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    开封市高级中学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测题(答案解析)-

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    一、选择题
    1．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GECD，GFBC，AD1500m，小敏行走的路线为BAGE，小聪行走的路线为BADEF．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为（ ）

    A．3100m B．4600m C．5500m D．6100m
    2．如图，在平行四边形ABCD中，DE平分ADC,AD6,BE2，则平行四边形ABCD的周长是（ ）

    A．16
    B．18 C．20 D．24
    3．如图，M是ABC的边BC的中点AN平分BAC．且BNAN，垂足为N且AB6，BC10．MN2，则ABC的周长是（ ）

    A．24 B．25 C．26 D．28
    4．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF是平行四边形的有（ ）

    A．AECF B．DEBF
    C．ADECBF D．ABECDF
    5．如图，在ABC中，点D在边BC上，过点D作DE//AC，DF//AB，分别交AB，AC于E，F两点．则下列命题是假命题的是（ ）


    A．四边形AEDF是平行四边形
    B．若BC90，则四边形AEDF是矩形 C．若BDCD，则四边形AEDF是菱形 D．若ADBD，则四边形AEDF是矩形
    6．如图，在平行四边形ABCD中，B90，BCAB．作AEBC于点E，AFCD于点F，记EAF的度数为，AEa，AFb．则以下选项错误的是（ ）

    A．a:bCD:BC B．D的度数为
    C．若60，则四边形AECF的面积为平行四边形ABCD面积的一半 D．若60，则平行四边形ABCD的周长为43ab
    37．已知平行四边形ABCD的一边长为5，则对角线AC，BD的长可取下列数据中的（ ） A．2和4 B．3和4 C．4和5 D．5和6
    8．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A．当ABBC时，四边形ABCD是菱形 B．当ACBD时，四边形ABCD是菱形 C．当ABC90时，四边形ABCD是矩形 D．当ACBD时，四边形ABCD是正方形
    9．如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若COB60，FOFC．则下列结论：①FB垂直平分OC；②四边形DEBF为菱形；③OCFB；④AM2BM；⑤SBOM:SAOE3:2．其中正确结论的个数是（ ）

    A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

    10．如图，在平行四边形ABCD中，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE．添加一个条件，使四边形AEBD是菱形，这个条件是（ ）

    A．BADBDA C．DFEF （ ）
    B．ABDE D．DE平分ADB
    11．如图，直线L上有三个正方形a,b,c，若a,c的边长分别为1和3，则b的面积为
    A．8 B．9 C．10 D．11
    12．如图，在ABC中，D是BC的中点，E在AB上，且AE:BE1:2，连接AD，CE交于点F，若S△ABC60，则S四边形DBEF（ ）

    A．15 B．18 C．20 D．25
    二、填空题
    13．如图，在平行四边形ABCD中，AB10,BAD的平分线与BC的延长线交于点E､与DC交于点F，且点F为边DC的中点，ADC的平分线交AB于点M，交AE于点N，连接DE．若DM6，则DE的长为_______．

    14．如图所示，在平行四边形ABCD中AD2AB，CE平分BCD交AD边于点E，且
    AE4，则AB的长为______．

    15．如图，在菱形纸片ABCD中，AB4，A60，将菱形纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F、G分别在边AB、AD上，则GE_______．

    16．生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状纸条的反面）：
    ，折叠过程如图所示（阴影部分表示
    已知由信纸折成的长方形纸条（图①）长为25cm，宽为xcm.如果能折成图④的形状，且为了美观，纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是轴对称图形，则在开始折叠时起点M与点A的距离（用x表示）为______cm． 17．如图，在ABCD中，AC与BD相交于点O，

    （1）若AC18cm,BD24cm，则AO_______，BO_______．又若AB13厘米，则△COD的周长为________．
    （2）若AOB的周长为30cm，AB12cm，则对角线AC与BD的和是________． 18．如图，平面直角坐标系中，已知点A9,9，点B、C分别在y轴、x轴上，ABAC且ABAC，若B点坐标为0,a，则OC______（用含a的代数式表示）．


