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    2018-2019学年广东省广州市越秀区培正中学八年级(下)期中数学试卷-

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    2018-2019学年广东省广州市越秀区培正中学八年级（下）期中数学试卷
    一、选择题 1．（3分）二次根式A．x≤3
    有意义的条件是（ ） B．x＜3
    C．x≥3
    D．x＞3
    2．（3分）下列命题中，错误的是（ ） A．平行四边形的对角线相互平分

    B．矩形的对角线相等且互相垂直平分 C．菱形的对角线互相垂直平分 D．角平分线上的点到该角两边的距离相等 3．（3分）下列二次根式中的最简二次根式是（ ） A．
    B．
    C．
    D．
    4．（3分）下列运算正确的是（ ） A．C．+＝
    ＝﹣2
    B．（D．）1＝﹣

    ＝±3
    5．（3分）五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（ ）
    A． B．

    C． D．
    6．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝10，两条对角线相交于点O，若OB＝6，则菱形面积是（ ）



    A．60
    B．48
    C．24
    D．96
    7．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为（ ）

    A．16
    B．14
    C．12
    D．10
    8．（3分）实数a、b满足A．2
    9．（3分）若x+y＝3+2A．4
    B．+4a2+4ab+b2＝0，则ba的值为（ ）

    C．﹣2
    ，则C．6
    D．﹣的值为（ ）
    D．3﹣2

    ，x﹣y＝3﹣2B．1
    10．（3分）如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB、PD，若AE＝2，PF＝8，则图中阴影部分的面积为（ ）

    A．18 二、填空题
    11．（3分）如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简＝
    ．
    B．16
    C．12
    D．10
    12．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，若∠A＝20°，则∠ADE＝ ．



    13．（3分）若＝3﹣x，则x的取值范围是 ．
    14．（3分）在▱ABCD中，AB：BC＝4：3，周长为28cm，则AD＝ cm．
    15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为 ．

    16．（3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．

    三、解答题 17．（12分）计算： （1）（2）（3）（+6（1﹣+． ）+）÷+（．
    ）1．
    ﹣18．（10分）已知：矩形ABCD的一条对角线AC长8，两条对角线的一个交角∠AOB＝60°，求这个矩形的面积．

    19．（10分）如图，每个小正方形的边长为1． （1）求BC与CD的长； （2）求证：∠BCD＝90°．



    20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形ABCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为（10，8）． （1）求CE的长； （2）写出点E的坐标．

    21．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠DAC是△ABC的一个外角． 实验与操作：
    根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法） （1）作∠DAC的平分线AM；
    （2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF． 猜想并证明：
    判断四边形AECF的形状并加以证明．

    22．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发

    现了：线段GM与GN的数量关系是 ；位置关系是 ． （2）类比思考：
    如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由． （3）深入研究：
    如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

    23．（9分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH． （1）求证：GF＝GC；
    （2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．





    2018-2019学年广东省广州市越秀区培正中学八年级（下）期中数学试卷
    参考答案与试题解析
    一、选择题
    1．【解答】解：根据二次根式有意义，得：x﹣3≥0， 解得：x≥3． 故选：C．
    2．【解答】解：A、平行四边形的对角线相互平分，所以A选项为真命题； B、矩形的对角线相等且相互平分，所以B选项为假命题； C、菱形的对角线互相垂直平分，所以C选项为真命题；
    D、角平分线上的点到该角两边的距离相等，所以D选项为真命题． 故选：B．
    3．【解答】解：A、符合最简二次根式的定义，故本选项正确； B、原式＝C、原式＝，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误； ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；
    D、被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误； 故选：A． 4．【解答】解：A、B、（C、D、）1＝﹣+，无法合并，故此选项错误；
    ，正确； ＝2﹣，故此选项错误；
    ＝3，故此选项错误；
    故选：B．
    5．【解答】解：A、72+242＝252，152+202≠242，222+202≠252，故A不正确； B、72+242＝252，152+202≠242，故B不正确； C、72+242＝252，152+202＝252，故C正确； D、72+202≠252，242+152≠252，故D不正确． 故选：C．
    6．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，


    ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝6， ∴AO＝＝＝8，
    ∴AC＝16，BD＝12， ∴菱形面积＝故选：D．
    7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，OA＝OC，AD∥BC， ∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO， 在△AOE和△COF中，
    ＝96，
    ，
    ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，
    故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC＝CD+EF+AE+ED＝CD+AD+EF＝4+5+1.5×2＝12． 故选：C．

    8．【解答】解：整理得，所以，a+1＝0，2a+b＝0， 解得a＝﹣1，b＝2， 所以，ba＝21＝﹣+（2a+b）2＝0，
    ．
    故选：B．
    9．【解答】解：∵x+y＝3+2∴原式＝故选：B．
    10．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
    ＝，x﹣y＝3﹣2＝
    ＝1．



