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九年级数学上册3.4相似3角形的判定与性质教学设计新版湘教版2 精品教学设计（大赛1等奖作品）

时间：2020-04-04 13:07:16 下载该word文档

3．4　相似三角形的判定与性质

3．4.1　相似三角形的判定

第1课时　相似三角形的判定(1)

教学目标

【知识与技能】

经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程．

【过程与方法】

让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．

【情感态度】

通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐．

【教学重点】

三角形相似的判定定理及应用．

【教学难点】

三角形相似的判定定理及应用．

教学过程

一、情景导入，初步认知

现有一块三角形玻璃ABC，不小心打碎了，只剩下∠A和∠B比较完整．如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？

【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课．

二、思考探究，获取新知

1．在△ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE，交AC于点E.

(1)△ADE与△ABC的三个角分别相等吗？

(2)分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？

(3)△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？

【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似．

2．如图，D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，求证：△ADE与△ABC相似．

证明：∵D、E分别是△ABC的AB与AC边的中点，

∴DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC.

3．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，∠B′＝∠B.

(1)∠C′＝∠C吗？

(2)分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？

(3)把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？

【教学说明】此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题．如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励．

【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似．

4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F.求证：△DEH∽△BCA.

证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，

∴∠D＋∠DHE＝∠B＋∠BHF＝90°，

而∠BHF＝∠DHE，

∴∠D＝∠B，

又∵∠HED＝∠C＝90°，

∴△DEH∽△BCA.

三、运用新知，深化理解

1．见教材P78例2、P80例4.

2．判断题：

(1)有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似．(　　)

(2)所有的直角三角形都相似．(　　)

(3)有一个角相等的两个等腰三角形相似．(　　)

(4)顶角相等的两个等腰三角形相似．(　　)

【答案】(1)√；(2)×；(3)×；(4)√

3．如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、F，则△AGD∽______∽________．

解析：关键是找“角相等”，除已知条件中已明确给出的以外，还应结合具体的图形，利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角．本例除公共角∠G外，由BC∥AD可得∠1＝∠2，所以△AGD∽△EGC.再∠1＝∠4(对顶角)，由AB∥DG可得∠3＝∠G，所以△EGC∽△EAB.

【答案】△EGC　△EAB

4．已知：在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠B＝80°，∠E＝80°，∠F＝60°.

求证：△ABC∽△DEF.

证明：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝80°，

∴∠C＝180°－∠A－∠B

＝180°－40°－80°

＝60°，

∵在△DEF中，∠E＝80°，∠F＝60°，

∴∠B＝∠E，∠C＝∠F，

∴△ABC∽△DEF.(两角对应相等，两三角形相似)

5．已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是角平分线，求证：△ABC∽△BCD.

分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然∠C是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得．借助于计算也是一种常用的方法．

证明：∵∠A＝36°，

△ABC是等腰三角形，

∴∠ABC＝∠C＝72°，

又BD平分∠ABC，则∠DBC＝36°，

在△ABC和△BCD中，

∠C为公共角，∠A＝∠DBC＝36°，

∴△ABC∽△BCD.

6．已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高．

求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.

证明：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ACD∽△ABC，(两角对应相等，两三角形相似)

同理△CBD∽△ABC，

∴△ABC∽△CBD∽△ACD.

【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法．从而得到提高．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

课后作业

布置作业：教材“习题3.4”中第2题．

教学反思

通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明．

第2课时　相似三角形的判定(2)

教学目标

【知识与技能】

经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程．

【过程与方法】

让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力．

【情感态度】

在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心．

【教学重点】

掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似．

【教学难点】

会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似．

教学过程

一、情景导入，初步认知

问题：(1)相似三角形的定义是什么？

三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似．

(2)判定两个三角形相似，你有哪些方法？

方法1：通过定义(不常用)；

方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；

方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似．

【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望．

二、思考探究，获取新知

下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似．

1．我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS”判定方法，你能通过类比的方法猜想到三角形相似的其它判定方法吗？

2．任意画△ABC与△A′B′C′，使∠A′＝∠A，d4d1656b8e6df0f42183cbc54c3d5068.png＝881e766c06e836a63058b516a4d9d9c3.png＝k.

