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    函数的奇偶性之欧阳科创编-

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    欧阳科创编 2021.02.05 函数的奇偶性

    时间：2021.02.05
    创作：欧阳科
    【学习目标】
    1.理解函数的奇偶性定义；
    2.会利用图象和定义判断函数的奇偶性；
    3.掌握利用函数性质在解决有关综合问题方面的应用. 【要点梳理】
    要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤 1．函数奇偶性的概念
    偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x=f(x，那么f(x称为偶函数.
    奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x=-f(x，那么f(x称为奇函数.
    要点诠释：
    （1）奇偶性是整体性质；
    （2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
    （3）f(-x=f(x的等价形式为：f(xf(x0,f(x1(f(x0，
    f(xf(x1(f(x0； f(-x=-f(x的等价形式为：f(xf(x0，f(x（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 必有f(0=0；
    （5）若f(x既是奇函数又是偶函数，则必有f(x=0. 2.奇偶函数的图象与性质
    （1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
    （2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数.
    3.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数f(x的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
    （2）结合函数f(x的定义域，化简函数f(x的解析式；
    （3）求f(x，可根据f(x与f(x之间的关系，判断函数f(x的奇偶性.
    若f(x=-f(x，则f(x是奇函数； 若f(x=f(x，则f(x是偶函数；
    若数；
    若f(x偶函数
    要点二、判断函数奇偶性的常用方法
    欧阳科创编 2021.02.05 f(x且f(x=-f(x，则f(x既是奇函数，又是f(xf(x，则f(x既不是奇函数，也不是偶函
    欧阳科创编 2021.02.05 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f(x与f(x之一是否相等.
    （2）验证法：在判断f(xf(x=0f(x与f(x的关系时，只需验证及f(x1是否成立即可. f(x（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称.
    （4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
    （5）分段函数奇偶性的判断
    判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(x与f(x的关系.首先要特别注意x与x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x与f(x对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
    要点三、关于函数奇偶性的常见结论
    奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知f(x是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则f(x在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 b，-a]上具有相反的单调性，即已知f(x是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则f(x在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
    【典型例题】
    类型一、判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性： (1f(x(x11-x1x； (2f(x=x-4|x|+3 ；
    1-x2； f(x|x2|-22(3f(x=|x+3|-|x-3|； (4(5-x2x(x0； (6f(x1[g(x-g(x](xR f(x22xx(x0【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.
    【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．
    【解析】(1∵f(x的定义域为-1,1，不关于原点对称，因此f(x为非奇非偶函数；
    (2对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x=x-4|x|+3=f(x，则f(x=x-4|x|+3为偶函数 ；
    (3∵x∈R，f(-x=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x，∴f(x为奇函数；
    (41-x20-1x1 x-1,00,1 x0且x-4x+22221-(-x21-x2f(-x--f(x，∴f(x为奇函数；
    -xx(5∵x∈R，f(x=-x|x|+x ∴f(-x=-(-x|-x|+(-x=x|x|-x=-f(x，∴欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 f(x为奇函数；
    (611f(-x{g(-x-g[-(-x]}[g(-x-g(x]-f(x，∴f(x为奇函数.
    22【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（4）中若不研究定义域，在去掉|x2|的绝对值符号时就十分麻烦.
    举一反三：
    【变式1】判断下列函数的奇偶性： (12x22x3x；(2f(x|x1||x1|；(3f(x； f(x2x1x3x22x1(x0(x0. (4f(x0x22x1(x0【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．
    【解析】(1f(x的定义域是R， 又f(x3(x3xf(x，f(x是奇函数．
    (x23x23（2）f(x的定义域是R，
    又f(x|x1||x1||x1||x1|f(x，f(x是偶函数． （3）f(x(x2(x1x2x1
    f(xf(x且f(xf(x，∴f(x为非奇非偶函数．
    （4）任取x>0则-x<0，∴f(-x=(-x+2(-x-1=x-2x-1=-(-欧阳科创编 2021.02.05 22
    欧阳科创编 2021.02.05 x+2x+1=-f(x
    任取x<0，则-x>0 f(-x=-(-x+2(-x+1=-x-2x+1=-(x+2x-1=-f(x
    x=0时，f(0=-f(0 ∴x∈R时，f(-x=-f(x ∴f(x为奇函数. 【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（1）】
    【变式2】已知f(x，g(x均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x+g(x为奇函数，f(x·g(x为偶函数.
    证明：设F(x=f(x+g(x，G(x=f(x·g(x则 F(-x=f(-x+g(-x=-f(x-g(x=-[f(x+g(x]=-F(x G(-x=f(-x·g(-x=-f(x·[-g(x]=f(x·g(x=G(x ∴f(x+g(x为奇函数，f(x·g(x为偶函数.
