选修4-4《坐标系与参数方程》复习提纲

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求

1．坐标系：　

① 理解坐标系的作用.　

② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

⑤ 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它们的区别.

2．参数方程：　　

① 了解参数方程，了解参数的意义.

② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

③ 了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程.

④ 了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用.

二、基础知识梳理

1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换f9523666402b1feab8a93625957f006c.png的作用下，点P(x,y)对应到点216dc5178703f6edcf7a3d3665ec6d4a.png，称7f48d4a68765673379b41e1b1ee20edf.png为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条射线Ｏx叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.

3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点Ｏ与点M的距离e7532ee27f5a34f8b502b8924b8e1416.png叫做点M的极径，记为1af91fb19f8f622aa9ec8998986a6bf9.png；以极轴Ｏx为始边，射线OM为终边的∠XOM叫做点M的极角，记为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png.有序数对12e2049ee643ea81e40b57c50d65c420.png叫做点M的极坐标，记为M12e2049ee643ea81e40b57c50d65c420.png. 极坐标12e2049ee643ea81e40b57c50d65c420.png与84c93c8c163be0612029192867e77db8.png表示同一个点.极点O的坐标为45f16900f9c3362dbadeb63f31bbd66b.png.

4.若7b2f7b45c3ee6a66a9301ed47b6879c1.png,则fcae746a38f7c6732b189ec75575a4ba.png,规定点3949a6c992c408e4dbad978fe228e20d.png与点12e2049ee643ea81e40b57c50d65c420.png关于极点对称，即3949a6c992c408e4dbad978fe228e20d.png与7c53d09305902e28805ad1d502b0077c.png表示同一点.

如果规定a86c58e823b45d7a9f2d3d17370c5573.png，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标12e2049ee643ea81e40b57c50d65c420.png表示；同时，极坐标12e2049ee643ea81e40b57c50d65c420.png表示的点也是唯一确定的.

5．极坐标与直角坐标的互化：791f33fa09e5a993937883c39371c757.png

6.圆的极坐标方程：

在极坐标系中，以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程是 8968616f9d7d450f831e7423790d70db.png；

在极坐标系中，以 c5d78fc1ab9d812207103ae91d73016e.png(a>0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是dfe9bf6b7607f0f1501aedd0bac7b289.png；

在极坐标系中，以 74fa1eb98ddf81f2a8f531b430bd96d9.png(a>0)为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是aa8e93503476238a9374fb02226b982c.png；

7.直线的极坐标方程：

在极坐标系中，3b879f7cb467491c2b49e9b87024406e.png表示以极点为起点的一条射线；03be5bbeef51682ac32184fd6ea5adda.png表示过极点的一条直线.

在极坐标系中，过点2d85431d7d8aa604b1a4b8c8ddd32020.png，且垂直于极轴的直线l的极坐标方程是8d5fa26ee04e1bb922d24b053df4ed80.png.

8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标中x,y都是某个变数t的函数cf814719211a5db9d3cca20e466c935b.png 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系x,y的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.

9．常见曲线的参数方程

（1）圆a092d3e88c87f2b51324b933d0c1c290.png的参数方程可表示为1d9a5a6a245a2ed2f3d321e8c01fbc63.png.

（2）椭圆1d3ebadfdd794c1afa5e3636e6fc49df.png(a>b>0)的参数方程可表示为3d153b05afd1f522f5a3fdcab93da3d6.png.

（3）抛物线49059373893ad4eddbe00b7ade4d2065.png的参数方程可表示为09ce8cfb47b7fd506570a91e5cafb01a.png.

（4）经过点8952f6d08cfd3ec1a533e585bbf85518.png，倾斜角为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png的直线l的参数方程可表示为9dde0a94303ad04d9d60290452f83ccf.png（t为参数）.

10．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

三、典型例题分析

考点1、极坐标与直角坐标互化

例题1.1、在极坐标中，求两点37e8ae629188431283dfe7bdd3ead4ba.png之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.

例1.2、已知圆C：7cb4e9ca0959613e061a45da40fba569.png，则圆心C的极坐标为_______c127b64aaffdfe91e7ecbbe655f046d3.png

答案：（82bf2a68b338503b046b4c6436d4aa4c.png ）

考点2、极坐标与直角坐标方程互化

例题2.1、已知曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的极坐标方程是5e0b30e9724deb3db4e86dddeb41838d.png．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png直角坐标方程.

解：曲线0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的极坐标方程5e0b30e9724deb3db4e86dddeb41838d.png可化为d9cef4685c3ebf517bd965db873ce674.png,其直角坐标方程为cb737e7f72298ec673ca44fcb9aa66af.png，即8f58134edaed7f8986a3c8b89c7f4d15.png.

