§1.1.1 正弦定理

学习目标

1. 掌握正弦定理的内容；

2. 掌握正弦定理的证明方法；

3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．

学习过程

一、课前准备

试验：固定d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC的边CB及705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngB，使边AC绕着顶点C转动．

思考：705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngC的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？

显然，边AB的长度随着其对角705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngC的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？

二、新课导学

※ 学习探究

探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rtd44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，

根据锐角三角函数中正弦函数的定义，

有355b5ece4183be54a4fa036e431ebed7.png，50f8043c6eeff4396ac6321d58b88e4b.png，又c8597f70ced2440e3a8cb2d22223b178.png，

从而在直角三角形ABC中，88c0252b1c9e5540836c91f51f152ccc.png．

(

探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

当d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，

有CD=9e77dab629a9f6a4e13ea8ef35b45853.png，则5a307ae47d86188f9a9335c8ca187878.png，

同理可得4eacdef04faec1d96f999e34087f3df2.png，

从而5a307ae47d86188f9a9335c8ca187878.png774334cf510f1d92991915861518c01e.png．

类似可推出，当d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.

新知：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即

5a307ae47d86188f9a9335c8ca187878.png774334cf510f1d92991915861518c01e.png．

试试：

（1）在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，一定成立的等式是（ ）．

A．26c75860b67b0b2060d1dbcb96189e12.png B.2de34a94722983519253d7863bd64f8e.png

C. 9e77dab629a9f6a4e13ea8ef35b45853.png D.52990053d4c8e68308239131c5e79d25.png

（2）已知△ABC中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B等于 ．

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使539b86f80df067140a14d33895d766b5.png， ，478c14a180ca19b3da6afa36004386d0.png；

（2）5a307ae47d86188f9a9335c8ca187878.png774334cf510f1d92991915861518c01e.png等价于 ，4eacdef04faec1d96f999e34087f3df2.png，f7ad5e383e37c02329632ac09052804a.png8067ba1ef2aa1e49ae55f588dd9002da.png．

（3）正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如1f58e79ca5a96ef3e523bfc0af0dabfe.png；0f49a09644cc7c2ed83a3fa0d34fc186.png ．

②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，

如1809ffd60796e920480eb506ef41927d.png；d0634b1e5a8f5679714581e9659cad66.png ．

（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．

※ 典型例题

例1. 在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，已知e327e8e6f9e98e3ca2778bd7a0ff6e77.png，562e304038b35a4d5e4da280af7e9373.png，7f22a11bb97b0c61d9347523dd409ec6.pngcm，解三角形．

变式：在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，已知c38252181a955cadf0f9d8263b07e7db.png，7ac3fd111337780c1b371362e2fe034c.png，2a3bacee5abb1225ed6131685c6cd75b.pngcm，解三角形．

例2. 在4577b08ae6ab5e8c0aa252f318f5508c.png．

变式：在d0d55b09bda99b4d59ed25e15910adf2.png．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 正弦定理：5a307ae47d86188f9a9335c8ca187878.png774334cf510f1d92991915861518c01e.png

2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，

还有 ②等积法，③外接圆法，④向量法.

3．应用正弦定理解三角形：

①已知两角和一边；

②已知两边和其中一边的对角．

※ 知识拓展

5a307ae47d86188f9a9335c8ca187878.png1e194c08638527f563470ee1e9a5ac89.png，其中149e2d0a34006684e8f8e1ebd827f681.png为外接圆直径.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，若e8623ca3e433a4e3484eb92510bbcd39.png，则75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png是（ ）.

A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形

C．直角三角形 D．等边三角形

2. 已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶1∶4，

则a∶b∶c等于（ ）.

　A．1∶1∶4 B．1∶1∶2　 C．1∶1∶91a24814efa2661939c57367281c819c.png D．2∶2∶91a24814efa2661939c57367281c819c.png

3. 在△ABC中，若76df55837ad56d0fd4b330f42d93526d.png，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png与9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的大小关系为（ ）.

A. 1a4716fc5e8df559c3642e6a9e7ade81.png B. 4a7199767cc2291e45847188d41a88a3.png

C. 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png≥9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png D. 7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的大小关系不能确定

4. 已知d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，8d919db7520d99280b3c34c95ffc48ea.png，则02cc8f08398a4f3113b554e8105ebe4c.png= ．

5. 已知d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngAb5d6ac722acc88d12d8d605517509591.png，a826e4b34f75cd5ed2a911fc03dca168.png，则

cde6b895f04132f6cf2b693dd8d30c50.png= ．

课后作业

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝41b95f3a1598d5894288b9e38f524e39.png，解此三角形．

2. 已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝k∶(k＋1)∶2k (k≠0)，求实数k的取值范围为．

§1.1.2 余弦定理

学习目标

1. 掌握余弦定理的两种表示形式；

2. 证明余弦定理的向量方法；

3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．

学习过程

一、课前准备

复习1：在一个三角形中，各 和它所对角的 的 相等，即 = = ．

复习2：在△ABC中，已知bbbbc31cbb3888450c363623ccfc5bd4.png，A=45︒，C=30︒，解此三角形．

思考：已知两边及夹角，如何解此三角形呢？

二、新课导学

※ 探究新知

word/media/image75.emf问题：在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png、f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png、3e8d115eb4b32b9e9479f387dbe14ee1.png的长分别为4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png、0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png.

