ab16、设a0,b0.假如3是3与3的等比中项,如此答案：B 解析：因为3a3b3,所以ab1,1111ba(ab(2 ababab.

    22ba1ba4,当且仅当即ab时"=〞成立,应当选择B．
    2abab点评：本小题考查指数式和对数式的互化,以与均值不等式求最值的运用,考查了变通能力．
    3*17、设数列an满足a00,an1can1c,cN,其中c为实数．
    〔Ⅰ〕证明：an[0,1]对任意nN*成立的充分必要条件是c[0,1]；
    1n1*,证明：an1(3c,nN； 31222〔Ⅲ〕设0c,证明：a12a2ann1,nN*．
    313c〔Ⅱ〕设0c∵a10,∴a21c ,又∵a2[0,1],∴01c1 ,即c[0,1]．解析：<1>必要性：
    充分性 ：设c[0,1],对nN*用数学归纳法证明an[0,1]
    , 当n1时,a10[0,1]．假设ak[0,1](k1
    ,33 如此ak1cak1cc1c1,且ak1cak1c1c0
    ,∴ak1[0,1],由数学归纳法知an[0,1]对所有nN*成立．
    <2> 设 0c1,当n1时,a10,结论成立．
    332当n2 时,∵ancan11c,∴1anc(1an1(1an1an1
    ,∵0C12,由〔1〕知an1[0,1],所以 1an1an13 且 1an10
    ,3    , ∴1an3c(1an1∴1an3c(1an1(3c2(1an2∴an1(3cn1(nN*<3> 设 0c．
    (3cn1(1a1(3cn1
    ,12,当n1时,a1202,结论成立, 313cn1 当n2时,由〔2〕知an1(3c0
    ,2∴an(1(3cn1212(3cn1(3c2(n112(3cn1
    ,2∴a21a222ana22ann12[3c(3c2(3cn1].

    2(1(3cn2n1n1．
    13c13c点评：该题综合考查了等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必要条件和数学归纳法等,具有较高的难度,对逻辑推理能力的考查要求较高．
    18、将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为〔 〕
    Ａ．    Ｂ．    Ｃ．    Ｄ．
    个,其中为等差数列有三类：
    解析：一骰子连续抛掷三次得到的数列共有〔1〕公差为0的有6个；〔2〕公差为1或-1的有8个；〔3〕公差为2或-2的有4个,共有18个,成等差数列的概率为,选B．
    点评：此题是以数列和概率的背景出现,题型新颖而别开生面,有采取分类讨论,分类时要做到不遗漏,不重复．
    19、 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别用Sn和Tn表示,假如<
    >     A Sna4n,如此n的值为Tn3n5bn4n28n36n36n2B C D 3n16n28n28n3答案：A 解析：∵S2n1(2n1∴a1a2n1(2n1an；T2n1(2n1bn．
    2anS2n14(2n18n44n2． bnT2n13(2n156n23n1点评：考查等差数列的前n项和的变形. 20、x＞0,y＞0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,如此错误!的最小值是________．
    答案：4 解析：∵错误!＝错误!≥错误!＝4．
    点评：考查等差等比数列的根本知识,均值不等式. 22221、命题p:实数x满足x4ax3a0,其中a0,命题q:实数x满足xx60或x22x80,且p是q的必要不充分条件,求a的取值X围．
    解析：设Ax|x24ax3a20(a0x|3axa, .

    x|2x3x|x4或x2=x|x4或x2
    因为p是q的必要不充分条件,所以qp,且p推不出q 而CRBx|4x2,CRAx|x3a,或xa 所以x|4x2即3a2a4 x|x3a或xa,如此a0或a02a0或a4．
    3点评：考查逻辑用语,一元二次方程与其含参数的解集. 22、二次函数f(x的二次项系数为 a ,且不等式 f(x2x 的解集为〔1 , 3〕．
    〔l〕假如方程f(x6a0有两个相等的根,求f(x的解析式； 〔2〕假如f(x的最大值为正数,求 a 的取值X围．
    解析：〔1〕因为f(x2x0的解集为〔1,3〕,所以f(x2xa(x1(x3且a0． 因而f(xa(x1(x32xax(24ax3a 〔1〕 由方程f(x6a0得：ax(24ax9a0 〔2〕 因为方程〔2〕有两个相等的根．
    所以[(24a]4a9a0,即5a24a10． 解得：a1〔舍去〕或a将a2221, 51163代入〔1〕得f(x的解析式为：f(xx2x, 5555212a2a24a1〔2〕f(xax2(12ax3aa(x, aaa24a1有a < 0,可得f(x的最大值为, aa24a1所以 > 0,且a < 0．
    a解得：a23或23a0, 故当f(x的最大值为正数时,实数a的取值X围是(,23(23,0．
    .

