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    (完整word版)全国初中数学联赛金牌教练讲座：第十七讲梯形

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    兰州第十中学 数学组
    2013年最新八年级数学竞赛讲座
    第十七讲
    梯形
    一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形，等腰梯形是一类特殊的梯形，其判定和性质定理 与等腰三角形的判定和性质类似. 通过作辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，这是解梯形问题的基本思路，常用的辅助线的作 法是： 1 2 3 •平移腰：过一顶点作一腰的平行线；
    •平移对角线：过一顶点作一条对角线的平行线； •过底的顶点作另一底的垂线. 熟悉以下基本图形、基本结论
    例题求解
    【例1】 如图，四边形ABCD中，AB// CD, / D=2/ B,若AD=a , AB=b则CD的长是 ___________ •（ “希 望杯”邀请赛试题） 思路点拨 平移腰，构造等腰三角形、平行四边形. 注 平移腰、平移对角线的作用在于，能得到长度为梯形上下底之差或之和的线段，能把题设条件集中到 同一三角形中来. 一^?" 【例2】 已知一个梯形的 4条边的 长分别为1、2、3、4，则此梯形的面积等于（ 第1页（共9页）




    10 A . 4 B . 6 C . 8 2 D . 3 （ 全国初中数学联赛试题）
    思路点拨 给出4条线段，要构成梯形需满足一定条件，解题的关键是确定可能的上、下底. 注 给出4条线段不一定能构成梯形，需满足一定的条件，讨论的方法是通过平移腰，把问题转化为三角 形的问题讨论，请读者思 考，设为梯形的上、下底，
    c、为腰，那么a、b、c、d满足怎样的条件？
    2 【例3】⑴ 如图，已知等腰梯形 ABCD中，AB=CD AD// BC, E是梯形外一点，且 EA=ED求证：EB=EC （2） 请你将（1）中的“等腰梯形”改为另一种四边形，其余条件不变，使结论“ 根据改编后的问题画图形，并说明理由. （黄冈市中考题）
    EB=EC仍然成立，再
    C
    思路点拨 要使“ EB=EC仍然成立，只需新的四边形与 「等腰梯形有一些共同的特征. 【例4】 如图，已知梯形 ABCD中, BC// AD, AD=3, BC=6高h=2, P是BC边上的一个动点，直线 m过 P点，且m// DC交梯形另外一边于 E,若BP=x,梯形位于直线 m左 侧的图形面积为y
    （1）当3w 6时，求y与x之间的关系式； ⑵当Ow x< 3时，求y与x之间的关系式;
    1 ⑶ 若梯形ABCD的面积为S,当y=_S时，求x的值. 2 （龙岩市中考题）
    思路点拨 随着P点在BC上运动，梯形位于直线 m左侧的图形形状也发生改变，故解本例的关键是 分类讨论及梯形常用辅助线的添出. 注 削弱证明的难度，赋以点（或线）运动，在动态过程中解几何问题，这是近年中考试题中几何问题 的一个显著特点，这类问题需要动态分材
    （以静制动，动中觅静）. 分类讨论、数形结合，给我们深入探究问题留下了广阔的空间，同时对我们能力的形成与提高提出了 新的要求. 【例5】 如图，在等腰梯形 ABCD中, CD// AB,对角线
    AC BD相交于0, / AOD=120，点S、P、Q分别为OD OA BC的中点.
    第2页（共9页）



    ⑴判断△ SPQ的形状并证明你的结论；
    ⑵ 若AB=5 CD=3求厶PQS的面积;
    (3
    S PQS S AOD
    8，求CB的值

    思路点拨多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等. 注等腰梯形连对角线后，就产生等腰三角形，当对角残互相垂直时，就得到等腰直角三角形，所以解等 腰梯形有关问题时，需要综合运用特殊三角形的知识. 学力训练
    1.观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：



    梯形个数 图形周长

    l 5
    2 8
    3 11
    4 14
    5

    17
    当梯形个数为n时，这时图形的周长为 ___________ . （2001年山东省临沂市中考题）
    2.在四边形 ABCD中, AD=BC AB= DC AC与 BD相交于点 O, / BOC=120 , AD=7, BD=1Q 则四边形 ABCD 的面积为 ________ . （杭州市中考题） 3•如图，有两棵树，一棵树高
    8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一
    棵树的树梢，至少飞了 ________ 米. （南昌市中考题）
    4. 如图，在梯形 ABCD中，AD=BC AB=DC / D=120°,对角线 CA平分/ BCD且梯形的周长为 20,则 AC _______ ，梯形ABCD的面积为 _________ . （北京市海淀区中考题）