∵af56746628cb462fa89598114f6aef0e.png ，

∴789bdf9a705be8686b3bd4395baaa407.png

同理可得： 5baa7775d27835aba37638abd1c50c6a.png，

e8c5fc33ca5e71b23433548560bfe291.png．

新知：余弦定理：三角形中任何一边的 等于其他两边的 的和减去这两边与它们的夹角的 的积的两倍．

思考：这个式子中有几个量？

从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？

从余弦定理，又可得到以下推论：

d99d4c91dfd2eac1daf1c93c376a48d1.png， ，

．

[理解定理]

（1）若C=fa85e556375bb0c120972b0ba510c264.png，则8ef6542e06cde425ca8a1b909095f171.png ，这时2e25fa44ad0b7288d19b52f95572fb53.png

由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．

（2）余弦定理及其推论的基本作用为：

①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；

②已知三角形的三条边就可以求出其它角．

试试：

（1）△ABC中，d3880cfb685beb1161ad3ce0ea45a6cd.png，4847acef124418c705153576282ebd02.png，4ec9a6056b29f27ce05993a121eab0c0.png，求92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png．

（2）△ABC中，83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，5db34b94bf9e0b23e91a2d577d392792.png，ac414d322cfd5d40b86b8a79d5afd73b.png，求7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png．

※ 典型例题

例1. 在△ABC中，已知a826e4b34f75cd5ed2a911fc03dca168.png，5db34b94bf9e0b23e91a2d577d392792.png，c38252181a955cadf0f9d8263b07e7db.png，求01ccb16a998f5414dbd06c2f193ddf33.png和4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png．

变式：在△ABC中，若AB＝aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png，AC＝5，且cosC＝9cd43eaee0a393fa141af5a699674096.png，则BC＝________．

例2. 在△ABC中，已知三边长3d7b566aaed7713dfc5583dfc4b9c386.png，f98b61db00d65e75a6feb1907424a719.png，d48f1d30edc6ba48bdf9bfd15582b3ca.pngd41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png，求三角形的最大内角．d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png

变式：在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，若f8246649cbcffc23d7f87f7c5676344e.png，求角A．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 余弦定理是任何三角形中边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

2. 余弦定理的应用范围：

① 已知三边，求三角；

② 已知两边及它们的夹角，求第三边．

※ 知识拓展

在△ABC中，

若dc2c1c55d1fd18bc0084c64f61dfbbb4.png，则角0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png是直角；

若4ed6c34b6856347835c29b386a7c79f3.png，则角0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png是钝角；

若181f82de161759a7249e2048764b1156.png，则角0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png是锐角．

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知a＝91a24814efa2661939c57367281c819c.png，c＝2，B＝150°，则边b的长为（ ）.

A. 51e98a007ca225c9bb67834bc390b6d9.png B. afef0bb035673e474c7d6e59f000f212.png C. eda3281011439ea93ef474e955b7a64c.png D. 46a8fb348dddd57d673fa52db9ac4ba9.png

2. 已知三角形的三边长分别为3、5、7，则最大角为（ ）.

A．25489c43d73adb43d12a735e237a94a8.png B．911f8670fb056dac88445ffc42e032c4.png C．4ace4346e839a70bee7b8df65c0a0d02.png D．2f955f4cec570e36507e7bb3eb5915c7.png

3. 已知锐角三角形的边长分别为2、3、x，则x的取值范围是（ ）.

A．b6126ba0947cd26fdfc8fe0bdc0b2ce5.png B．8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png＜x＜5　

　C． 2＜x＜aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png D．aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png＜x＜5

4. 在△ABC中，|ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png|＝3，|f51c311ffaf7730d41ef1ac81e156cbd.png|＝2，ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png与f51c311ffaf7730d41ef1ac81e156cbd.png的夹角为60°，则|ed7822c175dd4385510f7259a7fcfa41.png－f51c311ffaf7730d41ef1ac81e156cbd.png|＝________．

5. 在△ABC中，已知三边a、b、c满足

23119425531330c60f8ecb4909e0a705.png，则∠C等于 ．

课后作业

1. 在△ABC中，已知a＝7，b＝8，cosC＝1167b022ae94e65119ed32271cf2c3f4.png，求最大角的余弦值．

2. 在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，求4895b14e852416989a6c036d60556ffa.png的值.

§1.1 正弦定理和余弦定理（练习）

学习目标

1. 进一步熟悉正、余弦定理内容；

2. 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形．

学习过程

一、课前准备

复习1：在解三角形时

已知三边求角，用 定理；

已知两边和夹角，求第三边，用 定理；

已知两角和一边，用 定理．

复习2：在△ABC中，已知 A＝81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，a＝25d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，b＝50d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，解此三角形．

二、新课导学

※ 学习探究

探究：在△ABC中，已知下列条件，解三角形.

1 A＝81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，a＝25，b＝50d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png；

2 A＝81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，a＝b35462e78a3035cdc2c4527498722fc2.png，b＝50d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png；

3 A＝81f3b33c4c6a63cea9158f20c9e0b24b.png，a＝50，b＝50d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png.

思考：解的个数情况为何会发生变化？

新知：用如下图示分析解的情况（A为锐角时）．

word/media/image150.emf

试试：

1. 用图示分析（A为直角时）解的情况？

2．用图示分析（A为钝角时）解的情况？

※ 典型例题

例1. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，已知20139d06d9bc1dd7ca03555c89b866a7.png，9cbfd4cf83ead3123a27e57561457de0.png，79310ed07fc5717ec4aa4198b69ad1da.png，试判断此三角形的解的情况．

变式：在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，若3872c9ae3f427af0be0ead09d07ae2cf.png，07fcba9c668d0351c38e28fe2aedead0.png，fdab66716761be2f856fe69bb664890f.png，则符合题意的b的值有_____个．

例2. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，a2939447cdffe1d24ae1abf704175bcd.png，3c94d884933477acdc14fc70da4b987a.png，4847acef124418c705153576282ebd02.png，求cde6b895f04132f6cf2b693dd8d30c50.png的值．

变式：在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，若c8ea6c98f764ee24f21b2911206244bc.png，5ee77c2f371041589786ce42aec10f76.png，且b9d4d95c9767236a289782e995804714.png，求角C．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 已知三角形两边及其夹角（用余弦定理解决）；