    则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形， ∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN， ∴S△DFP＝S△PBE＝∴S阴＝8+8＝16， 故选：B． 二、填空题
    11．【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0， ∴ab＜0，
    ∴＝|ab|＝﹣ab，
    ×2×8＝8，
    故答案为﹣ab．
    12．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝20°， ∴∠B＝∠C＝80°，
    ∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC， ∴∠B＝80°， 故答案为：80°． 13．【解答】解：∵∴，解得x＝3．
    ＝3﹣x，
    故答案为：x＝3．
    14．【解答】解：∵▱ABCD中，AB：BC＝4：3，周长是28cm， ∴设AB＝4x，则BC＝3x，AB+BC＝14cm， ∴7x＝14， 解得x＝2， 故BC＝AD＝6cm．


    故答案为6．

    15．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA， ∴△AOD为直角三角形．
    ∵OE＝3，且点E为线段AD的中点， ∴AD＝2OE＝6．
    C菱形ABCD＝4AD＝4×6＝24． 故答案为：24．
    16．【解答】解：如图所示：∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时， 过点M作MF⊥DC于点F，
    ∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M为AD中点， ∴2MD＝AD＝CD＝2，∠FDM＝60°， ∴∠FMD＝30°， ∴FD＝MD＝，
    ， ， ﹣1．
    ∴FM＝DM×cos30°＝∴MC＝＝∴A′C＝MC﹣MA′＝故答案为：﹣1．

    三、解答题
    17．【解答】解：（1）原式＝2＝5；
    +3


    （2）原式＝＝3；
    ﹣3+2+3
    （3）原式＝（4＝+．
    +）÷3
    18．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，OA＝∴OA＝OB＝4， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝4， ∴BC＝∴这个矩形的面积＝，
    ．
    ＝；
    AC，OB＝BD，AC＝BD＝8，
    19．【解答】解：（1）由题意可知，BC＝CD＝
    （2）证明：连接BD． ∵BD＝＝，BC＝CD＝；
    ∴BC2+CD2＝BD2， ∴△BCD是直角三角形， 即∠BCD＝90°．

    20．【解答】解：（1）∵四边形AOCD为矩形，D的坐标为（10，8），


    ∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝8，
    ∵矩形沿AE折叠，使D落在BC上的点F处， ∴AD＝AF＝10，DE＝EF， 在Rt△AOF中，OF＝∴FC＝10﹣6＝4，
    设EC＝x，则DE＝EF＝8﹣x，
    在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3， 即EC的长为3． （2）∵EC的长为3， ∴点E的坐标为（10，3）．
    ＝6，

    21．【解答】解：如图所示，
    四边形AECF的形状为菱形．理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵AM平分∠DAC， ∴∠DAM＝∠CAM， 而∠DAC＝∠ABC+∠ACB， ∴∠CAM＝∠ACB， ∴EF垂直平分AC，
    ∴OA＝OC，∠AOF＝∠COE， 在△AOF和△COE中
    ，


    ∴△AOF≌△COE， ∴OF＝OE，
    即AC和EF互相垂直平分， ∴四边形AECF的形状为菱形．

    22．【解答】解：（1）连接BE，CD相交于H， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90° ∴∠CAD＝∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE，
    ∴∠BDC+∠DBH＝∠BDC+∠ABD+∠ABE＝∠BDC+∠ABD+∠ADC＝∠ADB+∠ABD＝90°， ∴∠BHD＝90°， ∴CD⊥BE，
    ∵点M，G分别是BD，BC的中点， ∴MG同理：NGCD，
    BE，
    ∴MG＝NG，MG⊥NG， 故答案为：MG＝NG，MG⊥NG；




    （2）连接CD，BE相交于点H， 同（1）的方法得，MG＝NG，MG⊥NG；

    （3）连接EB，DC，延长线相交于H， 同（1）的方法得，MG＝NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB＝∠ACD，
    ∴∠CEH+∠ECH＝∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE＝∠ACD﹣45°+180°﹣∠∴∠DHE＝90°，
    同（1）的方法得，MG⊥NG， ∴△MGN是等腰直角三角形．
    23．【解答】证明：（1）如图1，连接DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°， ∵点A关于直线DE的对称点为F， ∴△ADE≌△FDE，
    ∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°， ∴∠DFG＝90°，
    在Rt△DFG和Rt△DCG中，
    ∵，
    ∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL）， ∴GF＝GC； （2）BH＝AE，理由是：
    证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM＝AE， ∵AD＝AB， ∴DM＝BE，
    由（1）知：∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠ADC＝90°，
    ACD﹣45°＝90°，

    ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴2∠2+2∠3＝90°， ∴∠2+∠3＝45°， 即∠EDG＝45°， ∵EH⊥DE，
    ∴∠DEH＝90°，△DEH是等腰直角三角形， ∴∠AED+∠BEH＝∠AED+∠1＝90°，DE＝EH， ∴∠1＝∠BEH， 在△DME和△EBH中，
    ∵，
    ∴△DME≌△EBH（SAS）， ∴EM＝BH，
    Rt△AEM中，∠A＝90°，AM＝AE， ∴EM＝∴BH＝AE， AE；
    证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N， ∴∠ENH＝90°，
    由方法一可知：DE＝EH，∠1＝∠NEH， 在△DAE和△ENH中，
    ∵，
    ∴△DAE≌△ENH（AAS）， ∴AE＝HN，AD＝EN， ∵AD＝AB，
    ∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN， ∴AE＝BN＝HN，
    ∴△BNH是等腰直角三角形，


    ∴BH＝HN＝AE．





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