限时：90分钟　满分：122分

一、选择题(共8个小题，每小题5分，共40分)

1．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)

A.－y2＝1　　　　　　 B.－y2＝1

C.－＝1 D．x2－＝1

解析：选B　椭圆＋y2＝1的焦点为(±，0)，因为双曲线与椭圆共焦点，所以排除A、C.又因为双曲线－y2＝1经过点(2,1)，故排除D.

2．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A　由题意知，圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a＋2b＝2，即a＋b＝1，平方得1＝a2＋b2＋2ab≥4ab，

所以ab≤.

3．已知双曲线－＝1的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(　　)

A．5x2－＝1 B.－＝1

C.－＝1 D．5x2－＝1

解析：选A　由题意得抛物线焦点为(1,0)，

∴a2＋b2＝1.又∵e＝＝ ＝ ＝

∴a2＝，∴b2＝

∴该双曲线的方程为5x2－y2＝1.

4．已知数列{an}满足：a1＝1，an>0，a－a＝1(n∈N*)，那么使an<5成立的n的最大值为(　　)

A．4 B．5

C．24 D．25

解析：选C　∵a－a＝1，∴数列{a}是以a＝1为首项，1为公差的等差数列，∴a＝1＋(n－1)＝n，又∵an>0，∴an＝.∵an<5，∴<5，∴n<25.∴n的最大值为24.

5．直线y＝x与椭圆C：＋＝1的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为(　　)

A. B.

C. D.

解析：选A　设直线y＝x与椭圆C：＋＝1在第一象限的交点为A，依题意有，点A的坐标为(c，c)，又因为点A在椭圆C上，故有＋＝1，因为b2＝a2－c2，所以＋＝1，所以c4－3a2c2＋a4＝0，

即e4－3e2＋1＝0，所以e＝.

6.设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝ln x，则有(　　)

A．f<f(2)<f

B．f<f(2)<f

C．f<f<f(2)

D．f(2)<f<f

解析：选C　由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(x＋1)，即函数f(x)的对称轴为x＝1，结合图形可知f<f<f(0)＝f(2)．

7．点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离．已知点A(1,0)，圆C：x2＋2x＋y2＝0，那么平面内到圆C的距离与到点A的距离之差为1的点的轨迹是(　　)

A．双曲线的一支 B．椭圆

C．抛物线 D．射线

解析：选D　如图所示，由题知圆C的圆心C(－1,0)，A(1,0)，令满足题意的点M到圆C的距离为|MO|，到点A的距离为|MA|，

∵|MO|－|MA|＝1＝|OA|，

∴O、A、M三点共线，∴动点M的轨迹是以A为端点的在x轴的正方向上的射线．

8．如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)

A．y2＝9x B．y2＝6x

C．y2＝3x D．y2＝x

解析：选C　过点B作准线的垂线，垂足为B1，记准线与x轴的交点为F1，则依题意得＝＝，所以|BB1|＝|FF1|＝，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|＝.令A(x1，y1)、B(x2，y2)，依题意知F，可设直线l的方程为y＝k.联立方程消去y得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，则x1＋x2＝，x1·x2＝.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，则可得＋＝，于是有＋＝，解得2p＝3，所以此抛物线的方程是y2＝3x.

二、填空题(共6个小题，每小题5分，共30分)

9．命题“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．

解析：“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题，因此Δ＝9a2－4×2×，故－2≤a≤2.

答案：[－2，2 ]

10．已知k∈R，则直线y＝k(x－1)＋2被圆x2＋y2－2x－2y＝0截得的弦长的最小值为________．

解析：因为直线y＝k(x－1)＋2过定点A(1,2)，而该点与圆心(1,1)的距离为1，已知当定点A(1,2)为弦的中点时，其弦长最短，其值为2 ＝2＝2.

答案：2

11．设椭圆＋＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为________．

解析：因为抛物线y2＝8x的焦点坐标是(2,0)，由此得＝，解得m＝4，由n2＝m2－22＝12，所以所求的椭圆方程是＋＝1.

答案：＋＝1

12．已知抛物线y2＝ax过点A，那么点A到此抛物线的焦点的距离为________．

解析：由题意知点A在抛物线y2＝ax上，得1＝a，所以a＝4，故y2＝4x.由抛物线的定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到此抛物线的焦点的距离为xA＋＝＋1＝.

答案：

13．已知直线y＝k(x－2)(k>0)与抛物线y2＝8x相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值.

解析：直线y＝k(x－2)恰好经过抛物线y2＝8x的焦点F(2,0)，由可得ky2－8y－16k＝0，因为|FA|＝2|FB|，所以yA＝－2yB，则yA＋yB＝－2yB＋yB＝，所以yB＝－，yA·yB＝－16，所以－2y＝－16，即yB＝±2，又因为k>0，故k＝2.