2. 已知三角形三边问题（用余弦定理解决）；

3. 已知三角形两角和一边问题（用正弦定理解决）；

4. 已知三角形两边和其中一边的对角问题（既可用正弦定理，也可用余弦定理，可能有一解、两解和无解三种情况）．

※ 知识拓展

在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，已知8c2cc1312e1547ef8820dd7548f9c616.png，讨论三角形解的情况 ：①当A为钝角或直角时，必须46fa7900cc397f3a4b3fa2e72d6885e7.png才能有且只有一解；否则无解；

②当A为锐角时，

如果0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png≥92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，那么只有一解；

如果1a382af93ed4b8a29ebd8e859a0168d7.png，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若250a6e692f406e7d764303d0242e98f9.png，则有两解；

（2）若73e89ab27fd89aec7cf7218b0c99e1dc.png，则只有一解；

（3）若85a327f142b3af514e75830500dbbe57.png，则无解．

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知a、b为△ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且2899f9953ec369b1da658cd55d12c6c3.png，则34e20eef6360c3991ef3780e1f1b45c1.png的值=（ ）.

A. 7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png B. 6ca8c824c79dbb80005f071431350618.png C. fa02b68ab3ebb2cf37dabd34cdfc6b97.png D. 1b5b2d97ef46fb94f5352e5646ded321.png

2. 已知在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，那么这个三角形的最大角是（ ）.

　 A．135° B．90°　 C．120° D．150°

3. 如果将直角三角形三边增加同样的长度，则新三角形形状为（ ）.

A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．由增加长度决定

4. 在△ABC中，sinA:sinB:sinC＝4:5:6，则cosB＝ ．

5. 已知△ABC中，b4329669c74e3f38ae4ad562a4386a76.png，试判断△ABC的形状 ．

课后作业

1. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，eab0fc63c7093c288731e031212acc23.png，93c04df17977b38c7d572d7d7086715d.png，a06736250efefdc92ec7998209b0a081.png，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围．

2. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，其三边分别为a、b、c，且满足35f1a7b4c07468cb88cd51e1af62edfe.png，求角C．

§1.2应用举例—①测量距离

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题

学习过程

一、课前准备

复习1：在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝11dd923bcaf6e0f1b73f76e0e4e93040.png，c＝2d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，则∠A为 .

复习2：在△ABC中，sinA＝0bad4570cb277051639b2ca2c189aae0.png，判断三角形的形状.

二、新课导学

※ 典型例题

例1. 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngBAC=d8bc429007cfb6c5566622647c35cd20.png，705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngACB=e9034b9ae9085146a646c42feee5c6aa.png. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).

提问1：d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？

提问2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？

分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题

题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，

再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，

应用正弦定理算出AB边.

新知1：基线

在测量上，根据测量需要适当确定的 叫基线.

例2. 如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.

分析：这是例1的变式题，研究的是两个 的点之间的距离测量问题.

首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.

根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，

再利用余弦定理可以计算出AB的距离.

变式：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngBCA=60°，705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngACD=30°，705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngCDB=45°，705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngBDA =60°.

练：两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？

三、总结提升

※ 学习小结

1. 解斜三角形应用题的一般步骤：

（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图

（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；

（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解

（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.

2．基线的选取：

测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角964b97788c2e29b16b368d95a4b4dbfc.png的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA=5cm，则球的半径等于（ ）.

A．5cm

B．4f7f6de15f057fa5beac18ca9da417fe.png

C．662be91cb9eecdd1f38d79da807b8953.png

D．6cm

2. 台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（ ）.

A．0.5小时　　 　B．1小时　　

C．1.5小时　　 　D．2小时

3. 在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，已知83d66f93d3770e5c06fe398cbcd0cca6.png，

则75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的形状（ ）.

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形

4.在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，已知3c9d2347726735da8c5c1ed9a44f5759.png，82bd31ca43ce9827c52a8feb2edd11dc.png，9a1152796008f11382fe996353f74999.png，则c2c9a4bf87ff7d4320ada54e80947517.png的值是 ．

5. 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东25489c43d73adb43d12a735e237a94a8.png，行驶４h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东ec7c9d2aaaac2cc2cc207d219ffc09a1.png，这时船与灯塔的距离为 km．

课后作业

1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距91a24814efa2661939c57367281c819c.pngkm的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离.

2. 某船在海面A处测得灯塔C与A相距9c5d18a22120429974ee9a6ccf857f7e.png海里，且在北偏东1dd1ccf85e8ef5926ff6c160f41c4772.png方向；测得灯塔B与A相距bd569f1bb1887bbcafeea345d45dd993.png海里，且在北偏西e9034b9ae9085146a646c42feee5c6aa.png方向. 船由7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png向正北方向航行到D处，测得灯塔B在南偏西bd76c0b409f1a0fcf2abea803939c12a.png方向. 这时灯塔C与D相距多少海里？

§1.2应用举例—②测量高度

学习目标

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题；

2. 测量中的有关名称.

学习过程

一、课前准备

复习1：在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，665717944b40484cf78ca236ba188592.png，则d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC的形状是怎样？

复习2：在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、b、c分别为705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngA、705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngB、705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngC的对边，若02cc8f08398a4f3113b554e8105ebe4c.png=1:1:91a24814efa2661939c57367281c819c.png，求A:B:C的值.

二、新课导学

※ 学习探究

新知：坡度、仰角、俯角、方位角

方位角---从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角 ；

坡度---沿余坡向上的方向与水平方向的夹角；

仰角与俯角---视线与水平线的夹角当视线在水平线之上时，称为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角.

探究：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.

分析：选择基线HG，使H、G、B三点共线，

要求AB，先求AE

在67231db296c4e7172eb4593751fa252d.png中，可测得角 ，关键求AC

在42b0397d8c58a7907e8a76ab38946aed.png中，可测得角 ，线段 ，又有ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png

故可求得AC

※ 典型例题

例1. 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png=54b55f1951f1a620600d126744ef3cd1a8.png，在塔底C处测得A处的俯角dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png=507ca6e2faf71730f2fb6374703c907b9c.png. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)

例2. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶，到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在东偏南25255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png的方向上，仰角为8255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png，求此山的高度CD.