    【高清课堂：函数的奇偶性356732例2（2）】
    【变式3】设函数f(x和g(x分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
    恒成立的是 （ ）.
    A．f(x+|g(x|是偶函数 B．f(x-|g(x|是奇函数 C．|f(x| +g(x是偶函数 D．|f(x|- g(x是奇函数 【答案】A
    例2.已知函数f(x,xR2222，若对于任意实数a,b都有f(abf(af(b，判断f(x的奇偶性.
    【答案】奇函数
    【解析】因为对于任何实数a,b，都有f(abf(af(b，可以令欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 a,b为某些特殊值，得出f(xf(x.
    设a0,则f(bf(0f(b，f(00.
    又设ax,bx，则f(0f(xf(x，
    f(xf(x，f(x是奇函数.
    【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断f(0的值才行.
    f(x与f(x之间的关系，因此需要先求出举一反三：
    【变式1】 已知函数f(x,xR，若对于任意实数x1,x2，都有f(x1x2f(x1x22f(x1f(x2，判断函数f(x的奇偶性.
    【答案】偶函数 【解析】令f(xf(x2f(0f(x
    x10,x2x,得f(xf(x2f(0f(x，令x20,x1x,得由上两式得：f(xf(xf(xf(x，即f(xf(x是偶函数.
    f(x
    类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合 例3. f(x，g(x均为奇函数，H(xaf(xbg(x2在0,上的最大值为5，则H(x在（-,2）上的最小值为．
    【答案】 -1
    【解析】考虑到f(x,g(x均为奇函数，联想到奇函数的定义，不妨寻求H(x与H(x的关系．
    H(x+H(x=af(xbg(x2af(xbg(x2
    欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 f(xf(x,g(xg(x， H(xH(x4．
    当x0时，H(x4H(x， 而x0，H(x5，H(x1
    H(x在(,0上的最小值为-1．
    【总结升华】本例很好地利用了奇函数的定义，其实如果仔细观察还可以发现af(xbg(x也是奇函数，从这个思路出发，也可以很好地解决本题．过程如下：af(xbg(x的最大值为x0时，H(x的最大值为5，x0时3，x0时af(xbg(x的最小值为-3，x0时，H(x的最小值为-3+2=-1．
    举一反三：
    【变式1】已知f(x=x+ax-bx-8，且f(-2=10，求f(2. 【答案】-26
    【解析】法一：∵f(-2=(-2+(-2a-(-2b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
    ∴8a-2b=-50 ∴f(2=2+2a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x=f(x+8易证g(x为奇函数 ∴g(-2=-g(2 ∴f(-2+8=-f(2-8 ∴f(2=-f(-2-16=-10-16=-26.
    【总结升华】本题要会对已知式进行变形，得出f(x+8= x+ax-bx为奇函数，这是本题的关键之处，从而问题g(2便能迎刃而解.
    例4. 已知f(x是定义在R上的奇函数，当x0时，f(xx23x1，欧阳科创编 2021.02.05 53535353
    欧阳科创编 2021.02.05 求f(x的解析式．
    【答案】【解析】x23x1,x0,f(x0,x0,
    x23x1,x0.f(x是定义在R上的奇函数，
    f(xf(x，当x0时，x0，
    =x23x1
    又奇函数f(x在原点有定义，f(00．
    【总结升华】若奇函数f(x在x0处有意义，则必有f(00，即它的图象必过原点（0，0）．
    举一反三：
    【高清课堂：函数的奇偶性 356732 例3】
    【变式1】（1）已知偶函数f(x的定义域是R，当x0时f(xx23x1，
    求f(x的解析式.