(1)分别度量∠B′和∠B，∠C′和∠C的大小，它们分别相等吗？

(2)分别度量BC和B′C′的长，它们的比等于k吗？

(3)改变∠A或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？

【教学说明】引导学生画图，并鼓励证明命题归纳结论．

【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．

3．如图，在△ABC与△DEF中，已知∠C＝∠F，AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm.求证：△ABC∽△DEF.

证明：∵AC＝3.5cm，BC＝2.5cm，DF＝2.1cm，EF＝1.5cm，

∴36a9dc32c5d97bf60ee9a88938659122.png＝019056e381721d8db21d8fa2b171f527.png＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png，236afb59359f893f8c0c027d81e0804d.png＝4d741ee169c034c26462d824165e297c.png＝2e6bc1de54d06d6caa3cab8880a44998.png，

∴36a9dc32c5d97bf60ee9a88938659122.png＝236afb59359f893f8c0c027d81e0804d.png，

又∵∠C＝∠F，

∴△ABC∽△DEF.

4．我们已经学习了三角形相似的2个判定定理，类似于三角形全等的“SSS”判定方法，你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗？

5．你能证明你的结论吗？

已知：如图，在△A′B′C′和△ABC中，

d4d1656b8e6df0f42183cbc54c3d5068.png＝881e766c06e836a63058b516a4d9d9c3.png＝bc8c9af00a2c8600242b666b65d2aca6.png.

求证：△A′B′C′∽△ABC.

【教学说明】引导学生证明．

【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似．

6．如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，.求证：△ABC∽△A′B′C′.

分析：已知两边成比例，只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似．可以利用勾股定理来证明．

【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解．

三、运用新知，深化理解

1．见教材P82例6、P84例8.

2．如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．

解：(1)△ADE∽△ABC，两角相等；

(2)△ADE∽△ACB，两角相等；

(3)△CDE∽△CAB，两角相等；(4)△EAB∽△ECD，两边成比例且夹角相等；(5)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等；(6)△ABD∽△ACB，两边成比例且夹角相等．

3．在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由．

(1)AB＝5，AC＝3，∠A＝45°，

A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；

(2)∠A＝38°，∠C＝97°，

∠A′＝38°，∠B′＝45°；

(3)AB＝2，BC＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，AC＝e3d7922dde6d1771ce9a575632814d61.png，

A′B′＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，B′C′＝1，A′C′＝a74c4ef873eb22c5f153063d628cf438.png.

解：(1)SAS，相似；

(2)AA，相似；

(3)SSS，相似．

4．如图，BC与DE相交于点O.问

(1)当∠B满足什么条件时，△ABC∽△ADE?

(2)当AC∶AE满足什么条件时，△ABC∽△ADE?

(学生小组合作交流、讨论，教师巡视引导．)

解：(1)∵∠A＝∠A，

∴当∠B＝∠D时，△ABC∽△ADE.

(2)∵∠A＝∠A，

∴当AC∶AE＝AB∶AD时，

△ABC∽△ADE.

5．如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN＝45°，试说明△BCM∽△ANC.

解：∵△ACB是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠B＝45°.

又∵∠MCN＝45°，

∠CNA＝∠B＋∠BCN＝45°＋∠BCN，

∠MCB＝∠MCN＋∠NCB＝45°＋∠BCN.

∴∠CNA＝∠MCB，

在△BCM和△ANC中，

bac9596a18bbd6a21924114949f6b507.png，

∴△BCM∽△ANC.

6．如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠EDB＝90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F.证明：△ABE∽△CBD.

证明：∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，

∴∠DBE＝∠CBA＝45°，

∴∠DBE－∠CBE＝∠CBA－∠CBE.

即∠ABE＝∠CBD，又a4fbd80f0ce6391227523aaca8df1c36.png＝765c2ebafd8e46aa49fb35c9e63d92c0.png＝1553867a52c684e18d473467563ea33b.png，

∴△ABE∽△CBD.