问题1：

欲求出CD，思考在哪个三角形中研究比较适合呢？

问题2：

在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngBCD中，已知BD或BC都可求出CD，根据条件，易计算出哪条边的长？

变式：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.

三、总结提升

※ 学习小结

利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化.

※ 知识拓展

在湖面上高h处，测得云之仰角为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，湖中云之影的俯角为dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png，则云高为7cd2cff8e9a50c3281b84be7c712a90a.png.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，下列关系中一定成立的是（ ）.

A．250a6e692f406e7d764303d0242e98f9.png B．73e89ab27fd89aec7cf7218b0c99e1dc.png

C．85a327f142b3af514e75830500dbbe57.png D．0755fcfa90e2343778fde9cca8267a00.png

2. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，AB=3，BC=8932ad6bd279127618cd620c44a8deff.png，AC=4，则边AC上的高为（ ）.

A．b8fecf2a25ddd5226c7451ea3287c0a9.png B．a0e950dc4545cad1f4989d54a1e697b2.png C．bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png D．84507545f131b7108866546c72caaa20.png

3. D、C、B在地面同一直线上，DC=100米，从D、C两地测得A的仰角分别为f9046216b71f57c9261c342f5d0a7481.png和bad81dd69907c13ea2cb8ea38793a931.png，则A点离地面的高AB等于（ ）米．

A．100 B．3666ec2533186f9f69aa93187121de60.png

C．50c31c788a8cfc7b3b00d10984953b8cb5.png D．50ad1ba015a83c520957d3b46959424c4c.png

4. 在地面上0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png点，测得一塔塔顶7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png和塔基9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的仰角分别是bd76c0b409f1a0fcf2abea803939c12a.png和1dd1ccf85e8ef5926ff6c160f41c4772.png，已知塔基9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png高出地面bf3d55220b1cca170e9fcf922a9997ce.png，则塔身b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的高为_________6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png．

5. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，68b63e44de2326defe7e7252cd30d2aa.png，83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，且三角形有两解，则A的取值范围是 ．

课后作业

1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？

2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高.

§1.2应用举例—③测量角度

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.

学习过程

一、课前准备

复习1：在533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png中，已知4847acef124418c705153576282ebd02.png，31dc9d6f65715ed20f3f273f05490791.png，且8e74d7c688309e2dfdf8b3c1c04c00d8.png，求b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png.

复习2：设75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A=25489c43d73adb43d12a735e237a94a8.png，2df112896cb252b1a2b333525b4bd05d.png，求225b9a82c2424f66c3db040f14e92ec6.png的值.

二、新课导学

※ 典型例题

例1. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png的方向航行54.0 n mile后达到海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?(角度精确到0.1255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png，距离精确到0.01n mile)

分析：

首先由三角形的内角和定理求出角705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngABC，

然后用余弦定理算出AC边，

再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngCAB.

例2. 某巡逻艇在A处发现北偏东45255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

※ 动手试试

练1. 甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(91a24814efa2661939c57367281c819c.png＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.

练2. 某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上鱼群？

三、总结提升

※ 学习小结

1. 已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之.；

2．已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.

※ 知识拓展

已知d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC的三边长均为有理数，A=d1808f05326cf12745a492beb6fdca50.png，B=4e5a38969e5f13f62fad01dc6d4606ba.png，则338e2780ff0afe525df94475ca453682.png是有理数，还是无理数？

因为6e13931eaa85afb7fc500ab0228f6c02.png，由余弦定理知

7cfc4d0b85f2c77418879f67a3fec561.png为有理数，

所以1ea8a665c3b734ee0c8a445e3f51f113.png为有理数.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 从A处望B处的仰角为ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，从B处望A处的俯角为dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png，则ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png，dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png的关系为（ ）.

A．ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.pngcedf8da05466bb54708268b3c694a78f.pngdc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png B．ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png=dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png

C．ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png+dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png=7cdeea6aa792f55ac621192a34f8ce8f.png D．ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png+dc5233cb1d950ecad15b1e9b2514f665.png=02e953e20369db5d82ff9402bb44da19.png

2. 已知两线段83a88ab12cf3296e031df84985733d33.png，68b63e44de2326defe7e7252cd30d2aa.png，若以0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png为边作三角形，则边0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png所对的角A的取值范围是（ ）.

A．4a26da3cbbc63cc77d61887fe144f10e.png B．7c097ba7e8c8924d65f1b407d64fc607.png

C．cc3dd5780a28523d89be7c507f81036f.png D．020575cb6d50f95b63476738b97bbcdd.png

3. 关于9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png的方程72e5e1bab9dbbba1bc655b58e0f29497.png有相等实根，且A、B、C是d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.png的三个内角，则三角形的三边24e3e72b0ae07e1a5d23022615d17447.png满足（ ）.

A．fd3f13193639baca8b23ceaa3cddea45.png B．9dccc846ec54aed8a27ed3396f843659.png

C．b31e6ee030af9fec6bdf96f1d2238b38.png D．b676b8668e26c1a89d056e509b0b9929.png

4. △ABC中，已知a:b:c=(91a24814efa2661939c57367281c819c.png+1) :(91a24814efa2661939c57367281c819c.png-1): 216554093aa007ab9947ed316b9c44a1.png，则此三角形中最大角的度数为 .

5. 在三角形中，已知:A，a，b给出下列说法:

(1)若A≥90°，且a≤b，则此三角形不存在

(2)若A≥90°，则此三角形最多有一解

(3)若A＜90°，且a=bsinA，则此三角形为直角三角形，且B=90°

(4)当A＜90°，a<b时三角形一定存在

(5)当A＜90°，且bsinA<a<b时，三角形有两解

其中正确说法的序号是 .

