2019年高中数学单元测试卷

导数及其应用

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．已知直线y=x+1与曲线word/media/image1_1.png相切，则α的值为( B )

(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（2009全国卷Ⅰ理）

2．若，则＞0的解集为（ ）

A． B. C. D.（2011江西理4）

二、填空题

3．已知函数word/media/image9_1.png在区间word/media/image10_1.png上是增函数，则实数word/media/image11_1.png的取值范围是 .

4．定义在R上的函数满足．为的导函数，已知函数的图象如右图所示.若两正数满足，则的取值范围是__________

5．设点P是曲线y＝x2上的一个动点，曲线y＝x2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线y＝x2的另一交点为Q，则PQ的最小值为 ▲ ．

6．函数在定义域R内可导，若，且当时，，设，则的大小关系为c<a<b.

提示：依题意得，当时，有，为增函数；

又，且，因此有，

即有,.

7．曲线在点处的切线方程为___________.

8．若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ＋ａｘ－２在区间（１,＋∞）上是增函数，则实数ａ的取值范围为__________

9．如图，函数word/media/image35_1.png的图象是折线段word/media/image36_1.png，

其中word/media/image38_1.png的坐标分别为word/media/image39_1.png，则

word/media/image40_1.png2；word/media/image41_1.png ．（用数字作答）

答案 －2

10．已知函数在处的导数为1，则=___________

11．直线word/media/image45_1.png与曲线word/media/image46_1.png相切于点word/media/image47_1.png，则b的值为 .

12．设M是由满足下列条件的函数构成的集合：（1）方程有实数解；

(2）函数的导数满足0＜＜1．给出如下函数：①；

②，；③，．其中是集合M中的元素的有 ．（只需填写函数的序号）

13．在曲线的切线中斜率最小的切线方程是____________.

14．设P为曲线C：word/media/image56_1.png上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为word/media/image57_1.png，则点P横坐标的取值范围为 （ ）

A．word/media/image58_1.png B．word/media/image59_1.png C．word/media/image60_1.png D．word/media/image61_1.png

答案 A

三、解答题

15．已知函数f(x)=ln(x+word/media/image62_1.png)-x2-x在x = 0处取得极值．

(1)求实数word/media/image63_1.png的值；

(2)若关于x的方程，f(x)=word/media/image64_1.png 在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数word/media/image65_1.png的取值范围；

(3)证明：对任意的正整数n，不等式ln word/media/image66_1.png都成立．

16．已知函数.

(Ⅰ) 求函数的单调区间；

　 (Ⅱ) 当a >0时，求函数在上最小值.

19.

17．已知函数

（1）求的单调减区间

（2）若在区间[-2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值。

18．已知函数f (x)= x (x－a) (x－b)，点A(m, f(m))，B(n, f(n))．

(1)设b= a，求函数f (x)的单调区间；(6分) 、

(2)若函数f (x)的导函数满足：当| x |≤l时，有||≤恒成立，求函数

f (x)的表达式；(4分)

(3)若0＜a＜b，函数f (x)在x = m和x = n处取得极值，且a +b≤2．问：是否存在

常数a, b，使得·=0? 若存在，求出a, b的值；若不存在，请说明理由．(6分)

19．已知函数.(1)若对恒成立,求常数a的取值范围;(2)设,的两个极值点为,是证明:对,恒有.

20．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量word/media/image84_1.png（升）关于行驶速度word/media/image85_1.png（千米/小时）的函数解析式可以表示为：word/media/image86_1.png已知甲、乙两地相距100千米。

(1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？

(2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

21．已知函数.

　　(Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f′(x)的图象上；

　　(Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值. （福建卷19）

本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分.

(Ⅰ)证明：因为所以′(x)=x2+2x,

由点在函数y=f′(x)的图象上,

又所以

所以,又因为′(n)=n2+2n,所以,

故点也在函数y=f′(x)的图象上.

(Ⅱ)

22．已知函数word/media/image97_1.png.

（Ⅰ）讨论函数word/media/image98_1.png的单调性；

（Ⅱ）设word/media/image99_1.png，证明：对任意word/media/image100_1.png，word/media/image101_1.png.

23． 已知二次函数word/media/image102_1.png的导函数的图像与直线word/media/image103_1.png平行,且word/media/image104_1.png在word/media/image105_1.png=－1处取得最小值m－1(mword/media/image106_1.png).设函数word/media/image107_1.png

(1)若曲线word/media/image108_1.png上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求m的值

(2) word/media/image110_1.png如何取值时,函数word/media/image111_1.png存在零点,并求出零点.

24．已知函数

（1）当曲线在处的切线与直线平行时，求的值；

（2）求函数的单调区间.

25．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a、b、c的值，并求出相应的极值．

[解析]　f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.

∵x＝±1是函数的极值点，∴－1、1是方程f′(x)＝0的根，即有

又f(1)＝－1，则有a＋b＋c＝－1，

此时函数的表达式为f(x)＝x3－x.

∴f′(x)＝x2－.

令f′(x)＝0，得x＝±1.

当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：

由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极大值1；当x＝1时，函数有极小值－1

26．已知函数f(x)＝mx2－x＋lnx.

(1) 当m＝－1时，求f(x)的最大值；

(2) 若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，求m的取值范围；

(3) 当m＞0时，若曲线C：y＝f(x)在点x＝1处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值．

27．如图，在半径为word/media/image123_1.png的word/media/image124_1.png圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中，点在圆弧上，点、在两半径上，现将此矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长，圆柱的体积为.

（1） 写出体积关于的函数关系式，并指出定义域；

（2） 当为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积最大，最大

体积是多少？(本小题满分15分)

28．已知函数

()求证:

()若恒成立,求实数取值范围. （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））

29．某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足(其中，为正常数). 现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件.

2 将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；

⑵ 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大. （本题满分16分）

30．已知函数.

（1）如果，点为曲线上一个动点，求以为切点的切线斜率取最大值时的切线方程；

（2）若时，恒成立，求实数的取值范围.