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    第1章 集合与简易逻辑
    §1–1 集合
    一、集合的概念
    21.1.1在"① 难解的题目；② 方程x＋1＝0在实数集内的解；③ 直角坐标平面上第四象限内的所有点；④ 很多多项式"中,能够组成集合的是．
    ②③ ①③ ②④ ①②④
    解析 由集合中元素的确定性可知只有②和③能组成集合,答案为A． 1.1.2下列集合中,有限集是．
     {x|x<10,x∈N} {x|x<10,x∈Z}
    2 {x|x<10,x∈Q} {x|x＝y＋10,y∈R}
    解析 由N表示自然数集得{x|x<10,x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}是有限集,答案为A．
    1.1.3若集合M＝{x|x≤6},a＝,则下列结论中正确的是．
     {a}M aM {a}∈M a∉M 解析 因为
    <6,则
    ∈M,{a}M,所以,答案为A．
    2    21.1.4已知集合A＝{0,1},B＝{y|y＝1－x,x∈A},则A与B的关系是．     A＝B AB A∈B AB
    解析 由已知得集合B＝{－1,0,1},所以,AB,答案为B．
    1.1.5下列四个关系中,正确的是．
     ∅∈{0} 0∉{0} {0}∈{0,1} 0∈{0,1} 解析∅与{0},{0}与{0,1}是两个集合间的关系,这种关系不应用表达元素与集合间关系的"∈"来表达；而0∈{0},又0是集合{0,1}中的元素,所以,0∈{0,1}是正确的,答案为D．
    1.1.6设a,b∈R,集合{1,a＋b,a}＝     1 －1 2 －2
    ,则b－a＝．
    解析 由已知得0∈{1,a＋b,a},而a≠0,于是,只能a＋b＝0,则＝－1,又－1∈{1,a＋b,a},所以,a＝－1,b＝1,b－a＝2,答案为C．
    1.1.7用适当的方式写出下列集合： <1> 组成中国国旗的颜色名称的集合； <2> 不大于6的非负整数所组成的集合； <3> 所有正奇数组成的集合；
    3<4> 方程x＋6＝0的实数解构成的集合；
    2<5> 不等式x－5x＋4<0的解集；
    <6> 直角坐标平面中,第一象限内的所有点组成的集合；
    <7> 直角坐标平面中,直线y＝2x－1上的所有点组成的集合． 解析 <1> 组成中国国旗的颜色名称的集合是{红,黄}． <2> 不大于6的非负整数所组成的集合是{0,1,2,3,4,5,6}．
    1 / 142
    <3> 所有正奇数组成的集合是{x|x＝2k＋1,k∈N}．
    33<4> 方程x＋6＝0的实数解构成的集合是{x|x＋6＝0,x∈R}．
    22<5> 不等式x－5x＋4<0的解集{x|x－5x＋4<0}或写成{x|1<x<4}．
    <6> 直角坐标平面中,第一象限内的所有点组成的集合是{<x,y>|x>0且y>0}． <7> 直角坐标平面中,直线y＝2x－1上的所有点组成的集合是{<x,y>|y＝2x－1}． 1.1.8已知集合A＝{1,3,x},集合B＝{1,x},若有BA且x∉B,则A＝． 解析 由x∈A及x∉B得x＝3,解得x＝±性,所以,集合A＝{1,3,}或{1,3,－}．
    2    2    2,经检验此x的值符合集合中元素的互异1.1.9集合A＝{x|－3≤x≤2},B＝{x|2m－1≤x≤2m＋1},若B⊆A,则m的取值范围是．
    解析 由已知可得解得－1≤m≤．
    1.1.10若集合M＝{0,1,2},N＝{<x,y>|x－2y＋1≥0且x－2y－1≤0,x,y∈M},则N中元素的个数为．
     9 6 4 2
    解析 将点<0,0>,<1,1>,<2,2>,<0,1>,<1,0>,<0,2>,<2,0>,<1,2>,<2,1>的坐标代入不等式组可知只有点<0,0>,<1,1>,<1,0>,<2,1>四个点在集合N内,所以,答案为C．
    1.1.11定义集合运算：A☉B＝{z|z＝xy<x＋y>,x∈A,y∈B},设集合A＝{0,1},B＝{2,3},则集合A☉B的所有元素之和为．
     0 6 12 18
    解析 由已知可得A☉B＝{0,6,12},所以,A☉B中所有元素之和为18,答案为D． 1.1.12设⊕是R上的一个运算,A是R的非空子集,若对任意a,b∈A,有a⊕b∈A,则称A对运算⊕封闭．下列数集对加法,减法,乘法和除法<除数不等于零>四则运算都封闭的是．
     自然数集 整数集 有理数集 无理数集
    解析 任意两个自然数或整数的商不一定是自然数或整数,任意两个无理数的积不一定是无理数,而任意两个有理数的和、差、积、商一定都是有理数,所以,有理数集对加法,减法,乘法和除法<除数不等于零>四则运算都封闭的,答案为C．
    1.1.13集合M＝{x|a1x>b1},N＝{x|a2x>b2},其中常数a1b1a2b2≠0,则"的．
     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    "是"M＝N"解析 若a1＝b1＝1,a2＝b2＝－1,则有,此时,M＝{x|x>1},N＝{x|x<1},M≠N；
    2 / 142
    若M＝N,则必有a1a2>0,于是,M＝,N＝,
    或者,M＝,N＝,于是,,即,
    所以,""是"M＝N"的必要不充分条件,答案为B．
    2    21.1.14已知集合M＝{x|x≤a＋b},其中a,b是常数．给出下列四个命题： ① 2ab一定属于M② 2ab一定不属于M ③ －2ab一定属于M④ －2ab一定不属于M
    其中正确命题的序号是<写出所有正确命题的序号>．
    22222解析 由<a－b>≥0和<a＋b>≥0对任意a,b∈R恒成立可得2ab≤a＋b,－2ab≤a2＋b,所以,2ab∈M,－2ab∈M,在上述四个命题中,①和③是正确的．
    1.1.15已知集合A是非零实数集的子集,并且有如下性质：对任意x∈A,必有3－∈A．问：
    <1> 集合A可否有且仅有一个元素?如果可以,求出所有满足要求的集合A；若不可以,则说明理由；
    <2> 集合A可否有且仅有两个元素?如果可以,求出所有满足要求的集合A；若不可以,则说明理由．
    解析 <1> 若集合A中有且仅有一个元素x,则3－＝x,即x－3x＋2＝0,解得x＝1或x＝2,所以,集合{1}和{2}是两个满足要求的单元集．
    <2> 集合{1,2}是满足要求的二元集．若集合A＝{a,b}是满足要求的二元集,并且2即则a＝b,矛盾,所以,满足要求的二元集只能是{1,2}．
    1.1.16同时满足{1}A⊆{1,2,3,4,5},且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是．
     5 6 7 8
    解析 若A为二元集,则A可为{1,2}、{1,4}；若A为三元集,则A可为{1,2,4}、{1,3,5}；若A为四元集,则A可为{1,2,3,5}、{1,3,4,5}；若A为五元集,则A可为{1,2,3,4,5},所以,共有7个符合条件的集合,答案为C．
    1.1.17对于集合A和B,当AB时,下列集合之间的关系一定不能成立的是．     ∅⊆A ∅B B＝∅ A＝∅
    解析 由于不存在集合是空集的真子集,所以,由AB可得B≠∅,所以,答案为C．
    3 / 142
    1.1.18下列各组集合中,M与P表示同一个集合的是．     M＝{<1,－3>},P＝{<－3,1>} M＝∅,P＝{0}
    22 M＝{y|y＝x＋1,x∈R},P＝{<x,y>|y＝x＋1,x∈R}
    22 M＝{y|y＝x＋1,x∈R},P＝{t|t＝<y－1>＋1,y∈R}
    解析 <1,－3>与<－3,1>是平面直角坐标系中两个不相同的点；集合{0}中有一个元素,它不是空集．
    22集合M＝{y|y＝x＋1,x∈R}是二次函数y＝x＋1的因变量的集合,它是一个数集,而集2合P＝{<x,y>|y＝x＋1,x∈R}表示平面直角坐标系中的一条抛物线,它是点的集合．
    22集合M＝{y|y＝x＋1,x∈R}＝{t|t＝<y－1>＋1,y∈R}＝{y|y≥1},所以,答案为D． 1.1.19写出集合A＝{<x,y>|x＋y＝2且x＋y＝0}的所有子集：．
    解析 集合A＝{<1,－1>,<－1,1>},所以,A的所有子集是∅,{<1,－1>},{<－1,1>},{<1,－1>,<－1,1>}．
    1.1.20用适当的方式写出下列集合并化简：
    2<1> 方程x＋2＝0的全体实数解组成的集合：；
    <2> 函数y＝3x＋2,1≤x≤3的所有因变量组成的集合：； <3> 函数y＝－x＋4x＋3,x∈R的所有因变量组成的集合：．
    22解析 <1> 方程x＋2＝0的全体实数解组成的集合是{x|x＋2＝0,x∈R}＝∅； <2> 函数y＝3x＋2,1≤x≤3的所有因变量组成的集合是{y|y＝3x＋2,1≤x≤3}＝{y|5≤y≤11}；
    22<3> 函数y＝－x＋4x＋3,x∈R的所有因变量组成的集合是{y|y＝－x＋4x＋3,x∈R}＝{y|y≤7}．
    21.1.21已知集合{x|ax＋2x＋1＝0,a∈R,x∈R}中有且仅有一个元素,则a的值是．
    2解析 要使得集合{x|ax＋2x＋1＝0,a∈R,x∈R}中有且仅有一个元素,则a＝0或Δ＝22－4a＝0,所以,a＝0或a＝1．
    2    2    21.1.22关于x的不等式≤的解集是A,关于x的不等式x－3<a＋21>x＋2<3a＋1>≤0 <其中a∈R>的解集是B,求使A⊆B的a的取值范围．
    解析
    不等式    2≤的解集A＝[2a,a＋1]．
    2不等式x－3<a＋1>x＋2<3a＋1>≤0即为<x－2><x－3a－1>≤0． 若a≥,则B＝[2,3a＋1]；若a<,则B＝[3a＋1,2]．
    由A⊆B得或解得1≤a≤3或a＝－1．
    所以,a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3．
    2221.1.23已知集合A＝{x|x－3x＋2＝0},B＝{x|x－ax＋<a－1>＝0},C＝{x|x－bx＋2＝0,x∈R},若B⊆A,C⊆A,求实数a,b应满足的条件．
    2解析 集合A＝{1,2},而x－ax＋<a－1>＝0即为<x－1><x－a＋1>＝0,若a－1＝1,即4 / 142
    a＝2,则B＝{1}满足；若a－1≠1,即a≠2,则B＝{1,a－1},由B⊆A知a－1＝2,即a＝3．对于集合C,由C⊆A知,若C＝∅,则Δ＝<－b>－8<0,解得－2Δ＝<－b>－8＝0,此时C＝{22<b<2；若C为单元集,则}或C＝{－},与C⊆A矛盾；若C＝{1,2},即C中方程两<b<2或b＝3．
    根为1和2,则b＝3．所以,a,b应满足的条件是a＝2或a＝3而－221.1.24已知集合A＝{<x,y>|y＝－x＋mx－1},B＝{<x,y>|x＋y＝3,0≤x≤3},若有且仅有一个点同时属于集合A和B,求实数m的取值范围．
    解析 由已知得抛物线与线段有且仅有一个交点．由得
    x2－<1＋m>x＋4＝0,该方程在区间[0,3]上只有一个解．
    2若Δ＝<m＋1>－16＝0,则m＝3或m＝－5,如果m＝3,解得x＝2；如果m＝－5,解得x＝－2∉[0,3],于是m＝－5舍去．
    2若Δ>0,则记f<x>＝x－<1＋m>x＋4,此时,只需f<3><0,即9－3<m＋1>＋4<0,解得m>．
    所以,m的取值范围是m>或m＝3．
    1.1.25设集合M＝{1,2,3,4,5,6},S1,S2,…,Sk都是M的含两个元素的子集,且满足：对任意的Si＝{ai,bi},Sj＝{aj,bj}<i≠j,i,j∈{1,2,3,…,k}>,都有min≠minx,y}表示两个数x,y中的较小者>,则k的最大值是．
     10 11 12 13
    解析 集合M的所有两元子集是{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{2,3},{2,4},{2,5},{2,6},{3,4},{3,5},{3,6},{4,5},{4,6},{5,6},共计15个,其中,不同min <i＝1,2,…,15>有共11个,所以,答案为B．
    1.1.26设P是一个数集,且至少含有两个数,若对任意a,b∈P,都有a＋b,a－b,ab,∈P <除数b≠0>,则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域；数集F＝{a＋b是数域．有下列命题：
    ① 整数集是数域；② 若有理数集Q⊆M,则数集M必为数域； ③ 数域必为无限集；④ 存在无穷多个数域．
    其中正确的命题的序号是<把你认为正确的命题的序号填上>．
    |a,b∈Q}也解析 因为任意两个整数的商不一定是整数,故命题①不正确；当集合M＝Q∪{}时,5 / 142
    由于1∈Q,而∉M,故命题②不正确；由数域P的定义知,必有＝1∈P,从而2∈P,则3∈P,…,所以,整数集Z⊆P,故数域P中必有无穷多个元素,命题③正确；由于数集F＝{a＋b|a,b∈Q}是数域,则将其中的换成,…等仍为数域,所以数域有无穷多个,命题④正确．
    所以,在上述四个命题中,正确命题的序号是③,④．
    1.1.27非空集合G关于运算⊕满足：<1> 对任意a,b∈G,都有a⊕b∈G；<2> 存在e∈G,使得对一切a∈G,都有a⊕e＝e⊕a＝a,则称G关于运算⊕为"融洽集"．现给出下列集合和运算：
    ①G＝{非负整数},⊕为整数的加法； ②G＝{偶数},⊕为整数的乘法；
    ③G＝{平面向量},⊕为平面向量的加法； ④G＝{二次三项式},⊕多项式的乘法； ⑤G＝{虚数},⊕为复数的乘法．
    其中G关于运算⊕为"融洽集"的是<写出所有"融洽集"的序号>．
    解析 对于非负整数集以及加法运算,两个非负整数之和一定是非负整数,其中e＝0；对于偶数集和乘法运算,其中不存在满足要求的元素e；对于平面向量集合以及向量的加法运算,任意两个平面向量之和仍为该平面内的向量,e＝；对于二次三项式集合以及多项式的乘法,其中不存在满足要求的元素e；对于虚数集和复数的乘法运算,其中不存在满足要求的元素e,所以,集合G关于运算⊕为"融洽集"的是①和③．
    221.1.28已知集合S＝{x|x＝m＋n,m,n∈Z}．求证：若a,b∈S,则ab∈S．
    2222222解析 由a,b∈S得存在整数p,q,r,s,使得a＝p＋q,b＝r＋s,则ab＝<p＋q><r＋s2>＝p2r2＋q2s2＋p2s2＋q2r2＝<pr＋qs>2＋<ps－qr>2,其中pr＋qs和ps－qr都是整数,所以,ab∈S．