    点评：含参数的未知一元二次方程,求函数表达式以与参数的取值X围.计算量比拟大,且要求对一元二次函数的知识熟练. 23、数列an中,Sn是其前n项和,并且Sn14an2(n1,2,,a11, ⑴设数列bnan12an(n1,2,,求证：数列bn是等比数列；
    an,(n1,2,,求证：数列cn是等差数列； n2⑶求数列an的通项公式与前n项和. ⑵设数列cn分析：由于{bn}和{cn}中的项都和{an}中的项有关,{an}中又有Sn1=4an+2,可由Sn2-Sn1作切入点探索解题的途径． 解：<1>由Sn1=4an2,Sn2=4an1+2,两式相减,得Sn2-Sn1=4n1-an>,即an2=4an1-4an．<根据bn的构造,如何把该式表示成bn1与bn的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练> an2-2an1=2n1-2an>,又bn=an1-2an,所以bn1=2bn①
    S2=4a1+2,a1=1,a1+a2=4a1+2,解得a2=5,b1=a2-2a1=3 ② 由①和②得,数列{bn}是首项为3,公比为2的等比数列,故bn=3·2当n≥2时,Sn=4an1+2=2n1n1．
    <3n-4>+2；当n=1时,S1=a1=1也适合上式．
    n1综上可知,所求的求和公式为Sn=2<3n-4>+2．
    说明：1．本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前n项和.解决此题的关键在于由条件Sn14an2得出递推公式. 2．解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的条件,在后面求解的过程中适时应用．
    24、设实数a0,数列an是首项为a,公比为a的等比数列,记bnan1g|an|(nN*,Snb1b2bn, 求证：当a1时,对任意自然数n都有Sn=n1a(an1(1n1an. 解：ana1qalga(1a21(1n1(1nnaan
    记Sa2a3a(12323n2(n1an1(1n1nan①
    n2n1n2nn1n1asa22a3(1n3(n2an1(1n2(n1an(1n1nan1②
    ①+②得(1asaaa(1a(1a(1na③
    说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题.关键是先研究通项,确定Cnanbn,{an}是等差数列,{bn}等比数列. 25、设正数数列{an}为一等比数列,且a2=4,a4=16．
    说明：这是2000年全国高考某某试题,涉与对数、数列、极限的综合题,主要考查等比数列的定义与通项公式,等差数列前n项和公式,对数计算,求数列极限等根底知识,以与综合运用数学知识的能力． 26、〔2004年春季高考20〕下表给出一个"等差数阵〞：
    4 7 〔〕 〔〕 〔〕 …… …… a1j
    7 〔〕 〔〕
    12 〔〕 〔〕
    〔〕 〔〕 〔〕
    〔〕 〔〕 〔〕
    .
    〔〕 〔〕 〔〕
    …… …… ……
    a2j
    a3j
    …… …… ……
    a4j

    …… ai1 …… ai2 …… ai3 …… ai4 …… ai5
    …… ……
    …… aij ……
    …… …… ……
    …… …… …… …… …… …… 其中每行、每列都是等差数列,aij表示位于第i行第j列的数. 〔I〕写出a45的值；〔II〕写出aij的计算公式；
    〔III〕证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 分析：本小题主要考查等差数列、充要条件等根本知识,考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力. 解：〔I〕a49 45〔II〕该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列： 第二行是首项为7,公差为5的等差数列： ……
    第i行是首项为4,公差为2的等差数列,因此 3(i1i1〔III〕必要性：假如N在该等差数阵中,如此存在正整数i,j使得N i(2j1j从而2 N12ij(212j1(21i(2j1即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积. 充分性：假如2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积,由于2N+1是奇数,如此它必为两个不是1的奇数之积,即存在正整数k,l,使得
    ,从而N 2N1(21k(2l1k(2l1lakl可见N在该等差数阵中. 综上所述,正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积.
    27、点的序列    〔,0〕,,其中=0,,A3是线钱A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,An是线段〔I〕写出与、的中点,…. 之间的关系式〔≥3〕 ,计算,,,由此推测数列{}的通项公式,并加以证明. 〔II〕设〔I〕解：当n≥3时,〔II〕解：

    .
    由此推测.
    .

    证法一：因为,且
    〔n≥2〕所以证法二：〔用数学归纳法证明：〕
    .
    〔i〕当时,,公式成立,
    〔ii〕假设当时,公式成立,即成立.
    那么当时,
    =式仍成立.
    根据〔i〕与〔ii〕可知,对任意,公式成立
    评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等根本知识,考查运算能力和逻辑思维能力. 28、〔94年全国理>设｛an｝是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对所有自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项. <1>写出数列｛an｝的前三项；<2>求数列｛an｝的通项公式<写出推证过程>；
    <3>令bn=<n∈N>,求：b1+b2+…+bn-n.
    解：<1>由题意=an＞0
    令n=1时,=S1=a1解得a1=2
    令n=2时有==a1+a2解得a2=6
    .

