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    南充高中考试数学试题及答案-

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    南充高中2015年面向省内外自主招生考试
    数 学 试 题
    （考试时间：120分钟 试卷总分：150分）
    第Ⅰ卷（选择.填空题）
    一、选择题（每小题5分，共计50分.下列各题只有一个正确的选项，请将正确选项的番号填入答题卷的相应位置）
    1、二次函数ya(x44(a0的图象在2x3这一段位于x轴的下方，在26x7这一段位于x轴的上方，则a的值可为
    A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 2、设a,b是不相等的任意正数，又xabab,yab，则x,y这两个数一定
    A．都不大于2 B.都不小于2 C.至少有一个不小于2 D.至少有一个小于2 abck3、已知bcacab，则直线ykx2k一定过
    A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 4、如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限.若反比例函数yk的图象经过点B，则k的值是
    xA. 1 B. 2 C. 3 D. 23 5、如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，，的中点分别是M，N，P，Q.若MP+NQ=14，AC+BC=18，则AB的长是
    90 C. 13 D. 16 72y26、在同一平面直角坐标系内直线yx1、双曲线抛物线y2x12x15共x、A. 92 B. 有多少个交点
    A．5个 B.6个 C.7个 D.8个
    2a36a2a31 7、已知a，则22a21
    A．3 B．3 C．32 D．32
    南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 1 / 12


    8、如图，P为等腰三角形ABC内一点，过P分别作三条边BC、CA、AB的垂线，垂足分别为D、E、F.已知ABAC10，BC12，且PD∶PE∶PF1∶∶33.则四边形PDCE的面积为
    A．10 B．15 C．4050 D． 339、甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行0.1米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是（）米
    A. 176 B.376 C. 576 D. 776 10.已知一个梯形的四条边长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积为
    10    2A. 4 B.6 C. 82 D. 3
    二、填空题（每小题5分，共计30分，请将你的答案填到答题卷的相应位置处） 11、同时抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子的六个面分别刻有1到6的点数，朝上的点数中，一个点数能被另一个点数整除的概率为
    12、设,是方程x29x10的两根，则(20151(20151的值为 13、已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为
    14、已知在ABC中，BC边的长为12，且这边上的高AD的长为3，则ABC的周长的最小值为 15、已知x2ax12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是
    16. 某校举办数学竞赛，A,B,C，D,E五位同学分获前5名.发奖前，老师请他们猜一猜各人名次排列情况.A说：“B第三名，C第五名” ；B说：“E第四名，D第五名”； C说：“A第一名，E第四名”；D说：“C第一名，B第二名”； E说：“A第三名，D第四名”.结果，每个名次都有人猜对.请将五位同学名次按第一到第五依次排列为：
    三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤 17、（1）（本小题5分）解方程3x215x2x25x12
    2    2xx4a4y2ax2a218、（本小题12分）已知抛物线yx与动 （2）（本小题5分）当a0时化简
    a212xx212a直线南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 2 / 12


    222y(2t1xc有公共点(x1,y1,(x2,y2，且x1x2t2t3
    （1） 求实数t的取值范围
    （2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值

    19、（本小题12分）某乒乓球训练馆准备购买n 副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配
    k(k3个乒乓球.已知A,B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球
    拍的标价都为20元，每个乒乓球的标价都是1 元，现两家超市正在促销，A超市所有商 品均打九折(按原价的90%付费销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑 购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
    （1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去哪家超市买更合算？ （2）当k12时，请设计最省钱的购买方案
    20、（本小题12分）如图1已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心，R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D． (1求证：△ABC∽△ACD；
    3(2若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，
    5① 如图2，当点D与点P重合时，求R的值； ② 当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示．



    图1 图2 , 21、（本小题12分）如图，已知：正方形ABCD中，AB=8，点O为边AB上一动点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E（不与点A、D重合），EF⊥OE交边CD南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 3 / 12


    于点F．设BOx,AEy．
    （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
    （2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长；
    （3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的x的取值范围．



    22、（本小题12分）如图，已知抛物线yx3xm经过点C(－2，6， 与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧，与y轴交于点D． (1求点A的坐标；
    (2设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：△AEC是等腰直角三角形; (3连接AD交BC于点F，试问当4x1时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似？若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 4 / 12