课后作业

1. 我舰在敌岛A南偏西fbfce3287d8752564c0add0210ae1905.png相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西7f408a4e674b6888a3179a6af87422fd.png的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？

2.

§1.2应用举例—④解三角形

学习目标

1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；

2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用；

3. 能证明三角形中的简单的恒等式．

学习过程

一、课前准备

复习1：在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中

（1）若e9b6e32239e9497693afe1403940998a.png，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png等于 ．

（2）若d3880cfb685beb1161ad3ce0ea45a6cd.png，19bf9442bea375a24abb4c22e9951a92.png，d10d01ad62bfd04c4f9245089798bc9a.png，则354c808b3ac7ff5bd75faa26bcc36220.png _____．

复习2：

在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，d3880cfb685beb1161ad3ce0ea45a6cd.png，19bf9442bea375a24abb4c22e9951a92.png，d10d01ad62bfd04c4f9245089798bc9a.png，则高BD= ，三角形面积= ．

二、新课导学

※ 学习探究

探究：在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，边BC上的高分别记为he6a19b68c212b03705ebf968148ebc3f.png，那么它如何用已知边和角表示？

he6a19b68c212b03705ebf968148ebc3f.png=bsinC=csinB

根据以前学过的三角形面积公式S=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngah，

代入可以推导出下面的三角形面积公式，S=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngabsinC，

或S= ，

同理S= ．

新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半．

※ 典型例题

例1. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到0.1cm272ba5cfd2789d670bc65e40587345c3.png）：

（1）已知a=14.8cm，c=23.5cm，B=148.5255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png；

（2）已知B=62.7255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png，C=65.8255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png，b=3.16cm；

（3）已知三边的长分别为a=41.4cm，b=27.3cm，

c=38.7cm．

变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m，88m，127m，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm272ba5cfd2789d670bc65e40587345c3.png）

例2. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，求证：

（1）4205fc1c213f402ddba67bd505e7cedf.png

（2）a4791fd2e334993453b00d036ab792af.png+a96f0cb529028f4b4e8c9848f247dc4e.png+d1361fe8d9cd3d38c0919846ab0d3d8e.png=2（bccosA+cacosB+abcosC）．

小结：证明三角形中恒等式方法： 应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．

※ 动手试试

练1. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，已知6909d6335f23e32b301162b10f5707f8.png，0bac3210740d424e3e5a5f1ba9d549ff.png，c38252181a955cadf0f9d8263b07e7db.png，则d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC的面积是 ．

练2. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，求证：

829bedeb04234525dbd4f6af1a81149f.png．

三、总结提升

※ 学习小结

1. 三角形面积公式：

S=93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.pngabsinC= = ．

2. 证明三角形中的简单的恒等式方法：应用正弦定理或余弦定理，“边”化“角”或“角”化“边”．

※ 知识拓展

三角形面积5c6f3bf5ff3f4bfc0f7c1e6a384199b2.png，

这里3d36f8e159ef90cf87a0b0d61e8b091c.png，这就是著名的海伦公式．

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，4f97791dc6ed47573d2bb691435c71c1.png，则0af1447bf2ee5c51c96a5936cae48e20.png（ ）.

A. 68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png B. aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png C. 91a24814efa2661939c57367281c819c.png D. bd8eacd6ef8c460fea72f998c06d4e7e.png

2. 三角形两边之差为2，夹角的正弦值为463e10b4289d71d8f76004d317ee77b5.png，面积为fe6726f46f877a9be45ab402ebb5889b.png，那么这个三角形的两边长分别是（ ）.

A. 3和5 B. 4和6 C. 6和8 D. 5和7

3. 在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，若335d85b6ba9422fe0d809cb69c1c4ac1.png，则75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png一定是（ ）三角形．

A. 等腰 B. 直角 C. 等边 D. 等腰直角

4. 75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png三边长分别为42c15cf70fd6faf56cb3388043896f70.png，它的较大锐角的平分线分三角形的面积比是 ．

5. 已知三角形的三边的长分别为dc7e794fda4d24c6c78bfcbe963dcace.png，9856e070d4eb9bd8e013b7795ae4100d.png，02b73895aa26865f736762d07216fd76.png，则d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC的面积是 ．

课后作业

2. 已知在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngB=30255f82f6ab8332dbb5ebe3c2c7410253.png，b=6，c=691a24814efa2661939c57367281c819c.png，求a及d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC的面积S．

2. 在△ABC中，若

93346b13a5ea64f1651f0d9e2a8e6c9d.png，试判断△ABC的形状.

§1.2应用举例（练习）

学习目标

1．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量的实际问题；

2．三角形的面积及有关恒等式．

学习过程

一、课前准备

复习1：解三角形应用题的关键：将实际问题转化为解三角形问题来解决．

复习2：基本解题思路是：

①分析此题属于哪种类型（距离、高度、角度）；

②依题意画出示意图，把已知量和未知量标在图中；

③确定用哪个定理转化，哪个定理求解；

④进行作答，并注意近似计算的要求．

二、新课导学

※ 典型例题

例1. 某观测站C在目标A的南偏西12346fe14aed2c31ef5682b205106625.png方向，从A出发有一条南偏东e7f18067167a16855ef3fc9ffb8191f7.png走向的公路，在C处测得与C相距319b05de73d43f8c4ec1110c6bcc5312bc.png的公路上有一人正沿着此公路向A走去，走209b05de73d43f8c4ec1110c6bcc5312bc.png到达D，此时测得CD距离为219b05de73d43f8c4ec1110c6bcc5312bc.png，求此人在D处距A还有多远？

例2. 在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为27943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，再继续前进1091a24814efa2661939c57367281c819c.pngm至D点，测得顶端A的仰角为47943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png，求7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png的大小和建筑物AE的高．

例3. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ABC=60°，AC=7，AD=6，S△ADC=11cb7aed83854dca99ebf2bafba5ecbb.png，求AB的长．

※ 动手试试

练1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，则塔AB的高度为多少m？

练2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为多少？

三、总结提升

※ 学习小结

1. 解三角形应用题的基本思路，方法；

2．应用举例中测量问题的强化.