    1.1.29已知集合A＝{x|x＝12a＋8b,a,b∈Z},B＝{y|y＝20c＋16d,c,d∈Z}．判断集合A与集合B之间存在什么关系,并说明理由．
    解析 若y∈B,即y＝20c＋16d＝12c＋8<c＋2d>,因为c,d∈Z,则有c＋2d∈Z,得y∈A,于是B⊆A；若x∈A,则x＝12a＋8b＝60a－48a＋40b－32b＝20<3a＋2b>＋16<－3a－2b>,因为a,b∈Z,则有3a＋2b,－3a－2b∈Z,于是A⊆B．所以,A＝B．
    21.1.30若f<x>＝x＋ax＋b,a,b∈R,A＝{x|x＝f<x>,x∈R},B＝{x|x＝f[f<x>],x∈C}．
    <1> 写出集合A与B之间的关系,并证明；<2> 当A＝{－1,3}时,用列举法表示集合B．
    解析 <1> 任取x∈A,则f<x>＝x,于是,f[f<x>]＝f<x>＝x,即有x∈B,所以有A⊆B,但由于x＝f[f<x>]必为四次方程,在复数集C上有4个根,所以AB．
    <2> 当A＝{－1,3}时,即方程x＋ax＋b＝x的两根为－1、3,于是－1＋3＝－<a－1>,<222－1>×3＝b,所以a＝－1,b＝－3,即f<x>＝x－x－3,此时,集合B中的方程为<x－x－3>－<x－x－3>－3＝x,即<x－x－3>－x＝0,<x－3><x－2x－3>＝0,所以,B＝{－1,3,}．
    2    2    2    2    2    2    2,－    6 / 142
    1.1.31已知A＝{<x,y>|x＋y＋4x＋4y＋7＝0,x,y∈R},B＝{<x,y>|xy＝－10,x,y∈R}．
    <1> 对于直线m和直线外的一点P,用"m上的点与点P距离的最小值"定义点P到直线m的距离与原有的点线距离概念是等价的．试以类似的方式给出一个点集A与B的"距离"的定义；
    <2> 依照<1>中的定义求出A与B的"距离"．
    解析 <1> 定义：在点集A,B中分别任取一点,所取两点间的距离若有最小值,则此最小值称为点集A与B的"距离"．
    22<2> 集合A中的点构成一个圆,其方程是<x＋2>＋<y＋2>＝1,圆心C<－2,－2>,半径22222为1,设P<x,y>为曲线xy＝－10上任意一点,则|PC|＝<x＋2>＋<y＋2>＝x＋y＋4<x＋y>222＋8＝<x＋y>－2xy＋4<x＋y>＋8＝<x＋y>＋4<x＋y>＋28＝<x＋y＋2>＋24．
    22当且仅当24,|PC|最小值＝2即,所以,A与B的"距离"为2或－1．
    时,|PC＝二、集合的运算
    1.1.32已知全集I＝{a1,a2,a3,a4,a5,a6},集合A＝{a1,a3,a4,a5},B＝{a1,a4},则A∩∁IB＝．
     {a1,a4} {a2,a6}
    {a3,a5} {a2,a3,a5,a6}
    解析∁IB＝{a2,a3,a5,a6},所以,A∩∁IB＝{a3,a5},答案为C．
    21.1.33若集合M＝{x||x|≤2},N＝{x|x－3x＝0},则M∩N＝．     {3} {0} {0,2} {0,3}
    解析M＝[－2,2],N＝{0,3},所以M∩N＝{0},答案为B． 1.1.34设A,B,I均为非空集合,且满足A⊆B⊆I,则下列各式中错误的是．     <∁IA>∪B＝I <∁IA>∪<∁IB>＝I A∩<∁IB>＝∅
    <∁IA>∩<∁IB>＝<∁IB>
    解析 集合A,B,I的关系如图所示,可知<∁IA>∪<∁IB>＝∁IA≠I,所以,答案为B． 1.1.35设全集I＝{2,3,5},A＝{|a－5|,2},∁IA＝{5},则a的值为．     2 8 2或8 －2或8
    解析 由A∪∁IA＝I得|a－5|＝3,所以a＝2或8,答案为C．
    2221.1.36设集合M＝{x|a1x＋b1x＋c1＝0},N＝{x|a2x＋b2x＋c2＝0},则方程<a1x＋b1x＋c1><a2x2＋b2x＋c2>＝0的解集是．
     M∩N M∪N N M
    2222解析 由<a1x＋b1x＋c1><a2x＋b2x＋c2>＝0可得<a1x＋b1x＋c1>＝0或<a2x＋b2x＋c2>＝0,所以,该方程的解集是M∪N,答案为B．
    1.1.37若集合M＝{<x,y>|x＋y＝0},P＝{<x,y>|x－y＝2},则M∩P＝．     <1,－1> {x＝1}∪{y＝－1} {1,－1} {<1,－1>}
    解析 由得所以,M∩P＝{<1,－1>},答案为D．
    7 / 142
    1.1.38满足M⊆{a1,a2,a3,a4},且M∩{a1,a2,a3}＝{a1,a2}的集合M的个数是．     1 2 3 4
    解析 由M∩{a1,a2,a3}＝{a1,a2}知a1、a2∈M,a3∉M,a4可以在集合M也可以不在集合M中,所以,满足要求的集合M的个数是2个．答案为B．
    1.1.39若A,B,C为三个集合,A∪B＝B∩C,则一定有．     A⊆C C⊆A A≠C A＝∅
    解析 任取x∈A,则x∈A∪B＝B∩C,于是,x∈B∩C,则x∈C,所以,A⊆C,答案为A． 1.1.40已知A＝{x|x≤7},B＝{x|x<2},C＝{x|x>5},则A∩B＝；A∪C＝；A∩B∩C＝． 解析 由已知得A∩B＝{x|x<2},A∪C＝R,A∩B∩C＝∅．
    1.1.41若集合A＝{x|－2<x<1或x>1},B＝{x|a≤x≤b}满足A∪B＝{x|x>－2},A∩B＝{x|1<x≤3},则a＝；b＝．
    解析 在数轴上画出集合A∪B和A∩B可得a＝1,b＝3．
    1.1.42全集U的子集A、B、C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A、B、C,试用集合A、B、C的运算结果表述图中的阴影所代表的集合：．
    解析 图中的阴影部分表示集合∁UA∩B∩C．

    1.1.43已知a>b>0,全集I＝R,集合M＝＝,P＝{x|b<x<,N},则下列关系式中正确的是．
     P＝M∩∁IN P＝∁IM∩N P＝M∪N P＝M∩N

    解析 由a>b>0得b<<<a,将集合M,N表示在数轴上可知P＝M∩∁IN,答案为A．
    1.1.44对于集合A,B,C,"A∩C＝B∩C"是"A＝B"的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 若A＝B,则显然有A∩C＝B∩C；反之,若C＝{1},A＝{1,2},B＝{1,3},此时A∩C＝B∩C＝{1},但A≠B,所以,"A∩C＝B∩C"是"A＝B"的必要不充分条件,答案为B．
    1.1.45设全集I＝{<x,y>|x,y∈R},集合M＝,N＝{<x,y>|y≠x＋1},那么∁I<M∪N>＝．
     ∅ {<2,3>}
    <2,3> {<x,y>|y＝x＋1}
    解析 集合I表示平面上所有的点,集合M表示直线y＝x＋1上除<2,3>外的所有点,集合N表示不在直线y＝x＋1上的所有点,所以M∪N表示平面上除<2,3>外的所有点,所以,∁I<M∪N>是集合{<2,3>},答案为B．
    1.1.46若全集I＝R,f<x>,g<x>都是定义域为R的函数,P＝{x|f<x><0},Q＝8 / 142
    {x|g<x>≥0},则不等式组的解集用P,Q表示为．
    解析 由已知可得不等式g<x><0的解集是∁IQ,所以,不等式组的解集是P∩∁IQ． 1.1.47设P表示△ABC所在平面上的点,则集合{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝．
    解析 由已知得点P到△ABC三顶点等距,所以,{P|PA＝PB}∩{P|PB＝PC}＝{△ABC的外心}．
    221.1.48集合A＝{<x,y>|ax＋y＝1},B＝{<x,y>|x＋ay＝1},C＝{<x,y>|x＋y＝1},分别求使得集合<A∪B>∩C为含有两个元素和三个元素的集合的a的值．
    解析 集合A、B分别表示过定点<0,1>和<1,0>的两条直线,集合C表示单位圆,且<0,1>,<1,0>∈C,若<A∪B>∩C含有两个元素,则两直线重合或同时与圆相切,可得a＝1或a＝0．若<A∪B>∩C含有三个元素,即表明两条直线与圆有且仅有三个公共点,由于两直线或同时与圆相切,或同时与圆不相切,则必须有上述两条直线的交点在圆上,两直线的交点是,则＝1,所以,a＝－1±．
    1.1.49若集合A是一个有限集,我们以f<A>表示该集合中元素的个数．例如：f<∅>＝0,f<{a}>＝1等等．
    2<1> 已知集合M＝{<x,y>|y＝x,x∈R},若集合N＝{<x,y>|y＝b},其中b是实常数,求f<M∩N>的值；
    2<2> 已知集合M＝{<x,y>|y＝x,x∈Z},若集合P＝{<x,y>|y＝x＋p},其中p是实常数,2如果存在整数k使得<k,k>∈M∩P,求证：f<M∩P>＝2．
    解析 <1> 若b<0,则f<M∩N>＝0；若b＝0,则f<M∩N>＝1；若b>0,则f<M∩N>＝2．
    222<2> 由已知可得关于x的方程x＝x＋p有一个根是k,则k＝k＋p,即p＝k－k,于是,22方程x＝x＋p即为x－x－<k－1>k＝0,即<x－k><x＋k－1>＝0,解得x＝k或x＝1－k,所22以,M∩P＝{<k,k>,<1－k,<1－k>>},由k是整数得k≠1－k,则f<M∩N>＝2．
    21.1.50设全集为R,A＝{x|x－5x－6>0},B＝{x‖x－5|<a}<a是常数>,且11∈B,则．
     ∁RA∪B＝R A∪∁RB＝R ∁RA∪∁RB＝R A∪B＝R
    解析 集合A＝{x|x>6或x<－1},由11∈B得|11－5|<a,即a>6,集合B＝<5－a,5＋a>,此时5－a<－1,5＋a>6,所以,A∪B＝R,答案为D．
    21.1.51已知P＝{y|y＝x＋1,x∈R},Q＝{y|y＝x＋1,x∈R},则P∩Q＝．     {<0,1>,<1,0>} {0,1} {1,2} {y|y≥1}
    2解析 集合P,Q分别是函数y＝x＋1,y＝x＋1的值域,于是P＝[1,＋∞>,Q＝R,所以P∩Q＝[1,＋∞>,答案为D．
    1.1.52设A、B是两个非空集合,定义A与B的"差集"为A－B＝{x|x∈A,且x∉B},则A－<A－B>＝．
     B A∩B A∪B A
    解析 由"差集"的定义可知集合A–B如图中阴影部分所示,所以,A－<A－B>＝A∩B,答案为B．

    1.1.53已知全集U＝A∪B中有m个元素,<∁UA>∪<∁UB>中有n个元素,若A∩B非空,则A∩B的元素个数为．
    9 / 142
    mn m＋n n－m m－n
    解析 由文氏图可得A∩B的元素个数为m－n,答案为D．

    **1.1.54设全集U＝N,集合A＝{x|x＝2n,n∈N},B＝{x|x＝3n,n∈*N},则∁U<A∪B>＝．
    **     {x|x＝6n,n∈N} {x|x＝6n±1,n∈N}
    ** {x|x＝6n±2,n∈N} {x|x＝6n±3,n∈N}
    ***解析 对于x＝2n,n∈N,若n＝3k <k∈N>,则x＝6k；若n＝3k－1 <k∈N>,则x＝6k**－2；若n＝3k－2 <k∈N>,则x＝6k－4,对于x＝3n,若n＝2k <k∈N>,则x＝6k；若n＝2k**－1 <k∈N>,则x＝6k－3,所以,∁U<A∪B>＝ {x|x＝6n±1,n∈N},答案为B．
    1.1.55我们称<P,Q>为"有序集合对",其中P,Q是集合,当P≠Q时,认为<P,Q>与<Q,P>是两个不同的"有序集合对"．那么,使得A∪B＝{a,b}成立的"有序集合对"<A,B>共有个．
     9 4 7 16
    解析 若A＝∅,则只能B＝{a,b}；若A＝{a},则B可以为{b}或{a,b}；若A＝{b},则B可以为{a}或{a,b}；若A＝{a,b},则B可以是∅,{a},{b},{a,b}这四个集合中的某一个,所以,使得A∪B＝{a,b}成立的"有序集合对"<A,B>共有9个,答案为A．
    1.1.56有限集合S中元素的个数记做card<S>．设A,B都为有限集合,给出下列命题： ①A∩B＝∅的充要条件是card<A∪B>＝card<A>＋card<B>； ②A⊆B的必要条件是card<A>≤card<B>；
    ③A⊈B的充分条件是card<A>≤card<B>；
    ④A＝B的充要条件是card<A>＝card<B>, 其中真命题的序号是．
     ③,④ ①,② ①,④ ②,③
    解析 用文氏图可知,当A∩B＝∅时,必有card<A∪B>＝card<A>＋card<B>． 反之,若card<A∪B>＝card<A>＋card<B>,也必有A∩B＝∅． 于是,card<A∪B>＝card<A>＋card<B>是A∩B＝∅的充要条件； 若A⊆B,则card<A>≤card<B>；反之,当card<A>≤card<B>时,未必有A⊆B,于是,card<A>≤card<B>是A⊆B的必要条件；当card<A>≤card<B>时,有可能有A⊆B,于是,card<A>≤card<B>是A⊈B的既不充分,也不必要条件；card<A>＝card<B>是A＝B的必要不充分条件,所以,答案为B．
    1.1.57若非空集合A,B,C满足A∪B＝C,且B不是A的子集,则．     x∈C是x∈A的充分条件但不是必要条件 x∈C是x∈A的必要条件但不是充分条件 x∈C是x∈A的充要条件
    x∈C既不是x∈A的充分条件,也不是x∈A的必要条件
    解析 若x∈A,则一定有x∈A∪B＝C,于是,x∈C是x∈A的必要条件；如果x∈C＝A∪B时必有x∈A,则C⊆A,即A∪B⊆A,于是,任取y∈B⊆A∪B⊆A,则y∈A,B⊆A,矛盾,所以,x∈C是x∈A的必要条件但不是充分条件,答案为B．
    221.1.58已知集合M＝{2,3,m＋4m＋2},P＝{0,7,m＋4m－2,2－m}满足M∩P＝{3,7},则实数m的值是．
    22解析 由已知得7∈M,则m＋4m＋2＝7,解得m＝1或m＝－5．若m＝1,则m＋4m－2＝3,2－m＝1．若m＝－5,2－m＝7,与集合中元素的互异性矛盾,所以,m的值是1．
    1.1.59如果全集U＝{a,b,c,d,e,f},A＝{a,b,c,d},A∩B＝{a},∁U<A∪B>＝{f},则B＝．
    解析 由表示集合U,A,B的图形可得只有e∈<∁UA>∩B,所
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    以,B＝{a,e}．
    1.1.60如果全集U含有12个元素,P,Q都是U的子集,P∩Q中含有2个元素,∁UP∩∁UQ含有4个元素,∁UP∩Q含有3个元素,则P含有个元素；Q含有个元素．
    解析 由表示集合U,P,Q的图形可得P,Q中各有5个元素．
    1.1.61集合A＝{x|x＝5k＋3,k∈N},B＝{x|x＝7k＋2,k∈N},则A∩B中的最小元素是．