    19．如图，在Rt△ABC中，A90，AB2，点D是BC边的中点，点E在AC边上，若DEC45，那么DE的长是__________．

    20．如图所示，在ABCD中，AC与BD相交于点O，若DACEAC，AE4，AO3，则SAEC的面积为____．

    三、解答题
    21．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，A、B是如图所示小长方形的顶点，请在大长方形中按下列要求完成画图：

    （1）请你仅用无刻度直尺在图1中画一个等腰Rt△ABC，其中ABC90； （2）请你仅用无刻度直尺在图2作出线段AB的垂直平分线． 22．综合与实践——探究正方形旋转中的数学问题 问程情境：
    已知正方形ABCD中，点O是线段BC的中点，将将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形ABCD（点A，B，C，D分别是点A，B，C，D的对应点）．同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答．


    特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B，B，C，C得到四边形BBCC，求证：四边形BBCC是矩形；
    （2）“善学”小组提出问题：如图2.在旋转过程中，当点B落在对角线BD上时，设AB与CD交于点M.求证：四边形OBMC是正方形． 深入探究：
    （3）“好问”小组提出问题：如图3.若点O是线段BC的三等分点且OB2OC，在正方形ABCD旋转的过程中当线段AD经过点D时，请直接写出DD的值． OC23．如图，在长方形ABCD中，DC＝6cm，在DC上存在一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处，若△ABF的面积为24cm2，那么折叠的△ADE的面积为多少？

    24．在ABC中，AB23,CDAB于点D,CD2．

    （1）如图1，当点D是线段AB的中点时， ①AC的长为________；
    ②延长AC至点E，使得CEAC，此时CE与CB的数量关系是_______，BCE与A的数量关系是_______；
    （2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使BCE2A,CECB，连接AE．

    ①按要求补全图形； ②求AE的长．
    25．如图1，创建文明城市期间，路边设立了一块宣传牌，图2为从此场景中抽象出的数学模型，宣传牌（AB）顶端有一根绳子（AC），自然垂下后，绳子底端离地面还有0.7m（即BC0.7），工作人员将绳子底端拉到离宣传牌3m处（即点E到AB的距离为3m），绳子正好拉直，已知工作人员身高（DE）为1.7m，求宣传牌（AB）的高度．

    26．已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF． （1）求证：BD、EF互相平分；
    （2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．


    【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除


    一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
    连接CG，由正方形的对称性，易知AG=CG，由正方形的对角线互相平分一组对角，GE⊥DC，易得DE=GE．在矩形GECF中，EF=CG．要计算小聪走的路程，只要得到小聪比小敏多走了多少就行． 【详解】 解：连接GC，


    ∵四边形ABCD为正方形， 所以AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°， ∵∠CDB=45°，GE⊥DC， ∴△DEG是等腰直角三角形， ∴DE=GE．
    在△AGD和△GDC中，
    AD＝CDADG＝CDG， DG＝DG∴△AGD≌△GDC（SAS） ∴AG=CG，
    在矩形GECF中，EF=CG， ∴EF=AG．
    ∵BA+AD+DE+EF-BA-AG-GE， =AD=1500m． ∵小敏共走了3100m，
    ∴小聪行走的路程为3100+1500=4600（m）， 故选：B． 【点睛】
    本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质及等腰三角形的性质．解决本题的关键是证明AG=EF，DE=GE．
    2．C 解析：C 【分析】
    根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出▱ABCD的周长． 【详解】
    解：∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE，
    ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，BC=AD=6，AB=CD， ∴∠ADE=∠CED，