    令n=3时有=S3=a1+a2+a3解得a3=10
    故该数列的前三项为2、6、10.
    <2>解法一：由<1>猜测数列｛an｝有通项公式an=4n-2,下面用数学归纳法证明数列｛an｝的通项公式是an=4n-2<n∈N>
    1°当n=1时,因为4×1-2＝2,又在<1>中已求得a1=2,所以上述结论正确.2°假设n=k时,结论正确,即有ak=4k-2

    由题意有得ak=4k-2,代入上式得2k=,解得Sk=2k
    2    由题意有    2    =    2Sk+1=Sk+ak+1得Sk=2k代入得由于ak+1＞0,解得：ak+1=2+4k2=2<ak+1+2k>2
    整理ak+1-4ak+1+4-16k=0所以ak+1=2+4k=4-2



    这就是说n=k+1时,上述结论成立.根据1°,2°上述结论对所有自然数n成立.解法二：由题意有,=<n∈N>整理得Sn=<an+2>2
    由此得Sn+1=<an+1+2>所以an+1=Sn+1-Sn=［〔an+1+2>-<an+2>］整理得<an+1+an><an+1-an-4>=0由题意知an+1+an≠0,所以an+1-an=4 即数列｛an｝为等差数列,其中a1=2,公差d=4, 所以an=a1＋<n-1>d=2+4<n-1><3>令=bn-1,即通项公式an=4n-2.222


    如此===
    b1+b2+…+bn-n=c1+c2+…+
    =
    .

    说明：n的命题,可以考虑用数学归纳法进展证明,该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.
    x2y21xOy229、〔某某18〕如图,在平面直角坐标系中,M、N分别是椭圆4的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k 〔1〕当直线PA平分线段MN,求k的值； 〔2〕当k=2时,求点P到直线AB的距离d； 〔3〕对任意k>0,求证：PA⊥PB 本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线的垂直关系、点到直线的距离等根底知识,考查运算求解能力和推理论证能力,总分为16分. 解：〔1〕由题设知,a2,b2,故M(2,0,N(0,2,所以线段MN中点的坐标为(1,22,由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,222.k12
    所以    x2y2y2x代入椭圆方程得1,42〔2〕直线PA的方程 22424x,因此P(,,A(,.33333 解得431,故直线AB的方程为xy20.2223C(,0,于是3直线AC的斜率为33
    0〔3〕解法一：
    将直线PA的方程ykx代入x2y2221,解得x,记,224212k12k
    如此P(,k,A(,k,于是C(,0
    0kk,2 故直线AB的斜率为y其方程为k(x,代入椭圆方程得(2k2x22k2x2(3k220,2
    .

    x    解得(3k222k2或x因此B((3k22k32k2,2k2. k3k1于是直线PB的斜率2k2k(3k222k21.22k3k2(2k
    k3k(2k2因此k1k1,所以PAPB. 解法二：
    设P(x1,y1,B(x2,y2,则x10,x20,x1x2,A(x1,y1,C(x1,0. 设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2因为C在直线AB上,所以从而
    因此k1k1,所以PAPB.
    k20(y1yk1.x1(x12x12
    30、〔某某理21〕设,点A的坐标为〔1,1〕,点B在抛物线yx上运动,点Q满足BQQA,经过Q点与Mx轴垂直的直线交抛物线于点M,点P满足QMMP,求点P的轨迹方程. 此题考查直线和抛物线的方程,平面向量的概念,性质与运算,动点的轨迹方程等根本知识,考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力,全面考核综合数学素养. 解：由QMMP知Q,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上,故可设
    P(x,y,Q(x,y0,M(x,x2,则x2y0(yx2,则y0(1x2y.再设①
    B(x1,y1,由BQQA,即(xx1.y0y1(1x,1y0,
    x1(1x,y(1y0.解得1②
    将①式代入②式,消去y0,得
    x1(1x,22y1(1x(1y.③
    222yxyxyx1111又点B在抛物线上,所以,再将③式代入,得
    .

    故所求点P的轨迹方程为y2x1. 31、〔理19〕

    x2G:y21224椭圆.过点〔m,0〕作圆xy1的切线I交椭圆G于A,B两点. 〔I〕求椭圆G的焦点坐标和离心率； 〔II〕将AB表示为m的函数,并求AB的最大值. 〔19〕〔共14分〕 解：〔Ⅰ〕由得a2,b1, 所以ca2b23.
    所以椭圆G的焦点坐标为(3,0,(3,0
    e    离心率为c3.a2
    〔Ⅱ〕由题意知,|m|1. 当m1时,切线l的方程x1,点A、B的坐标分别为此时|AB|(1,33,(1,,22
    3
    3
    当m=－1时,同理可得|AB|当|m|1时,设切线l的方程为yk(xm,
    yk(xm,2得(14k2x28k2mx4k2m240x2y1.由4
    设A、B两点的坐标分别为(x1,y1(x2,y2,如此
    x2y21相切,得又由l与圆所以|km|k21
    1,即m2k2k21.
    |AB|(x2x12(y2y123,
    由于当m3时,|AB|.

