2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）： 重庆师范大学

参赛队员 (打印并签名) ：1. 朱 巧

2. 向庄源

3. 徐威娜

指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期： 2012 年 7 月 15 日

word/media/image1.gif

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

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住宅小区舒适度研究及应用实例

摘要： 住宅小区的舒适度包含建筑强度指标、人口居住指标、地理环境指标等各个方面，本文结合重庆师范大学师大苑这个实例，主要考虑采光、绿化、容积率以及周边设施布局这四个方面来对住宅小区舒适度进行评价。

1.（采光）选取重庆秋分这一天作为研究点，通过模拟，以地面空间为立体坐标系统，分为有无相邻建筑物阻挡两种情况和建筑受到太阳光运动角度变化产生的不同受光面积四个阶段考虑。结合LINGO和MATLAB软件给出每一时刻建筑物在有相邻建筑影响下的受光面积与无相邻建筑影响下的受光面积的比值，忽略光强即热效应对采光程度的影响，以此作为采光率对小区采光做出评判。

2.（绿化）从植被固碳释氧、降温增湿、滞尘杀菌三个方面，来评价小区绿化的效能。利用计算常用绿化植物光合作用的净日同化量和叶面积指数，进而推算出常用绿化植物的净日固碳量，结合主要植物的固碳释氧量以及居民呼吸排放的二氧化碳量定量评价小区植被的释氧能力，并给出四种绿地类型的植物配置优化结构作为参考改进；通过模拟分析，用焓变、热能计算出植被降温对空调负荷量降低的比重，侧面描述出植被降温增湿的能力；再通过数据分析得到植被还具有滞尘杀菌的功能。

3.（容积率）利用卫星图分析并计算出师大苑各类别建筑用地面积，进一步分析得到容积率、人口平均建筑面积、人口平均绿地面积等指数。

4.（周边环境）在对周边环境的设施布局的规划上，多是通过思维进行艺术创造的复杂过程，评价界限并不分明，无法用经典数学模型评判优劣，因此运用模糊数学理论给出了周边环境的设施布局的综合评价。

关键词：采光率、固碳释氧、空调负荷量、焓变、容积率、模糊数学

一、 问题重述：

一个住宅小区就是一个社会的缩影，是一个“微型社会”。一个完整的住宅小区是由住宅、公共服务设施、绿地、建筑小品、道路交通设施、市政工程设施等实体和空间经过综合规划而形成的。并且随着城镇居民收入的提高，居民的住房条件也在不断改善，2004年我国城市居民人均住宅建筑面积达到24.94平方米,与2000年相比增加了4.63平方米word/media/image2.gif，因此，系统定量地描述出对住宅小区舒适度的评价在房产开发、提高居民生活水平以及推进城市化发展都有着巨大的作用。

居住小区作为城市最重要的组成单元，应注重住宅建筑的采光率，提高绿地植被的固碳释氧的效益，充分发挥绿地植被降温增湿的、滞尘杀菌的能力，规划小区的容积率和周边设施布局，为小区综合发展作出贡献。本文从房屋采光、绿化效益（植被固碳释氧、降温增湿、滞尘杀菌）、容积率以及周边设施布局这四个主要方面来设计评价体系。

二、模型的假设

1．忽略光强变化、热能吸收对房屋采光面积的影响。

2．选取秋分这一天，假定太阳光为平行光，太阳运动轨迹平面与地面平面夹角恒为word/media/image3.gif，以地面平面为坐标word/media/image4.gif平面，房屋地面的几何中心为原点，以垂直地面向上为word/media/image5.gif轴，建筑物简化为立方体只考虑四个侧面的受光面积，分为五个阶段按每一时刻分析有相邻建筑物阻挡的受光面积与无相邻建筑物阻挡的受光面积之比。

3.因日出时经过重庆的光线与赤道线的夹角小于word/media/image6.gif弧度，因此可认为日出时太阳位于重庆的正东方。

4.假定小区植被的平均固碳能力为一般植物的光合作用固碳量，植物晚上暗呼吸消耗量按照白天同化量的word/media/image7.gif计算。用植物日净固碳量、叶面积指数来评价植被固碳释氧的空气净化能力。