    解析 由已知可得集合A＝{3,8,13,18,23,28,33,…},B＝{2,9,16,23,30,…},所以,A∩B中的最小元素是23．
    1.1.62已知集合A＝{x|－8≤x≤6},B＝{x|x≤m},若A∪B≠B且A∩B≠∅,则m的取值范围是．

    解析 将集合A,B表示在数轴上可知m的取值范围是－8≤m<6．
    1.1.63已知常数a是正整数,集合A＝Z},则集合A∪B中所有元素之和为．
    ,B＝{x‖x|<2a,x∈解析 由|x－a|<a＋可得－<x<2a＋,而x∈Z,于是,A＝{0,1,2,3,…,2a－1,2a},由|x|<2a得－2a<x<2a,又x∈Z,则B＝{－<2a－1>,－<2a－2>,…,<2a－2>,<2a－1>}．
    于是,A∪B＝{－<2a－1>,－<2a－2>,…,－1,0,1,…,<2a－2>,<2a－1>,2a},其中所有元素之和为2a．
    1.1.64我们将b－a称为集合{x|a≤x≤b}的"长度"．若集合M＝,N＝值是．
    ,且M和N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,则集合M∩N的"长度"的最小
    解析 集合M和N的"长度"分别是和,又M和N都是集合{x|0≤x≤1}的子集,于是,当m＝,n＝0时,集合M∩N的"长度"取得最小值,答案为B．
    2＋1.1.65已知集合A＝{x|x＋<m＋2>x＋1＝0,x∈R},且A∩R＝∅,求实数m的取值范围．
    2解析 若A＝∅,则Δ＝<m＋2>－4<0,解得－4<m<0；
    若A≠∅,则由x＋<m＋2>x＋1＝0没有正数根得2解得m≥0．所以,m的取值范围是m>－4．
    221.1.66若集合A＝{x|x－2ax＋a＝0,x∈R},B＝{x|x－4x＋a＋5＝0,x∈R}． <1> 若A＝B＝∅,求a的取值范围；
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    <2> 若A和B中至少有一个是∅,求a的取值范围；
    <3> 若A和B中有且仅有一个是∅,求a的取值范围．
    2解析 <1> 若A＝∅,则4a－4a<0,解得0<a<1．若B＝∅,则16－4<a＋5><0,解得a>－1,所以,使A＝B＝∅成立的a的取值范围是0<a<1．
    <2> 设 A'＝<0,1>,B'＝<－1,＋∞>,则使A和B中至少有一个是∅的实数a∈A'∪B',即使A和B中至少有一个是∅的实数a的取值范围是a>－1．
    <3> 使A和B中有且仅有一个是∅的a∈[A'∩<∁RB'>]∪[<∁RA'>∩B'],所以,使A和B中有且仅有一个是∅的a的取值范围是－1<a≤0或a≥1．
    §1–2 简易逻辑
    一、命题
    1.2.1如果一个命题的逆命题是真命题,那么这个命题的．     否命题必是真命题 否命题必是假命题 原命题必是假命题 逆否命题必是真命题
    解析 一个命题的逆命题与否命题真假相同,答案为A．
    321.2.2命题"对任意的x∈R,x－x＋1≤0"的否定是．
    32     不存在x∈R,x－x＋1≤0
    32 存在x∈R,x－x＋1≤0
    32 存在x∈R,x－x＋1>0
    32 对任意的x∈R,x－x＋1>0
    3232解析"对任意的x∈R,x－x＋1≤0"的否定是"存在x∈R,使得x－x＋1>0",答案为C． 1.2.3与命题"若a∉M,则b∉M"等价的命题是．     若b∈M,则a∉M 若b∉M,则a∈M 若b∈M,则a∈M 若a∉M,则b∈M
    解析 逆否命题与原命题互为等价命题,原命题的逆否命题为"若b∈M,则a∈M",所以,答案为C．
    21.2.4设f<x>是定义在正整数集上的函数,且f<x>满足："当f<k>≥k成立时,总可以2推出f<k＋1>≥<k＋1>成立",那么,下列命题总成立的是．
    2     若f<3>≥9成立,则当k≥1时,均有f<k>≥k成立
    2 若f<5>≥25成立,则当k≤5时,均有f<k>≥k成立
    2 若f<7><49成立,则当k≥8时,均有f<k><k成立
    2 若f<4>＝25成立,则当k≥4时,均有f<k>≥k成立
    22解析 由25>16得f<4>＝25使得f<4>≥4成立,由已知可得当k≥4时,均有f<k>≥k成立,答案为D．
    21.2.5命题"若x<1,则－1<x<1"的逆否命题是．
    22     若x≥1,则x≥1或x≤－1 若－1<x<1,则x<1
    22 若x>1或x<－1,则x>1 若x≥1或x≤－1,则x≥1
    22解析 命题"若x<1,则－1<x<1"的逆否命题是"若x≥1或x≤－1,则x≥1",答案为D．
    1.2.6在原命题"若A∪B≠B,则A∩B≠A"与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数是．
    解析 原命题的逆否命题为"若A∩B＝A,则A∪B＝B"．当A∩B＝A时,任取x∈A＝A∩B,必有x∈B,则A⊆B,必有A∪B＝B成立,所以,逆否命题和原命题都是真命题．
    原命题的否命题为"若A∪B＝B,则A∩B＝A",同上,可知否命题和逆命题也都是真命题．所以,在这四个命题中,真命题的个数是4．
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    1.2.7若a,b都是非零实数,证明：|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．
    222222解析 若|a|＋|b|＝|a＋b|,则<|a|＋|b|>＝|a＋b|,a＋b＋2|a||b|＝a＋b＋2ab,于是,|ab|＝ab,可得ab>0；
    若ab>0,则 或于是,|a|＋|b|＝|a＋b|．
    所以,当a,b都是非零实数时,|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．
    1.2.8已知A和B都是非空集合,证明："A∪B＝A∩B"与"A＝B"是等价的．
    解析 若A∪B＝A∩B,则任取x∈A,必有x∈A∪B＝A∩B,于是,x∈A∩B,则x∈B,所以,A⊆B,同理可得B⊆A,于是,A＝B；若A＝B,则显然有A∪B＝A∩B,所以,"A∪B＝A∩B"与"A＝B"是等价的．
    1.2.9已知a,b,c是实数,则与"a,b,c互不相等"等价的是．     a≠b且b≠c <a－b><b－c><c－a>≠0
    222222 <a－b>＋<b－c>＋<c－a>≠0 a,b,c互不相等
    解析 由于不相等关系不具有传递性,当a≠b且b≠c,a与c可能相等；
    222由<a－b>＋<b－c>＋<c－a>≠0可得a＝b,b＝c,c＝a中至少有一个不成立,即<a－b>2＋<b－c>2＋<c－a>2≠0等价于"a,b,c不全相等",而不能等价于"a,b,c互不相等"；
    a＝－1,b＝0,c＝1,此时a,b,c互不相等,但a2＝c2,所以,"a,b,c互不相等"与"a2,b2,c2互不相等"不是等价的；
    a≠b等价于a－b≠0,"a,b,c互不相等"等价于a－b≠0,b－c≠0,c－a≠0同时成立,所以,"a,b,c互不相等"与"<a－b><b－c><c－a>≠0"等价,答案为B．
    1.2.10命题"若ab＝0,则a、b中至少有一个为零"的逆否命题为． 解析 原命题的逆否命题为"若a、b均不为零,则ab≠0"．
    22221.2.11给出下列四个命题：① 若x＝y,则x＝y；② 若x≠y,则x≠y；③ 若x2≠y2,则x≠y；④ 若x≠y且x≠－y,则x2≠y2,其中真命题的序号是．
    222解析 由x＝y可得x＝y或x＝－y,命题①不成立；若x＝－y≠0,此时x≠y,而x＝y2,于是,命题②不成立；若x2≠y2时有x＝y,则可得x2＝y2,矛盾,于是,命题③成立；对于x≠y且x≠－y,如果x2＝y2,则有x＝y或x＝－y,即x＝y与x＝－y至少有一个成立,矛盾,于是,命题④成立．所以,上述四个命题中,真命题的序号是③和④．
    221.2.12已知命题p：方程x＋mx＋1＝0有两个不等的负实根．命题q：方程4x＋4<m－2>x＋1＝0没有实根．若"p或q"为真,"p且q"为假,求实数m的取值范围．
    解析 当命题p为真时,应有解得m>2．当命题q为真时,应有Δ2＝16<m－2>－16<0,解得1<m<3．于是,使"p或q"为真的m的取值范围是m>1,使"p且q"为假的m的取值范围是m≤2或m≥3,所以,使两者同时成立的m的取值范围是m≥3或1<m≤2．
    1.2.13某人要在一张3×3的表格中填入9个数<填的数有正有负>,他要a11 a12 a13
    使得表中任意一行的三个数之和为正,而任意一列的三个数之和为负．求a21 a22 a23
    证：他一定不能写出满足要求的数表．
    a31 a32 a33 解析 若此人能写出满足要求的数表,则由a11＋a12＋a13>0,a21＋a22＋a23>0,a31＋a32＋a33>0可得数表中的九个数之和为正；同时,又有a11＋a21＋a31<0,a12＋a22＋a32<0,a13＋a23＋a33<0,则数表中的九个数之和为负,矛盾,所以,此人一定不能写出满足要求的数表．
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    1.2.14设a,b∈R,A＝{<x,y>|y＝ax＋b,x∈Z},B＝{<x,y>|y＝3x＋15,x∈Z},C＝22{<x,y>|x＋y≤144}都是平面xOy内的点的集合．求证：不存在a,b,使得A∩B≠∅,且点<a,b>∈C同时成立．
    22解析 设满足要求的a,b存在,则P<a,b>∈C,即a＋b≤144．
    2由得ax＋b－<3x＋15>＝0,在aOb平面内,原点到直线ax＋b－<3x22＋15>＝0的距离是＝3≥12,其中等号当且仅当32,即x＝3时成立,但它与x∈Z矛盾,所以,使A∩B≠∅成立的<a,b>必有
    >12,与a＋b≤144矛盾,所以,满足要求的a,b不存在．
    2    21.2.15中学数学中存在许多关系,比如"相等关系","平行关系"等等,如果集合A中元素之间的一个关系"~"满足以下三个条件：
    <1> 自反性：对于任意a∈A,都有a~a；
    <2> 对称性：对于a,b∈A,若a~b,则有b~a；
    <3> 传递性：对于a,b,c∈A,若a~b,b~c,则有a~c,则称"~"是集合A的一个等价关系,例如："数的相等"是等价关系,而"直线的平行"不是等价关系<自反性不成立>,请你再列出三个等价关系：．
    解析 由集合、角、向量的性质可知,"集合相等"、"角相等"、"向量相等"都是满足要求的等价关系．
    1.2.16已知函数f<x>在R上是增函数,a,b∈R．写出命题"若a＋b>0,则f<a>＋f<b>>f<－a>＋f<－b>"的逆命题,并判断其真假．若所写命题是真命题,给出证明；若所写命题是假命题,给出反例．
    解析 所求逆命题为：已知函数f<x>在R上是增函数,a,b∈R．若f<a>＋f<b>>f<－a>＋f<－b>,则a＋b>0．该命题是真命题．证明如下：
    若a＋b≤0,即a≤－b,由函数f<x>在R上是增函数得f<a>≤f<－b>,同理f<b>≤f<－a>,由此可得f<a>＋f<b>≤f<－a>＋f<－b>,与已知条件矛盾．所以,a＋b>0．
    二、充分条件和必要条件
    1.2.17两个圆"周长相等"是"面积相等"的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 两个圆周长相等,则由2πr1＝2πr2得两圆半径r1＝r2,则两圆面积相等,反之亦然,所以,两个圆"周长相等"是"面积相等"的充要条件,答案为C．
    1.2.18P：四边形四条边长相等,Q：四边形是平行四边形,则P是Q的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 当四边形的四条边长相同时,它是菱形,一定是平行四边形；反之,一个平行四边形的四条边长不一定都相等,所以,P是Q的充分不必要条件,答案为A．
    1.2.19已知a,b,c,d都是实数,则"a＝b且c＝d"是"a＋c＝b＋d"的．     充分不必要条件 必要不充分条件
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    充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 对于实数a,b,c,d,如果a＝b且c＝d,则有a－b＝0,c－d＝0,则a＋c－<b＋d>＝<a－b>＋<c－d>＝0,于是,a＋c＝b＋d；反之,如果a＝1,b＝2,c＝4,d＝3,有a＋c＝b＋d,但此时a≠b,c≠d,所以,"a＝b且c＝d"是"a＋c＝b＋d"的充分不必要条件,答案为A．
    1.2.20已知a,b,c是实数,则"a＝b"是"ac＝bc"的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 如果a＝b,则a－b＝0,于是,ac－bc＝<a－b>c＝0,可得ac＝bc；反之,如果c＝0,a＝1,b＝2,此时有ac＝bc,但a≠b,所以,"a＝b"是"ac＝bc"的充分不必要条件,答案为A．
    1.2.21设m,n是整数,则"m,n均为偶数"是"m＋n是偶数"的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 如果m,n均为偶数,则m＋n一定是偶数；反之,如果m＝1,n＝3,m＋n＝4为偶数,但此时m和n都不是偶数,所以,"m,n均为偶数"是"m＋n是偶数"的充分而不必要条件,答案为A．
    1.2.22设集合A,B是全集U的两个子集,则AB是∁UA∪B＝U的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件
    既不充分也不必要条件

    解析 由表示集合U,A,B关系的图形可知当AB时必有∁UA∪B＝U成立,反之,当A＝B时,也有∁UA∪B＝U成立,即A是B的真子集不是∁UA∪B＝U成立的必要条件,所以,答案为A．
    1.2.23对于集合M和P,"x∈M或x∈P"是"x∈M∩P"的．     充分不必要条件 必要不充分条件
    充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 由表示集合M,P的图形可知当x∈M或x∈P时不一定有x∈M∩P,而当x∈M∩P时必有x∈M或x∈P,所以,"x∈M或x∈P"是"x∈M∩P"的必要不充分条件,答案为B．
    1.2.24如果x,y是实数,那么"cosx＝cosy"是"x＝y"的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 当cosx＝cosy时,不一定有x＝y,而当x＝y时,必有cosx＝cosy,所以,"cosx＝cosy"是"x＝y"的必要不充分条件,答案为B．