    ∴∠CDE=∠CED， ∴CE=CD， ∵AD=6，BE=2， ∴CE=BC-BE=6-2=4， ∴CD=AB=4，
    ∴▱ABCD的周长=6+6+4+4=20． 故选：C． 【点睛】
    本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD是解题的关键．
    3．C 解析：C 【分析】
    延长BN交AC于D，根据等腰三角形的性质得到AD=AB=6，BN=ND，根据三角形中位线定理得到DC=2MN=4，计算即可． 【详解】
    解：延长BN交AC于D， ∵AN平分∠BAC，BN⊥AN，
    ∴AD=AB=6，BN=ND，又M是△ABC的边BC的中点， ∴DC=2MN=4， ∴AC=AD+DC=10，
    则△ABC的周长=AB+AC+BC=6+10+10=26， 故选C．

    【点睛】
    本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
    4．B 解析：B 【分析】
    根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可． 【详解】
    解：A、∵AECF， ∴AO=CO，

    由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO， ∴四边形DEBF是平行四边形； B、不能证明四边形DEBF是平行四边形； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF， ∴△DAE≌△BCF（ASA），
    ∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形； D、同C可证：△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF，同A可证四边形DEBF是平行四边形； 故选：B． 【点睛】
    本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
    5．C 解析：C 【分析】
    根据平行四边形判定定理，矩形的判定定理，菱形的判定定理判断即可． 【详解】
    DE//AC,DF//AB
    四边形AEDF是平行四边形，故A选项正确；
    四边形AEDF是平行四边形，BC90
    BAC90
    四边形AEDF是矩形，故B选项正确；
    DE//AC
    DEBD1 ACBC2DE1AC 21AB
    2同理DF要想四边形AEDF是菱形，只需DEDF,则需ACAB显然没有这个条件，故C选项错误；
    ADBD,则BDAB,DACC, BCBAC180
    BAC90
    四边形AEDF是矩形，故D选项正确；
    故选：C． 【点睛】
    本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，熟练掌握平行四边形判定定
    理，矩形的判定定理，菱形的判定定理是解题关键．
    6．C 解析：C 【分析】
    由平行四边形的性质得出AD//BC，ADBC，ABCD，BD，得出DC180，求出EAFC180，得出BDEAF；由平行四边形ABCD的面积得出a:bCD:BC；若60，则BD60，求出BAEDAF30，由直角三角形的性质得出BEDF33AEa，33332323AFb，得出AB2BEa，AD2DFb，求出平行四边形3333ABCD的周长2(ABADADF的面积41323(ab；求出ABE的面积BEAEa，326322323b，平行四边形ABCD的面积BCAEbaab，得出633四边形AECF的面积平行四边形ABCD的面积ABE的面积ADF的面积2332ab(ab2平行四边形ABCD面积的一半；即可得出结论． 36【详解】 解：四边形ABCD是平行四边形，
    AD//BC，ADBC，ABCD，BD，
    DC180，
    AEBC于点E，AFCD于点F， EAFC360290180， BDEAF；
    平行四边形ABCD的面积BCAECDAF，AEa，AFb， BCaCDb，
    a:bCD:BC；若60， 则BD60， BAEDAF30，
    BE3333AEa，DFAFb， 33332323a，AD2DFb， 33AB2BE平行四边形ABCD的周长2(ABAD43(ab；
    3ABE的面积BEAE1212332aaa，ADF的面积3611332DFAFbbb，平行四边形ABCD的面积2236
    BCAE2323baab， 33四边形AECF的面积平行四边形ABCD的面积ABE的面积ADF的面积2332ab(ab2平行四边形ABCD面积的一半； 36综上所述，选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意； 故选：C． 【点睛】
    本题考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．
    7．D 解析：D 【分析】
    由三角形三边关系可得三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 【详解】
    解：由于两条对角线的一半与平行四边形的一边组成一个三角形， 所以11（AC-BD）＜5＜（AC+BD）， 22由题中数据可得，AC和BD的长可取5和6， 故选D． 【点睛】
    本题考查了平行四边形对角线互相平分及三角形三边关系问题，能够熟练求解此类问题．
    8．D 解析：D 【分析】
    根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】
    解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当ABBC时，它是菱形，故本选项不符合题意；
    B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形知：当ACBD时，四边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；
    C、根据有一个角是直角的平行四边形是矩形知：当ABC90时，四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
    D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知：当ACBD时，它是矩形，不是正方形，故本选项符合题意；
    综上所述，符合题意是D选项； 故选：D． 【点睛】