答案：2

14．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1、A2，若点P为双曲线右支上的一点，且直线PA1、PA2的斜率分别为、2，则双曲线的渐近线方程为________．

解析：由题知A1(－a,0)，A2(a,0)．设点P(x0，y0)，

则有⇒＝1①，又由于点P在双曲线上，所以有：－＝1⇒＝－1＝⇒＝②.由①、②可知＝1⇒＝1.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.

答案：y＝±x

三、解答题(共4个小题，每小题13分，共52分)

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝2B，sin B＝.

(1)求cos A及sin C的值；

(2)若b＝2，求△ABC的面积．

解：(1)因为A＝2B，

所以cos A＝cos 2B＝1－2sin2 B.

因为sin B＝，

所以cos A＝1－2×＝.

由题意可知，A＝2B,0<A<π，所以0<B<.

所以cos B＝＝.

因为sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B＝.

所以sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝.

(2)因为＝，b＝2，

所以＝.

所以a＝.

所以△ABC的面积S△ABC＝absin C＝.

16．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图2所示．

(1)求证：BC⊥平面ACD；

(2)求二面角A－CD－M的余弦值．

解：(1)证明：在题图1中，根据已知条件，可得AC＝2，由题易知∠CAB＝45°，又∵AB＝4，由余弦定理得

CB2＝(2)2＋42－2×2×4×cos ∠CAB＝8，

故CB＝2，从而AC2＋BC2＝AB2，故AC⊥BC.

取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，

又∵平面ADC⊥平面ABC，

平面ADC∩平面ABC＝AC，DO⊂平面ACD，从而OD⊥平面ABC.∴OD⊥BC.

又∵AC⊥BC，AC∩OD＝O.

∴BC⊥平面ACD.

(2)在题图2中，取AC的中点O，连接OM，由(1)易知OM⊥AC，以O为坐标原点，OA，OM，OD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示．由(1)知M(0，，0)，C(－，0,0)，D(0,0，)，

故＝(，，0)，＝(，0，)．

设n1＝(x，y，z)为平面CDM的法向量，

则即，解得

取x＝－1，则n1＝(－1,1,1)

由题易知n2＝(0,1,0)为平面ACD的一个法向量，

所以cos〈n1，n2〉＝＝＝.

所以二面角A－CD－M的余弦值为.

17．已知椭圆C1：＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．

(1)求椭圆C2的方程；

(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．

解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为＋＝1(a>2)，

其离心率为，故＝，则a＝4，

故椭圆C2的方程为＋＝1.

(2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.

将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，

所以x＝；

将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16，

所以x＝.

又由＝2，得x＝4x，即＝，

解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，

由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.

将y＝kx代入＋y2＝1中，得(1＋4k2)x2＝4，所以

x＝，由＝2，

得x＝，y＝，

将x，y代入＋＝1中，得＝1，

即4＋k2＝1＋4k2，解得k＝±1，

故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

18．设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；

(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)如图1，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝|y|.①

因为A点在单位圆上运动，所以x＋y＝1.②

将①式代入②式即得所求曲线C的方程为

x2＋＝1(m＞0，且m≠1)．

因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以

当0＜m＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(－，0)，(，0)；

当m＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为(0，－)，(0，)．

(2)法一：如图2、3，∀k＞0，设P(x1，kx1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－kx1)，N(0，kx1)，

直线QN的方程为y＝2kx＋kx1，将其代入椭圆C的方程并整理可得(m2＋4k2)x2＋4k2x1x＋k2x－m2＝0.

依题意可知此方程的两根为－x1，x2，于是由韦达定理可得－x1＋x2＝，即x2＝.

因为点H在直线QN上，所以y2－kx1＝2kx2＝，

于是＝(－2x1，－2kx1)，

＝(x2－x1，y2－kx1)＝.

而PQ⊥PH等价于·＝＝0.

即2－m2＝0，又因为m＞0，得m＝.

故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.

法二：如图2、3，∀x1∈(0,1)设P(x1，y1)，H(x2，y2)，则Q(－x1，－y1)，N(0，y1)．

因为P，H两点在椭圆C上，所以

两式相减可得m2(x－x)＋(y－y)＝0.③

依题意，由点P在第一象限可知，点H也在第一象限，且P，H不重合，故(x1－x2)(x1＋x2)≠0.

于是由③式可得＝－m2.④

又因为Q，N，H三点共线，所以kQN＝kQH，

即＝.

于是由④式可得

kPQ·kPH＝·＝·＝－.

而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH＝－1，即－＝－1，又因为m＞0，得m＝.

故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.