    1.2.25使不等式<1－|x|><1＋x>>0成立的充要条件为．     x<－1或x>1 －1<x<1
    x>－1且x≠1 x<1且x≠－1
    15 / 142
    解析 此不等式等价于或解得－1<x<1或x<－1,即为x<1且x≠－1,所以,答案为D．
    21.2.26一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是．     ab>0 ab<0 ac>0 ac<0
    解析 若一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一个正数根x1和一个负数根x2,则x1x2＝<0,2则ac<0；反之,若ac<0,一元二次方程的判别式Δ＝b－4ac>0,此方程一定有两个实数根,且两根之积为<0,这两个实数根一定是一个正数和一个负数,所以,一元二次方程ax＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是ac<0,答案为D．
    1.2.27"x>1"是"<1"的．
     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 解析 若x>1,则－1＝<0,即<1；反之,如果x<0,则有<1,此时,x>1不成立,所22以,"x>1"是"<1"的充分不必要条件,答案为A．
    21.2.28已知x是实数,则"x≠1"是"x－4x＋3≠0"的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    22解析 如果x＝3,则x≠1,此时x－4x＋3＝<x－1><x－3>＝0；反之,如果x－4x＋23≠0,即<x－3><x－1>≠0,则x≠3且x≠1,所以,"x≠1"是"x－4x＋3≠0"的必要不充分条件,答案为B．
    1.2.29"一个正整数的个位数字是5"是"这个正整数是5的倍数"的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 如果一个正整数的个位数是5,即此正整数一定可表示成10k＋5<k是非负整数>,它一定是5的倍数；反之,可写成10n<n是正整数>的正整数一定是5的倍数,但它的个位数不是5,所以,"一个正整数的个位数字是5"是"这个正整数是5的倍数"的充分不必要条件,答案为A．
    1.2.30对于集合A,B,下列四个命题中正确的是．
    "A不是B的子集"的充要条件是"对任意x∈A都有x∉B" "A不是B的子集"的充要条件是"A∩B＝∅"
    "A不是B的子集"的充要条件是"B不是A的子集" "A不是B的子集"的充要条件是"存在x∈A,使得x∉B"
    解析 由于A不是B的子集,则至少存在一个x0∈A有x0∉B,并不要求对任意的x∈A有x∉B,但是,对任意x∈A都有x∉B,则A一定不是B的子集,所以,"对任意x∈A都有x∉B"是"A不是B的子集"的充分不必要条件．
    若A不是B的子集,不一定有A∩B＝∅,例如A＝{1,2,3},B＝{2,3},反之,当A∩B＝∅时,不一定能推出A不是B的子集,例如A＝∅,则A必是B的子集,所以,"A∩B＝∅"是"A不是B的子集"的既不充分也不必要条件．
    16 / 142
    由A不是B的子集不一定能推出B不是A的子集,例如A＝{1,2,3},B＝{2,3},反之亦然,所以,"B不是A的子集"是"A不是B的子集"的既不充分也不必要条件．
    根据子集的概念可知"存在x∈A,使得x∉B"是"A不是B的子集"的充要条件． 所以,答案为D．
    221.2.31已知函数f<x>＝<a－1>x＋<a－1>x＋3,则f<x>>0对任意的x∈R恒成立的充要条件是．
    解析 当a＝1时,f<x>＝3>0恒成立．而当a＝－1时,f<x>＝－2x＋3不是对一切x∈R都有f<x>>0成立．
    当a≠±1时,使f<x>>0对一切x∈R都成立的充要条件是解得a>1或a<－,所以,使f<x>>0对任意的x∈R恒成立充要条件是a≥1或a<－．
    321.2.32证明："关于x的方程ax＋bx＋cx＋d＝0有一个根为－1"的充要条件是"a＋c＝b＋d"．
    3232解析 若a＋c＝b＋d,则方程ax＋bx＋cx＋d＝0即为ax＋bx＋cx＋a＋c－b＝0,于322是,a<x＋1>＋b<x－1>＋c<x＋1>＝0,<x＋1>[a<x－x＋1>＋b<x－1>＋c]＝0,所以,x＝－13232是方程ax＋bx＋cx＋d＝0的一个根；反之,如果x＝－1是方程ax＋bx＋cx＋d＝0的一32个根,则有a×<－1>＋b×<－1>＋c×<－1>＋d＝0,于是,a＋c＝b＋d,所以,"关于x的方程ax3＋bx2＋cx＋d＝0有一个根为－1"的充要条件是"a＋c＝b＋d"．
    1.2.33<1> 证明：是的充分不必要条件；
    <2> 指出成立的充要条件．
    解析 <1> 当a>3且b>3时,必有a＋b>6,ab>9成立．
    反之,在a＋b>6且ab>9的条件下,不一定有a>3且b>3成立,如a＝1,b＝10．
    所以,是的充分不必要条件．
    <2> 成立的充要条件是
    1.2.34证明：A⊇B是<A∩C>⊇<B∩C>的充分不必要条件． 解析 当A⊇B时,任取x∈B∩C有x∈B且x∈C,于是有x∈A且x∈C,则x∈A∩C,所以,A⊇B是<A∩C>⊇<B∩C>的充分条件,而C＝∅使<A∩C>⊇<B∩C>成立,但B不一定是A的子集,所以,A⊇B是<A∩C>⊇<B∩C>充分不必要条件．
    1.2.35"a≠b"是否为"关于x的方程a<ax－1>＝b<bx－1>有解"的充要条件?若是,请予以证明；若不是,请指出它是什么条件?并请说明理由．
    22解析 对于未知数是x的方程<a－b>x＝a－b,如果a＝1而b＝－1,此时有a≠b,而原方程是0×x＝2,此方程无解,于是,"a≠b"不是"关于x的方程a<ax－1>＝b<bx－1>有解"的22充分条件；反之,如果a＝b,则关于x的方程<a－b>x＝a－b即为0×x＝0,此方程的解集为17 / 142
    R,则"a≠b"不是"关于x的方程a<ax－1>＝b<bx－1>有解"的必要条件,即"a≠b"是"关于x的方程a<ax－1>＝b<bx－1>有解"的既不充分也不必要条件．
    221.2.36如果系数a1,b1,c1和a2,b2,c2都是非零常数的方程a1x＋b1x＋c1＝0和a2x＋b2x＋c2＝0的解集分别是A和B,求证："2"是"A＝B"的充要条件．
    解析 充分性：若x0∈A,即x0是方程a1x＋b1x＋c1＝0的根,则a1＋b1x0＋c1＝0,而非零实数a1,b1,c1和a2,b2,c2满足,设2＝k≠0,则可得k<a2＋b2x0＋c2>＝0,于是a2＋b2x0＋c2＝0,即x0是方程a2x＋b2x＋c2＝0的根,即x0∈B,则A⊆B,同理可证B⊆A,所以A＝B．
    22必要性：若x1,x2是方程a1x＋b1x＋c1＝0的根,x'1,x'2是a2x＋b2x＋c2＝0的根,则x1＋x2＝－,x1x2＝,x'1＋x'2＝－,x'1x'2＝,由A＝B得x1＋x2＝x'1＋x'2且x1x2＝x'1x'2,则－＝－且,所以有．
    第2章 函数 §2–1 函数的概念与性质
    一、映射与函数
    2.1.1已知映射f：A→B,其中集合A＝{－3,－2,－1,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意的a∈A,在B中和它对应的元素是|a|,则集合B中元素的个数是．
     4 5 6 7
    解析 由已知得－3和3的象都是3；－2和2的象都是2；－1和1的象都是1,而4的象是4,所以,B＝{1,2,3,4},B中有4个元素,答案为A．
    2.1.2已知f<x>＝,则下列关系中不正确的是．
     f<x>＝f<－x> f<－x>＝f
    f<|x|>＝f<－x> f<|x|>＝－f
    解析f<－x>＝＝f<x>,f＝－f<x>,f<|x|>＝＝f<x>＝－f,所以,答案为B．
    2.1.3对于任意的两个实数对<a,b>和<c,d>,规定<a,b>＝<c,d>当且仅当a＝c,b＝d；18 / 142
    运算"⊗"为：<a,b>⊗<c,d>＝<ac－bd,bc＋ad>；运算"⊗"为：<a,b> ⊗<c,d>＝<a＋c,b＋d>．设p,q∈R,若<1,2>⊗<p,q>＝<5,0>,则<1,2> ⊗<p,q>＝．
     <4,0> <2,0> <0,2> <0,－4>
    解析 由已知可得解得则<1,2> ⊗<p,q>＝<2,0>,答案为B．
    2.1.4在下列各组函数中,两个函数相同的是．     f<x>＝ f<x>＝与g<x>＝与g<x>＝
    ·
    f<x>＝2,x∈{0,1,2,3}与g<x>＝x＋1,x∈{0,1,2,3}
    f<x>＝|x|与g<x>＝解析 对于f<x>＝与g<x>＝
    ,应有f<x>＝x,g<x>＝|x|,它们的对应法则不同,的定义域是<－∞,－1]∪[1,＋∞>,而函数g<x>＝x是两个不同的函数；函数f<x>＝·的定义域是[1,＋∞>,它们是两个不同的函数；对于函数f<x>＝2,f<0>＝1,f<1>＝2,f<2>＝4,f<3>＝8,而对于函数g<x>＝＋1,g<0>＝1,g<1>＝2,g<2>＝4,g<3>＝8,所以,这是两个相同的函数；函数f<x>＝|x|的定义域是R,而函数g<x>＝的定义域是<－∞,0>∪<0,＋∞>,它们是两个不同的函数．所以,答案为C．
    2.1.5函数y＝x＋解析 函数y＝2.1.6函数y＝的图象是．
    所以,答案为C．
    的图象是．
    解析 函数y＝即为y＝1－,它的定义域是{x|x≠1,x∈R},值域是{y|y≠1,y∈R},由描点法可得此函数的图象是B．
    2.1.7已知函数f<x>,g<x>分别由下表给出
    x f<x> 1 1 2 3 3 1 x g<x> 1 3 2 2 3 1 <1> 求f[g<1>]的值；<2> 求满足f[g<x>]>g[f<x>]的x的值．
    解析 <1> 由已知可得g<1>＝3,则f[g<1>]＝f<3>＝1．
    <2> f[g<1>]＝1,而g[f<1>]＝3；f[g<2>]＝3,g[f<2>]＝1；f[g<3>]＝1,g[f<3>]＝3,所以,满足f[g<x>]>g[f<x>]的x的值是x＝2．
    19 / 142
    2.1.8已知函数f<x>＝若a≠b,则[<a＋b>＋<a－b>·f<a－b>]的值．
     一定是a 一定是b
    是a,b中较大的数 是a,b中较小的数
    解析 若a>b则[<a＋b>＋<a－b>f<a－b>]＝[<a＋b>＋<a－b>]＝a； 若a<b,则[<a＋b>＋<a－b>f<a－b>]＝[<a＋b>－<a－b>]＝b,所以,答案为C． 2.1.9已知函数f<x>＝g<x>＝．
    g<x>＝则f<x>＋解析f<x>＋g<x>＝
    532.1.10已知f<x>＝x＋ax＋bx－8,f<－2>＝10,则f<2>＝．
    解析 由已知可得－32－8a－2b－8＝10,即8a＋2b＝－50,f<2>＝32＋8a＋2b－8＝－26．
    2.1.11设函数f<x>＝若f<x>＝3,则x＝．
    2解析 若x＋2＝3,则x＝1,与x≤－1矛盾；若x＝3,则x＝±,由－1<x<2得x＝；若2x＝3,则x＝,与x≥2矛盾,所以,只有当x＝2.1.12写出下列函数的值域： <1> y＝1－：；
    时,f<x>＝3．
    <2> y＝：；
    <3> y＝：；
    <4> y＝x－1 <1≤x≤4且x∈Z>：． 解析 <1> 函数y＝1－的值域是{y|y≠1,y∈R}．
    <2> 由2x－4x＋3＝2<x－1>＋1≥1得函数y＝22的值域是<0,5]．
    20 / 142
    <3> 由2x－4x＋1＝2<x－1>－1≥－1得函数y＝22的值域是{y|y>0或y≤－1}．
    <4> 函数y＝x－1 <1≤x≤4且x∈Z>的值域是{0,1,2,3}．
    2.1.13已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离s<千米>表示成时间t<小时>的函数为．
     s＝60t s＝60t＋50t
    s＝ s＝
    解析 由匀速运动中路程与时间的关系可得答案为D．
    2.1.14设[x]表示不超过x的最大整数,对于给定的n∈N,定义*,x∈[1,∞>,则当x∈[,3>时,函数的值域是．

    ∪[28,56> ∪
    ,则4<≤；
    解析 若≤x<2,则[x]＝1,此时,若2≤x<3,则[x]＝2,,则<≤28．
    于是,所求值域是∪,答案为D．
    2.1.15在下列四个函数中,满足性质："对于区间[1,2]上的任意x1,x2 <x1≠x2>,|f<x1>－f<x2>|<|x1－x2|恒成立"的只有．
     f<x>＝ f<x>＝|x| f<x>＝2 f<x>＝x
    x    2解析 任取x1,x2∈[1,2]<x1≠x2>,对于函数f<x>＝,|f<x1>－f<x2>|＝＝<|x1－x2|；
    对于函数f<x>＝|x|,|f<x1>－f<x2>|＝||x1|－|x2||＝|x1－x2|；
    21 / 142
    对于函数f<x>＝2,|f<1>－f<2>|＝2>1＝|x1－x2|； 对于函数f<x>＝x,|f<x1>－f<x2>|＝|所以,答案为A．
    2    x|＝|x1＋x2||x1－x2|>2|x1－x2|>|x1－x2|,2.1.16函数f<x>＝的定义域是．
    解析 函数自变量x应满足所以,函数f<x>的定义域是{x|x>3或x≤1}． 2.1.17已知a<0,则函数f<x>＝解得
    的定义域是．
    解析函数f<x>＝的自变量x应满足由a<0及x≤a得a≤x≤－a,则x＋a≤0,于是,由|x＋a|＋a≠0得－x－a＋a≠0,所以,原函数的定义域是[a,0>∪<0,－a]．
    2.1.18设满足y≥|x－1|的点<x,y>的集合为A,满足y≤－|x|＋2的点<x,y>的集合为B,则A∩B所表示的图形的面积是．
    解析 函数y＝|x－1|和y＝－|x|＋2的图象形成的封闭区域是由函数y＝x－1,y＝－22x＋1,y＝－x＋2,y＝x＋2围成的矩形,此矩形的顶点是,<1,0>,,<0,2>,它的面积是．
    2.1.19从装满20升纯酒精的容器里倒出1升,然后用水填满,再倒出1升混合溶液后又用水填满,这样继续进行．如果倒完第k次<k≥1>时共倒出纯酒精x升,设倒完第k＋1次时共倒出纯酒精f<x>升,则函数f<x>的表达式为．
    解析 由于倒完第k次共倒出纯酒精x升,则第k＋1次倒时,容器中还有纯酒精20－x升,第k＋1次倒出了纯酒精2<20－x>,所以,f<x>＝x＋<20－x>＝1＋x <1≤x<20>．