    本题考查了对矩形的判定、菱形的判定，正方形的判定的应用，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键，难度适中．
    9．C 解析：C 【分析】
    证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确； 根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确. 【详解】 连接BD，
    ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，AC、BD互相平分， ∵O为AC中点， ∴BD也过O点， ∴OB=OC，
    ∵∠COB=60°，OB=OC， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC=OC，∠OBC=60°， ∵FO=FC，BF=BF ∴△OBF≌△CBF（SSS），
    ∴△OBF与△CBF关于直线BF对称， ∴FB⊥OC，OM=CM； ∴①正确， ∵AB∥CD， ∴∠OCF=∠OAE， ∵OA=OC， ∴△AOE≌△COF， ∴OE=OF，FC=AE， ∴DF=BE，DF∥BE，
    ∴四边形EBFD是平行四边形， ∵OA=OB，
    ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∵FO=OE=FC=AE， ∴∠AOE=∠FOM=30°， ∴∠BOF=90°， ∴BE=BF，
    ∴四边形EBFD是菱形， ∴结论②正确；

    ∵OA=OB，
    ∴∠OAB=∠OBA=30°， ∵FO=OE=FC=AE， ∴∠AOE=∠FOM=30°， ∴∠BOF=90°， ∴FB＞OB， ∵OB=OC， ∴FB＞OC， ∴③错误，
    在直角三角形AMB中， ∵∠BAM=30°，∠AMB=90°， ∴AB=2BM， ∴④错误，
    设ED与AC的交点为N， 设AE=OE=2x， 则NE=x，BE=4x， ∴AB=6x， ∴BM=3x，
    11OMBM:AONE BOMAOE22=OM3x:2OMx =3:2，
    结论⑤正确. 故选C．
    ∴S:S
    【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.
    10．D 解析：D 【分析】
    先证明△ADF≌△BEF，得到AD=BE，推出四边形AEBD是平行四边形，再逐项依次分析即可． 【详解】
    解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAB=∠EBA，

    ∵点F是AB的中点， ∴AF=BF， ∵∠AFD=∠BFE， ∴△ADF≌△BEF， ∴AD=BE， ∵AD∥BE，
    ∴四边形AEBD是平行四边形，
    A、当BADBDA时，得到AB=BD，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；
    B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意； D、当DE平分ADB时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】
    此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
    11．C 解析：C 【分析】
    运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得BACDCE，然后证明ACBDCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可． 【详解】 解：如图：

    由于a、b、c都是正方形，所以ACCD，ACD90；
    ACB    DCE    ACB    BAC90，即BACECD，
    在ABC和CED中，
    ABCCED90， ACBCDEACDCACBCDE(AAS，
    10，
    ABCE，BCDE；
    在RtABC中，由勾股定理得：AC2即Sb10，
    AB2BC2AB2DE21232
    则b的面积为10， 故选：C． 【点睛】
    本题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，证明ACBDCE是解题的关键．
    12．D 解析：D 【分析】
    过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，根据三角形中位线的定理可得CG＝EG，通过△DGF≅△AEF，可得AF=DF，再利用三角形的面积可求解． 【详解】
    过D作DG∥AB，交CE于G，连接DE，

    ∵D为BC的中点， ∴DG为△BCE的中位线， ∴BE＝2GD，CG＝EG， ∵AE:BE1:2， ∴AE=GD， ∵DG∥AB，
    ∴∠AEF=∠DGF，∠EAF=∠GDF， ∴△DGF≅△AEF， ∴AF=DF， ∵S△ABC60， ∴S△ABD＝30，S△AED＝10， ∴S△AEF＝5，
    ∴S四边形DCEF＝S△ABD−S△AEF＝30−5＝25， 故选：D． 【点睛】
    本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
    二、填空题


