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    全国数学联赛金牌教练 高中奥数辅导：联赛训练之集合 函数 不等式

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    全国高中数学联赛 金牌教练员讲座
    兰州一中数学组

    第十一讲：联赛训练之集合 函数 不等式
    一,基础知识导引 <一>,集合 1,集合的性质
    集合中的元素是确实的,互异的,无序的. 2,集合的表示方法
    (1列举法:如{1,2,3,4} (2描述法:如S{xP(x}. 3,集合的元素个数
    有限集合A的元素个数记作A,我们有下面的容斥原理 (1A(2ABABAB, BCABCABBCCAABC
    4,最小数原理
    (1设M是正整数集的一个非空子集,则M中必有最小数
    (2设M是实数集的一个有限的非空子集,则M中必有最小数. <二>函数 1,函数的图象
    (1函数的图象的平移变换与伸缩变换: 平移变换:yf(x向右平移a个单位ybf(xa
    向上平移b个单位x伸长到原来的A倍11yf(x
    (A>0,B>0 y伸长到原来的B倍BA 伸缩变换:yf(x(2函数的图象的对称变换与翻折变换
    对称变换:通过点对称进行研究, 翻折变换:yf(x保留y轴右边的图像,去掉y轴左边的图像yf(x; 再作关于y轴对称的图像保留x轴上方的图像yf(x
    并将x轴下方的图像翻折到x轴上方去 yf(x1,函数的性质

    (1奇偶性:定义域关于原点对称,且f(xf(x(偶或f(xf(x(奇 (2单调性:x1x2f(x1f(x2(增或f(x1f(x2(减 (3周期性:对于T0,有f(xTf(x, 2,函数的最大值与最小值
    (1对于定义域D内的任意x,存在x0D,使得f(xf(x0,则fmax(xf(x0; 对于定义域D内的任意x,存在x0D,使得f(xf(x0,则fmin(xf(x0 (2f(x在闭区间[a,b]内连续,则f(x必有最大值与最小值. (3 f(xg(x恒成立fmin(xgman(x或[f(xg(x]min0. <三>,不等式
    (1,均幂不等式链 设a1,a2,,anR,则n111a1a2an(调和平均na1a2an(几何平均
    kkka1a2ana12a22an2aaa12n(算术平均(平方平均k
    nnn(k次方平均,k2,等号成立的条件是a1a2an. (2,柯西不等式
    设a1,a2,,an与b1,b2,,bnR,则
    (a1b1a2b2anbn2(a12a22an2(b12b22bn2
    等号成立的条件是(3,排序不等式
    aa1a2n. b1b2bn设有两个有序实数组:a1a2···an;b1b2···bn.i1,i2,···in是 1,2,···,n的任一排列,则有
    a1b1a2b2···+anbn (同序和
    a1bi1a2bi2+···+anbin (乱序和
    a1bna2bn1+···+anb1 (反序和

    当且仅当a1a2···=an或b1b2···=bn时,等号成立. 二,解题思想与方法导引. 1,函数与方程思想 2,数形结合思想. 3,分类讨论思想. 4,转化

    5,换元法 6,配方法 7,判别式法 8,局部调整法. 三,习题导引 <一>选择题
    1,设全集I{(x,yx,yR},集合M{(x,y那么CIMy31},N{(x,yyx1}, x2CIN等于
    A, B,{(2,3} C,(2,3 D,{(x,yyx1} 2,函数f(xlog1(x22x3的单调递增区间是
    2A,(,1 B,(,1 C,(1, D,(3, 3,若非空集合A{x2a1x3a5},B{x3x33},则能使A(A的所有a的集合是
    A,{a1a9} B,{a6a9} C,{aa9} D, 4,设f(x是一个函数,使得对所有整数x和y,都有f(xyf(xf(y6xy1 和 f(xf(x,则f(3等于
    A,26 B,27 C,52 D,53 5,函数f(xB成立
    xx x122A,是偶函数但不是奇函数 B,是奇函数但不是偶函数 C,既是偶函数又是奇函数 D,既不是偶函数也不是奇函数 6,若对任何x[0,1],不等式1kx11lx恒成立,则一定有 1xA,k0,l111111 B,k0,l C,k,l D,k,l
    23432222<二>填空题
    7,一次函数f(xaxb的图象经过点(10,13,它与x轴的交点为(p,0,与y轴的交点为
    (0,q,其中p是质数,q是正整数,则满足条件的所有一次函数为 . 8,函数f(xxa在区间[1,1]上的最大值M(a . 2
    9,已知f(x是定义域在(0,上的音调递增函数,且满足f(61,f(xf(yf(
    xy    1(x0,y0,则不等式f(x3f(2的解集是 . x10,设x,y,z,t满足1xyzt100,则xz的最小值为 . yt11,已知A{xx24x30,xR},B{x21xa0,x22(a7x50,xR}. 若AB,则实数a的取值范围是 . 12,使不等式sinxacosxa1cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围 是 . <三>解答题
    13,是否存在实数a,使函数f(xx2axa的定义域为[1,1],值域为[2,2]. 若存在,求a的值;若不存在,说明理由.