    第3页（共9页）



    5. 如图，在四边形ABCD中，AD=BC E是AB的中点，若厶DEC的面积为S,则四边形ABCD的面积为（）
    A O

    A . ?S
    2
    B . 2S C . 7S
    4
    D . 9 S
    4
    6.在梯形 ABCD中, AB// CD / D-2/ B, AD-a, CD=b 贝U AB等于（） A . a
    1 b
    b B . 2 a 2


    b C . a+b D . a+2b
    （荆门市中考题）


    7.四边形ABED和四边形AFCD都是平行四边形，AF和DE相交成直角，AG=3cm DG=4cm,平行四边形 ABED 的面积是36cm,则四边形ABCD的周长为（）
    2A . 49cm B . 43cm C . 41cm D . 46cm （济南市中考题）
    &课外活动课上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状 对角线所用的竹条至少需（）
    A . 30 . 2 m B . 30cm C . 60 cm D . 60 , 2 m （ 黑龙江省中考题）
    9. 如图，在梯形 ABCD中, AD// BC对角线 AC与BD垂直相交于 0, MN是梯形ABCD的中位线，/ DBC= 30° , 求证：AC=MN
    的风筝，其面积为 450cm,则作
    2
    10. 如图，在等腰梯形 ABCD中, AD// BC, AB=CD点P为BC边上一动点，PE± AB, PF丄CD问PE+PF的 值是否为一定值？若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围. 11. 如图，梯形 ABCD中, AD=BC BC=3AD E 为腰 AB上一点. (1 若 CEL AB, BE=3AE AB=CD 求/ B;
    ⑵设厶BCE和,四边形AECD勺面积分别为 S , S2,,若2 Si=3 S2，求上二. AE 第4页（共9页）



    （ 江苏省无锡市中考题）
    12. 如图，ABQF是直角梯形，/ A=Z B=90° P 在 AB上，且 RP=PQ=a RA= h , QB=k，/ RPA=75，/ QPB=45，贝U AB= _______ . 13. 如图，在梯形ABCD中,已知AD// BC BC= BD, AD=AB= 4cm / A=120,则梯形ABCD勺面积为 （陕西省中考题）

    口 ⑹
    I第 "即
    14. _________________________ 如图，在梯形 ABCD中, AD// BC, AB=DC=IOcm AC与 BD相交于 G,且/ AGD=60，设 E为 CG中点，F 是AB中点，贝U EF长为 . 15•梯形上下底长分别为 1和4,两条对角线长分别为 3和4,则此梯形面积为 ________________. 16. 用4条线段a=14, b=13, c=9, d=7作为4条边构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的
    最大值为（）
    A . 13. 5 B . 11 . 5 C . 11 D . 10. 5 （湖北赛区试题）
    17. 如图，在梯形 ABCD中, AD// BC / B= 30°/ C= 60 ° , E、MF、N 分别为 AB BC CD DA 的中点， 已知BC=7 MN=3贝U EF的长为（） A. 4 B . 4 - C . 5 D . 6 2 1 r>
    c
    *爆”题，
    【第w融〕
    18. 如图，梯形 ABCD中, AB// DC E是AD的中点，有以下四个命题: ① 如果 AB+DC=BC / BEC=90 ;

    第5页（共9页）



    ② 如果/ BEC= 90° AB+DC=B；
    ③ 如果BE是/ ABC的平分线 / BEC=90 , ④ 如果 AB+DC=BC CE是/ DCB的平分线，其中真命题的个数是 （） A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 （重庆市竞赛题）
    19. 如图，在直角梯形 ABCD中，底AB=13, CD=8 AD丄AB并且AD=12贝U A到BC的距离为（） A . 12 B . 13 C . （四川省竞赛题）
    20. 已知在矩形 ABCD中, AD>AB O为对角线的交点，过 O作一直线分别交 BC AD于 M N （1 ）求证：S 梯形ABMN= S梯形CDNM
    12 21     12 21 D . 10. 5 13 ⑵ 当M N满足什么条件时，将矩形 ABCD以 MN为折痕翻折后能使 C点恰好与A点重合（只写出满足的条
    件，不要求证明）；
    （3）在（2）的条件下，若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的 1 ,求削的值. 2 MC （江苏省连云港市中考题）


    21. 如图，分别以△ ABC的边AC BC为一边，在厶ABC外作正方形 ACDC和CBFG点P是EF的中点，求证: 点P到AB的距离是AB的一半. CW 21 （第晚题* ｛第特昭; 第6页（共9页）



    22. 如图，在梯形 ABCD中, AD// BQ AB=CD=f2 , AD= l，/ B= 45°，动点 E在折线 BA— AD— DC上移动, 过点E作EP丄BC于P,设PB= x，写出题中所有能用 x的代数式表示图形的面积. 考题
    23. 如图，已知梯形 ABCD中, AD// BC, AB=CD=3cm/ C=60°, BDL CD (1 求BC AD的长度.
    (2 若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点 Q从点C开始沿CD边向点D以lcm /秒 的速度运动，当 P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形 ABPQD勺面积S与运动时间t之间的关系式， 并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况； (3 在(2的前提下，是否存在某一时刻 求出t的值，若不存在，请说明理由. t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为 1: 5?若存在，
    (江苏省常州市中
    (青岛市中考题
    第7页(共9页


    【例通求解】
    器1 ££ CfFCE交AE于E *1 J送D爵讨世只有Lt 1・4为底+2+3为■才誰够倉特翘
    怡〉当aa^ABcn坷世眾时•上腔柚陀仍虐血. * * （B!*t 3时.y-=2上一坯
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