    13．【分析】先判定△ADF≌△ECF即可得到AF=EF依据平行线的性质以及角平分线的定义即可得出AF⊥DM；再根据等腰三角形的性质即可得到DN=MN=3最后依据勾股定理即可得到AN与NE的长进而得出DE 解析：317
    【分析】
    先判定△ADF≌△ECF，即可得到AF=EF，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得出AF⊥DM；再根据等腰三角形的性质，即可得到DN=MN=3，最后依据勾股定理即可得到AN与NE的长，进而得出DE的长． 【详解】
    解：∵点F为边DC的中点， ∴DF=CF=11CD=AB=5， 22∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠ECF， ∵∠AFD=∠EFC， ∴△ADF≌△ECF（ASA）， ∴AF=EF， ∵CD∥AB，
    ∴∠ADC+∠DAB=180°，
    又∵AF平分∠BAD，DM平分∠ADC， ∴∠ADN+∠DAN=90°， ∴AF⊥DM， ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF=∠DAF， 又∵DC∥AB， ∴∠BAF=∠DFA， ∴∠DAF=∠DFA， ∴AD=DF=5， 同理可得，AM=AD=5， 又∵AN平分∠BAD， ∴DN=MN=3， ∴Rt△ADN中，AN=∴AF=2AN=8，EF=8， ∴NE=AE-AN=12，
    ∴Rt△DEN中，DE=DN2EN2317， 故答案为：317．
    AD2DN24，


    【点睛】
    本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，判定AF⊥DM，利用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
    14．4【分析】根据平行四边形性质得出AB=DCAD∥BC推出∠DEC=∠BCE求出∠DEC=∠DCE推出DE=DC=AB得出AD=2DE即可求出AB的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=D 解析：4 【分析】
    根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出DE=DC=AB，得出AD=2DE，即可求出AB的长． 【详解】
    解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC，AD∥BC， ∴∠DEC=∠BCE， ∵CE平分∠DCB， ∴∠DCE=∠BCE， ∴∠DEC=∠DCE， ∴DE=DC=AB，
    ∵AD=2AB=2CD，CD=DE， ∴AD=2DE， ∴AE=DE=4， ∴DC=AB=DE=4， 故答案为：4． 【点睛】
    本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用；熟练掌握平行四边形的性质，证出DE=AE=DC是解决问题的关键．
    15．28【分析】过点作于根据菱形的性质得到继而可证再利用含30°角的直角三角形性质解得结合勾股定理解得的长根据折叠的性质得到最后在中利用勾股定理得据此整理解题即可【详解】过点作于是菱形是中点在中折叠在中
    解析：2.8 【分析】
    过点E作EHAD于H， 根据菱形的性质，得到AB//CD，ADBCCDAB4，继而可证AHDE60，再利用含30°角的直角三角形
    性质，解得DH1DE，结合勾股定理解得HE的长，根据折叠的性质，得到2AGGE,AFEF，最后在RtHGE中利用勾股定理得GE2GH2HE2，据此整理解题即可． 【详解】
    过点E作EHAD于H，

    ABCD是菱形
    AB//CD，ADBCCDAB4
    AHDE60 E是CD中点 DE2
    在Rt△DHE中，
    DE2
    HEDH HDE60
    HED30
    DH1,HE22123
    折叠
    AGGE,AFEF
    在RtHGE中
    GE2GH2HE2
    GE2(4GE123
    GE2.8
    故答案为：2.8． 【点睛】
    本题考查翻折变换、菱形的性质、含30°角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
    16．【分析】按图中方式折叠后可得到除去两端纸条使用的长度为5个宽由此解题即可【详解】解：根据折叠的过程发现中间的长度有5个宽则在开始折叠时起点与点的距离为：故答案为：【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）