7．在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD上两点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F.试说明△AMD∽△EMB.

解：∵ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∠ADB＝∠DBC，

∠MAD＝∠MEB，

∴△MAD∽△MEB.

8．如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE.

分析：由于△ABD∽△ACE，则∠BAD＝∠CAE，因此∠BAC＝∠DAE，如果再进一步证明10183fbabe5a3e9a119bb3eeb2a15819.png＝b2ea39b62607f0af0028d6938ced8a92.png，则问题得证．

证明：∵△ABD∽△ACE，

∴∠BAD＝∠CAE.

又∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC，

∠DAE＝∠DAC＋∠CAE，

∴∠BAC＝∠DAE.

∵△ABD∽△ACE，∴10183fbabe5a3e9a119bb3eeb2a15819.png＝b2ea39b62607f0af0028d6938ced8a92.png.

在△ABC和△ADE中，

∵∠BAC＝∠DAE，10183fbabe5a3e9a119bb3eeb2a15819.png＝b2ea39b62607f0af0028d6938ced8a92.png，

∴△ABC∽△ADE.

【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题．

四、师生互动、课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．

课后作业

布置作业：教材“习题3.4”中第1、3、4题．

教学反思

相似三角形的判定主要介绍了四种方法，从练习的结果来看，不是很理想，绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用，夹角也不能准确找到．我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深，对定理的理解不透，一味死记结论．不能理解每个量所表示的含义．我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力，合情推理的能力，争取这方面有所提高．

3．4.2　相似三角形的性质

教学目标

【知识与技能】

理解掌握相似三角形对应线段(高、中线、角平分线)及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系．

【过程与方法】

对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度．

【情感态度】

在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律．

【教学重点】

相似三角形性质的应用．

【教学难点】

相似三角形性质的应用．

教学过程

一、情景导入，初步认知

1．什么叫相似三角形？相似比指的是什么？

2．全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？

3．相似三角形的判定方法有哪些？

【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备．

二、思考探究，获取新知

1．根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？

【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

2．如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠B＝∠B′，

又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，

∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，

∴△ABD∽△A′B′D′，

∴AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.

你能得到什么结论？

【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比．

3．如图，△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比．

解：∵△A′B′C′∽△ABC，

∴∠B′＝∠B，∠A′B′C′＝∠ABC，

∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，∴∠B′A′D′＝∠BAD，

∴△A′B′D′∽△ABD.(有两个角对应相等的两个三角形相似)．

∴2e126765eed31e22022104d33b2e302d.png＝8d6e459e61ee7c76bccc115fb2eb4e9a.png＝k.

根据上面的探究，你能得到什么结论？

【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比．

4．在上图中，如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，那么，AD和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？

【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比．

5．如图，△ABC∽△A′B′C′，fe9f767840c1e178567b48977e08a701.png′＝k，AD、A′D′为高线．

(1)这两个相似三角形周长比为多少？

(2)这两个相似三角形面积比为多少？

分析：(1)由于△ABC∽△A′B′C′，

所以AB︰A′B′＝BC︰B′C′＝AC︰A′C′＝k.

由合比的性质可知，

(AB＋BC＋AC)︰(A′B′＋B′C′＋A′C′)＝k.

(2)由题意可知，

因为△ABD∽△A′B′D′，

所以AB︰A′B′＝AD︰A′D′＝k.

因此可得，

△ABC的面积︰△A′B′C′的面积

＝(AD·BC)︰(A′D′·B′C′)＝k2.

【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．

【教学说明】通过这两个问题，引导学生通过合情推理，得出结论．学生可以通过合作交流，找出解决问题的方法．

三、运用新知，深化理解

1．见教材P86例9、P88例11、例12.

2．已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且881e766c06e836a63058b516a4d9d9c3.png＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，B′D′＝4，则BD的长为____．

分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，2bd2f04ba6ff3a5b8c0f5e19dd8cd17f.png＝881e766c06e836a63058b516a4d9d9c3.png，即daa5690adeca17d99b3de1f3faf254cc.png＝003c1a2d00a8d7f1207749755fdc5c69.png，∴BD＝6.

