九宫图是怎么破解的？

江苏徐州市第二十四中学 罗伟

九宫图又称三阶幻方，即把1到9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都是等于15。

相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案(图一)，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。

图一

早在汉郑玄《易纬注》及《数术记遗》都记载有“九宫”，南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”是怎么得到这个规律的呢？

杨辉对九宫阵的研究源于一个小故事。当时杨辉任台州地方官，一次外出，遇一孩童挡道，原来这孩童在地上做一道数学算题，杨辉一听来了兴趣，便下轿观看。这道题便是：把1到9的数字分行排列，不论竖着加、横着加，还是斜着加，其结果都等于15。杨辉与那小孩趴在地上算啊算，将身边的人和事忘得一干二净。等两人终于将算式摆出来时，要研究这一阵式的想法也在杨辉脑中产生了。

杨辉隐约记得《大戴礼记》（西汉学者戴德编纂的一部记载古代各种礼仪制度的文集）中似乎有这样的阵式，回家查了无数典籍，发现南北朝时北周的数学家甄鸾在《数术记遗》一书中对这种阵式做了解释，竟然和自己与孩童摆出来的完全一样。但为什么是这样，这当中有什么原理，书中没有进一步研究。经过反复琢磨，杨辉终于发现了其中的规律，并总结成四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。”就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图。比法国数学家Claude Gaspar Bachet提出的方法早三百余年。

解法一（杨辉解法）：

第一步：菱形斜填写

第二步：菱形四角的3和7,1和9交换，如下图

第三步：9和1插队进去，如图

用1~9填出的三阶基本幻方的所有情况都是相互镜像或旋转的。

　　是本质相同的不同表现：

解法二(黄蓉解法)：

九宫之二，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。

从中看出黄蓉看过汉代或者杨辉数学书，黄蓉对瑛姑所说的：“不但九宫，即使四四图，五五图，以至百子图，亦不足为奇……”（电视剧中没有，小说中有此话。）从中看出黄蓉看过南宋杨辉数学书，射雕英雄传故事发生于南宋，可以说黄蓉了解最新数学信息，这正是我们要学习的地方。学过肯定脱口而出。而瑛姑却没看多汉代及杨辉著作。

解法三(大学老师的解法)：

第一步：按照1—9 九个数字从小到大每行填三个。

第二步：1和9对换，3和7对换

第三步：外围的数字旋转一周，顺时针或逆时针都可以。

（顺时针）

或

等

解法四（我的解法）：

首先，肯定中央一个数为5，先采用列代数式的方法

第一步，先填5个空

第二步，再把其余的空填上

a, b是比5小的整数，并且，那么有这几种情况：

在1、2；1、3；1、4；2、3；2、4；3、4中只有1、3满足即a=1, b=3再带入表格中即可。

九宫图其方位观念亦广泛用于地理(九州观念)、军事(布阵行营)、书法、武术及数学方面。

后来，杨辉受到九宫图启发，又得到了“花16图”，就是从1到16的数字排列在四行四列的方格中，使每一横行、纵行、斜行四数之和均为34。陆续得到了“五五图”、“六六图”、“衍数图”、“易数图”、“九九图”、“百子图”等许多类似的图。杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世。