※ 知识拓展

秦九韶“三斜求积”公式：

9cb7dfd0f20c63a5f5792f70d7f807a7.png

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 某人向正东方向走eb8a2a8b2785160a3312e3810112ca56.png后，向右转2f955f4cec570e36507e7bb3eb5915c7.png，然后朝新方向走bf2a6cd2bd45aa8bacd814e68d484ce6.png，结果他离出发点恰好9a026f9ae5bd89f9a0d163bd45cfb25d.png，则9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png等于（ ）.

A．91a24814efa2661939c57367281c819c.png B．68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png C．91a24814efa2661939c57367281c819c.png或68d9c09d99cc222af7e825a07a0f3065.png D．3

2.在200米的山上顶，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为316d034b13cde717a6dd3051aef38055.png，则塔高为（ ）米．

A．03ff4f061766d35b1cbf6a817a95db9a.png B．95f2547da48ca7a45d4c91251b78a711.png C．74508e0f72dd0c05a811e42f67303f4e.png D．56240b9d5e23f7ce512bee0de9accb9e.png

3. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，b7f1a60c7f2f15643a5f67fec3869cce.png，28f71634a0d3cbc0675656a667545436.png，面积为a748f042ed38e3202e65c7c8d25ce8f7.png，那么f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的长度为（ ）.

A．8e296a067a37563370ded05f5a3bf3ec.png B．2838023a778dfaecdc212708f721b788.png C．372955346eeacb8fc77410d893b8e9a8.png D．f457c545a9ded88f18ecee47145a72c0.png

4. 从200米高的山顶A处测得地面上某两个景点B、C的俯角分别是30º和45º，且∠BAC＝45º，则这两个景点B、C之间的距离 ．

5. 一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°相距20里处，随后货轮按北偏西30°的方向航行，半小时后，又测得灯塔在货轮的北偏东964b97788c2e29b16b368d95a4b4dbfc.png，则货轮的速度 ．

课后作业

1. 3.5米长的棒斜靠在石堤旁，棒的一端在离堤足1.2米地面上，另一端在沿堤上2.8米的地方，求堤对地面的倾斜角.

2. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（ec59460c835704acad35edc375261f6b.png），n＝（cosA，sinA）. 若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，求角B.

第一章 解三角形（复习）

学习目标

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题．

学习过程

一、课前准备

复习1： 正弦定理和余弦定理

（1）用正弦定理：

①知两角及一边解三角形；

②知两边及其中一边所对的角解三角形（要讨论解的个数）．

（2）用余弦定理：

①知三边求三角；

②知道两边及这两边的夹角解三角形．

复习2：应用举例

1 距离问题，②高度问题，

③ 角度问题，④计算问题．

练：有一长为2公里的斜坡，它的倾斜角为30°，现要将倾斜角改为45°，且高度不变. 则斜坡长变为___ ．

二、新课导学

※ 典型例题

例1. 在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中343f17410e08fd2ba420cadaf92a4f2a.png，且最长边为1，60dec9531ee95b860205fc9aff97c25c.png，60f52b2fd4599ca82679394ed7b97146.png，求角C的大小及△ABC最短边的长．

例2. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30148505318eba0d256fbe897a083a3da9.png，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1148505318eba0d256fbe897a083a3da9.png）？

例3. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，设12d29cdee3e526b9dd46464233279a49.png 求A的值．

※ 动手试试

练1. 如图，某海轮以60 n mile/h 的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40 min后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min到达C点，求P、C间的距离．

练2. 在△ABC中，b＝10，A＝30°，问a取何值时，此三角形有一个解？两个解？无解？

三、总结提升

※ 学习小结

1. 应用正、余弦定理解三角形；

2. 利用正、余弦定理解决实际问题（测量距离、高度、角度等）；

3．在现实生活中灵活运用正、余弦定理解决问题. （边角转化）．

※ 知识拓展

设在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，已知三边0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png，92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png，4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，那么用已知边表示外接圆半径R的公式是

47beaa4dafc8bdebdfba1e21412331cb.png

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30°，∠B＝41b95f3a1598d5894288b9e38f524e39.png，则△ABC的面积为（ ）.

　A．9 B．18 C．9d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e.png D．1891a24814efa2661939c57367281c819c.png

2.在△ABC中，若744cde81393eebaaccbce428bbe4ba39.png，则∠C=（ ）.

A． 60° B． 90° C．150° D．120°

3. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，20139d06d9bc1dd7ca03555c89b866a7.png，9cbfd4cf83ead3123a27e57561457de0.png，A=30°，则B的解的个数是（ ）.

A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定的

4. 在△ABC中，bedd2084bca2172661180b83f32a5f3b.png，213800750680530ac177084d24bc15b8.png，0546264c5147dcfd99df39fca87c940e.png，则b3b0fb05d62cd85c458fc3fc3dd92d9f.png_______

5. 在d44f383ce45b5283439ea630afb544d5.pngABC中，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、b、c分别为705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngA、705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngB、705a4bc5b35fef73429fda3211192cb0.pngC的对边，若ba262de3e5836ace7f0aad9f06b562a1.png，则A=___ ____.

课后作业

1. 已知7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png、9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png、0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的三内角，且其对边分别为0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png、92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png、4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.png，若57fa2d38622f8b888e71ad3c4ceedf5e.png．

（1）求7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png；

（2）若ce9c3a610fd693c113ff23fa9c29c22b.png，求75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积．

2. 在△ABC中，a44c56c8177e32d3613988f4dba7962e.png分别为角A、B、C的对边，09201decfa6a714bde8614201034394a.png，0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png=3， △ABC的面积为6，

（1）求角A的正弦值； （2）求边b、c.