    |AB|所以43|m|,m(,1][1,m23. |AB|因为43|m|m23433|m||m|2,
    且当m3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2. 32、〔某某理17〕直线l：y=x+m,m∈R. 〔I〕假如以点M〔2,0〕为圆心的圆与直线l相切与点P,且点P在y轴上,求该圆的方程； 〔II〕假如直线l关于x轴对称的直线为l,问直线l与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由. 本小题主要考查直线、圆、抛物线等根底知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想.总分为13分. 解法一：
    〔I〕依题意,点P的坐标为〔0,m〕
    0m11因为MPl,所以20, 解得m=2,即点P的坐标为〔0,2〕 从而圆的半径
    22(x2y8.
    故所求圆的方程为〔II〕因为直线l的方程为yxm, 所以直线l'的方程为yxm.
    y'xm,得x24x4m02x4y由
    〔1〕当m1,即0时,直线l'与抛物线C相切 〔2〕当m1,那0时,直线l'与抛物线C不相切. 综上,当m=1时,直线l'与抛物线C相切； 当m1时,直线l'与抛物线C不相切. 解法二：
    22(x2yr. 〔I〕设所求圆的半径为r,如此圆的方程可设为依题意,所求圆与直线l:xym0相切于点P〔0,m〕, .

    4m2r2,|20m|r,2如此
    m2,r22. 解得22(x2y8.
    所以所求圆的方程为〔II〕同解法一. 33、〔某某理19〕

    2222(x5y4,(x5y4中的一个内切,另一个外切. 设圆C与两圆〔1〕求C的圆心轨迹L的方程; 3545,,F(5,0MPFP5〔2〕点M5,且P为L上动点,求的最大值与此时点P的(坐标．
    〔1〕解：设C的圆心的坐标为(x,y,由题设条件知
    x2y21.化简得L的方程为4
    〔2〕解：过M,F的直线l方程为y2(x5,将其代入L的方程得
    解得x165145652514525,x2,故l与L交点为T1(,,T2(,.515551515
    因T1在线段MF外,T2在线段MF内,故|MT1||FT1||MF|2,
    |MT2||FT2||MF|2.故,假如P不在直线MF上,在MFP中有
    |MP||FP|只在T1点取得最大值2. 34、〔某某理20〕

    平面内与两定点A1(a,0,A2(a,0(a0连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线． 〔Ⅰ〕求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值得关系； 〔Ⅱ〕当m1时,对应的曲线为C1；对给定的m(1,0U(0,,对应的曲线为C2,设.

    F1    、F2    是    2C2C1的两个焦点.试问：在撒谎个,是否存在点N,使得△F1NF2的面积S|m|a.假如存在,求tanF1NF2的值；假如不存在,请说明理由. 本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线等根底知识,同时考查推理运算的能力,以与分类与整合和数形结合的思想.〔总分为14分〕 解：〔I〕设动点为M,其坐标为(x,y, 当xa时,由条件可得kMA1kMA2yyy22m,2xaxaxa
    222mxyma(xa, 即又A1(a,0,A2(A,0222mxyma,
    的坐标满足222mxyma. 故依题意,曲线C的方程为x2y21,C22m1时,ama当曲线C的方程为是焦点在y轴上的椭圆；
    222xyam1当时,曲线C的方程为,C是圆心在原点的圆；
    x2y2122ma当1m0时,曲线C的方程为a,C是焦点在x轴上的椭圆； x2y21,22m0ama当时,曲线C的方程为C是焦点在x轴上的双曲线. 222xya; 〔II〕由〔I〕知,当m=-1时,C1的方程为当m(1,0(0,时, C2的两个焦点分别为F1(a1m,0,F2(a1m,0.
    (0,, 2S|m|a使得的充要条件是
    对于给定的m(1,0C1上存在点N(x0,y0(y0022x0y0a2,y00,122a1m|y0||m|a.2
    ① ②
    由①得0|y0|a,|y0|由②得|m|a.1m
    .

    0    当|m|a15a,即m0,21m
    152时, 0m或存在点N,使S=|m|a2；
    |m|a15a,即-1,2当1m
    m    或152时, 不存在满足条件的点N, 1515m,00,22时, 当由NF1(a1mx0y0,NF2(a1mx0,y0, 2222NFNFx(1mayma, 1200可得令|NF1|r1,|NF2|r2,F1NF2, 2ma2NF1NF2r1r2cosma,可得r1r2cos, 如此由1ma2sin1Sr1r2sinma2tan22cos2从而, 2S|m|a于是由, 12|m|ma2tan|m|a2,即tan.m 可得2综上可得：
    15m,02S|m|a2,且tanF1NF22;当时,在C1上,存在点N,使得
    15m0,2S|m|a2,且tanF1NF22;当时,在C1上,存在点N,使得 m(1,当1515(,22时,在C1上,不存在满足条件的点N. .