    2.1.20设函数f<x>＝x＋x＋的定义域是[n,n＋1] <n是正整数>,则f<x>的值域中整数的个数是．
    解析f<x>＝在[n,n＋1]上单调递增,f<n＋1>＝n＋3n＋,f<n>＝n＋n＋,22222函数f<x>值域中的最大整数是n＋3n＋2,最小整数是n＋n＋1,所以,值域中共有n＋3n＋22－<n＋n>＝2n＋2个整数．
    2.1.21满足f<x>＝x的x称为函数f<x>的不动点．已知f<x>＝对值相等,符号相反的不动点,则a,b所满足的条件是．
    解析 由已知可得关于x的方程＝x,即x＋<b－2>x－a2 <a,b∈R>有绝22 / 142
    ＝0有两个互为相反数的根x1和x2,于是,x1＋x2＝－<b－2>＝0,解得b＝2,此时,原方程为x2＝a,则必须有a>0,所以,a和b应满足b＝2且a>0．
    2.1.22记实数a1,a2,,an中的最小值是min{a1,a2,,an},例如min{－1.1,－2.3,6}＝－2.3,那么,定义域为R的函数f<x>＝min{x,2－x}的最大值是．
    2解析 由函数f<x>的定义可作出其图象<如图所示>：抛物线y＝2－x与直线y＝x的一个交点是<1,1>,所以,当x＝1时,f<x>取得最大值1．

    22.1.23求函数y＝的定义域．
    解析 函数的自变量x应满足若＋2＝0,则有x＋8＋4＋2＝
    ＋4＝5x＋20,＝x＋2,解得x＝1或x＝－4,经检验,x＝－4是方程 的增根,亦即使得＋2＝0成立的实数只有x＝1,所以,函数的定义域是{x|x≥－4且x≠1}．
    2.1.24 求函数y＝的定义域<其中k是常数>．
    解析 函数的自变量x应满足即
    所以,若2k>2,即k>1时,函数f<x>的定义域是[2k,＋∞>；若－2≤2k≤2,即－1≤k≤1时,函数f<x>的定义域是<2,＋∞>；若2k<－2,即k<－1时,函数f<x>的定义域是[2k,－2>∪<2,＋∞>．
    2.1.25作出下列函数的图象：
    <1> y＝<2> y＝；
    <3> y＝<4> y＝2－|x－x|．
    2解析 <1> 函数y＝的图象如图2.1.25<1>所示．
    题2.1.25<1>题2.1.25<2> 23 / 142
    <2> 函数y＝即为y＝其图象如图2.1.25<2>所示．
    <3> 函数y＝的图象如图2.1.25<3>所示． 题2.1.25<3>题2.1.25<4>
    <4> 函数y＝2－|x－x|即为y＝示．
    2其图象如图2.1.25<4>所2.1.26作函数y＝的图象．
    解析 函数应满足|x|－x≠0,即此函数的定义域是x<0,所以,y＝,即y＝－．若x＝－,y＝；x＝－,y＝
    0,x＝－1,y＝,x＝－2,y＝,函数图象如图2.1.26所示．
    2.1.27求函数y＝解析 函数y＝的值域．
    ＋1＋|－1|＝所以,函数的值域是{y|y≥2}．
    2.1.28集合M是实数集R的任意一个子集,函数fM<x>在实数集M上定义如下：fM<x>＝求证：对任意以实数为元素的集合A,B,必有fA∩B<x>＝fA<x>fB<x>．
    解析 由函数fM<x>在实数集M上定义可得fA∩B<x>＝
    若x∈A且x∈B,即x∈A∩B时,有fA<x>＝1且fB<x>＝1,则fA<x>fB<x>＝1； 若x∈A且x∉B,则fA<x>＝1而fB<x>＝0,那么fA<x>fB<x>＝0； 若x∉A且x∈B,则fA<x>＝0而fB<x>＝1,那么fA<x>fB<x>＝0； 若x∉A且x∉B,则fA<x>＝0且fB<x>＝0,那么fA<x>fB<x>＝0, 对于"x∈A且x∉B","x∉A且x∈B","x∉A且x∉B",都可得x∉A∩B,
    24 / 142
    则当x∉A∩B时,必有fA<x>fB<x>＝0,那么,fA<x>fB<x>＝所以,对任意以实数为元素的集合A,B,必有fA∩B<x>＝fA<x>fB<x>．

    2.1.29已知f,则f<x>的解析式可以是．
     － －
    解析 令＝t,则x＝3,于是f<t>＝2,即f<x>＝,答案为C．
    2.1.30已知函数f<x>＝ax＋bx＋cx＋d的图象如图所示,则．     b∈<－∞,0> b∈<0,1> b∈<1,2> b∈<2,＋∞>
    解析 由函数图象可知方程f<x>＝0的根为0、1、2,于是可设f<x>＝ax<x－1><x－32322>,则ax－3ax＋2ax＝ax＋bx＋cx＋d,b＝－3a,又当x>2时有 f<x>>0,于是有a>0,所以,b<0,答案为A．
    2.1.31函数y＝f<2x－1>的定义域是[0,1>,则函数y＝f<1－3x>的定义域是．

    解析 由0≤x<1得－1≤2x－1<1,令t＝2x－1,于是,函数y＝f<t>的定义域是[－1,1>,则函数y＝f<1－3x>的自变量应满足－1≤1－3x<1,所以,它的定义域是2,答案为C．
    2.1.32已知函数f<x>＝2mx－2<4－m>x＋1,g<x>＝mx,若对于任一实数x,f<x>与g<x>的值至少有一个为正数,则实数m的取值范围是．
     <0,2> <0,8> <2,8> <－∞,0>
    解析 若m＝0,则f<x>＝－8x＋1,g<x>＝0,不符合要求；若m<0,则g<x>＝mx,当x>02时,g<x><0,当x<0时,g<x>>0,而此时函数f<x>＝2mx－2<4－m>x＋1的图象是开口向下的抛物线,一定存在x0>0有f<x0><0,所以,m<0不符合要求；若m>0,则g<x>＝mx,当x>02时,g<x>>0,当x≤0时,g<x>≤0,函数f<x>＝2mx－2<4－m>x＋1当x≤0时必须有f<x>>0恒成立,而此时函数f<x>的图象开口向上,于是,必须有或25 / 142
    解得4≤m<8或0<m<4,所以,m的取值范围是0<m<8,答案为B．
    2.1.33给出下面三个函数：<1> y＝；<2> y＝|x－1|－|x＋3|；<3> y＝,在这些函数中,其值域中仅含有有限个整数的函数有个．     0 1 2 3 解析 函数y＝即y＝的定义域是R,值域是[1,＋∞>,值域中有无穷多个正整数；函数y＝|x－1|－|x＋3|即为y＝它的值域是[－4,4],其中只有有限个整数；由函数y＝可得<y－1>x＋<2－3y>x＋3y－422＝0,若y＝1,则x＝－1,若y≠1,则关于x的方程其判别式Δ＝<2－3y>－4<y－1><3y－4>≥0,即3y－16y＋12≤0,解得并且当y＝2时,解得x＝2±2≤y≤,其中满足y≠1的整数有y＝2,3,4,,y＝3时,x＝1或x＝,y＝4时,x＝2或x＝,所以,在函数y＝的值域中,有且仅有4个整数．所以,在给出的三个函数中,值域中仅含有有限个整数的函数有2个,答案为C．
    2.1.34已知函数y＝f<x>的定义域是R,则函数y＝f<x－1>的图象与函数y＝f<1－x>的图象一定关于．
     直线y＝0对称 直线x＝0对称 直线y＝1对称 直线x＝1对称
    解析 设<x0,y0>是函数y＝f<x－1>图象上的任意一点,则y0＝f<x0－1>,点<x0,y0>关于直线x＝1的对称点是<2－x0,y0>,f[1－<2－x0>]＝f<x0－1>＝y0,所以,点<2－x0,y0>在函数y＝f<1－x>的图象上,函数y＝f<x－1>的图象与函数y＝f<1－x>的图象一定关于直线x＝1对称,答案为D．
    2*22.1.35已知集合A＝{y|y＝x－4x＋6,x∈R,y∈N},集合B＝{y|y＝－x－2x＋18,x∈*R,y∈N},则A∩B＝．
    解析y＝x－4x＋6＝<x－2>＋2,于是A＝{2,3,4,5,6,},y＝－x－2x＋18＝－<x＋1>＋19,则B＝{19,18,17,16,15,,1},所以,A∩B＝{2,3,4,5,,15,16,17,18,19}．
    2.1.36若函数y＝3x－31x＋10的自变量都是正整数,则此函数的最小值是．
    2    2    2    2    2    26 / 142
    解析 函数y＝3x－31x＋10即为y＝3值2－,而x∈N,所以,当x＝5时,y最小*＝－70．
    22.1.37已知函数f<x>＝x＋ax＋b满足 |f<1>|＝|f<2>|＝|f<3>|＝,则f<x>＝．
    解析 由已知可得二次函数f<x>的图象的顶点坐标是2,并有f<1>＝f<3>＝,则a＝－4,b＝,所以,f<x>＝x－4x＋．
    22.1.38已知f<x>＝ax＋bx＋c <a≠0>当x＝3时取得最小值4,且其图象在y轴上的截距是13,则a＝,b＝,c＝．
    22解析 由已知可设f<x>＝a<x－3>＋4,当x＝0时y＝13,解得a＝1,即f<x>＝x－6x＋13,所以,a＝1,b＝－6,c＝13．
    2.1.39已知一个二次函数,当x＝1时有最大值2,它的图象截x轴所得到的线段长是,则此二次函数的解析式是．
    解析 由已知可得二次函数图象与x轴两个交点的横坐标分别是1－和1＋,则可设其解析式为f<x>＝a次函数的解析式是f<x>＝－4x＋8x－2．
    2,并有f<1>＝2,解得a＝－4,所以,该二2.1.40若函数f<x>＝的定义域是R,则k的取值范围是．2
    解析 若k＝0,则f<x>＝,定义域是R．若k≠0,则应有16k－12k<0,解得0<k<,所以,k的取值范围是0≤k<．
    2.1.41函数f<x>的定义域是[0,1],则函数f<1－2x>的定义域是．
    解析 由已知得函数y＝f<1－2x>应满足0≤1－2x≤1,即它的定义域是2.1.42函数f<x>＝2x＋1－2．
    的最大值是．
    解析f<x>＝－<＋1>＋5,而 ≥0,所以,当x＝时,f<x>取得最大值．
    2222.1.43函数y＝<x－x>＋4<x－x>＋3的最小值是．
    27 / 142
    解析y＝<x－x＋2>－1,而x－x＋2＝222≥,所以,y≥－1,当x＝时,y取得最小值．
    22.1.44已知t为常数,函数y＝|x－2x－t|在区间[0,3]上的最大值为2,则t＝．
    2解析 记f<x>＝<x－1>－1－t,可得函数y＝|f<x>|的图象关于直线x＝1对称．若－21－t≥0即t≤－1时,则函数y＝|x－2x－t|在[0,3]上最大值为f<3>＝3－t＝2,则t＝1,矛盾．若－1－t<0且f<3>＝3－t≥0,即－1<t≤3时,如果1＋t≤3－t,亦即－1<t≤1时,函数y＝|f<x>|当x＝3时取得最大值3－t＝2,解得t＝1．如果1＋t>3－t,亦即1<t≤3时,函数y＝|f<x>|当x＝1时取得最大值1＋t＝2,矛盾．如果3－t<0,则函数y＝|f<x>|当x＝1时取得最大1＋t＝2,矛盾．所以,t＝1．
    22222.1.45若x,y∈R,且3x＋2y＝2x,则x＋y的最大值是．
    解析 由2y＝2x－3x≥0得0≤x≤,x＋y＝－＋x＝－<x－1>＋,所以,当x＝时,x＋y取得最大值．
    2.1.46已知函数y＝x＋32222222222的定义域是[0,＋∞>,则其最小值是．
    2    2解析 由已知可得y－2xy＋x＝9x－18x＋27,即8x＋<2y－18>x＋27－y＝0,关于x222的方程有实数解,则判别式Δ＝<2y－18>－32<27－y>≥0,即y－2y－15≥0,<y－5><y＋23>≥0,由原函数的定义域是[0,＋∞>可知有y>0,于是,y≥5,若y＝5,则4x－4x＋1＝0,解得x＝．
    所以,当x＝时,函数y＝x＋32.1.47设f<x>＝f1<x>＝＋f2<1> ＋＋fn<1>＝．
    取得最小值5．
    ,且fn<x>＝fn－1[f<x>],则f<1>＋f<2>＋＋f<n>＋f1<1>解析f2<x>＝f1[f<x>]＝,
    f3<x>＝f2[f<x>]＝,
    f4<x>＝f3[f<x>]＝由此可得fn<x>＝,则f<k>＋fk<1>＝．
    ＝1,所以,f<1>＋f<2>＋＋f<n>＋f1<1>＋f2<1> ＋＋fn<1>＝n．
    28 / 142
    2.1.48定义在N上的函数f<n>满足f<1>＝1,且f<n＋1>＝f<2008>＝．
    *    则解析f<2008>＝f<2007＋1>＝f<2007>＝f<2006>＝f<2005>＝f<2004>＝f<2003>＝f<2002>＝f<2001>＝＝f<2>＝f<1>＝．
    2.1.49集合A＝{<x,y>|y＝a|x|,x∈R},B＝{<x,y>|y＝x＋a,x∈R},已知集合A∩B中有且仅有一个元素,则常数a的取值范围是．
    解析 由函数f<x>＝a|x|的图象和函数g<x>＝x＋a的图象的位置关系可知,使集合A∩B中有且仅有一个元素的常数a的取值范围是－1≤a≤1．
    22.1.50已知函数f<x>满足2f<x>＋3f<－x>＝2x－3x＋5,则f<x>＝．
    解析 由已知可得解得f<x>＝x＋3x＋1．
    2.1.51如图所示,已知四边形ABCD在映射f：<x,y>→<x－1,y＋2>作用下的象集为四边形 A'B'C'D',四边形ABCD的面积等于6,试求四边形 A'B'C'D'的面积．
    解析 映射f：<x,y>→<x－1,y＋2>的作用是将点P<x,y>向左平移一个单位并向上平移两个单位,四边形ABCD与四边形 A'B'C'D'必定全等,所以,四边形 A'B'C'D'的面积等于6．
    22.1.52已知m为实数,将函数f<x>＝x－2mx＋m－1 2

    <0≤x≤2>的最小值记为g<m>,试求g<m>的最大值．
    22解析f<x>＝<x－m>－m＋m－1,若m<0,则当x＝0时f<x>取得最小值m－1；若20≤m≤2,则当x＝m时f<x>取得最小值－m＋m－1；若m>2,则当x＝2时f<x>取得最小值3－3m,所以,g<m>＝
    当m<0时,g<m><－1,当m>2时,g<m><－3,当0≤m≤2时,g<m>＝－3≤g<m>≤－,所以,g<m>的最大值是－．
    2.1.53已知m,α,β都是实数,α＋β＝m,αβ＝,此时－,求α＋β的最小值．
    22解析α＋β＝<α＋β>－2αβ＝m－<m＋2>＝2222,而α,β是关于x的29 / 142
    方程x－mx＋22＝0的两个实数根,于是,Δ＝m－<m＋2>≥0,解得m≥2或m≤－1,所以,22当m＝－1时,α＋β取得最小值．
    22.1.54已知函数f<x>＝x－2kx＋2在x≥－1时恒有f<x>≥k,求实数k的取值范围．
    22解析 关于x的不等式x－2kx＋2≥k,即x－2kx＋2－k≥0在x≥－1时恒成立,则有或解得－1≤k≤1或－3≤k<－1,所以,k的取值范围是－3≤k≤1．
    22.1.55已知f<x>＝ax＋bx<a、b为常数,a≠0>满足f<2>＝0,且f<x>＝x有相等的实数根,
    <1> 求f<x>；
    <2> 是否存在m、n <m<n>,使f<x>的定义域为[m,n],而值域为[2m,2n]?