5.用叶面积指数来定义绿量，用点触法计算叶面积指数时，当天顶角为word/media/image8.gif时,假设叶片随机分布和叶倾角椭圆分布 ,则冠层叶片的倾角对消光系数word/media/image9.gif的影响最小,此时采用word/media/image10.gif倾角刺入冠层。

6.对周边设施布局只考虑四个方面的权重比较。

三．符号说明

1. word/media/image11.gif房屋朝向南偏西角度

2. word/media/image12.gif为可受到光照的墙面的整面墙面面积

3. word/media/image13.gif为房屋长

4. word/media/image14.gif为房屋宽

5. word/media/image15.gif为房屋高

6. word/media/image16.gif、word/media/image17.gif、word/media/image18.gif、word/media/image19.gif、 word/media/image20.gif 为秋分这一天的时刻

7. word/media/image21.gif 为word/media/image22.gif时间段内，光线与楼角的平面角度

8. word/media/image23.gif为word/media/image22.gif时间段内，光线与楼顶形成的角度

9. word/media/image24.gif为word/media/image22.gif时间段内，受到光照的房屋面积之和

10. word/media/image25.gif为太阳运动角速度

11. word/media/image26.gif太阳运动轨迹半径

12. word/media/image27.gif为日出到计算点的太阳升起时间

13. word/media/image28.gif分别为平面模拟时太阳的坐标

14. word/media/image29.gif, word/media/image30.gif, word/media/image31.gif分别为太阳投影到地面上坐标系上的向量

15. word/media/image32.gif为单位面积的日同化量，单位为word/media/image33.gif

16. word/media/image34.gif为初测点瞬时光合速率，word/media/image35.gif为下一测点的净光合速率，单位为word/media/image36.gif

17. word/media/image37.gif为初测试点，word/media/image38.gif为下一测定时间，单位为word/media/image15.gif

18. word/media/image39.gif为单位叶面积的净日固碳量, 单位为word/media/image40.gif

19. word/media/image41.gif的摩尔质量为44，单位word/media/image42.gif

20. word/media/image43.gif为叶面积指数，单位为word/media/image44.gif

21. word/media/image45.gif为单位绿地面积固碳量，单位为word/media/image46.gif

22. word/media/image47.gif为探针接触到的叶片数

23. word/media/image48.gif为投影函数，word/media/image49.gif为天顶角

24. word/media/image50.gif为室内空调冷负荷，word/media/image51.gif是新风冷负荷，word/media/image52.gif是室内冷负荷

25. word/media/image53.gif为新风量，单位为word/media/image54.gif

26. word/media/image55.gif和word/media/image56.gif分别为室外和室内空气的焓，单位为word/media/image57.gif

27. word/media/image58.gif为与建筑物功能相关的系数

28. word/media/image59.gif表示总建筑面积，是指建筑范围内单栋或多栋建筑物地面以上以及地面一下各层建筑面积的总和

29. word/media/image60.gif表示总占地面积

四．问题分析

1.采光分析

选取重庆秋分这一天作为研究点，将一栋住宅楼简化为立方体，用每一时刻其四个侧面的在有相邻建筑物阻挡情况下的受光面积与无相邻建筑物阻挡情况下的受光面积之比来替代采光率，忽略光强即热效应对采光程度的影响，以此及彼推算出整个小区住宅楼的采光率。

对于太阳光，假定其为平行光，分为四个时间阶段考虑住宅小区的受光面积。

2.绿化分析

从固碳释氧、降温增湿、滞尘杀菌三个方面来分析绿化。一般植物经过白天的光合作用后光和固碳量大于呼吸作用的消耗的碳量，植物整体表现为固碳释氧作用，分析不同植被类型、不同植物类型的固碳释氧能力，结合小区绿地面积和小区居民人口数计算出本小区的绿地释氧能力。用在有无植被的情况下空调负荷热量的比值来定量描述植被的降温作用，选取对照组实验测得一天内湿度的变化规律得出植被具有增湿的作用。通过对植物特性的调查得出植被还具有滞尘杀菌的作用。