    35、〔某某理21〕

    x2y23C1:221(ab0C2:yx2b2ab如图7,椭圆的离心率为,x轴被曲线截得的线段长等于C1的长半轴长. 〔Ⅰ〕求C1,C2的方程；
    〔Ⅱ〕设C2与y轴的焦点为M,过坐标原点O的直线l与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交与D,E． 〔i〕证明：MD⊥ME; 〔ii〕记△MAB,△MDE的面积分别是S1,S2．问：S117S32请说明理由. 是否存在直线l,使得2解
    ：〔    Ⅰ    〕    由    题    意    知ec3,从而a2b,又2ba,解得a2,b1.a2
    x2y21,yx21.故C1,C2的方程分别为4
    〔Ⅱ〕〔i〕由题意知,直线l的斜率存在,设为k,如此直线l的方程为ykx. ykxyx21由得
    x2kx10. 设A(x1,y1,B(x2,y2,则x1,x2是上述方程的两个实根,于是 又点M的坐标为〔0,—1〕,所以 故MA⊥MB,即MD⊥ME. yk1x1,yk1x1,由2yx1〔ii〕设直线MA的斜率为k1,如此直线MA的方程为解得
    2(k,k1. 11如此点A的坐标为1k1, 又直线MB的斜率为(同理可得点B的坐标为11,21.k1k1
    .

    于是11111k122S1|MA||MB|1k1|k1|11||22k1k12|k1|
    yk1x1,2222x4y40(14kx8k1x0.1由得
    8k1x,214kx0,1或2y1y4k1114k12解得
    8k14k121(,.2214k114k1
    如此点D的坐标为8k14k121(,.224k4k11又直线ME的斜率为k,同理可得点E的坐标为 32(1k12|k1|1S2|MD||ME|222(1k(k4. 11于是S114(4k12217.S64k1因此2
    14171(4k12217,解得k124,或k12.64k1324由题意知,
    1k1213kk1,所以k.1k12k1k1又由点A、B的坐标可知,
    k12y故满足条件的直线l存在,且有两条,其方程分别为33x和yx.22
    36、〔某某理20〕
    如图,椭圆C1的中心在原点O,长轴左、右端点M,N在x轴上,椭圆C2的短轴为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为A,B,C,D．
    e〔I〕设12,求BC与AD的比值；
    〔II〕当e变化时,是否存在直线l,使得BO∥AN,并说明理由． 解：〔I〕因为C1,C2的离心率一样,故依题意可设
    .

    设直线l:xt(|t|a,分别与C1,C2的方程联立,求得
    A(t,a22b22at,B(t,at.ba ………………4分
    13e时,ba,分别用yA,yB22当表示A,B的纵坐标,可知
    2|yB|b23|BC|:|AD|.2|yA|a24 ………………6分
    〔II〕t=0时的l不符合题意.t0时,BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等,即
    ab21e2t22a.2abe解得
    1e22|t|a,又0e1,所以21,解得e1.2e因为
    0e所以当22时,不存在直线l,使得BO//AN；
    2e1当2时,存在直线l使得BO//AN. ………………12分
    37、〔全国大纲理21〕

    y2C:x12O为坐标原点,F为椭圆在y轴正半轴上的焦点,过F且斜率为-2的直线l与2C交于A、B两点,点P满足OAOBOP0.
    〔Ⅰ〕证明：点P在C上；
    〔Ⅱ〕设点P关于点O的对称点为Q,证明：A、P、B、Q四点在同一圆上． 解：
    〔I〕F〔0,1〕,l的方程为y2x1, y2x12代入并化简得
    24x222x10.…………2分
    设A(x1,y1,B(x2,y2,P(x3,y3,
    .

    如此x12626,x2,44 x3(x1x22,y3(y1y21.2
    由题意得(所以点P的坐标为2,1.2 (2,12满足方程
    经验证,点P的坐标为2y2x1,2故点P在椭圆C上.…………6分
    P(〔II〕由22Q(,1,122和题设知,
    PQ的垂直平分线1的方程为
    ly2x.2①
    M(21,42,AB的垂直平分线为l2的方程为
    设AB的中点为M,如此y21x.24②
    由①、②得l1,l2N(的交点为21,88.…………9分
    故|NP|=|NA|. 又|NP|=|NQ|,|NA|=|NB|, 所以|NA|=|NP|=|NB|=|MQ|, 由此知A、P、B、Q四点在以N为圆心,NA为半径的圆上 38、〔全国新课标理20〕

    在平面直角坐标系xOy中,点A〔0,-1〕,B点在直线y3上,M点满足MB//OA,MAABMBBA,M点的轨迹为曲线C．
    〔I〕求C的方程；
    〔II〕P为C上动点,l为C在点P处的切线,求O点到l距离的最小值．
    .