    2
    一、选择题答案：(每小题5分，共计50分 题号 答案
    1 A 2 C 3 B 4 C 5 C 6 A 7 A 8 C 9 A 10 D
    二、填空题答案：(每小题5分，共计30分
    1111．_______18________ 12．__20062 （即4024036）___ 13．_________2或3.5_______ 14．_______1265____________ 15．_________6____________ 16．____ CBAED ______________ 三、解答题：（本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的说明,证明过程和推演步骤 17、（1）（本小题5分）解方程3x215x2x25x12


    xx4a4yax2a2（2）（本小题5分）当a0时化简
    a212xx212a解：（1）原方程整理得3(x25x12x25x150，设y则原方程化为3y2y50即(y1(3y50，解得，2x25x1
    53，又y0
    y11,y2y1，故x25x11，解得x0或x5
    故原方程的解为x10,x25

    （2）

    xyaxaaxxaax(x2a2(x2a2x2a2x2a2x2a2x2a2aa2x2xx2a2(x2a2x2a2又a0当x0时y1 ，当x0时y1
    18、（本小题12分）已知抛物线yx与动直线y(2t1xc有公共点(x1,y1,(x2,y2，南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 5 / 12

    2
    222且x1x2t2t3
    （2） 求实数t的取值范围
    （2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值
    解：（1）联立yx与y(2t1xc，消去y得二次方程x(2t1xc0 ①有实根x1,x2，则x1x22t1,x1x2c，所以22cx1x21(x1x22(x12x22211222(2t1(t2t323t6t4②，把②代入方程①得2x22t1x123t6t40222t2t3xx0④，且③，的取值应满足t122222使方程③有实根，即2t123t6t42t8t70⑤，解不等式④得t3或t1，解不等式⑤得222t222⑥
    222t222，所以t的取值范围为（2）由②式知c123131223t6t4t1ct1222，由于22，在22221162t2t2cmin 22是递增的，所以当2时，419、（本小题12分）某乒乓球训练馆准备购买n
    副某种品牌的乒乓球拍，每副球拍配k(k3个乒乓球
    已知A,B两家超市都有这个品牌的乒乓球拍和乒乓球出售，且每副球拍的标价都为20元， 每个乒乓球的标价都是1 元，现两家超市正在促销，A超市所有商品均打九折(按原价的90%付费销售，而B超市买1副乒乓球拍送3个乒乓球，若仅考虑购买球拍和乒乓球的费用，请解答下列问题：
    （1）如果只在某一家超市购买所需球拍和乒乓球，那么去哪家超市买更合算？
    南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 6 / 12


    （2）当k12时，请设计最省钱的购买方案 解：（1）由题意，去A超市购买n副球拍和kn个乒图1 乓球的费用为0.920nkn元，去B超市购买n副球拍和kn个乒乓球的费用为20nnk3元，
    由0.920nkn20nnk3，解得k10； 由0.920nkn20nnk3，解得k10； 由0.920nkn20nnk3，解得k10，
    去A超市购买更合算；当k10时，去A,B两家超市购买都一样；当k10当k10时，时，去时，去B超市购买更合算
    （2）当k12时，购买n副球拍应配12n个乒乓球 若只在A超市购买，则费用为0.920n12n28.8n 元 若只在B超市购买，则费用为20nn12329n元
    若在B超市购买n副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球，则费用为20n0.9123n28.1n
    显然28.1n28.8n29n所以最省钱的购买方案是在B超市购买n副球拍，然后再在A超市购买不足的乒乓球
    20、（本小题12分）如图1已知O是锐角∠XAY的边AX上的动点，以点O为圆心，R为半径的圆与射线AY切于点B，交射线OX于点C．连结BC，作CD⊥BC，交AY于点D． (1求证：△ABC∽△ACD；
    3(2若P是AY上一点，AP=4，且sinA=，
    5① 如图2，当点D与点P重合时，求R的值； ② 当点D与点P不重合时，试求PD的长(用R表示．


    南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 7 / 12

    图2

    （1）证明：∵⊙O切AY于点B，
    ∴OB⊥AB．
    ∴∠OBC=90°-∠CBD． ∵CD⊥BC，
    ∴∠ADC=90°-∠CBD． ∴∠ADC=∠OBC．
    又在⊙O中，OB=OC=R， ∴∠OBC=∠ACB． ∴∠ACB=∠ADC． 又∠A=∠A，
    ∴△ABC∽△ACD．-------------4分 （2）解：①由已知，sinA=3，又OB=OC=R，OB⊥AB，
    5OB3∴在Rt△AOB中，sinA=
    AO554∴AOR，ABR
    338∴ACR，---------------------6分
    3∵△ABC∽△ACD
    ABAC
    ACAD    16∴ADR
    33∴R---------------------------8分
    4    ∴②当点D与点P不重合时，有以下两种可能： （i）若点D在线段AP上
    PD=AP-AD=4-16R
    3（ii）若点D在射线PY上
    PD=AD-AP=    16R-4
    3    3时，PD=0，
    4又当点D与点P重合，即R故在题设条件下，总有PD=16R4---------------------------12分
    3南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 8 / 12