3.容积率分析

小区的容积率是总建筑面积之和与占地面积之比，容积率用来描述该住宅建设的土地使用效率。当然，容积率也不是越大越好，高层建筑会带来的光化学污染，而如果容积率过低会降低土地的使用效率，增加住房困难。

4.周边设施布局分析

小区住宅的周边设施布局也是衡量一个小区舒适便捷程度的一个方面，对小区的公共服务设施用地、教育用地、交通用地、户外活动用地四种用地规划进行模糊评价，分析出合理的配置。

五．模型建立

1.模型一：

1.1建筑物受光面积模型

Ⅰ.图为建筑朝向，如图，可以看出房屋朝向为南偏西，偏角为α.

图为建筑不受周围建筑及环境影响的情况:

因日出时经过重庆的光线与赤道线的夹角小于10-5弧度，因此可认为日出时太阳位于重庆的正东方。

一天时间内，此建筑物的光照情况可分为三种：

(1) 图中的I部分，此段时间内，右侧和背面墙面可享受光照。

(2) 图中的II部分，此段时间内，右侧和前面墙面可享受到光照。

(3) 图中的III部分，此段时间内，前面和左侧墙面可享受到光照。

因此，可得出函数：

word/media/image63.gif

综上：word/media/image64.gif

Ⅱ.下图为建筑物受周围建筑影响的情况。

可分为四种情况：

(1) word/media/image66.gif

(2) word/media/image67.gif

(3) word/media/image68.gif

(4) word/media/image69.gif

(1) 根据word/media/image70.gif可计算出阴影部分的面积word/media/image71.gif，word/media/image71.gif是一个关于word/media/image70.gif的函数，如下：

word/media/image72.gif

(2) 同Ⅰ可求得word/media/image67.gif情况下，word/media/image73.gif的函数。

word/media/image75.gif

(3) 左图为情况Ⅲ，由图中信息可知，在T2~T3时间中，建筑物将不会受到附近建筑的影响，即在此时间段里，建筑物的右侧面和前面都能

够一直享受阳光

的照射。

因此，有：

word/media/image77.gif

(4) 因为所研究的小区朝向为南偏西220左右，不满足对称性，因此继续推导出S4的函数形式

word/media/image79.gif

Ⅳ．根据上述图形及β、γ的情况，可计算出T1、T2、T3的时间点。

word/media/image80.gif

word/media/image81.gif

word/media/image82.gif

1.2.太阳轨迹模型

Ⅰ.左图为太阳运行轨迹图如图，以赤道为原点，作立体图。太阳的运行轨迹是一个圆，其轨迹直径与地球赤道重合，而轨迹平面与坐标平面形成一个夹角word/media/image83.gif。在秋分这天：

word/media/image84.gif [2]

Ⅱ.先模拟太阳在它的轨迹上运行时，横纵坐标与时间关系。

如图，在12小时时间内，太阳走过一个半圆，即word/media/image87.gif的弧度

所以角速度word/media/image88.gif (弧度/分钟)

太阳轨迹半径为word/media/image89.gif，因此有：

word/media/image90.gif

word/media/image91.gif

Ⅲ.在上述建立的坐标系中，则太阳的位置关系为：

word/media/image92.gif

2.模型二：

2.1固碳释氧模型

（1）植物固碳原理

根据光合作用原理，绿色植物白天在阳光照射下，叶片中的叶绿素吸收大气中的二氧化碳和土壤中的水分，合成碳水化合物，同时放出氧气。呼吸作用过程则相反，吸收氧气，放出二氧化碳。一般植物光合固碳量大于呼吸消耗的碳量，植物整体表现为固碳释氧作用。