§2.1数列的概念与简单表示法(1)

学习目标

1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；

2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；

3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P28 ~ P30 ，找出疑惑之处）

复习1：函数851d714b0c317fc962cff28d29849953.png，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？

复习2：函数y=7x+9，当x依次取1，2，3，…时，其函数值有什么特点？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：数列的概念

⒈ 数列的定义： 的一列数叫做数列.

⒉ 数列的项：数列中的 都叫做这个数列的项.

反思：

⑴ 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列？

⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗？

3. 数列的一般形式：8acaf1da77b48c64801b33187d92ca91.png，或简记为02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png，其中9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png是数列的第 项.

4. 数列的通项公式：如果数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的第n项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与n之间的关系可以用 来表示，那么 就叫做这个数列的通项公式.

反思：

⑴所有数列都能写出其通项公式？

⑵一个数列的通项公式是唯一？

⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系？

5．数列的分类：

1）根据数列项数的多少分 数列和 数列；

2）根据数列中项的大小变化情况分为 数列，

数列， 数列和 数列.

※ 典型例题

例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

⑴ 1，－93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，－eca3bf81573307ec3002cf846390d363.png；

⑵ 1， 0， 1， 0.

变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

⑴ 93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，27abf3c3c0ceec6fce6416dc3fcf1951.png，9cd43eaee0a393fa141af5a699674096.png，e28e0d11ad89800f2329b715f1c93770.png；

⑵ 1， －1， 1， －1；

小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为项数的函数关系.

例2已知数列2，b0cdadb8bdea36abcccdd0db8a2358bc.png，2，…的通项公式为1cea84192acb7b7ab6a56a9d1f011a58.png，求这个数列的第四项和第五项.

变式：已知数列aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png，49d66b49a2741e5b36e82bc1a9d6a14b.png，dc7a204185d6830de9e1d0148902e0e2.png，f4f72e2b633e4ef13eb384425a6a7167.png，0622a38f8aa08bb926f8a4f806989015.png，…，则5aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png是它的第 项.

小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项.

※ 动手试试

练1. 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：

⑴ 1， 7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png，22417f146ced89939510e270d4201b28.png， 72f315faebdd4f617b94fd6dd2a3f9c3.png；

⑵ 1，d21848cdd835abcb491be1f151e9b6c6.png，91a24814efa2661939c57367281c819c.png，2 .

练2. 写出数列e99c38136bd657711ece04525136422c.png的第20项，第n＋1项.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式；

2. 会用通项公式写出数列的任意一项.

※ 知识拓展

数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数.

思考：设9dfc672cd5367bc3585324e868286892.png＝1＋93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png＋7964c6a339acf2ddea25a5ef0552b97e.png＋…＋07620b6c78a673d1329bde410e0b69ad.png（n3659f7cbbee83f93790ff7f8c7480168.pngf778e87dfab7825430ebf2bf3654b3d3.png）那么373698687257452dfede48f4333eeae0.png等于（ ）

A. 90862e5807c4eac48089305a607cd510.png B.5ba268f001afe2242b5c4c5a4f4a9b10.png

C. 14d3d8f47c41f2d463048c11471711fc.png D. cfc4d305f3128155ee2708f5aa6584bd.png

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 下列说法正确的是（ ）.

A. 数列中不能重复出现同一个数

B. 1，2，3，4与4，3，2，1是同一数列

C. 1，1，1，1…不是数列

D. 两个数列的每一项相同，则数列相同

2. 下列四个数中，哪个是数列85412e4abf039f6fa0ba4fb14f73b39c.png中的一项（ ）.

A. 380 B. 392 C. 321 D. 232

3. 在横线上填上适当的数：

3，8，15， ，35，48.

4.数列b57d61b1513d4fd705921547ee2cfd56.png的第4项是 .

5. 写出数列e532a437ed1afd531b687964767bb385.png，7ef4165a6115c762d81ea1a979bd37ca.png，e0915e4b4512ba86f7c5d0088e728e11.png，506c7501e7dfe16d713502658e4e4178.png的一个通项公式 .

课后作业

1. 写出数列｛9aa0ec0374c89d2f7f3d9cd2e05a4bc5.png｝的前5项.

2. （1）写出数列4bde72fc0f322d3069a2822645c7d602.png，821974efd6615cc125e8248b7fed7ba6.png，7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png，ebfe233c8867df30feb0092b587fe6ae.png的一个通项公式为 .

（2）已知数列91a24814efa2661939c57367281c819c.png，1801cfc88edd59ca7296ac197514e703.png，49d66b49a2741e5b36e82bc1a9d6a14b.png，4a68ac0136e5c8446ca046abe9e88800.png，99007f9259f3528aecc38716b2b14680.png，… 那么349d66b49a2741e5b36e82bc1a9d6a14b.png是这个数列的第 项.

§2.1数列的概念与简单表示法(2)

学习目标

1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；

2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P31 ~ P34 ，找出疑惑之处）

复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？

复习2：数列如何分类？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务：数列的表示方法

问题：观察钢管堆放示意图，寻找每层的钢管数9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与层数n之间有何关系？

1. 通项公式法：

试试：上图中每层的钢管数9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与层数n之间关系的一个通项公式是 .

2. 图象法：

数列的图形是 ，因为横坐标为 数，所以这些点都在y轴的 侧，而点的个数取决于数列的 ．从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势．

3. 递推公式法：

递推公式：如果已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的第1项（或前几项），且任一项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与它的前一项7aeb2d010ba44e46922e3a8719744344.png（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

试试：上图中相邻两层的钢管数9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与cb6954257075735c2ac8f53f757d542f.png之间关系的一个递推公式是 .

