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2013学年高三调研测试（一）

数学(文科) 2013.8

本试卷共6页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。

参考公式：锥体体积公式,其中S为锥体的底面积，为锥体的高.

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为

２．已知集合均为全集的子集，且,,则

3．已知等差数列满足，，则它的前10项和

85 135 95 23

4．设，则这四个数的大小关系是

5．对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是

若,则

若则

若,则

若,则

6．已知向量，，，若（），则

7．给出下列四个结论：

①若命题，则；

② “”是“”的充分而不必要条件；

③命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为：“若方程没有实数根，则0”；

④若，则的最小

值为．其中正确结论的个数为

8．将函数的图像向右平移

个单位，那么所得的图像所对应的函数解

析式是

9．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输

出的值是,则

10．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当时，，则的值为

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11～13题）

11．在区间上随机取一个数，使得函数有意义的概率为 .

12．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值

为 .

13．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则 .

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）

已知极坐标的极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同．圆的参数方程为为参数），点的极坐标为（，）．

若点是圆上的任意一点，两点间距离的最小值为 .

15．（几何证明选讲选做题）如图2，是⊙的直径，是延长线上的一点，过点作⊙的切线,切点为，，若，则⊙的直径__________ ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16．(本小题满分分)

在中，角的对边分别为向量，,且.

（１）求的值；

（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．

17．（本小题满分12分）

某中学作为蓝色海洋教育特色学校，随机抽取100名学生，进行一次海洋知识测试，按测试成绩分组如下：第一组[65，70），第二组 [70，75），第三组[75，80），第四组 [80，85），第五组 [85，90）（假设考试成绩均在[65，90）内），得到频率分布直方图如图3：

（１）求测试成绩在[80，85）内的频率；

（２）从第三、四、五组同学中用分层抽样的方法抽取6名同学组成海洋知识宣讲小组，定期在校内进行义务宣讲，并在这6名同学中随机选取2名参加市组织的蓝色海洋教育义务宣讲队，求第四组至少有一名同学被抽中的的概率．

18．（本小题满分14分）

如图4，在四棱锥中，底面为菱形，其中，，为的中点．

(1) 求证：；

(2) 若平面平面,且为

的中点，求四棱锥的体积．

19．（本小题满分1４分）

若数列的前项和为，对任意正整数都有，记

（1）求,的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）若求证：对任意．

20．(本小题满分分)

已知椭圆：的长轴长为4，且过点．

（１）求椭圆的方程；

（２）设、、是椭圆上的三点，若，点为线段的中点，、两点的坐标分别为、，求证：．

21．（本小题满分1４分）

设函数．

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）当时，求函数的单调区间；

（3）在（2）的条件下，设函数，若对于[1，2]，[0，1]，使成立，求实数的取值范围．

201３学年高三调研测试(一)

文科数学参考答案与评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查共10小题，每小题5分，满分50分．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．

11. 　　12. 　　13. 　　14. 　　15.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.(本小题满分12分)

（本小题主要考查向量数量积、投影，三角特殊值的运算,三角函数的基本关系,解三角形等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力）

解:(１)由,得,………………1分

, …………2分

.

, 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　 ………………３分

．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　………………４分

(２)由正弦定理，有, ………………５分

． ………………６分

，,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………７分

． 　　　　　　　　　 ………………8分

由余弦定理，有， ………………9分

或（舍去）． ………………10分

故向量在方向上的投影为 ………………11分

． ………………12分

17.( 本小题满分12分)

（本小题主要考查考查分层抽样、互斥事件、古典概型等知识，考查或然与必然,样本估计总体的统计思想方法，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识）

解：（１）测试成绩在[80，85）内的频率为： ……2分

………3分

（２）第三组的人数等于,第四组的人数等于，

第五组的人数等于， …………5分

分组抽样各组的人数为第三组３人，第四组２人，第五组１人. 　　…………6分

设第三组抽到的３人为，第四组抽到的２人为,第五组抽到的１人为.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…………7分

这6名同学中随机选取2名的可能情况有１５种，如下：

. …………10分

设“第四组２名同学至少有一名同学被抽中”为事件,事件包含的事件个数有９种，即：

,,,,

. …………11分

所以, 事件的概率即第四组至少有一名同学被抽中的概率为．　　　　　　　　　　　 …………12分

18.（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

.解：（1），为中点，

　　　　　　　　　　　　　 …………１分

连，在中，，，

为等边三角形，为的中点，

, 　　　　　　　　　　　　　…………2分

,平面,平面 ,

(三个条件少写一个不得该步骤分) …………3分

平面. 　　　　　　　　　　　　　 …………4分

（2）连接,作于. 　　　　　　　　…………5分

,平面,

平面平面ABCD,

平面平面ABCD， …………6分

, …………7分

,

…………8分

. 　　　　　…………9分

, …………10分

又,.　 …………11分

在菱形中，,

方法一:, 　…………12分

.　 …………13分

．　 …………14分

方法二:

， 　　　　　　　　　…………12分

, …………13分

…………14分

19.(本小题14分)

（本小题主要考查数列通项、递推列项、裂项求和与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及运算求解能力）

解：(1)由，得，解得． …………1分

，得，解得． …………3分

（2）由 ……①，

当时，有 ……②，　　 …………4分

①－②得：，　　　　　　　　　　　　　　　　…………５分

数列是首项，公比的等比数列　　　　…………６分

，　　　　　　　　　…………７分

．　　　　　　　　…………８分

（3），

，　…………(1)

，…………(2)

…………，

，

， …………()　　　　　…………９分

(1)+(2)+ ……+()得，…………10分

， …………11分　

，　　　　　　　　…………12分

，　　　　　　　…………13分

，

对任意均成立．　　　…………14分

20. (本小题满分14分)

（本小题主要考查椭圆的定义、方程，向量的运算等知识，考查化归转化、方程、待定系数法等的思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力）

解:(1)由已知, 　　　　　　　　　　　　　　　　　……………２分

解得. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……………４分

椭圆的方程为．　　　　　　　　　　　　　　　　……………５分

（２）设，则，．………6分

由,

得,即．……………７分

是椭圆上一点，所以

，　　　　　　　　　　　 ……………８分

即

得，故．……………９分

又线段的中点的坐标为，　　　　　　　 ……………10分

，…11分

线段的中点在椭圆上．　……………12分

椭圆的两焦点恰为， 　　……………13分

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………14分

21.(本小题满分14分)

（本小题主要考查导数、不等式、函数的单调性、最值等知识，考查化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及数学探究能力、综合运用能力和运算求解能力）

解:函数的定义域为， ……………1分

　 ……………2分

（1）当时，，， ……………3分

，

， ……………4分

在处的切线方程为. ……………5分

(2).

当,或时, ; ……………6分

当时, . ……………7分

当时，函数的单调增区间为;单调减区间为.………8分

(如果把单调减区间写为,该步骤不得分)

（3）当时，由（2）可知函数在上为增函数，

∴函数在[1，2]上的最小值为 ……………9分

若对于[1，2]，使 ≥成立在上的最小值不大于在[1，2]上的最小值（*） ……………10分

又，

1 当时，在上为增函数，

与（*）矛盾 ……………11分

2 当时，，由及

得， ……………12分

③当时，在上为减函数，

及得. ……………13分

综上，的取值范围是 ……………14分