    解：
    <Ⅰ>设M,由得B,A<0,-1>. 所以MA=〔-x,-1-y〕,MB=<0,-3-y>,AB=. 再由题意可知〔MA+MB〕• AB=0,即〔-x,-4-2y〕• =0. 12所以曲线C的方程式为y=4x-2. 1112'<Ⅱ>设P0,y0>为曲线C：y=4x-2上一点,因为y=2x,所以l的斜率为2x0

    因此直线l的方程为yy01x0(xx0xx2y2yx20002,即0．
    y012x024,所以
    d如此O点到l的距离当2x02|2y0x0|x420.又=0时取等号,所以O点到l距离的最小值为2. 39、〔某某理22〕

    x2y21x,yx,y2动直线l与椭圆C: 3交于P11、Q22两不同点,且△OPQ的面积6SOPQ2=,其中O为坐标原点. 〔Ⅰ〕证明x12x22和y12y22均为定值; 〔Ⅱ〕设线段PQ的中点为M,求|OM||PQ|的最大值；
    〔Ⅲ〕椭圆C上是否存在点D,E,G,使得的形状；假如不存在,请说明理由. SODESODGSOEG62假如存在,判断△DEG〔I〕解：〔1〕当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称, 所以因为x2x1,y2y1.P(x1,y1
    在椭圆上, x12y1212因此3①
    .

    又因为SOPQ6,2 6.2② 6,|y1|1.2
    所以|x1||y1|由①、②得|x1|2222xx3,yy2, 1212此时〔2〕当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxm,
    x2y212由题意知m0,将其代入3,得 (23k2x26kmx3(m220, 222236km12(23k(m20,
    其中22即3k2m…………〔*〕
    6km3(m22x1x2,x1x2,2223k23k又
    263k22m2|PQ|1k(x1x24x1x21k,223k所以
    2    2    2d因为点O到直线l的距离为|m|1k2,
    所以SOPQ1|PQ|d2
    又SOPQ6,2
    223k22m,且符合〔*〕式, 整理得6km23(m22xx(x1x22x1x2(23,2223k23k此时
    2    122    22222xx3;yy2,结论成立. 1212综上所述,.

    〔II〕解法一：
    〔1〕当直线l的斜率存在时, 由〔I〕知|OM||x1|6,|PQ|2|y1|2,2
    |OM||PQ|因此626.2
    〔2〕当直线l的斜率存在时,由〔I〕知
    |OM|2|PQ|2所以111(322(222mm
    |OM||PQ|所以5113222,即m22,当且仅当mm时,等号成立. 5.综合〔1〕〔2〕得|OM|·|PQ|的最大值为2
    解法二：
    因为4|OM|2|PQ|2(x1x22(y1y22(x2x12(y2y12
    4|OM|2|PQ|2102|OM||PQ|5.25所以
    5|OM||PQ|,2当且仅当2|OM||PQ|5时等号成立. 即5.2因此 |OM|·|PQ|的最大值为
    SODESODGSOEG6.2
    62, 〔III〕椭圆C上不存在三点D,E,G,使得证明：假设存在由〔I〕得
    D(u,v,E(x1,y1,G(x2,y2满足SODESODGSOEG(因此D,E,G只能在6,12这四点中选取三个不同点, 而这三点的两两连线中必有一条过原点, .

    与SODESODGSOEG62矛盾, 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G. 40、〔某某理17〕

    如图,设P是圆xy25上的动点,点D是P在x轴上的摄影,M为PD上一点,且22MD4PD5
    〔Ⅰ〕当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程；
    4〔Ⅱ〕求过点〔3,0〕且斜率为5的直线被C所截线段的长度
    解：〔Ⅰ〕设M的坐标为〔x,y〕P的坐标为〔xp,yp〕
    xpx,5ypy,4 由得225xy2xy2514∵P在圆上,∴,即C的方程为2516
    244yx35〔Ⅱ〕过点〔3,0〕且斜率为5的直线方程为, 设直线与C的交点为Ax1,y1,Bx2,y2
    y    将直线方程    2    4x35代入C的方程,得
    x2x3122525即x3x80
    x1341341,x222∴线段AB的长度为
    ∴注：求AB长度时,利用韦达定理或弦长公式求得正确结果,同样得分. 41、〔某某理23〕 平面上的线段l与点P,在l上任取一点Q,线段PQ长度的最小值称为点P到线段l的距离,记作d(P,l. 〔1〕求点P(1,1到线段l:xy30(3x5的距离d(P,l； 〔2〕设l是长为2的线段,求点集D{P|d(P,l1}所表示图形的面积；
    .

    〔3〕写出到两条线段l1,l2距离相等的点的集合{P|d(P,l1d(P,l2},其中
    l1AB,l2CD, A,B,C,D是如下三组点中的一组.对于如下三组点只需选做一种,总分为分别是①2分,②
    6分,③8分；假如选择了多于一种的情形,如此按照序号较小的解答计分. A(1,3,B(1,0,C(1,3,D(1,0. ②A(1,3,B(1,0,C(1,3,D(1,2. ③A(0,1,B(0,0,C(0,0,D(2,0. 解：⑴设Q(x,x3是线段l:xy30(3x5上一点,如此
    A-1y1B1O-159|PQ|(x12(x422(x2(3x522时,,当x3d(P,l|PQ|min5. ⑵设线段l的端点分别为A,B,以直线AB为x轴,AB的中点为原点建立直角坐标系, 如此A(1,0,B(1,0,点集D由如下曲线围成
    l1:y1(|x|1,l2:y1(|x|1C1:(x12y21(x1,C2:(x12y21(x1其面积为S4. ⑶①选择A(1,3,B(1,0,C(1,3,D(1,0,{(x,y|x0} ②选择A(1,3,B(1,0,C(1,3,D(1,2. ③选择A(0,1,B(0,0,C(0,0,D(2,0.
    ,42、〔某某理21〕