例2.2、设过原点word/media/image50_1.png的直线与圆word/media/image51_1.png：word/media/image52_1.png的一个交点为word/media/image53_1.png，点word/media/image54_1.png为线段word/media/image55_1.png的中点.

(1) 求圆C的极坐标方程；

(2) 求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．

解：（1）圆word/media/image56_1.png的极坐标方程为word/media/image57_1.png，（2）设点word/media/image58_1.png的极坐标为word/media/image59_1.png，点word/media/image60_1.png的极坐标为word/media/image61_1.png，∵点word/media/image60_1.png为线段word/media/image62_1.png的中点， ∴word/media/image63_1.png，word/media/image64_1.png，将word/media/image63_1.png，word/media/image64_1.png代入圆的极坐标方程，得word/media/image65_1.png∴点word/media/image60_1.png轨迹的极坐标方程为word/media/image65_1.png，它表示圆心在点word/media/image66_1.png，半径为word/media/image67_1.png的圆.

例2.3、在极坐标系中，求圆1708873598b84fc5e1cd9ee1a8f99cfc.png与直线fa2820ef57d8b7e794f79481feca44c9.png的位置关系.

考点3、参数方程与直角坐标方程互化

例题3.1、已知曲线word/media/image70_1.png的参数方程为word/media/image71_1.png（word/media/image72_1.png为参数），曲线word/media/image73_1.png的极坐标方程为word/media/image74_1.png．

（1）将曲线word/media/image70_1.png的参数方程化为普通方程，将曲线word/media/image75_1.png的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线word/media/image70_1.png，word/media/image76_1.png是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

解：（1）由word/media/image77_1.png得word/media/image78_1.png∴曲线word/media/image79_1.png的普通方程为word/media/image80_1.png，

∵word/media/image81_1.png，∴word/media/image82_1.png，∵word/media/image83_1.png

∴word/media/image84_1.png，即word/media/image85_1.png，∴曲线word/media/image86_1.png的直角坐标方程为word/media/image87_1.png ．

（2）∵圆word/media/image79_1.png的圆心为word/media/image88_1.png，圆word/media/image86_1.png的圆心为word/media/image89_1.png，∴word/media/image90_1.png∴两圆相交，设相交弦长为word/media/image91_1.png，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段word/media/image92_1.png，∴word/media/image93_1.png∴word/media/image94_1.png．

例3.2、在椭圆word/media/image95_1.png上找一点，写出椭圆的参数方程并在椭圆上找这一点到直线f8024157e64a4bd11bead152439599d1.png的距离的最小值．

解：设椭圆的参数方程为1039d3663a02d334000070cfd3488174.png，1ff4694a42e5a73e444cda65d8dbefd0.png

e7af8990b512ef6e6119fdefceac0bb2.png，当57fdac9b8c7f42d50de7e4cb0bbe5cc9.png时，b2dd50a4c669087a61613c0da19f5b72.png，此时所求点为39eef66b9e465ea3f9c680e9494fb357.png.．

例题3.3、已知直线word/media/image103_1.png经过点word/media/image104_1.png,倾斜角word/media/image105_1.png，

①写出直线word/media/image103_1.png的参数方程;

②设word/media/image103_1.png与圆word/media/image106_1.png相交与两点word/media/image107_1.png，求点word/media/image108_1.png到word/media/image109_1.png两点的距离之积.

解 ：（1）直线的参数方程为word/media/image110_1.png，即word/media/image111_1.png．

（2）把直线word/media/image111_1.png代入word/media/image106_1.png，得word/media/image112_1.png，word/media/image113_1.png，则点word/media/image108_1.png到word/media/image109_1.png两点的距离之积为word/media/image114_1.png．

例题3.4、求直线dbfcfccf87552caf4f3928aaecbf01a4.png（4ce46a20b1a9ed49d9cc6abc4a0f5f15.png）被曲线a0411189eaeae80c76c2a89c83c7e1ab.png所截的弦长.

解：将方程dbfcfccf87552caf4f3928aaecbf01a4.png，a0411189eaeae80c76c2a89c83c7e1ab.png分别化为普通方程：bf0462376f0ee5885ccdc4d512b7a307.png，

9b2db35c646b7f1dac57c520b8f0daca.png3b522a2d913c7e1a7d42854be2b315b8.png

考点4：利用参数方程求值域

例题4.1、已知点4b1ba35f3a26c92043b659cb00da4721.png是圆16fd080ed2e9cd00422e1e3b2337c6a2.png上的动点，求1637802812c42cd458ed2f8bcd8a72b1.png的取值范围.

例题4.2、在曲线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png：5468e93457a63c6a34f18199edb89c67.png上求一点，使它到直线932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png：word/media/image129_1.png的距离最小，并求出该点坐标和最小距离.