    21、（本小题12分）如图，已知：正方形ABCD中，AB=8，点O为边AB上一动点，以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E（不与点A、D重合），EF⊥OE交边CD于点F．设BO=x，AE=y．
    （1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
    （2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长；
    （3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论⊙O与⊙A的位置关系，并写出相应的x的取值范围．

    解：（1）∵以点O为圆心，OB为半径的⊙O交边AD于点E， ∴OB=OE，∵四边形ABCD是正方形，
    222222∴∠A=90°， ∴AO+AE=OE，即（8-x）+y=x，
    ∵y＞0， ∴ —————— 3分
    （2）△EFD的周长不变．—————— 4分 理由如下：
    ∵EF⊥OE， ∴∠AEO+∠DEF=90°，
    ∵∠D=∠A=90°，∴∠AEO+∠AOE=90°——————5分， ∴∠DEF=∠AOE，
    ∴△AOE∽△DEF，—————— 6分
    CCAOEDEF    AO8y8xED,,CDEF8y
    2C    DEFx28x2168x641664y。。。。。。。。。7分 8x8x8x（3）设⊙O的半径R1=x，则⊙A的半径R2=8-x，圆心距d=OA=8-x，
    ∵4＜x＜8， ∴R1＞R2，
    因为点A始终在⊙O内，所以外离和外切都不可能；
    ①_x0001_ 当⊙O与⊙A相交时，R1-R2＜d＜R1+R2，即x-8+x＜8-x＜x+8-x，——————8分
    南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 9 / 12


    16解得：3 —————— 9分
    164x故可得此时：3
    0x②当⊙O与⊙A内切时，d=R1-R2，即8-x=x-8+x， 解得：x163———— 10分
    16x8③当⊙O与⊙A内含时，0＜d＜R1-R2，即0＜8-x＜x-8+x，解得：3—— 12分
    22、（本小题12分）如图，已知抛物线yx3xm经过点C(－2，6， 与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧，与y轴交于点D． (1求点A的坐标；
    (2设直线BC交y轴于点E，连接AE、AC，求证：△AEC是等腰直角三角形; (3连接AD交BC于点F，试问当4x1时，在抛物线上是否存在一点P使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似？若存在， 请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

    解：（1）∵抛物线经过点C(－2，6 2 ∴ ∴ ∴ ∴当

    ，,

    。。。。。。。。3分
     （2）证明：设直线BC的函数解析式为y=kx+b，
    南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 10 / 12


    kb0 k2
    由题意得： ，解得：。
    2kb6b2∴直线BC的解析式为y=－2x+2． —————— 5分 ∴点E的坐标为（0，2）。
    ∴AEAO2OE2 4222 25，CE∴AE=CE。—————— 7分 又∵ ∴

    —————— 6分
    20262225。 ∴△AEC为等腰直角三角形——————7分
    （3）在抛物线上存在点P使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似。—————— 8分 理由如下：
    4k1b10设直线AD的解析式为y=k1x+b1，则 ，解得： b41k11。 b41∴直线AD的解析式为y=x+4。
    yx4 联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：，y2x22 x3解得：。
    10 y3∴点F的坐标为（，
    210 ）。 33南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 11 / 12


    55210210102则BF 10。 ，AF 41 0333333又∵AB=5，BC 2160 3 5，
    ∴    2    22222BFAB BF5AB 5。 ∴。 ，
    AB3BC3ABBC又∵∠ABF=∠CBA，∴△ABF∽△CBA。
    ∴当点P与点C重合时，以A、B、P为顶点的三角形与△ABF相似。——————10分
    又∵抛物线关于直线对称
    当点P与点C的对称点重合时，以A、B、P为顶点的三角形也与△ABF相似。 ∴当点P的坐标为（-2，6）或（-—————— 12分

    时，以A、B、P为顶点的三角形也与△ABF相似。
    南充高中2015年面向省内外自主招生考试数学试题 12 / 12


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