    椭圆有两顶点A〔-1,0〕、B〔1,0〕,过其焦点F〔0,1〕的直线l与椭圆交于C、D两点,并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．
    32〔I〕当|CD | = 2时,求直线l的方程；
    〔II〕当点P异于A、B两点时,求证：OPOQ为定值. .

    y2x21解：由可得椭圆方程为2,设l的方程为y1k(x0,k为l的斜率. 2kykx1xx1222k222(2kx2kx10y2x1xx121222k如此4yy122k22yy2k2122k2
    l的方程为y2x1
    F,F43、〔某某理18〕在平面直角坐标系xOy中,点P(a,b(ab0为动点,12分别为椭圆x2y21FPFa2b2的左右焦点．△12为等腰三角形． 〔Ⅰ〕求椭圆的离心率e；
    〔Ⅱ〕设直线PF2与椭圆相交于A,B两点,M是直线PF2上的点,满足AMBM2,求点M的轨迹方程．
    本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面向量等根底知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质与数形结合的数学思想,考查解决问题能力与运算能力.总分为13分. 〔I〕解：设由题意,可得F1(c,0,F2(c,0(c0
    |PF2||F1F2|,
    22(acb2c. 即ccc2(210,得1aa整理得a〔舍〕, c11.e.2 或a2所以〔II〕解：由〔I〕知a2c,b3c,
    2223x4y12c,
    可得椭圆方程为直线PF2方程为y3(xc.
    2223x4y12c,y3(xc. A,B两点的坐标满足方程组.

    2消去y并整理,得5x8cx0.
    8x10,x2c.5 解得8xc,25x10,y3c,y33c.125 得方程组的解833A(c,c,B(0,3c55不妨设
    833(x,y,则AM(xc,yc,BM(x,y3c55设点M的坐标为, y3(xc,得cx由3y.3
    AM(于是833833yx,yx,15555
    BM(x,3x.由AMBM2,
    833833yxx(yx3x215555即, (化简得18x163xy150.
    218x215310x25y代入cxy,得c0.316x163x将
    所以x0.
    218x163xy150(x0. 因此,点M的轨迹方程是44、〔某某理21〕
    C1x3yC2x2(y421抛物线:＝,圆:的圆心为点M 〔Ⅰ〕求点M到抛物线〔Ⅱ〕点P是抛物线c1的准线的距离；
    c1上一点〔异于原点〕,过点P作圆c2的两条切线,交抛物线c1于A,B两点,假如过M,P两点的直线l垂直于AB,求直线l的方程
    .

    此题主要考查抛物线的几何性质,直线与抛物线、圆的位置关系等根底知识,同时考查解析几何的根本思想方法和综合解题能力.总分为15分. 1y,4 〔I〕解：由题意可知,抛物线的准线方程为：17.所以圆心M〔0,4〕到准线的距离是4
    〔II〕解：设如此题意得22P(x0,x0,A(x1,x12,B(x2,x2, x00,x01,x1x2, , 设过点P的圆C2的切线方程为即2ykxkx0x02yx0k(xx0①
    2|kx04x0|如此即1k21,
    , 222(x01k22x0(4x0k(x04210设PA,PB的斜率为将①代入由于故k1,k2(k1k2,如此k1,k2
    是上述方程的两根,所以
    2yx2得x2kxkx0x00,x0是此方程的根, ,所以
    x1k1x0,x2k2x0由MPAB,得2x0kABkMP222x0(x04x04(2x(102x01x0, 解得23,5
    (即点P的坐标为2323,55, y3115x4.115
    e    ,一条准线的方程为所以直线l的方程为45、〔某某理20〕如题〔20〕图,椭圆的中心为原点O,离心率.

    x．
    〔Ⅰ〕求该椭圆的标准方程；
    〔Ⅱ〕设动点P满足：OPOMON,其中M,N是椭圆上的点,直线OM与ON的斜率PFPFF,FF,F之积为,问：是否存在两个定点,使得为定值？假如存在,求的坐标；假如不存在,说明理由．
    c2a2e,22,a2c解：〔I〕由
    222a2,c2,bac2,故椭圆的标准方程为
    解得〔II〕设P(x,y,M(x1,y1,N(x2,y2,如此由
    OPOM2ON得
    22x2y4上,所以 因为点M,N在椭圆22x122y124,x22y24,
    故设22x22y2(x124x24x1x22(y124y24y1y2kOM,kON分别为直线OM,ON的斜率,由题设条件知
    kOMkONy1y21,x1x22因此x1x22y1y20,
    22x2y20.
    所以x2所以P点是椭圆(252y2(1021上的点,设该椭圆的左、右焦点为F1,F2,如此由椭圆的,因此两焦点的坐标为
    定义|PF1|+|PF2|为定值,又因2c(252(1021046、A,B是抛物线y2px(p0上的两点,且OAOB〔O为坐标原点〕求证：
    〔1〕A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积分别是定植； 〔2〕直线AB经过一个定点 证明：〔1〕设A(x1,y1,B(x2,y2,则y12px1,y22px2,22OAOB,x1x2y1y2022
    两式相乘得y1y24p,x1x24p.