【答案】6

3．在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积依次为(　　)

A．8，3　　　B．8，6　　　C．4，3　　　D．4，6

分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.

【答案】A

4．已知△ABC∽△A′B′C′且S△ABC∶S△A′B′C′＝1∶2，则AB∶A′B′＝________．

分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB∶A′B′＝1∶1553867a52c684e18d473467563ea33b.png.

【答案】1∶1553867a52c684e18d473467563ea33b.png

5．把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，那么边长应缩小到原来的____．

分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png，所以边长应缩小到原来的193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png.

【答案】193acac34cd52a51c1973c3ce22b6172.png

6．如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高．

(1)则图中有几对相似三角形；

(2)若AD＝9cm，CD＝6cm，求BD；

(3)若AB＝25cm，BC＝15cm，求BD.

解：(1)∵CD⊥AB，

∴∠ADC＝∠BDC＝∠ACB＝90°.

在△ADC和△ACB中，

∠ADC＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A，

∴△ADC∽△ACB，

同理可知，△CDB∽△ACB.

∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形．

(2)∵△ACD∽△CBD，∴2eac85f849a0279c633d2e24a09528a6.png＝cdf102d162a33acc600abd2d70af35aa.png，

即08d99e8c5e171c9287b6b1d461549004.png＝117c8173446464cdf5bdfe87b6b9db8b.png，∴BD＝4cm.

(3)∵△CBD∽△ABC，∴8ac64658ccd4800c1b71cd07e523360c.png＝b8c6e5c47e65924afc7994b805664bd6.png，∴e3549ff7454b2fad73088e1c971bbb27.png＝f0b188735363c3e577352e443f31835d.png，

∴BD＝bfc77e0ad1da32666b84604fd94e6983.png＝9cm.

7．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.

(1)求证：△CDF∽△BGF；

(2)当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB＝6cm，EF＝4cm，求CD的长．

(1)证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，

∴∠CDF＝∠FGB，∠DCF＝∠GBF，

∴△CDF∽△BGF.

(2)由(1)知△CDF∽△BGF，

又F是BC的中点，∴BF＝FC，

∴△CDF≌△BGF，

∴DF＝FG，CD＝BG.

又∵EF∥CD，AB∥CD，

∴EF∥AG，得2EF＝AB＋BG.

.∴BG＝2EF－AB＝2×4－6＝2，

∴CD＝BG＝2cm.

8．已知△ABC的三边长分别为5、12、13，与其相似的△A′B′C′的最大边长为26，求△A′B′C′的面积S.

分析：由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形，又因为△ABC∽△A′B′C′，所以△A′B′C′也是直角三角形，那么由△A′B′C′的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出△A′B′C′的两条直角边长，再求得△A′B′C′的面积．

解：设△ABC的三边依次为：

BC＝5，AC＝12，AB＝13，

∵AB2＝BC2＋AC2，∴∠C＝90°.

又∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝90°.

bc8c9af00a2c8600242b666b65d2aca6.png＝881e766c06e836a63058b516a4d9d9c3.png＝d4d1656b8e6df0f42183cbc54c3d5068.png＝7d7d724455b3fe546478be7c3a72be05.png＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png，

又BC＝5，AC＝12，

∴B′C′＝10，A′C′＝24.

∴S＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngA′C′×B′C′＝df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png×24×10＝120.

9．(1)已知ac2606fe9376e6e3ad14b772d437bfb9.png＝da608125ae43570c253a27018ba1c9b5.png＝4f07132b44d010e551baed16a62b1f47.png，且3x＋4z－2y＝40.求x，y，z的值；

(2)已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．

分析：(1)用同一个字母k表示出x，y，z.再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；

(2)根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解．

解：(1)设ac2606fe9376e6e3ad14b772d437bfb9.png＝da608125ae43570c253a27018ba1c9b5.png＝4f07132b44d010e551baed16a62b1f47.png＝k，那么x＝2k，y＝3k，z＝5k，由于3x＋4z－2y＝40，