    （2）已知奇函数g(x的定义域是R，当x0时g(xx22x1， 求g(x的解析式. 【答案】（1）x22x1(x0x3x1(x0f(x2；（2）g(x0　　　（x0）
    x22x1(x0x3x1(x02例5.定义域在区间[－2，2]上的偶函数g(x，当x≥0时，g(x是单调递减的，若g(1mg(m成立，求m的取值范围．
    【思路点拨】根据定义域知1－m，m∈[―1，2]，但是1―m，m在[―2，0]，[0，2]的哪个区间内尚不明确，若展开讨论，将十分复欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 杂，若注意到偶函数f(x的性质：f(xf(xf(|x|，可避免讨论．
    【答案】[1,1．
    2【解析】
    由于g(x为偶函数，所以g(1mg(m1，g(mg(|m|．因为x≥0|m1||m|时，g(x是单调递减的，故g(1mg(mg(|m1|g(|m||m1|2，|m|2m22m1m21所以2m12，解得1m．
    22m2故m的取值范围是[1,1．
    2【总结升华】在解题过程中抓住偶函数的性质，将1―m，m转化到同一单调区间上，避免了对由于单调性不同导致1―m与m大小不明确的讨论，从而使解题过程得以优化．另外，需注意的是不要忘记定义域．
    类型三、函数奇偶性的综合问题 例6. 已知yf(x是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数f(1x2的单调递增区间．
    【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
    【答案】[0，1]和（―∞，―1]
    【解析】 ∵f(x是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴f(x在（－∞，0]上是增函数．
    设u=1―x，则函数2f(1x2是函数f(u与函数u=1―x的复合函2欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 数．
    ∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，f(u是减函数，根据复合函数的性质，可得f(1x2是增函数．
    ∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，f(u是增函数，根据复合函数的性质，可得f(1x2是增函数．
    同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，f(1x2是减函数． ∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．
    【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．
    （2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u仍是减函数，但此时u≤0，不属于f(u的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．
    例7. 设a为实数，函数f(x=x+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x的奇偶性，并求f(x的最小值.
    【思路点拨】对a进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x转化成二次函数求最值问题。
    【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a≠0时，函数为非奇非偶函数.
    当a-1时，f(x|min3-a;a1时，f(x|min3a;-1a1时，f(x|mina21.
    2    4    2    4    2    2欧阳科创编 2021.02.05     2
    欧阳科创编 2021.02.05 【解析】当a=0时，f(x=x+|x|+1，此时函数为偶函数； 当a≠0时，f(x=x+|x-a|+1，为非奇非偶函数. (1当xa时，f(x(x123-a
    2    4    2    213①a1时，函数f(x在a，上的最小值为f(--a,
    2    2    4且f(-1f(a.
    2②a1时，函数f(x在a,上单调递增，
    2f(x在a,上的最小值为f(a=a+1.
    2    4    2(2当xa时，f(xx2-xa1(x12a3 ①a1时，函数f(x在-,a上单调递减，
    2f(x在-，a上的最小值为f(aa21
    4综上：a-1时，f(x|min3-a;a1时，f(x|min3a;
    242411-a时，f(x|mina21. 22②a1时，f(x在-，a上的最小值为f(13a，且f(1222f(a.
    举一反三：
    【变式1】 判断f(x|xa||xa|(aR的奇偶性． 【答案】当a0时，函数时，函数f(x是奇函数．
    【解析】对a进行分类讨论． 若a0，则f(x|x||x|0．
    xR，定义域R关于原点对称，函数f(x既是奇函数，又是偶f(x既是奇函数，又是偶函数；当a0函数．
    当a0时，f(x|xa||xa||xa||xa|f(x，f(x是奇函欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 数．
    综上，当a0时，函数f(x既是奇函数，又是偶函数； 当a0时，函数f(x是奇函数． 例8.
    对于函数f(x，若存在x0∈R，使f(x0x0成立，则称点（x0，x0）为函数f(x的不动点．
    （1）已知函数f(x(ax2bxb(a0有不动点（1，1），（―3，―3），求a，b的值；
    （2）若对于任意的实数b，函数f(x(ax2bxb(a0总有两个相异的不动点，求实数a的取值范围；
    （3）若定义在实数集R上的奇函数g(x存在（有限）n个不动点，求证：n必为奇数．
    【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略．
    【解析】 （1）由已知得x=1和x=―3是方程ax+bx―b=x的根，
    b113a由违达定理a=1，b=3．
    3ba2（2）由已知得：ax+bx―b=x（a≠0）有两个不相等的实数根， ∴Δ1=(b－1+4ab＞0对于任意的实数b恒成立． 即b+(4a－2b+1＞0对于任意的实数b恒成立． 也就是函数f(bb2(4a2b1的图象与横轴无交点． 又二次函数f(b的图象是开口向上的抛物线，
    从而Δ2=(4a―2―4＜0，即|4a―2|＜2，∴0＜a＜1．
    欧阳科创编 2021.02.05     2    2    2    2
    欧阳科创编 2021.02.05 ∴满足题意的实数a的取值范围为（0，1）． （3）∵g(x是R上的奇函数，∴g(xg(x.