由光合作用方程式可知，叶片每吸收 word/media/image93.gif 的二氧化碳，可以同时向大气中放出 word/media/image94.gif 的氧气。

word/media/image95.gif

(2) 净日同化量计算原理

植物净日同化量是指昼净光合量与夜间暗呼吸量的差。净日同化量是植物对生态的实际贡献量。植物的光合速率和呼吸速率由于同时受到生理和生态环境的影响，全天各个时段速率值都在变化，因此采用植物净日同化量作为评价的基础数据较为准确。

利用光合仪进行测试，可以得到植物叶片的瞬时光合速率值。植物日同化量按照如下公式计算：

word/media/image96.gif

一般植物晚上的暗呼吸消耗量按照白天同化量的word/media/image7.gif计算[3]，单位叶面积净日固碳量按照如下公式计算：

word/media/image97.gif

（3）绿量计算原理

绿量是指单位面积上绿色植物的总量，由于植物的生理代谢作用主要通过叶

片进行，因此，现在多用单位面积上的叶片总数，即叶面积指数（word/media/image43.gif）来定义绿量。

叶面积指数可以用点接触法[4]来确定。点触法是用细探针以不同的高度角和方位角刺入冠层,然后记录细探针从冠层顶部到达底部的过程中针尖所接触的叶片数目,用以下公式计算。

word/media/image98.gif

当天顶角为word/media/image8.gif时,假设叶片随机分布和叶倾角椭圆分布 ,则冠层叶片的倾角对消光系数K的影响最小,此时采用word/media/image10.gif倾角刺入冠层,会得出较准确的结果,用以下公式计算.

word/media/image99.gif

（4）植物单位绿地面积上的固碳能力

按照如下公式计算：

word/media/image100.gif

（2）降温增湿

经过模拟分析,可知小区的植被具有降温的生态作用。通过文献可知，小区植被的降温范围word/media/image101.gif [5 ]。当降温为word/media/image102.gif左右时，单凭人的主观感受判断并不能得到有效的验证，因而可通过简化公式计算的方式来对空调负荷进行分析。建筑物室内空调冷负荷Q 是新风冷负荷word/media/image51.gif和室内冷负荷word/media/image52.gif之和。在室内温度及室内热湿源不变的情况下，word/media/image103.gif可设为常量，而

word/media/image104.gif

word/media/image105.gif

在建筑外围有植被和无植被2 种不同情况下，由于绿化降低了室外温度，建筑外有植被影响时的空调冷负荷为word/media/image106.gif

word/media/image107.gif

word/media/image108.gif

3.模型三：

根据小区的容积率计算公式：

word/media/image109.gif

注：当建筑物的层高过8m，word/media/image110.gif在计算容积率时该层建筑面积加倍算。

4.模型四：

小区是否舒适，其评判应来自于小区的居民，同样的道理，小区周边环境的优良中差也应来自居民的评价，每个人对这些因素有不同的评价。我们采取分层抽样（对不同年龄段）的方法进行调查，看各因素在人们心中的比重（100分的总分，对其各因素打分），最后，通过平均比重，可得一个较为合理的比重。

通过比重和专家的打分，结合模糊数学综合评判的方法，可算出隶属度，即完成评价我们只考虑对周边环境产生较为重要影响的几点因素：公共服务设施，交通设施，教育设施，户外活动场地布局。

设因素集：

u={word/media/image111.gif (公共服务设施), word/media/image112.gif (交通设施), word/media/image113.gif (教育设施), word/media/image114.gif (户外活动场地布局)}；

评判集：

v={优，良，中，差}.

结合小区具体情况请专家给各个因素进行较为客观的评判，可得出各因素评判数，即：

word/media/image115.gif

word/media/image116.gif

word/media/image117.gif

word/media/image118.gif

构成评判矩阵：

word/media/image119.gif

再有专家评估得出各因素的权重word/media/image120.gif，再通过 M(∧ ,∨)主因素决定型这种模型即可做出评判，算出隶属度。

六．模型求解

1.采光

Ⅰ.选取建筑物上面的A点，利用太阳位置与时间的关系式，可构造出阴影面积关于时间的表达式。

且S1，S2，S4的函数关系一致：

word/media/image121.gif

Ⅱ.根据采集数据:

word/media/image122.gif

word/media/image123.gif

word/media/image124.gif

word/media/image125.gif

Ⅲ.经过计算，小区建筑的采光率为：

word/media/image126.gif

2.绿化

2.1固碳释氧

表 1 种植物单位固碳量

表2 小区主要植物的日固碳释氧量[5]

