江苏省丹阳高级中学高三第一次摸底考试

数学试卷 2009-3-8

必做题部分（满分160分)

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

1、若，则=__________。

2、设，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是_______________。

3、已知复数，,那么=______________。

4、若角的终边落在射线上，则=____________。

5、在数列中，若，，，则该数列的通项为 。

6、甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表（单位:

环）

如果甲、乙两人中只有1人入选，则入选的最佳人选应是 。

7、在闭区间 [－1，1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是 。

8、已知对称中心为原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。

9、阅读下列程序:

Read S1

For I from 1 to 5 step 2

SS+I

Print S

End for

End

输出的结果是 。

10、给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是 。

①若；②函数的图象关于x=对称；③函数为偶函数，④函数是周期函数，且周期为2。

11、若函数在上是增函数，则的取值范围是____________。

12、设，则的最大值是_________________。

13、棱长为1的正方体中,若E、G分别为、的中点,F是正方

形的中心,则空间四边形BGEF在正方体的六个面内射影的面积的最大值为 。

14、已知平面上的向量、满足,，设向量，则的最小值是 。

二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15、设函数,其中向量，

(1)求的最小正周期；

(2)在中，分别是角的对边，求的值。

16、已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长为2的正三角形，主视图是矩

形，且，设为的中点。

(1)作出该几何体的直观图并求其体积；

(2)求证：平面平面；

(3)边上是否存在点，使平面？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。

17、某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交元（为常数，2≤a≤5 ）的税收。设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与(e为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件。

(1)求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；

(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值。

18、已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切。

(1)求椭圆的方程；

(2)设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于直线,垂足为点,线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；

(3)设与轴交于点，不同的两点在上，且满足，求的取值范围。

19、已知数列中，且点在直线上。

(1)求数列的通项公式;

(2)若函数求函数的最小值；

(3)设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得

对于一切不小于2的自然数恒成立？ 若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

20、已知，其中是自然常数，

(1)讨论时,的单调性、极值；

(2)求证：在（1）的条件下，；

(3)是否存在实数，使的最小值是3，如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由。

必做题答案

一、填空题：

1、 2、 3、 4、0 5、 6、甲

7、 8、 9、2，5，10 10、1，2，4 11、

12、1 13、 14、2

二、解答题：

15、解：(1) -------------------------------3分

--------------------------------------------------------------------------------------6分

(2) --------------------------------------------------------------------------------9分

余弦定理可得-----------------------------------------------------12分

又∵

∴-------------------------------------------------------------------------------------------14分

16、

17、解（1）设日销售量为-------2分

则日利润----------------------------4分

（2）-------------------------------------------------7分

①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，当35 41时，

∴当x=35时，L（x）取最大值为-----------------------------------10分

②当4＜a≤5时，35≤a+31≤36，

易知当x=a+31时，L（x）取最大值为-----------------------------------13分

综合上得---------- ------------------------15分

18、解：(1)由得，又由直线与圆相切，得，，∴椭圆的方程为：。---------------------------------4分

(2)由得动点的轨迹是以为准线，为焦点的抛物线，∴点的轨迹的方程为。-----------------------------------------------------------------------8分

(3)，设，

∴，

由，得，∵

∴化简得，---------------------------------------------------------------------10分

∴(当且仅当时等号成立)，

∵，

又∵，∴当，即时，

∴的取值范围是-----------------------------------------------------------15分

19、解：（1）由点P在直线上，

即，------------------------------------------------------------------------2分

且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列

，同样满足，所以---------------4分

（2）

---------------------6分

所以是单调递增，故的最小值是-----------------------10分

（3），可得， -------12分

，

……

，n≥2------------------14分

故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立----16分

20、解（1） ------------2分

当时，，此时为单调递减

当时，，此时为单调递增

的极小值为-----------------------------------------4分

（2）的极小值，即在的最小值为1

令

又 --------------------------------------------6分

当时

在上单调递减

---------------7分

当时， ------------------------------8分

（3）假设存在实数，使有最小值3，

①当时，由于，则

函数是上的增函数

解得（舍去） ---------------------------------12分

②当时，则当时，

此时是减函数

当时，，此时是增函数

解得-----------------------------------------------------------------16分

附加卷答案

选做1： 选做2： 选做3：弦长为

选做4：

三式相加得证。

必做1：(1)略，(2)

必做2：(1)

(2);