    14,设二次函数f(xaxbxc(a,b,cR,a0满足条件: (1当xR时,f(x4f(2x,且f(xx; (2当x(0,2时,f(x(2222x12; 2 (3f(x在R上的最小值为0. 求最大的m(m1,使得存在tR,只要x[1,m],就有f(xtx.


    15,求方程1114的正整数解. xyz5

    四,解答导引
    1,B M表示直线yx1上除去点(2,3的部分,CIM表示点(2,3和除去直线yx1的部 分,CIN表示直线yx1上的点集,所以,CIM2,A f(x的定义域为(,1CIN表示的点集仅有点(2,3,即{(2,3}. (3,,而ux22x3(x124在(,1上单
    调递减,在(3,上单调递增,所以,f(x在(,1上单调递增,在(3,上单调递减. 2a33,B 由A(AB知AB,所以3a522,解得6a9. 3a52a14,A 令xy0,得f(01,令yx,得f(x3x1,所以f(326. 5,A f(1233,f(1.有f(1f(1 222222326,D 由(1kx1x1,得(1x(1kx1,于是kx2kx1kx2kxx1, 222又x[0,1],有kx(k2kx12k0,得k1. 2
    由111lx,得12lxl2x2,有l2x2(l22lx12l0, 1x1x1. 22x[0,1]l7,f(x13x143或f(xx23. 由题意得10q13ppq, 有(p10(q13130.p只能是11,23. 当p11时,q=143; 当p23时,q23. 11a,当a28,. 数形结合,分类讨论. 1a,当a29,{x0x3317}. 2x(x361由f(x3f(2f(6及单调性,知f(x(x3f(6f(6,得. 6xx010,xz1. 1xyzt100,要最小,则x1,t100,y尽量大,z尽量小, yt5 于是yx,得1y112,这时x1,xy10,t100. y10010051x11,4a1. 可得A{x1x3},设f(x2a,g(xx22(a7x5
    要使AB,只需f(x,g(x在(1,3上的图象均在x轴的下方,则f(10,f(30, g(10,g(30,由此可解得结果. a12(a122a12,a2. 原不等式可化为(cosx, 24由1cosx1,a0,a1a120知当cosx1时,函数y(cosx 22a12(a12a122a,于是(1有最大值(1,解得a2或a1(舍去. 2422213,解:f(x(xaaa,对称轴是xa.
    (1当a1时,f(x在[1,1]上是减函数, 有f(12,得a; f(12(2当0a1时,有f(a2,得a; f(12f(a2(3当1a0时,有,得a1; f(12(4当a1时,f(x在[1,1]上是增函数,有f(12,得a. f(12于是存在a1,使f(x的定义域为[1,1],值域为[2,2]. 14,解:由f(x4f(2x,xR,可知二次函数f(x的对称轴为x1, 又由(3知,二次函数f(x的开口向上,即a0, 于是可设f(xa(x1 (a0 由(1知f(11,由(2知f(1(得1a(11,有a所以得f(x因为f(x221121,所以f(11, 21, 41(x12. 41(x12的图象开口向上,而yf(xt的图象是由yf(x的图象平移
    4t个单位得到.要在区间[1,m]上,使得yf(xt的图象在yx的图象的下方,且m
    最大,则1和m应当是关于x的方程
    1(xt12x ①
    4的两个根
    令x1代入方程①,得t0或t4. 当t0时,方程①的解为x1x21,这与m1矛盾! 当t4时,方程①的解为x11,x29,所以m9. 又当t4时,对任意x[1,9],恒有 (x1(x90,即也就是f(x4x, 1(x412x
    4
    所以,m的最大值为9. 15,解:由对称性,不妨设xyz,则111, xyz 有1111415,得x. xxyz54 又x是正整数,所以x1或2或3. (1若x1,111无正整数解, yz521141320,得y, yyz52103(2若x2,则y是正整数,且y2,于是y3,4,5,6. 当y3时,z30(舍去;当y4时,z20;当y5时,z10;当y6,z7.5(舍去. (3若x3,则21141730,得y, yyz53157 y是正整数,且y3,于是y3或4, 经检验,这时方程无正整数解, 所以原方程的正整数解为(x,y,z(2,4,20或(2,5,10.
    [参考题]: x4kx21,对任意三个实数a,b,c,存在一个以f(a,f(b,f(c为 k是实数,f(x4xx21三边长的三角形,求k的取值范围.(答案:
    1k4
    2

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