解：直线C2化成普通方程是x+y+2d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png-1=0，设所求的点为P（1+cos7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png,sin7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png),则C到直线C2的距离d=025d959e4bccf6356022aab4d5a794e0.png =|sin(7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png+cd3ba7dbe6650fbf0b092d3d3c833d5d.png)+2|，当33ffd5a4d447b1a1eba96899c4f25f19.png时，即7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png=526d66ca8c25ffc560316305ea6beb1e.png时，d取最小值1此时，点P的坐标是（1-a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png，-a00b629a6429aaa56a0373d8de9efd68.png）

四、基础练习

1．曲线C:01163fec44f25d982247d65261941b50.png(7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png为参数)的普通方程为 ( )

A、(x-1)2+(y+1)2=1 B 、(x+1)2+(y+1)2=1

C 、(x+1)2+(y-1)2=1 D 、(x-1)2+(y-1)2=1

2.在极坐标系中，圆心在word/media/image142_1.png且过极点的圆的方程为（ ）

A.word/media/image143_1.png B.word/media/image144_1.png C.word/media/image145_1.png D.word/media/image146_1.png

3.极坐标方程4229bd70818c440389fcf6676b07bf66.png所表示的曲线是（ ）

A．两条相交直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

4．在极坐标系中，直线l的方程为5f31bfb8f25f68f038a0749206dedd8a.png，则点(2，81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png)到直线l的距离为 ．

5.在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的参数方程为c5b83dd3b3422c67a715f29d95c2f1a7.png，圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的参数方程为0d99c75558da560ac67e539ca8267471.png，则圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的圆心坐标为 ，圆心到直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的距离为 .

6．已知曲线aec199326f594ffb620e174e2372b198.png的极坐标方程分别为5d4afc5897b5a92d8e0913e2a0e42ab3.png（8c434dbce7afbd2dfe3db42369737ff6.png），则曲线9824b26a51714309aa4afd370035ce53.png与932d0ec79260e01afd1dd960c7bc69bb.png交点的极坐标为__ ___.

7.在极坐标系中，已知点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png（1，7153b98388afacd1997b7ce07d65cdaa.png）和9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png63fe66472fbf887a6e4e1dc08bb346c8.png,则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点间的距离是 ．

8.在极坐标系中，直线b070ef27980ad7f8364f3c770803de68.png（b88a1c3a04e3bef08d168f9a317ae11e.png）与圆51d61281e545cf63158a60df94fbc717.pngd5cf4f23314319e7850d17851dbf6ceb.png交于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png两点，则a445ca376e630a142198e47509b87309.png　　 　．

9.在极坐标系中，圆e2b4c64c2202bc6769dcba22ca1aa7f6.png与直线05b30deedb6cc08fb8873864ffa24a99.png的位置关系是 ．

10.在极坐标系中，圆1708873598b84fc5e1cd9ee1a8f99cfc.png上的点到直线fa2820ef57d8b7e794f79481feca44c9.png 的距离的最小值是 __．

11.在极坐标系中，过点4e44997237f5bd9f0ad984d22055870f.png作圆5e0b30e9724deb3db4e86dddeb41838d.png的切线，则切线的极坐标方程是 ．

12．在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为c87d41c12d441153b97f3593f330c121.png，则直线的极坐标方程为_____________________.

13.已知圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的参数方程为1e5e65d18261615e8d69c1c8ec90ada4.png(7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png为参数), 则点a18a65b2e0f6c8c2649b33b4586c6ffa.png与圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png上的点的最远距离是 .

14.在平面直角坐标系xOy中，点word/media/image184_1.png的直角坐标为word/media/image185_1.png.若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点word/media/image186_1.png的极坐标可以是 ．

15.在极坐标系中，点word/media/image187_1.png到直线word/media/image188_1.png的距离为 ．

16.已知直线word/media/image189_1.png与圆word/media/image190_1.png，则word/media/image191_1.png上各点到word/media/image192_1.png的距离的最小值为 .

17.在极坐标系word/media/image193_1.png（word/media/image194_1.png）中，过点word/media/image195_1.png作极轴的垂线，垂足为word/media/image196_1.png，则word/media/image197_1.png点的极坐标为 ．

18.已知曲线C的参数方程为07d76b46e6bb4333743331a3615c2ed2.png（e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程为 ．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

19.已知曲线C的参数方程为word/media/image201_1.png（word/media/image202_1.png为参数），则曲线C上的点到直线word/media/image203_1.png的距离的最大值为 ．

20.若直线word/media/image204_1.png（t为参数）与直线word/media/image205_1.png垂直，则常数k=__ __.

五、2009年-2013年高考题

1.2009年

2.2010年

3.2011年

4.2012年

5.2013年