4. 列表法：

试试：上图中每层的钢管数9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png与层数n之间关系的用列表法如何表示？

反思：所有数列都能有四种表示方法吗？

※ 典型例题

例1 设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足5eb255f97642c4f9b6cbe97a3e5cfd32.png写出这个数列的前五项.

变式：已知4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，9ca21b42df6d888254b4e38db48c816b.png，写出前5项，并猜想通项公式9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png.

小结：由递推公式求数列的项，只要让n依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项.

例2 已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足17a7d70dda52e39a15d9ea188028e1c3.png，c3915f69fe093c0573d7f67f30f34b7a.png， 那么4b82669bec9175ecf466ef904e9f9bfc.png（ ）.

A. 2003×2004 B. 2004×2005

C. 2007×2006 D. 949e1791049a4a9ce40faad5cf6e1d5d.png

变式：已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足17a7d70dda52e39a15d9ea188028e1c3.png，c3915f69fe093c0573d7f67f30f34b7a.png，求9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png.

小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法.

※ 动手试试

练1. 已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，9b080da08e5fed34ab58dcd2203f264c.png，且895d8421691cd322dbef045cbe924761.png（a4f9f890663b2a0597c2fc0e75738ec8.png），求16d10773c9d1602612b23c7a265f8097.png.

练2.（20XX年湖南）已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足17a7d70dda52e39a15d9ea188028e1c3.png，

2361f0a40d423d458165a7aeee55fa66.png （f6e696c1952cff44affab43c8beaec2f.png），则b754af7281a50e1fddd832f2c3c7a678.png（ ） .

A．0 B.－91a24814efa2661939c57367281c819c.png C.91a24814efa2661939c57367281c819c.png D. aed430fdf4c64058b58e05bf9ccbbbde.png

练3. 在数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中，4178829a8c36cd8fceb2b713b302671a.png，43195a45434c11592d33498fc8fdcb6a.png，通项公式是项数n的一次函数.

⑴ 求数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的通项公式；

⑵ 88是否是数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中的项.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 数列的表示方法；

2. 数列的递推公式.

※ 知识拓展

n刀最多能将比萨饼切成几块？

意大利一家比萨饼店的员工乔治喜欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售. 他发现一刀能将饼切成两块，两刀最多能切成4块，而三刀最多能切成7块（如图）.请你帮他算算看，四刀最多能将饼切成多少块？n刀呢？

解析：将比萨饼抽象成一个圆，每一刀的切痕看成圆的一条弦. 因为任意两条弦最多只能有一个交点，所以第n刀最多与前n－1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第n刀的切痕最多被前n－1刀分成n段，而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就是说n刀切下去最多能使饼增加n块. 记刀数为1时，饼的块数最多为8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，……，刀数为n时，饼的块数最多为9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png，所以9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png=61763074b270be6b02afd76275652135.png.

由此可求得9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png=1+4e9a57bdc3d91df036ea29ee23253641.png.

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 已知数列dd2eca0bdf89d6c2211b241fc1678d1b.png，则数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png是（ ）.

A. 递增数列 B. 递减数列

C. 摆动数列 D. 常数列

2. 数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中，6e96c2e8d36619a6d3705dff4bac3380.png，则此数列最大项的值是（ ）.

A. 3 B. 13 C. 130f1af1f75945c10f599368811e2d8a64.png D. 12

3. 数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，36932174458c1ab36db1529315519640.png（n≥1），则该数列的通项6b264e52453f89797441f58c9a874006.png（ ）.

A. 83a348d7bc7ca64a9e8178da6ebfc927.png B. 7839f8ccaca6d4353421c3f2ca569399.png

C. 4e9a57bdc3d91df036ea29ee23253641.png D. 9e6712d28b719cd61457e99eb420152f.png

4. 已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足ea57d972776892f48459590da1109bdd.png，8334abff0ef034b184c3316abd342ddb.png（n≥2），则cc1549a430ab926283cf9fe99a9a9e7b.png .

5. 已知数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足4683592a3b18fb3bf42dddf8245189ba.png，c5de0f640c56c1e2060e53392689cabc.png（n≥2），

则4f517a172bf3161e63466fc9089fb966.png .

课后作业

1. 数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png中，8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png＝0，cb6954257075735c2ac8f53f757d542f.png＝9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png＋(2n－1) (n∈N)，写出前五项，并归纳出通项公式.

2. 数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png满足ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，4ab2ef5a07bac77c33bc3e4c36dfa35c.png，写出前5项，并猜想通项公式9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png.

§2.2等差数列（1）

学习目标

1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；

2. 探索并掌握等差数列的通项公式；

3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P36 ~ P39 ，找出疑惑之处）

复习1：什么是数列？

复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法？

二、新课导学

※ 学习探究

探究任务一：等差数列的概念

问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征？

① 0，5，10，15，20，25，…

② 48，53，58，63

③ 18，15.5，13，10.5，8，5.5

④ 10072，10144，10216，10288，10366

新知：

1.等差数列：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它 一项的 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的 ， 常用字母 表示.

2.等差中项：由三个数a，A， b组成的等差数列，

这时数 叫做数 和 的等差中项，用等式表示为A=

探究任务二：等差数列的通项公式

问题2：数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么？

若一等差数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png的首项是8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png，公差是d，则据其定义可得：

5f45765ae8db3f2c0642f268e17cd2e2.png ，即：ad274fc5f5000754132061e88d4c96b8.png

2940f8586ac254e4789e143df349598e.png ， 即：3f0daaf358fe1a94b43e8d87cb2cbe79.png

79ede1c52b65f0cf7b7cc958a444cb97.png ，即：82e81af8573c124322825164bd8b50a5.png

……

由此归纳等差数列的通项公式可得：6b264e52453f89797441f58c9a874006.png

∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项8e6ba967645c302e1f2a60ec9c341e5c.png和公差d，便可求得其通项9ded7825070b255e7bc092cdc2c8e98a.png.

※ 典型例题

例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项；

⑵ －401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？