    22解析 <1> f<x>＝x即为ax＋<b－1>x＝0有相等的实数根,则Δ＝<b－1>＝0,又f<2>＝4a＋2b＝0,解得a＝－,b＝1,即f<x>＝－x2＋x．
    <2> 因为f<x>＝－x＋x＝－<x－1>＋≤,可得2n≤,即n≤,则f<x>在[m,n]上是增函数,所以,由f<m>＝2m,f<n>＝2n及m<n得m＝－2,n＝0,所以,存在m＝－2,n＝0,使f<x>的定义域为[m,n],而值域为[2m,2n]．
    222.1.56若函数f<x>＝x＋<a＋1>＋|x＋a－1|的最小值大于5,试求实数a的取值范围．22
    解析f<x>＝22
    若1－a≥,即a≤,此时a＋3a－<a＋a＋,函数图象如图<题2.1.56<1>>,于是,当x＝时,f<x>最小值＝a2＋a＋；
    题2.1.56<1> 题2.1.56<2>题2.1.56<3> 若－<1－a<,即<a<,函数图象如图<题2.1.56<2>>,于是,当x＝1－a时,f<x>最小值＝22<1－a>＋<1＋a>；
    若1－a≤－,即a≥,此时a＋3a－>a＋a＋,函数图象如图<题2.1.56<3>>,于是,当x＝－时,f<x>最小值＝a＋3a－,
    2    2    2    30 / 142
    于是解得a<<－1－或>或<a<或a≥．
    >或a>或
    所以,a的取值范围是a<<－1－．
    2.1.57求函数y＝2的最值．
    2解析 由已知得<2－y>x＋<2－y>x＋3－y＝0,并由x∈R得当y≠2时,Δ＝<2－y>－4<2－y><3－y>≥0,即3y－16y＋20≤0,<3y－10><y－2>≤0,解得2<y≤,当x＝－,y＝；并且,不存在x使得y＝2,所以,函数有最大值,没有最小值．
    22.1.58已知函数y＝2的最大值是9,最小值是1,求a,b的值．
    解析 由已知得<y－a>x＋8x＋y－b＝0,则Δ＝64－4<y－a><y－b>≥0,即关于y的不等式y－<a＋b>y＋ab－16≤0的解是1≤y≤9,于是2.1.59求函数y＝的值域．
    2    2解得
    解析 函数的定义域是3≤x≤5,y＝2＋2于是,2≤y≤4,所以,函数的值域是[2,即y＝2＋22,,2]．
    2.1.60若常数a>b>0,当－1≤x≤1时,求函数y＝的最大值和最小值．
    解析 由y＝2可得x＝22,则≤1,于是a<y－2y＋1>≤b<y＋2y＋1>,2222即<a＋b><a－b>y－2<a＋b>y＋<a－b><a＋b>≤0,[<a－b>y－<a＋b>][<a＋b>y－<a－b>]≤0,<0,所以,≤y≤,当x＝－1时,y取得最小值,当x＝1时,y取得最大值．
    2.1.61对于函数f<x>,记f1<x>＝f<x>,fn＋1<x>＝f[fn<x>]．问：是否存在一次函数f<x>,使得fn<x>＝f<x>对任意正整数n都成立?若存在,求出所有满足要求的f<x>；若不存在,则说明理由．
    31 / 142
    解析 设f<x>＝ax＋b <a≠0>,则f2<x>＝f[f1<x>],即f2<x>＝a<ax＋b>＋b,于是,ax＋b＝a2x＋ab＋b对任意x∈R恒成立,于是,由a≠0解得
    如果f<x>＝x,则当f1<x>＝f<x>时,显然fn＋1<x>＝f[fn<x>]对任意正整数n都成立,所以,f<x>＝x．
    2.1.62已知函数f<x>＝3x＋4,分别根据下列条件求函数y＝g<x>的解析式．
    <1> y＝g<x>的图象由y＝f<x>的图象向左平移一个单位,再向下平移2个单位得到, <2> y＝g<x>的图象与y＝f<x>的图象关于y轴对称,
    <3> y＝g<x>的图象与y＝f<x>的图象关于直线y＝1对称, <4> y＝g<x>的图象与y＝f<x>的图象关于直线y＝－x对称, <5> y＝g<x>的图象与y＝f<x>的图象关于点P<a,b>中心对称．
    解析 设P<x,y>是函数f<x>＝3x＋4图象变换后所得新图象上的任意一点,它是由原图象上的点 P'<x',y'>变换得到的．
    <1> 所以,y＋2＝3<x＋1>＋4,即g<x>＝3x＋5．
    <2> 所以,y＝－3x＋4,即g<x>＝－3x＋4．
    <3> 所以,2－y＝3x＋4,即g<x>＝－3x－2．
    <4> 所以,－x＝3<－y>＋4,即g<x>＝<x＋4>．
    <5> 所以,2b－y＝3<2a－x>＋4,即g<x>＝3x＋2b－6a－4．
    22.1.63将抛物线y＝x－2x＋4上的任意一点保持横坐标不变,纵坐标压缩为原来的,求所得新抛物线的解析式．
    2解析 设P<x,y>是函数y＝x－2x＋4图象变换后所得新图象上的任意一点,它是由原图象上的点 P'<x',y'>变换得到的,则所以,压缩变换后的抛物线方程是y＝x－2x＋2．
    2.1.64指出函数y＝|x|的图象与函数y＝解析 函数y＝的图象之间的关系．
    即为y＝‖x|－1|,它可以由函数y＝|x|的图象先向下32 / 142
    平移1个单位,再将所得图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换而得到．
    2.1.65已知函数y＝的图象关于直线y＝x对称,求实数m的值．
    图象上的一点,则<5,0>点关于直线y＝x的对称点解析 显然,<5,0>是函数y＝<0,5>也在此函数的图象上,于是5＝－,即m＝－1．
    设<x0,y0>是函数y＝图象上的任意一点,则y0＝,它关于直线y＝x的对称点是<y0,x0>,于是＝x0,所以,点<y0,x0>也在函数y＝的图象上,即函数y＝的图象关于直线y＝x对称．
    2.1.66已知函数y＝f<x>是定义域为R的函数,求证：函数F<x>＝f<x>－f<a－x>的图象关于点中心对称．
    解析 设<x0,y0>是函数F<x>＝f<x>－f<a－x>图象上的任意一点,则y0＝f<x0>－f<a－x0>,再设<x0,y0>关于点的中心对称点是<x,y>,则于是,F<a－x0>＝f<a－x0>－f[a－<a－x0>]＝－[f<x0>－f<a－x0>]＝－y0,所以,点<a－x0,－y0>在函数F<x>＝f<x>－f<a－x>的图象上,则函数F<x>＝f<x>－f<a－x>的图象关于点中心对称．
    222.1.67函数f<x>＝ax＋bx＋c和函数g<x>＝cx＋bx＋a <其中ac≠0,a≠c>的值域分别是M和N,则一定有．
     M＝N M⊆N N⊆M M∩N≠∅
    解析f<1>＝a＋b＋c,g<1>＝c＋b＋a,即f<1>＝g<1>,所以,1∈M且1∈N,M∩N≠∅,答案为D．
    22.1.68对于函数f<x>＝x＋x＋a <a>0>,若存在实数m使得f<m><0成立,则一定有．
     f<m－1><0且f<m＋1><0 f<m－1><0且f<m＋1>>0 f<m－1>>0且f<m＋1><0 f<m－1>>0且f<m＋1>>0
    222解析 由已知得m＋m＋a<0,则m＋m<－a<0,于是,－1<m<0．f<m－1>＝m－m＋a>0,f<m＋1>＝m2＋m＋a＋2<m＋1>>0,所以,答案为D．
    33 / 142
    2.1.69定义在R上的函数f<x>满足f<x＋y>＝f<x>＋f<y>＋2xy <x,y∈R>,f<1>＝2,则f<－3>等于．
     2 3 6 9
    解析 由已知可得f<0＋0>＝f<0>＋f<0>＋2×0×0,则f<0>＝0,
    2于是f[x＋<－x>]＝f<x>＋f<－x>＋2x×<－x>,即f<x>＋f<－x>＝2x．而f<1＋1>＝f<1>＋f<1>＋2×1×1,解得f<2>＝6,f<2＋1>＝f<2>＋f<1>＋2×2×1,则f<3>＝12,所以,f<－23>＝－f<3>＋2×3＝6,答案为C．
    2.1.70若函数y＝f<x>对一切实数a,b都满足f<a＋b>＝f<a>＋f<b>,且f<1>＝8,则f＝．
    解析 令a＝b＝0,则由f<0＋0>＝f<0>＋f<0>得f<0>＝0,于是,f[x＋<－x>]＝f<x>＋f<－x>,
    则f<x>＋f<－x>＝0,令a＝b＝,则f＝f＋f,可得f＝4,所以,f＝－4．
    2.1.71直角坐标平面上横、纵坐标都是整数的点称为"格点"．图象上有且仅有n个格点的函数称为"n阶格点函数",试写出一个"一阶格点函数"的解析式：；再写出一个"二阶格点函数"的解析式：．
    解析 函数y＝x是"一阶格点函数"<它的图象只经过格点<0,0>>．函数y＝是"二阶格点函数"<它的图象只经过格点<1,1>和<－1,－1>>．
    22.1.72集合A＝{x|－2≤x≤a},B＝{y|y＝2x＋3,x∈A},C＝{z|z＝x,x∈A},若C⊆B,试求常数a的取值范围．
    2解析 集合B＝{y|－1≤y≤2a＋3},若－2≤a<0,则集合C＝[a,4],由C⊆B得解得a≥,与a<0矛盾；若0≤a≤2,则C＝[0,4],由C⊆B得4≤2a＋3,解得≤a≤2；若a>2,则C＝[0,a],由C⊆B得a≤2a＋3,解得2<a≤3,所以,a的取值范围是≤a≤3．
    222.1.73已知定义域为R的函数f<x>满足f<f<x>－x＋x>＝f<x>－x＋x． <1> 若f<2>＝3,求f<1>；又若f<0>＝a,求f<a>；
    <2> 设有且仅有一个实数x0,使得f<x0>＝x0,求函数f<x>的解析表达式．
    22解析 <1> f<f<2>－2＋2>＝f<2>－2＋2,则f<1>＝1．f<f<0>>＝f<0>,所以,f<a>＝a．
    2<2> 令t＝f<x>－x＋x,则由已知得f<t>＝t,于是,必须对任意的x∈R都有x0＝f<x>－x＋x,则当x＝x0时也有x0＝f<x0>－＋x0,于是,－x0＝0,解得x0＝1或x0＝0． 若x0＝0,则f<x>＝x－x,方程f<x>＝x即为x－x＝x,它有两解,所以,x0＝0不符合要求．
    22若x0＝1,则f<x>＝x－x＋1,方程f<x>＝x即为x－x＋1＝x,它有唯一解,所以,x0＝2222234 / 142
    1,f<x>＝x－x＋1．
    2.1.74对集合{1,2,3,,n}及其每一个非空子集,定义"交替和"如下：按递减次序排列该子集中的数,然后从最大数开始交替地进行减、加后面的数得到"和",例如集合{1,2,4,6,9}的交替和是9－6＋4－2＋1＝6,集合{5}的交替和为5．
    <1> 当n＝1,n＝2,n＝3时分别求所有这种"交替和"的总和S1,S2,S3； <2> 求当n＝16时所有这种"交替和"的总和． 解析 <1> n＝1,则集合为{1},所以,S1＝1．
    n＝2,则集合为{1,2},其所有子集的"交替和"为1,2,2－1,所以,S2＝4．
    n＝3,则集合为{1,2,3},其所有子集的"交替和"为1,2,3,2－1,3－1,3－2,3－2＋1,所以,S3＝12．
    <2> 对于集合{1,2,3,,n},将它的2个子集分成两类：不含n的为一类<包括空集>,含有n的为另一类．这两类各含2n－1n2个子集．建立它们的映射如下：{n,a1,a2,,ak}↔{a1,a2,,ak},其中a1>a2>>ak．显然这是一个一一映射且这两个子集的"交替和"分别为：n－a1＋a2－a3＋＋<－1>ak和a1－a2＋a3－＋<－1>n－115kk－1ak,它们的和为n,所以,Sn＝n×2,当n＝16时,S16＝16×2＝524288．
    2.1.75函数f和g都是二次函数,g<x>＝－f<100－x>,并且f的图象过g图象的顶点．两个图象与x轴有四个横坐标是x1,x2,x3,x4<依次递增>的交点,x3－x2＝150,求x4－x1的值．
    解析 设<x',y'>是函数y＝f<x>图象上的任意一点,则此点关于<50,0>的对称点<x,y>
    有即所以,函数y＝f<x>的图象关于点<50,0>的对称曲线的解析式是－y＝f<100－x>,即函数y＝f<x>和y＝g<x>的图象关于点<50,0>中心对称,由已知可得函数f和函数g的图象的相对位置关系如图所示,x3＝50＋75＝125,x2＝50－75＝－25,则f<x>＝a<x－x4><x＋25>,而<x1＋x4>＝50,x1＝100－x4,于是,g<x>＝－a<x－125><x－100＋x4>．
    由函数f图象的顶点在函数g的图象上得到f＝g,则a＝－a,即<－25－x4><25＋x4>＝－<x4－275><－225＋3x4>,＋50x4＋625＝3－1050x4＋252×9×11,亦即－550x4＋25×49＝0,所以,x4＝275＋150二、函数的单调性和奇偶性
    2,x4－x1＝2x4－100＝450＋300．
    35 / 142
    2.1.76函数f<x>＝x|x|－2x是．     偶函数,且在<－1,1>上是增函数 奇函数,且在<－1,1>上是减函数 偶函数,且在<－1,1>上是减函数 奇函数,且在<－1,1>上是增函数
    解析f<－x>＝－x|－x|－2<－x>＝－<x|x|－2x>＝－f<x>,所以,函数f<x>是奇函数．
    22若x≥0,则f<x>＝x－2x＝<x－1>－1,在<0,1>上函数f<x>单调递减,又由f<x>是奇函数可得它在<－1,1>上单调递减,答案为B．
    222.1.77已知二次函数f<x>＝a1x＋b1x＋c1和g<x>＝a2x＋b2x＋c2使得f<x>＋g<x>在<－∞,＋∞>上是单调函数,则它们的系数应满足的关系是．
    2解析 只有当函数f<x>＋g<x>＝<a1＋a2>x＋<b1＋b2>x＋c1＋c2为一次函数时,才能使得f<x>＋g<x>在<－∞,＋∞>上是单调函数,所以,函数f<x>和g<x>的系数应满足a1＋a2＝0且b1＋b2≠0．
    2.1.78若函数f<x>＝解析f<x>＝所以,a的取值范围是a>．
    2.1.79函数f<x>＝的单调递增区间是．
    和f2<x>＝－在<－2,＋∞>上单调递增,则a的取值范围是． ,即f<x>＝a＋在<－2,＋∞>上单调递增,则1－2a<0,解析 函数f<x>的定义域是<0,＋∞>,而在<0,＋∞>上函数f1<x>＝都单调递增,所以,函数f<x>＝的单调递增区间是<0,＋∞>．
    2.1.80指出下列函数的奇偶性并证明结论：
    <1> f<x>＝＋1：；
    <2> G<x>＝[f<x>－f<－x>] <－a<x<a,其中常数a>0>：；
    <3> f<x>＝：；
    <4> f<x>＝解析 <1> f<－x>＝数．
    ：．
    ＋1＝＋1＝f<x>,所以,函数f<x>＝＋1是偶函<2> G<－x>＝[f<－x>－f<x>]＝－[f<x>－f<－x>]＝－G<x>,所以,函数G<x>＝[f<x>－f<－x>] <－a<x<a,其中常数a>0>是奇函数．
    36 / 142
    <3> f<－x>＝＝－f<x>,所以,函数f<x>＝是奇函数．
    <4> 函数f<x>＝的定义域是{x|x≠1,x∈R},而f<－1>＝1,
    所以,函数f<x>＝既不是奇函数,也不是偶函数．
    2.1.81若函数f<x>＝ax＋b的定义域和值域都是[1,2],求a和b的值．
    解析 若a>0,则函数f<x>＝ax＋b在<－∞,＋∞>上单调递增,解得