    解析：255x
    2【分析】
    按图中方式折叠后，可得到除去两端，纸条使用的长度为5个宽，由此解题即可． 【详解】
    解：根据折叠的过程，发现中间的长度有5个宽， 则在开始折叠时起点M与点A的距离为：故答案为：【点睛】
    本题考查翻折变换（折叠问题），是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
    255x， 2255x．
    217．9cm12cm34cm36cm【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分对边相等可得结果；（2）根据△AOB的周长和AB的长度得到AO+BO从而得到AC+BD【详解】解：（1）在平行四边形ABCD中
    解析：9cm 12cm 34cm 36cm 【分析】
    （1）根据平行四边形对角线互相平分，对边相等可得结果；
    （2）根据△AOB的周长和AB的长度，得到AO+BO，从而得到AC+BD． 【详解】
    解：（1）在平行四边形ABCD中，∵AC=18cm，BD=24cm， ∴AO=11AC=9cm=CO，BO=BD=12cm=DO， 22∵AB=13cm， ∴CD=13cm，
    ∴△COD的周长为CO+DO+CD=9+12+13=34cm， 故答案为：9cm，12cm，34cm； （2）∵△AOB的周长为30cm， ∴AB+AO+BO=30cm， ∵AB=12cm，
    ∴AO+BO=30-12=18cm， ∴AC+BD=2AO+2BO=36cm． 【点睛】
    此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边相等．
    18．18-【分析】过A作AE⊥y轴于EAD⊥x轴于D构造正方形AEOD再证△AEB≌△ADC（SAS）得BE=CD由EB=EO-BO=9-可求CD=9-求出OC=OD+CD=9+9-=18-即可【详解】
    解析：18-a．

    【分析】
    过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D，构造正方形AEOD，再证△AEB≌△ADC（SAS），得BE=CD，由EB=EO-BO=9-a，可求CD=9-a，求出OC=OD+CD=9+9-a=18-a即可． 【详解】
    过A作AE⊥y轴于E，AD⊥x轴于D， ∵点A9,9，
    AE=AD=OE=OD=9，∠ADO=90º， 四边形AEOD为正方形， ∵ABAC，∠EAD=90°，
    ∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°， ∴∠BAE=∠CAD， ∵ABAC，AE=AD， ∴△AEB≌△ADC（SAS）， ∴BE=CD， ∵EB=EO-BO=9-a， ∴CD=9-a，
    OC=OD+CD=9+9-a=18-a， 故答案为：18-a．

    【点睛】
    本题考查正方形的判定与性质，三角形全等判定与性质，掌握正方形的判定方法与性质，三角形全等判定的方法与性质是解题关键．
    19．【分析】过D作DF⊥AC于F得到AB∥DF求得AF＝CF根据三角形中位线定理得到DF=AB＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D作DF⊥AC于F∴∠DFC＝∠A＝90°∴AB∥DF 解析：2
    【分析】
    过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
    1AB＝2
    【详解】
    解：过D作DF⊥AC于F， ∴∠DFC＝∠A＝90°， ∴AB∥DF，
    ∵点D是BC边的中点， ∴BD＝DC， ∴AF＝CF， ∴DF=1AB＝1，
    2∵∠DEC＝45°，
    ∴△DEF是等腰直角三角形， ∴DE=2DF=2， 故答案为：2．

    【点睛】
    本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
    20．【分析】先证明△AEC是等腰三角形再证OE⊥AC然后用勾股定理求出OE即可求【详解】解：如图1连接OE∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC=3AD∥BC∴∠DAC=∠ACB又∵∴∠ACB=∠EA 解析：37
    【分析】
    先证明△AEC是等腰三角形，再证OE⊥AC，然后用勾股定理求出OE，即可求SAEC． 【详解】
    解：如图1，连接OE，

    ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=3，AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB， 又∵DACEAC， ∴∠ACB=∠EAC，

    ∴AE=EC=4，
    ∴△AEC是等腰三角形， ∴OE⊥AC，
    在Rt△AOE中，由勾股定理得，AO2+OE2=AE2， ∴32+OE2=42， ∴OE=7， ∴sAEC16737，
    2故答案是：37． 【点睛】
    本题综合考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质和勾股定理等相关知识，证明△AEC是等腰三角形是解本题的关键．
    三、解答题