    (2y1y22p(x1x2,当x1x2,kAB所以直线AB的方程yy1222p,y1y22p2p(xx1.化简得y(x2p,所以y1y2y1y2过定点（2p,0,当x1x2时，显然也过点（2p,0直线AB过定点<2p,0> 47、〔2005年春季,18〕如图,O为坐标原点,直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和两点. b(a0,b0,且交抛物线y22px(p0于M（x1,y1），N（x2,y2）（1） 写出直线l的截距式方程 （2） 证明：111 y1y2b（3） 当a2p时,求MON的大小.〔图见教材P135页例1〕 解：〔1〕直线l的截距式方程为2xy1. 〔1〕 ab2〔2〕、由〔1〕与y2px消去x可得by2pay2pab0 〔2〕
    点M,N的坐标y1,y2为〔2〕的两个根.故y1y22pa,y1y22pa. b2payy21111b.
    所以y1y2y1y22pab〔3〕、设直线OM、ON的斜率分别为k1,k2,则k12y1y,k22. x1x2当a2p时,由〔2〕知,y1y22pa4p,
    (y1y22(4p22由y2px1,y2px2,相乘得(y1y24px1x2,x1x24p2,224p4p212222y1y24p2因此k1k2. 1.所以OMON，即MON＝902x1x24p说明：此题主要考查直线、抛物线等根本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力. x2y248、〔2005年黄冈高三调研考题〕椭圆C的方程为221(ab0,双曲线ab.

    x2y221的两条渐近线为l1,l2,过椭圆C的右焦点F作直线l,使ll1,又l与l2交于P2ab点,设l与椭圆C的两个交点由上而下依次为A、B.〔图见教材P135页例2〕
    （1） 当l1与l2夹角为60,双曲线的焦距为4时,求椭圆C的方程
    FAAP（2） 当时,求的最大值. 解：〔1〕双曲线的渐近线为ybbx,两渐近线的夹角为60,又1, aaaba2abl:y(xc,与yx解得P（,）,（3） 由bacc
    a2abcc,c,将A点坐标代入椭圆方程得 由FAAP得A(11说明：此题考查了椭圆、双曲线的根底知识,与向量、定比分点公式、重要不等式的应用.解决此题的难点是通过恒等变形,利用重要不等式解决问题的思想.此题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题. (y12(x121的一个上顶点与上焦点,位于x轴的正半轴上的49、A,F分别是椭圆1612动点T〔t,0〕与F的连线交射线OA于Q,求：
    （1） 点A,F的坐标与直线TQ的方程; （2） 三角形OTQ的面积S与t的函数关系式与该函数的最小值 （3） 写出该函数的单调递增区间,并证明. 解:<1>由题意得A<1,3>,F<1,1> 直线TQ得方程为x+y-t=0 <2>射线OA的方程y=3x(x0,代入TQ的方程，得xQ所以S的最小值为t 3t24
    3<3>S在,上是增函数
    43所以该函数在,上是增函数
    50、过抛物线y＝2px的焦点F任作一条直线m,交这抛物线于P1、P2两点,求证：以P1P2为直径的圆和这抛物线的准线相切．
    分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比拟简捷．
    证明：如图2-17．设P1P2的中点为P0,过P1、P0、P2分别向准线l引垂线P1Q1,P0Q0,P2Q2,.
    243
    垂足为Q1、Q0、Q2,如此
    ｜P1F｜＝｜P1Q1｜,｜P2F｜＝｜P2Q2｜ ∴｜P1P2｜＝｜P1F｜＋｜P2F｜ ＝｜P1Q1｜＋｜P2Q2｜＝2｜P0Q0｜
    所以P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因而圆P0和准线l相切．
    [思维点拔]以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切．类似有：以椭圆焦点弦为直径的圆与相对应的准线相离；以双曲线焦点弦为直径的圆与相应的准线相交．以上结论均可用第二定义证明之．
    变式：求证：以双曲线的任意焦半径为直径的圆,与以实轴为直径的圆相切． 取F1P的中点为O1,连结O1O,只须证明：以F1P为直径的圆与实轴A1A2为直径的圆内切．
    在△PF1F2中,O1O为△PF1F2的中位线
    故以双曲线的任意焦半径为直径的圆,与以实轴为直径的圆内切．
    .

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