    若a<0,则函数f<x>＝ax＋b在<－∞,＋∞>上单调递减,解得
    2.1.82设函数f<x>＝x＋ <a>0>． <1> 求证：函数f<x>在<,＋∞>上单调递增；
    <2> 若函数f<x>在<a－2,＋∞>上单调递增,求a的取值范围．
    解析 <1> 设<x1<x2,则f<x1>－f<x2>＝,＋∞>上单调递增．
    ,于是,f<x1>－f<x2><0,即f<x1><f<x2>,所以,函数f<x>在<<2> 由问题<1>的结论可得a－2≥,即<＋1><－2>≥0,所以,a的取值范围是a≥4．
    2.1.83"a＝1"是"函数f<x>＝|x－a|在区间[1,＋∞>上为增函数"的．     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
    解析 函数f<x>＝|x－a|在<－∞,a>上单调递减,在<a,＋∞>上单调递增,所以,"a＝1"是"函数f<x>＝|x－a|在区间[1,＋∞>上为增函数"的充分不必要条件,答案为A．
    2.1.84已知函数f<x>是<－∞,＋∞>上的减函数,则函数F<x>＝f<x>－f<－x>是．     奇函数,且在<－∞,＋∞>上单调递增 偶函数,且在<－∞,＋∞>上单调递增 奇函数,且在<－∞,＋∞>上单调递减 偶函数,且在<－∞,＋∞>上单调递减
    解析F<－x>＝f<－x>－f[－<－x>],即F<－x>＝－[f<x>－f<－x>],于是,F<－x>＝－F<x>,所以,F<x>是奇函数．
    设x1<x2,由已知得f<x1>>f<x2>,－x1>－x2,f<－x1><f<－x2>,－f<－x1>>－f<－x2>,则37 / 142
    f<x1>－f<－x1>>f<x2>－f<－x2>,即F<x1>>F<x2>,所以,F<x>在<－∞,＋∞>上单调递减,答案为C．
    2.1.85设f<x>是连续的偶函数,且当x>0时f<x>是单调函数,则满足f<x>＝f所有x之和为．
     －3 3 －8 8
    的解析 由已知可得x＝或－x＝,即x＋3x－3＝0或x＋5x＋3＝0,于是,由韦达定理可得所有符合要求的x的和为－3＋<－5>＝－8,答案为C．
    2.1.86已知函数f<x>的定义域是一个无限集,那么,在定义域中存在无穷多个实数 x使得f<－x>＝f<x>成立是f<x>为偶函数的．
     充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 解析 由偶函数的概念可知答案为B．
    222.1.87已知y＝f<x>是定义在R上的单调函数,实数x1<x2,λ≠－1,α＝,β＝,若|f<x1>－f<x2>|<|f<α>－f<β>|,则．
     λ<0 λ＝0 0<λ<1 λ≥1
    解析 由|f<x1>－f<x2>|<|f<α>－f<β>|及y＝f<x>在<－∞,＋∞>上单调函数可得区间<x1,x2>应是区间<α,β>的子集,即|x1－x2|<|α－β|,于是,|x1－x2|<,即|1＋λ|<|1－λ|,所以,λ的取值范围是λ<0,答案为A．
    2.1.88对于a,b∈R,定义min{a,b}＝若函数f<x> －min{|x＋t|,|x－2|}是偶函数,则t＝．
    解析 考察函数y＝|x－2|和y＝|x＋t|的图象可知t＝2．
    2.1.89函数f<x>＝|x＋2|＋|x－1|＋|x|的单调递增区间是．

    解析 函数f<x>＝∞>．
    所以,函数f<x>的单调递增区间是<0,＋2.1.90求证：函数f<x>＝是奇函数．
    38 / 142
    解析f<x>＝
    ＝,
    此函数的定义域是{x|x≠0,x∈R},并且f<－x>＝－f<x>,所以,它是奇函数． 2.1.91指出f<x>＝的单调性．
    解析 函数f<x>＝即此函数的定义域是[2,6>∪<6,10]．
    若2<x1<x2<6,则的自变量x应满足
    >>0,于是,0<f<x1><f<x2>,同理,当6<x1<x2<10时,也有f<x1><f<x2><0． 所以,函数f<x>＝递增．
    在[2,6>,<6,10]上单调2.1.92已知函数f<x>＝．
    <1> 指出函数f<x>的单调性,并予以证明； <2> 画出函数f<x>的大致图象． 解析 <1> 设x1<x2,则y1－y2＝
    ,于是,当x1<x2<－2或－2<x1<x2<2或2<x1<x2时,都有y1>y2．
    所以,函数y＝在<－∞,－2>,<－2,2>,<2,＋∞>上单调递减．
    <2> 函数y＝的图象如图所示． <注：关于函数y＝的图象,应当以虚线的形式作直线x＝2和x＝－2表示该函数的定义域,函数图象应体现出不断趋近于这两条直线,应当表现函数的图象过点．
    2.1.93已知奇函数y＝f<x>是定义在<－2,2>上的减函数,若f<m－1>＋f<2m－1>>0,求实数m的取值范围．
    解析 由已知可得f<m－1>>－f<2m－1>＝f<1－2m>,再由函数f<x>的定义域是<－2,2>39 / 142
    及在定义域上为减函数得所以,m的取值范围是－<m<．
    2.1.94若函数f<x>＝<a－x>|x－1|在<－∞,＋∞>上是减函数,求a的值．
    解析f<x>＝
    若a＝1,则f<x>＝函数f<x>在<－∞,＋∞>上是减函数． 当a>1和a<1时函数f<x>的图象如图所示,它们都不是<－∞,＋∞>上的减函数,所以,a＝1．
    题2.1.94<1>题2.1.94<2> 2.1.95已知f<x>和g<x>都是定义在R上的奇函数,若F<x>＝af<x>＋bg<x>＋2在<0,＋∞>上有最大值为5,求F<x>在<－∞,0>上的最小值．
    解析 由已知得当x>0时有af<x>＋bg<x>＋2≤5,则af<x>＋bg<x>≤3．
    若x<0,则－x>0,F<x>＝af<x>＋bg<x>＋2＝－af<－x>－bg<－x>＋2＝－[af<－x>＋bg<－x>]＋>2≥－3＋2,
    所以,F<x>在<－∞,0>上的最小值为－1． 2.1.96对于判断函数y＝在<－1,1>上的单调性问题,某同学给出了如下的解法：
    令x＝cosθ <0<θ<π>,则y＝cotθ,由于y＝cotθ在<0,π>上单调递减,所以,此函数在<－1,1>上为减函数．
    上述结论是否正确,试说明理由．
    解析 结论错误,设x1<x2,即cosθ1θ2,其中θ1,θ2∈<0,π>,则θ1>θ2,而y＝cotθ在<0,π>上单调递减,于是cotθ1θ2,即y1<y2,所以,函数y＝上是单调递增函数．
    2.1.97写出函数f<x>＝在<－1,1>为奇函数的充要条件并证明你的结论．
    解析 若a＝0,则f<x>＝,不存在实数x能使得f<x>有意义,于是a≠0；
    若a>0,则函数自变量x必须满足－a≤x≤a,此时f<x>＝,必有x＋2a>0,即该函数的定义域是[－a,a],于是有f<0>＝≠0,该函数一定不是奇函数；
    若a<0,则函数自变量x必须满足a≤x≤－a,此时f<x>＝,该函数的定义域是为[－a,0>∪<0,a],并有f<－x>＝－f<x>,即此函数是奇函数,所以,函数f<x>＝40 / 142
    奇函数的充要条件是a<0．
    2.1.98下列函数中,在<1,＋∞>上为增函数的是．
     y＝<x－2> y＝ y＝ y＝22

    解析 函数y＝<x－2>在<－∞,2>上单调递减,在<2,＋∞>上单调递增；函数y＝即为y＝－,它在<－∞,1>,<1,＋∞>上单调递增；函数y＝即为y＝在<－∞,－1>,<－1,＋∞>上单调递减；函数y＝,它的定义域是<－∞,－2]∪[4,＋∞>,它在<－∞,－2]上单调递减,在[4,＋∞>上单调递增,所以,答案为B．
    2.1.99函数f<x>＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是．
    22     ab＝0 a＋b＝0 a＝b a＋b＝0
    解析 因为函数f<x>＝x|x＋a|＋b是奇函数,则对任意x∈R有f<－x>＝－f<x>成立,于是,由f<0>＝0得b＝0,再由f<－1>＝－f<1>得－|－1＋a|＝－|1＋a|,解得a＝0,此时,f<x>＝x|x|,显然为奇函数,所以,函数f<x>＝x|x＋a|＋b是奇函数的充要条件是a＝b22＝0,即a＋b＝0,答案为D．
    2.1.100已知函数y＝f<x>是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f<x>＝0的所有实根之和为．
     4 2 1 0
    解析 设x0是方程f<x>＝0的一个根,则f<－x0>＝f<x0>＝0,－x0也是方程f<x>＝0的根,所以,方程f<x>＝0的四个实根之和是0,答案为D．
    2.1.101函数f<x>＝．
     是奇函数,但不是偶函数 是偶函数,但不是奇函数 既是奇函数,又是偶函数 既不是奇函数,也不是偶函数
    解析 对于任意的x∈{x|x≠0,x∈R},若x>0,则－x<0,于是f<－x>＝－x<1－x>＝ －f<x>,若x<0,则－x>0,f<－x>＝－x[1－<－x>]＝－x<1＋x>＝－f<x>,所以,函数f<x>是奇函数,答案为A．
    2.1.102定义在R上的偶函数f<x>在[0,＋∞>上是增函数,若f<a><f<b>,则一定可得．
     a<b a>b
    |a|<|b| 0≤a<b或a>b≥0
    解析 对于定义域为R的偶函数,若x≥0,则f<|x|>＝f<x>,若x<0,则f<|x|>＝f<－x>＝f<x>,所以,定义域为R的偶函数f<x>对于任意x∈R,有f<|x|>＝f<x>,于是由f<a><f<b>可得f<|a|><f<|b|>,而|a|≥0,|b|≥0,再由f<x>在[0,＋∞>上是增函数得|a|<|b|,答案为C．
    2.1.103已知定义在R上的奇函数f<x>满足f<x＋2>＝－f<x>,则f<6>的值为．     －1 0 1 2
    解析 由f<x＋2>＝－f<x>得f[<x＋2>＋2]＝－f<x＋2>,则f<x＋4>＝f<x>,于是,f<6>＝f<2>．而定义域为R的奇函数一定有f<0>＝0,又f<0＋2>＝－f<0>,则f<2>＝0,所以,f<6>＝0,答案为B．
    41 / 142
    2.1.104定义在R上的函数f<x>满足：f<x>f<x＋2>＝13,若f<1>＝2,则f<99>＝．     13 2
    解析 由已知可得f<x＋2>f<x＋4>＝13,于是,f<x＋4>＝f<x>,则f<99>＝f<3>,而f<1>f<1＋2>＝13,所以,f<99>＝,答案为C．
    2.1.105在R上定义的函数f<x>是偶函数,且f<x>＝f<2－x>,若f<x>在区间[1,2]上是减函数,则f<x>．
     在区间[－2,－1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数 在区间[－2,－1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数 在区间[－2,－1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数 在区间[－2,－1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
    解析 由f<x>＝f<2－x>得f<1＋x>＝f[2－<1＋x>],即f<1＋x>＝f<1－x>,函数f<x>的图象关于直线x＝1对称,则函数f<x>在[0,1]上单调递增．f<2＋x>＝f[2－<2＋x>],即f<x＋2>＝f<－x>,又f<－x>＝f<x>,于是,f<x＋2>＝f<x>,函数f<x>是以2为周期的周期函数,所以,函数f<x>在[－2,－1]上单调递增,在[3,4]上单调递减,答案为B．
    2.1.106函数f<x>＝|x－n|的最小值为．
     190 171 90 45
    解析 在区间<－∞,1>,[1,2>,[2,3>,,[9,10>上,函数f<x>解析式中x的系数都是负数,在区间[10,11>,[11,12>,,[18,19>,[19,＋∞>上,函数f<x>解析式中x的系数都是正数,所以,函数f<x>在<－∞,10>上单调递减,在<10,＋∞>上单调递增,所以,当x＝10时,函数f<x>取得最小值2×<9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1>＝90,答案为C．
    2.1.107若函数f<x>＝|x－m|－mx存在最小值,则常数m的取值范围是．
    解析f<x>＝由函数的单调性可知,要使得f<x>有最小值,应有所以,m的取值范围是－1≤m≤1．
    <a≠1>在区间<0,1]上是减函数,则实数a的取值范围2.1.108若函数f<x>＝是．
    解析 函数f<x>的自变量x应满足3－ax≥0,若a<0,则此函数的定义域是x≥,此时a－1<0,该函数在<0,1]上是减函数；若a＝0,则f<x>＝－数的定义域是x≤,并且函数g<x>＝,不符合要求；若a>0,则此函在定义域上单调递减,于是,要使得函数f<x>42 / 142
    ＝在<0,1]上单调递减,必须有则1<a≤3,所以,a的取值范围是a<0或1<a≤3．
    2.1.109函数y＝的值域是．
    解析y＝,而函数y＝的定义域是[3,＋∞>,它在[3, 的值域是<0,2]．
    ＋∞>上单调递减,所以,函数y＝2.1.110设函数f<x>＝为奇函数,则a＝．
    解析 由函数f<x>是奇函数可得f<－1>＝－f<1>,而f<－1>＝0,于是,f<1>＝2<1＋a>＝0,解得a＝－1,则f<x>＝对任意满足x≠0的实数x都有f<－x>＝－f<x>,即函数f<x>是奇函数,所以,a＝－1．
    2.1.111若f<x>是偶函数而g<x>是奇函数,且f<x>＋g<x>＝＝．
    ,则f<x>＝；g<x>解析 由已知得于是
    解得f<x>＝,g<x>＝．
    2.1.112已知定义域为R的奇函数f<x>当x≥0时f<x>＝x<1－x>,则此函数的解析式是．
    解析 若x<0,则－x>0,f<x>＝－f<－x>＝－<－x>[1－<－x>]＝x<1＋x>,所以,f<x>＝
    2.1.113已知定义域是R的奇函数f<x>对任意的x∈R满足f<x＋2>＝－f<x>,当－1≤x≤1时,f<x>＝x,则方程f<x>＝－的解集是．
    解析 由已知得f<x＋4>＝f[<x＋2>＋2]＝－f<x＋2>＝f<x>,即函数y＝f<x>是以4为周期的周期函数．当1≤x≤3时,－1≤x－2≤1,f<x－2>＝<x－2>,而f<x－2>＝f<x＋2>＝－f<x>,于是,f<x>＝－<x－2>．
    43 / 142
    所以,f<x>＝,其中k∈Z,方程f<x>＝－的解集为{x|x＝4k－1,k∈Z}．
    2.1.114已知定义域为R的奇函数y＝f<x>在<－∞,0>上是减函数,求证：y＝f<x>在<0,＋∞>上也是减函数．