    21．（1）见解析；（2）见解析． 【分析】
    （1）如图1所示，取点C，连接AC、BC，然后找出图中全等的三角形，依据全等三角形的性质可证明AB=BC，最后再结合全等三角形的性质和直角三角形的性质即可证明ABC90；
    （2）先确定出AB的中点D，然后再确定出AC的中点E，依据直角三角形斜边上中线的性质可得到AE=BE，则DE为AB的垂直平分线． 【详解】
    解：如图：（1）三角形ABC即为所求； （2）直线DE即为所求．

    【点睛】
    本题考查了尺规作图，熟练掌握矩形的性质、直角三角形的性质、线段垂直平分线的判定方法是解题的关键．
    22．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】
    (1由旋转性质可得 OB=OB′ ，OC=OC′ ，得到四边形BB′CC′是平行四边形，又 BC=B′ C′ ，得到平行四边形BB′CC′是矩形．
    DD2． OC
    （2）先由∠C=∠OB′M=∠B′OC=90°，证明四边形 OB′MC 是矩形 ，再由OC=OB′ 得到四边形 OB′MC 是正方形．
    （3）过D作DN⊥B′C′，证Rt△DNO≌Rt△DCO(HL，设OC=a，得到OC′=a，DD′=2a，即可求解. 【详解】
    解：（1）由旋转性质可得OBOB，OCOC． 点O是线段BC的中点
    OBOC，
    OBOC，OBOC． 四边形BBCC是平行四边形．
    BCBC，
    平行四边形BBCC是矩形．
    又（2）证明：四边形ABCD是正方形，
    BCCD，C90．
    CBDCDB180C1809045 22由旋转可知，OBOB，OBBOBB45
    BOCOBBOBB454590．
    四边形ABCD是正方形， OBM90
    四边形OBMC是矩形
    OBOC，OC=OC′ ，OB′=OB ， ∴OC=OB′
    矩形OBMC是正方形，
    DD2． （3）OC如图，过D作DN⊥B′C′

    可知，∠A′=∠B′=∠B′ND=90°，∠D′=∠C′=∠C′ND=90°， ∴四边形DNC′D′为矩形，四边形DNB′A′为矩形，

    在Rt△DNO与Rt△DCO中， ∵OD=OD，DN=DC， ∴Rt△DNO≌Rt△DCO(HL 设OC=a，则OB=2OC=2a， ∴ON=OC=OC′=a ∴BC=OB+OC=3a， DD′=NC′=ON+OC′=2a，
    DD2a∴=2． OCa【点睛】
    本题考查了特殊的四边形，平行四边形，矩形，正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握特殊的四边形的性质和判定．
    502cm 3【分析】
    23．由面积法可求BF的长，由勾股定理可求AF的长，即可求CF的长，由勾股定理可求DE的长，即可求解． 【详解】
    解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AB＝CD＝6cm，BC＝AD， ∵S△ABF＝1AB×BF＝24cm2，
    2∴BF＝8cm， 在Rt△ABF中，AF＝AB2BF26282＝10（cm），
    ∵沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在BC边上的点F处， ∴AD＝AF＝10cm，DE＝EF， ∴BC＝10cm， ∴FC＝BC﹣BF＝2cm， 在Rt△EFC中，EF2＝EC2＋CF2， ∴DE2＝（6﹣DE）2＋4， ∴DE＝10（cm），
    3110501×AD×DE＝10＝（cm2）， 2233502cm．
    3∴S△ADE＝答：折叠的△ADE的面积为【点睛】
    此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用面积法求线段的长度，熟记矩形的性质是解题的关键．