单位绿地面积上植物的固碳能力不仅与所种植物种的单位叶面积的固碳能力有关，还受植物绿量的影响。

从所选这 5 种植物的固碳能力来看，乔木、灌木和地被草本的单位绿地固碳能力依次降低。

表3：绿地类型与植被状况

注：常绿乔木/ 落叶乔木=1:3，常绿灌木/落叶灌木=3:1

表4小区绿地全天固碳量

师大苑占地面积 500亩，绿地率word/media/image129.gif，实际种植面积word/media/image130.gif，占绿地面积word/media/image131.gif，规划人口为6000人。采用上述不同绿地类型的种植结构，获得该小区在各种种植方式下的净日固碳量每个成人每天呼吸所需要的氧气量为 0.75kg，呼出二氧化碳量为 0.9kg 。

该小区全天居民呼吸的耗氧量为 4500kg，二氧化碳排放量为 5400kg。如果小区采用乔灌草和灌草型的绿地类型，其全天的绿地固碳量分别达到 3200kg和2887kg，可以完全吸收小区居民呼吸全天排放的二氧化碳量；而如果采用草坪型和草地的种植结构，则不能完全满足居民呼吸的碳氧需求。

2.2降温增湿

对于重庆地区，夏季室外空调设计参数为:干球温度word/media/image132.gif，湿球温度word/media/image133.gif，焓值word/media/image134.gif [ 6]。由上文可知外墙绿化平均气温下降幅度为word/media/image101.gif,本文取最低值word/media/image102.gif,即word/media/image135.gif。小区的植物种类丰富，其生长所需水分靠根系从土壤中吸收或叶片从周围环境中吸收，因此周围环境空气的含湿量是保持不变或有所降低的，如假设其不变，则可得 word/media/image136.gif [ 6 ] 。设室内空气干球温度word/media/image137.gif，相对湿度word/media/image138.gif，则 word/media/image139.gif，

word/media/image140.gif

由此,可以看出当建筑物周围有植被时，空调负荷降低率至少有word/media/image141.gif。

2.3滞尘杀菌

建筑垂直绿化的滞尘杀菌作用植物在进行光合蒸腾作用的同时还可以分泌杀菌物质,即在改善空气温湿度的同时将粉尘吸附在叶片上达到杀菌降尘的效果。根据相关人员针对几种不同植物不同时段的杀菌试验的研究表明:若天气状况较好,植物光合蒸腾作用处在高峰期,植物的杀菌物质分泌的最多,杀菌作用明显。以下给出了4 种不同爬墙植物的杀菌效果,杀菌能力的大小排序为油麻藤> 爬山虎> 木香> 紫藤。

表 5：4种植物的杀菌效果[7]

3.容积率

将师大苑的房屋户型粗略的分为：一般住宅楼房，别墅两大类。通过实际考察和卫星地图，我们可以大概推算并绘制出一下表格：

西区教职工的总用地面积为500多亩。根据以上数据，

计算师大苑的容积率=1.83

建筑密度=word/media/image143.gif=58.4%

4.周边设施布局

对师大苑分析：

设因素集

u={word/media/image111.gif (公共服务设施), word/media/image112.gif (交通设施), word/media/image113.gif (教育设施), word/media/image114.gif (户外活动场地布局)},

评判集v={优，良，中，差}

专家对各因素的评判如下：

u1 ：(0.2, 0.5, 0.2, 0.1)

u2 ：(0.7, 0.2, 0.1, 0 )

u3 ：( 0, 0.4, 0.5, 0.1)

u4 ：(0.2, 0.3, 0.5, 0 )

通过调查我们知道各因素在人们心中的比重，得各因素权重A = (0.1, 0.2, 0.3, 0.4），得：

M(∧ ,∨)： B = (0.35, 0.4, 0.2, 0.1)