    解析 设x1>x2>0,则－x1<－x2<0,于是有f<－x1>>f<－x2>,由f<x>是奇函数得－f<x1>>－f<x2>,所以,f<x1><f<x2>,函数f<x>在<0,＋∞>上是减函数．
    2.1.115已知函数f<x>＝的最小值是,求a的值．
    解析 若a≥0,则函数f<x>的定义域是[0,＋∞>,且在[0,＋∞>上单调递增,当x＝0时,y最小值＝,于是,解得a＝．
    若a<0,则函数f<x>的定义域是[－a,＋∞>,且在[－a,＋∞>上单调递增,当x＝－a时,y最小值＝,于是,解得a＝－．
    所以,a的值是或－．
    2.1.116如果定义域为实数集D的函数f<x>同时满足以下两个条件： ①f<x>在D上或是单调递增函数,或是单调递减函数； ② 存在区间[a,b]⊆D,使得f<x>在[a,b]上的值域也是[a,b], 这样的函数我们称为"闭函数"．
    3<1> 定义域为R的函数y＝－x是否为"闭函数"？请说明理由；
    <2> 若函数f<x>＝－x＋1 <x∈[a,b]>,问：它能否成为"闭函数"？请说明理由． 解析 <1> 设x1<x2,则y1－y2＝－＝<x2－x1><＋x1x2＋>＝<x2－x1>>0,即y1>y2,所以,函数y＝－x在<－∞,＋∞>上单调递减．若它是"闭3函数",则解得所以,函数y＝－x是"闭函数"．
    3<2> 由f<x>＝<x－1>＋得若它是"闭函数",则于t的方程t－4t＋2＝0有两个不相等的实数解t＝2±22或,则a＝2－关与a≥1矛盾．
    44 / 142
    由<b－a>＝0及a<b≤1得a＋b＝0,于是a＋2＝0,矛盾．
    222所以,函数f<x>＝－x＋1<x∈[a,b]>不能成为"闭函数"．
    2.1.117已知函数f<x>＝x＋ <x≠0,常数a∈R>,指出函数f<x>的奇偶性,并说明理由．
    2解析 若a＝0,则函数f<x>＝x是偶函数．
    若a≠0,则f<1>＝1＋a,f<－1>＝1－a,f<－1>≠f<1>且f<－1>≠－f<1>,所以,此时函数f<x>是非奇非偶函数．
    2.1.118指出函数f<x>＝x＋的单调性．
    22解析 设x1<x2,则f<x1>－f<x2>＝若x1<x2<0,则f<x1>－f<x2>>0；若0<x1<x2<若．
    ,则x1x2<x1＋x2>－3<0,f<x1>－f<x2>>0；
    2<x1<x2,则x1x2<x1＋x2>－3>0,f<x1>－f<x2><0,所以,函数f<x>＝x＋在<－∞,0>,上单调递减,在上单调递增．
    2.1.119已知定义域是R的函数f<x>当x>0时f<x><1,且对任意实数x,y有f<x＋y>＝f<x>f<y>,f<2>＝,f<0>≠0．
    <1> 求证：函数f<x>在<－∞,＋∞>上单调递减；
    <2> 解不等式：f<x>f<3x－1><．
    解析 <1> 由已知得f<0＋0>＝f<0>f<0>,而f<0>≠0,得f<0>＝1,f[x＋<－x>]＝f<x>f<－x>,则f<－x>f<x>＝1,于是,对任意的x∈R都有f<x>≠0,又f≥0,所以f<x>>0．
    设x1<x2,则f<x1>－f<x2>＝f<x1>－f[x1＋<x2－x1>]＝f<x1>－f<x1>f<x2－x1>,由x2－x1>0得f<x2－x1><1,则f<x1>>f<x1>f<x2－x1>,即f<x1>－f<x2>>0,所以,函数f<x>在<－∞,＋∞>上单调递减．
    <2> 由f<1＋1>＝f<1>f<1>得f<2>＝[f<1>],又f<x>>0,所以f<1>＝,f<1＋2>＝2f<1>f<2>＝,则不等式f<x>f<3x－1><即为f<x＋3x－1><f<3>,于是,x＋3x－1>3,所以,x>1．
    2.1.120设函数f<x>在<－∞,＋∞>上满足f<2－x>＝f<2＋x>,f<7－x>＝f<7＋x>,且在闭区间[0,7]上只有f<1>＝f<3>＝0．
    <1> 判断函数y＝f<x>的奇偶性；
    45 / 142
    <2> 求方程f<x>＝0在闭区间[－2005,2005]上根的个数,并证明你的结论．
    解析 <1> 在f<2－x>＝f<2＋x>中,令x＝3,得f<－1>＝f<5>,又f<5>≠0,从而f<－1>≠0,但f<1>＝0,所以f<－1>≠f<1>,且f<－1>≠－f<1>,所以,f<x>既不是奇函数,也不是偶函数．
    <2> f<10＋x>＝f[7＋<3＋x>]＝f[7－<3＋x>]＝f<4－x>＝f[2＋<2－x>]＝f[2－<2－x>]＝f<x>,即f<x>是以10为周期的周期函数,于是对任意整数n,都有f<10n＋1>＝f<1>＝0,f<10n＋3>＝f<3>＝0,即x＝10n＋1和x＝10n＋3 <n∈Z>都是方程f<x>＝0的根,由－2005≤10n＋1≤2005解得－200≤n≤200,由－2005≤10n＋3≤2005解得－200≤n≤200,即方程f<x>＝0在[－2005,2005]上至少有802个根．
    对于x0∈<7,10],若f<x0>＝0,则有f<14－x0>＝f[7＋<7－x0>]＝f[7－<7－x0>]＝0,而4≤14－x0<7,与[0,7]中只有f<1>＝f<3>＝0矛盾,即f<x>＝0在[0,10]上只有f<1>＝f<3>＝0．
    对于x0∈[－2005,2005],且x0≠10n＋1,x0≠10n＋3 <n∈Z>,若f<x0>＝0,
    一定存在整数k0使10k0≤x0<10k0＋10,则0≤x0－10k0<10,而f<x0－10k0>＝f<x0>＝0,并且x0－10k0≠1,x0－10k0≠3,与[0,10]中只有f<1>＝f<3>＝0矛盾,所以,在[－2005,2005]上,方程f<x>＝0有且仅有802个根．
    2.1.121设f<x>＝g<x>是二次函数,若f<g<x>>的值域是[0,＋∞>,则g<x>的值域是．
     <－∞,－1]∪[1,＋∞> <－∞,－1]∪[0,＋∞> [0,＋∞> [1,＋∞>
    解析 函数f<x>在<－∞,－1]上单调递减,在<－1,＋∞>上单调递增,且x≤－1时,f<x>≥1,x>－1时,f<x>>－1,而二次函数的值域或为<－∞,a],或为[b,＋∞>,所以,要使得函数f<g<x>>的值域是[0,＋∞>,则g<x>的值域必须是[0,＋∞>,答案为C．
    2.1.122若定义在R上的函数f<x>满足：对任意x1,x2∈R有f<x1＋x2>＝f<x1>＋f<x2>＋1,则下列说法一定正确的是．
     f<x>为奇函数 f<x>为偶函数
    f<x>＋1为奇函数 f<x>＋1为偶函数
    解析 令x1＝x2＝0可得f<0>＝－1,又f[x＋<－x>]＝f<x>＋f<－x>＋1,于是,f<－x>＋1＝－[f<x>＋1],所以,函数f<x>＋1为奇函数,答案为C．
    2.1.123函数f<x>的定义域为R,若f<x＋1>与f<x－1>都是奇函数,则．     f<x>是偶函数 f<x>是奇函数 f<x>＝f<x＋2> f<x＋3>是奇函数
    解析 若f<x>＝sinπx,则f<x＋1>＝sin<x＋1>π,f<x＋1>＝－sinπx,f<x－1>＝sin<x－1>π,f<x－1>＝－sinπx,此时,函数f<x＋1>和f<x－1>都是奇函数,而f<x>也是奇函数,结论A不正确．
    若f<x>＝cossin,则f<x＋1>＝cos＝－sin,f<x－1>＝cos＝,此时,函数f<x＋1>和f<x－1>都是奇函数,而f<x>是偶函数,结论B不正确． 如果f<x>＝f<x＋2>正确,则f<x－1>＝f<x－1＋2>,由f<x＋1>是奇函数得f<－x＋1>＝－f<1＋x>．
    于是,f<x－1>＝－f<1－x>,f[<x＋1>－1]＝－f[1－<x＋1>],则f<x>＝－f<－x>,函数46 / 142
    f<x>一定是奇函数,由结论B可知f<x>＝f<x＋2>不正确．
    由已知可得f<1－x>＝－f<x＋1>且f<－x－1>＝－f<x－1>,f<x＋3>＝f[1＋<2＋x>]＝－f[1－<2＋x>]＝－f<－1－x>＝f<x－1>,f<3－x>＝f[1＋<2－x>]＝－f[1－<2－x>]＝－f<x－1>．
    所以,f<3－x>＝－f<3＋x>,函数f<x＋3>是奇函数,答案为D．
    2.1.124已知函数f<x>是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xf<x＋1>＝<1＋x>f<x>,则     0 1
    的值是．
    解析 令x＝－,则－,由f<x>是偶函数得f＝f,则f＝0．
    令x＝0,则0×f<0＋1>＝<1＋0>f<0>,于是,f<0>＝0．令x＝,则,即,令x＝,则,可得f＝0,f＝0．
    所以,f＝f<0>＝0,答案为A．
    2.1.125若存在常数p>0,使得函数f<x>满足f<px>＝f正周期为．
    <x∈R>,则f<x>的一个解析f期函数．
    ＝f＝f＝f<x>,所以,函数f<x>是以为周期的周2.1.126设函数f<x>＝－,对于集合M＝[a,b] <a<b>,集合N＝{y|y＝f<x>,x∈M},问：是否存在实数a,b使M＝N成立?若存在,求出a,b的值；若不存在,说明理由．
    解析 由f<－x>＝－f<x>可知函数f<x>是一个奇函数．当x≥0时,f<x>＝－,即f<x>＝－1＋,在<0,＋∞>上它是减函数,又由它是奇函数可得函数f<x>在<－∞,＋∞>47 / 142
    是减函数,于是由M＝N得即＝a,解得a＝b＝0,与a<b矛盾,所以,满足要求的实数a,b不存在．
    2.1.127试说明函数f<x>＝的单调递增区间．
    解析 设－1≤x1<x2≤1,则f<x1>－f<x2>＝<0,即f<x1><f<x2>,所以,函数f<x>＝的单调递增区间是[－1,1]．
    2.1.128已知函数f<t>＝t＋ <t>0>．记max{a,b}＝
    <1> 若0<k<m,求函数g1<x>＝max{f<kx>,f<mx>}的最小值；
    <2> 若0<k<m<n,求函数g2<x>＝max{f<kx>,f<mx>,f<nx>}的最小值．
    解析 <1> f<kx>－f<mx>＝kx＋,
    由0<k<m得当0<x<,f<kx>>f<mx>,于是,g1<x>＝而函数f<t>＝t＋在<0,1>上单调递减,在<1,＋∞>上单调递增,于是,函数f<kx>＝kx＋在上单调递减,在上单调递增,函数f<mx>＝mx＋在上单调递减,在上单调递增,又<<,所以,函数g1<x>在上单调递减,在上单调递增,当x＝时,g1<x>取得最小值．
    <2> 由0<k<m<n得0<<<,同理可得g2<x>＝
    48 / 142
    当x＝时,g2<x>取得最小值．
    三、反函数
    2.1.129函数y＝的反函数与其原函数相同的条件是．     a＝0,b＝0 a＝1,b∈R
    a＝1,b≠－1,b∈R a＝－1,b＝0 解析 由原函数得bxy－y＝ax＋1,即x＝2,于是,反函数为y＝22,所以,对定义域中一切x都成立,即bx－x＋bx－1＝abx＋bx－ax－a,解得a＝1,b可取任意实数,答案为B．
    2.1.130已知函数y＝x＋m与y＝nx－6互为反函数,则m＝；n＝．
    解析 由原函数得x＝3y－3m,所以,反函数是y＝3x－3m,则n＝3,m＝2． 2.1.131若点<1,2>在函数y＝的图象上,又在它的反函数的图象上,则a＝；b＝．
    解析 点<1,2>在反函数的图象上,则该点关于直线y＝x的对称点在原函数的图象上,于是 解得
    －12.1.132设函数y＝f<x>存在反函数y＝f<x>,且函数y＝x－f<x>的图象过点<1,2>,－1则函数y＝f<x>－x的图象一定过点．
    解析 由已知可得2＝1－f<1>,则f<1>＝－1,即函数y＝f<x>的图象过点<1,－1>,则－1－1函数y＝f<x>的图象过点<－1,1>,当x＝－1时,函数y＝f<x>－x有y＝2,所以,函数y＝f－1<x>－x的图象一定过点<－1,2>．
    2.1.133"函数f<x><x∈R>存在反函数"是"函数f<x>在R上为增函数"的．     充分而不必要条件 必要而不充分条件 充分必要条件 既不充分也不必要条件
    解析 存在反函数的函数一定是一一对应的函数,它在定义域上可能是增函数,也可能是减函数．而定义域上的增函数一定是一一对应的函数,它一定存在反函数,所以,"函数f<x><x∈R>存在反函数"是"函数f<x>在R上为增函数"的必要不充分条件,答案为B．
    －12.1.134定义域是R的奇函数y＝f<x>有反函数y＝f<x>,那么,坐标平面上的点一－1定在y＝f<x>的图象上．
     <－f<a>,a> <－f<a>,－a>
    －1－1 <－a,f<a>> <a,f<－a>>
    －1－1解析 由函数f<x>是奇函数得f<－x>＝－f<x>,于是,f[－f<a>]＝f[f<－a>]＝－a,所以,点<－f<a>,－a>一定在y＝f－1<x>的图象上,答案为B．
    －12.1.135已知函数y＝f<x><x∈R>的图象与其反函数y＝f<x>的图象重合,若x≤02时,f<x>＝x,则x>0时f<x>＝．
    解析 原函数的图象与反函数的图象关于直线y＝x对称,若函数y＝f<x>的图象与其反函数的图象重合,则原函数图象上的点<x,y>关于直线y＝x的对称点<y,x>在其反函数的49 / 142
    图象上．所以,当x≤0时f<x>＝x,则当x>0时,y＝－2．
    2.1.136函数y＝是．
    的图象与其反函数的图象围成的封闭区域的面积解析 由y＝＋2得x＝3<y－2>,y≥2, 由y＝3x＋2得x＝,y<2,所以,原函数的反函数是y＝
    原函数与反函数的图象围成以<2,0>,<3,3>,<0,2>,<－1,－1>为顶点的菱形,它的两条对角线长是22.1.137函数y＝     y＝ y＝和4,其面积S＝4×××2＝8．
    －1 <x≤0>的反函数是． <x≥－1> y＝－ <x≥0> y＝－23 <x≥－1> <x≥0>
    <y≥－1>,所以,反函数是y＝
    解析 由已知得x＝<y＋1>,于是x＝－－ <x≥－1>,答案为B．
    2.1.138设函数f<x>＝ <0≤x<1>的反函数为f<x>,则．
    －1     f<x>在其定义域上是增函数且最大值为1
    －1 f<x>在其定义域上是减函数且最小值为0
    －1 f<x>在其定义域上是减函数且最大值为1
    －1 f<x>在其定义域上是增函数且最小值为0 解析 由0≤x<1可得0<1－≤1,则f<x>≥1,所以,函数f<x>＝ <0≤x<1>的－1反函数是f<x>＝－1<x≥1>．设1≤x1≤x2,则f<x1>－f<x2>＝1－－1－1<0．
    所以,f<x>在其定义域上是增函数且最小值为0,答案为D．
    －1－12.1.139若函数f<x>的反函数为f<x>,则函数f<x－1>与f<x－1>的图象可能是．
    －1    50 / 142

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