    令x=0，得g(0g(0，∴g(00．∴（0，0）是g(x的一个不动点．
    设（x0，x0）（x0≠0）是g(x的一个不动点，则g(x0x0． 又g(x0g(x0x0，∴（―x0，―x0）也是g(x的一个不动点． 又∵x0≠－x0，∴g(x的非零不动点是成对出现的．
    又（0，0）也是g(x的一个不动点，∴若g(x存在n个不动点，则n必为奇数．
    【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题．本例的“不动点”实质是关于x的方程f(xx的解的问题．本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论．
    【巩固练习】
    1． 函数f(xx1(x0是(
    xA．奇函数B．偶函数
    C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数 2．若函数yx2bxc是偶函数，则有 ( A.bR,cR B.bR,c0 C.b0,c0 D.b0,cR
    3．设函数f(xax32bx1，且f(13,则f(1等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D.5
    4．若偶函数f(x在,1上是增函数，则下列关系式中成立的是欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 (
    A．f(32f(1f(2
    B．f(1 D．C．f(23f(1f(
    2    3f(f(2
    23f(2f(f(1
    25．如果奇函数f(x在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么f(x在区间7,3上是(
    A．增函数且最小值是5B．增函数且最大值是5 C．减函数且最大值是5 D．减函数且最小值是5 6．设f(x是定义在R上的一个函数，则函数F(x上一定是(
    A．奇函数 B．偶函数
    C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数.
    7．设函数f(x的图象关于y轴对称，且f(ab，则f(a. 8．如果函数f(xx2a为奇函数，那么a=.
    xf(xf(x，在R9．设函数f(x是定义在R上的奇函数，且f(20，f(x在0,1上单调递减，在1,上单调递减，则不等式f(x0的解集为．
    10．若函数____________.
    11．函数f(x在f(x(k2x2(k1x3是偶函数，则f(x的递减区间是R上为奇函数，且f(xx1,x0，则当x0，f(x____________.
    12．已知函数fxxaxaa0，fx,hx的奇偶性.
    2xxx0hx2xxx0，试判断13．设函数f(x是偶函数，且在,0上是增函数，判断f(x在欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 0,上的单调性，并加以证明.
    14．定义在R上的偶函数f(x满足：对任意x1,x20,(x1x2 ，有f(x2f(x10成立，试比较f(2,f(1,f(3的大小.
    x2x1【巩固练习】
    1．函数f(xx2|x|的图象(
    A．关于原点对称 B．关于y轴对称C．关于x轴对称 D．不具有对称轴
    2．已知函数f(x(m1x2(m2x(m27m12为偶函数，则m的值是(
    A.1 B.2 C.3 D.4
    3．设函数f(xax32bx1，且f(13,则f(1等于（ ） A.-3 B.3 C.-5 D.5
    4．如果奇函数f(x在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么f(x在区间7,3上是(
    A．增函数且最小值是5B．增函数且最大值是5 C．减函数且最大值是5 D．减函数且最小值是5 5．设f(x是定义在R上的一个函数，则函数F(x上一定是(
    A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数.
    6．定义在R上的偶函数f(x，满足f(x1f(x，且在区间[1,0]上为递增，则(
    欧阳科创编 2021.02.05 f(xf(x，在R
    欧阳科创编 2021.02.05 A．f(3C．f(3f(2f(2B．f(2f(3f(2 f(2f(2D．f(2f(2f(3
    7．若f(x是偶函数，其定义域为,，且在0,上是减函数，则f(3与f(a22a5的大小关系是(
    2    2A．f(3>f(a22a5 B．f(3<f(a22a5 C．22223535f(f(a22aD．f(f(a22a
    22228．若定义在R上的函数f(x满足：对任意x1,x2R有f(x1x2f(x1f(x2+1，则下列说法一定正确的是（ ）．
    A．f(x为奇函数 B．f(x为偶函数C．f(x1为奇函数D．f(x1为偶函数
    9．已知定义在R上的奇函数f(x，当x0时，f(xx2|x|1，那么x0时，f(x.
    xa在1,1上是奇函数，则f(x的解析式为.
    2xbx110．若函数f(x11．奇函数f(x在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f(6f(3.
    12．已知函数f(xax2bx3ab为偶函数，其定义域为a1,2a，则f(x的值域．
    13．判断下列函数的奇偶性，并加以证明． (1f(xx1|x|； (2 x2,x1,1f(x,1x1
    2x2,x114．已知奇函数f(x在（-1，1）上是减函数，求满足f(1mf(1m20的实数m的取值范围．
    欧阳科创编 2021.02.05
    欧阳科创编 2021.02.05 15．已知f(x是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的a,bR都满足f(abaf(bbf(a．
    （1）求f(0,f(1的值；
    （2）判断f(x的奇偶性，并证明你的结论． 16．设奇函数f(x是定义在,上的增函数，若不等式f(ax6f(2x20对于任意x2,4都成立，求实数a的取值范围．
    时间：2021.02.05
    创作：欧阳科
    欧阳科创编 2021.02.05

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