M( · ,∨)： B = (0.245, 0.2, 0.08, 0.04)

M(∧, ＋)： B = (0.65, 0.85, 0.55, 0.2)

M( · , ＋)： B = (0.345, 0.36, 0.24, 0.055)

综上所述：对重庆师大苑的周边环境的评价为良。

七．结果评价

word/media/image145.gif表示采光率，word/media/image146.gif表示周边设施布局，word/media/image147.gif表示绿化，word/media/image148.gif表示容积率

表１：准则层对目标层的成对比较矩阵

求得最大特征值word/media/image158.gif，一致性指标　word/media/image159.gif认为比较矩阵的不一致程度在容许范围之内。

表２，３，４，５：方案层对准则层的成对比较矩阵如下

最大特征值word/media/image160.gif，word/media/image161.gif

最大特征值word/media/image160.gif，word/media/image161.gif

最大特征值word/media/image160.gif，word/media/image161.gif

最大特征值word/media/image160.gif，word/media/image161.gif

最后进行组合一致性检验和计算组合权向量

word/media/image162.gif

如果标准小区为满分100分，根据以上组合权向量:

word/media/image163.gif

word/media/image164.gif

则师大苑的得分为89.921

八．模型评价与改进

（1）评价：

1.模型是按一般情况考虑的，具有一定的通用性，对其他住宅小区也可以进行同向舒适度的评价，有很强的适用性。

2.由于缺乏某些必要的专业知识，在对舒适度的分析中，选取了采光、绿化、容积率以及周边设施布局这四个主要方面来进行考虑，忽略了小区的地理交通位置、空气污染程度等实际存在的因素对结果评价的影响。

3.本文运用了多种模型来对舒适度进行评价，涉及的评价面比较广，但深度不够。

（2）改进方向：

建立整体的评价体系，进一步细化指标，增加指标层次，使系统更加完善。对模型设计进行连续化处理，增强模型在实际运用过程中的科学性。

1.例如在采光计算时，可以考虑窗户尺寸、建筑朝向与采光之间的函数关系式，来进一步分析每层楼房屋的采光情况，使采光分析更加具体与准确。

2.在对绿化的功能进行评估时，可以考虑小区汽车尾气排放与植被吸收的函数关系。

3.增加实地考察的测量数据量，避免对卫星地图分析时产生的误差。

4.用定量的函数表达式描述出周边设施布局与小区舒适度之间的联系，合理优化配置周边设施。

参考文献

[1] http://www.doc88.com/p-73842776570.html

[2]http://www.sogou.com/sogou?pid=AQxRG-6385&query=%C7%EF%B7%D6%D5%E2%CC%EC%B5%C4%CC%AB%D1%F4%B8%DF%B6%C8%BD%C7&p=50040113&oq=&ri=-2

[3]郭新想 吴珍珍 何华.居住区绿化种植方式的固碳能力研究[R]. 深圳：深圳市建筑科学研究院有限公司， 2-3

[4] http://baike.baidu.com/view/619893.htm

[5] 侯慧.住宅小区景观评价[R].南京：东南大学.2007,19-20

[6]刘凌 刘加平 .建筑垂直绿化生态效应研究[J.]建筑科学, 2009.25(10) 2-3

[7]http://www.baidu.com/s?fr=bk&cl=3&wd=植物杀菌效果&t=5

附录：

1.Matlab程序

function f=shine_dif_1(t)

%data;

l=52;

w=25;

h=45;

lb=20;

a=50*pi/180;

r1=149597870691;

r2=3189070;

%~!!!!!;

s1=(l*h+w*h);

p=((w-lb*tan(pi.*t/720)*cos(a)-lb*r2./(r1*cos(pi*t/720))).*(h-lb*tan(pi*t/720)*sin(a)+lb*h./(r1*cos(pi*t/720))));

f=(s1-p)/s1;

2.lingo程序

(r1*@sin(3.14*t/720)*@cos(b)+r2)/(r1*cos(3.14*t/720))