    24．（1）①5；②CE=CB；∠BCE=2∠A；（2）①补全的图形见解析；②25． 【分析】
    （1）①由D是BC的中点及CD⊥AB，根据勾股定理即可求解；②证明△ADC≌△BDC，继而得到BC=CE，根据∠BCE=∠CAB+∠CBA，∠CAB=∠CBA，即可得到∠BCE=2∠A； （2）①根据题干补全图形即可；②作∠ACM=∠BCE，在射线CM上截取CF=CA，连接BF、AF，过点C作CG⊥AF于点G，利用已知条件先证△ACE≌△FCB，得到AE=BF，然后再证四边形ADCG是矩形，可求得AG=CD=2AF，Rt△BAF中，利用勾股定理即可求出BF，继而可得AE的长． 【详解】
    解：（1）①∵D是BC的中点，CD⊥AB， ∴AD=BD=3，∠ADC=∠BDC =90°， ∴在Rt△ADC中，可得：ACAD2CD25；
    ②如图，延长AC至点E，使CE=AC，

    在△ADC和△BDC中，
    DCDC， ADBDADCBDC∴△ADC≌△BDC， ∴AC=BC， 又∵AC=CE， ∴CB=CE，
    ∵∠BCE=∠CAB+∠CBA，∠CAB=∠CBA， ∴∠BCE=∠CAB+∠CAB=2∠CAB， 即∠BCE=2∠A；
    （2）①补全的图形见下图：


    ②如图，作∠ACM=∠BCE，在射线CM上截取CF=CA，连接BF、AF，过点C作CG⊥AF于点G，

    ∴∠ACM+∠FCE=∠BCE+∠FCE，即∠ACE=∠FCB， ∵CE=CB， ∴△ACE≌△FCB， ∴AE=BF， 又∵CG⊥AF， ∴∠CGF=90°， ∵CF=CA，
    ∴∠ACF=2∠ACG，AF=2AG， 又∵∠BCE=2∠BAC，∠ACF=∠BCE， ∴∠ACG=∠BAC， ∴CG∥AD，
    ∴∠AGC=∠BAF=∠ADC=90°，

    ∴四边形ADCG是矩形， ∴AG=CD=2， ∴AF=22，
    在Rt△BAF中，∠BAF=90°，AB=23，AF=22， ∴BFAB2AF22025
    又∵AE=BF， ∴AE=25， 即AE的长为25． 【点睛】
    本题考查全等三角形、等腰三角形、矩形的判定和性质、勾股定理及尺规作图，解题的关键是综合运用这些知识．
    25．5.7m
    【分析】
    过点E作EFAB于点F，构造直角三角形，设AFxm，根据勾股定理列方程，求出AF，再根据矩形性质，加上DE长即可． 【详解】
    解：如图，过点E作EFAB于点F．

    由题意，得ACAE，CB0.7，BFDE1.7，EFBD3， ∴CFBFBCDEBC1.70.71m． 设AFxm，则AEAC(x1m， 在RtAEF中，AFE90， 由勾股定理，得AE2AF2EF2， 即(x1x3， 解得x4．
    ∴ABAFBF41.75.7(m． 答：宣传牌（AB）的高度为5.7m．

    2    2    2
    【点睛】
    本题考查了勾股定理的应用和矩形的性质，恰当的作出辅助线，构造直角三角形，应用勾股定理建立方程是解题关键． 26．（1）证明见解析；（2）27

    【分析】
    （1）证明EF、BD互相平分，只要证DEBF是平行四边形，利用两组对边分别平行来证明；
    （2）过D点作DG⊥AB于点G，通过已知可证△ADE是等边三角形，所以CE=2，DE=4，由勾股定理可求DG，继而可求得BD． 【详解】
    （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，
    ∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线， ∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF， ∵CD∥AB，
    ∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF， ∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF， ∴AE=AD，CF=CB， ∴AE=CF，
    ∴AB-AE=CD-CF，即BE=DF， ∵DF∥BE，
    ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴BD、EF互相平分；
    （2）如图，过D点作DG⊥AB于点G，

    ∵∠A=60，AE=AD， ∴△ADE是等边三角形， ∵AD=4， ∴DE=AE=4， ∵AE=2EB， ∴BE=2，
    在Rt△ADG中，AD=4，∠A=60， ∴AG∴DG=∴BD【点睛】
    1AD2，
    2AD2AG223，

    DG2BG24223227．

    本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．

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