2018年湖南长沙一模理科数学

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=1+i，则z1z2=（　　）

A．2 B．﹣2 C．1+i D．1﹣i

2．（5分）设全集U=R，函数f（x）=lg（|x+1|﹣1）的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，则（∁UA）∩B的子集个数为（　　）

A．7 B．3 C．8 D．9

3．（5分）函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象中相邻对称轴的距离为，若角φ的终边经过点，则的值为（　　）

A． B． C．2 D．

4．（5分）如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ai为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（　　）

A．m=38，n=12 B．m=26，n=12 C．m=12，n=12 D．m=24，n=10

5．（5分）设不等式组表示的平面区域为Ω1，不等式（x+2）2+（y﹣2）2≤2表示的平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（　　）

A． B． C． D．

6．（5分）若函数f（x）=的图象如图所示，则m的范围为（　　）

A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，2） C．（0，2） D．（1，2）

7．（5分）某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（　　）

A．11 B． C． D．

8．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S2014＞0，S2015＜0，对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，则k的值为（　　）

A．1006 B．1007 C．1008 D．1009

9．（5分）已知非零向量，，满足|﹣|=||=4，（﹣）•（﹣）=0，若对每一个确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则m﹣n的值为（　　）

A．随增大而增大 B．随增大而减小

C．是2 D．是4

10．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB=3，AC=，BC=CD=BD=2，则球O的表面积为（　　）

A．4π B．12π C．16π D．36π

11．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若∠PAQ=60°，且，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

12．（5分）已知e为自然对数的底数，若对任意的x∈[0，1]，总存在唯一的y∈[﹣1，1]，使得x+y2ey﹣a=0成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．[1，e] B． C．（1，e] D．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．（5分）已知a＞0，展开式的常数项为15，则=　 　．

14．（5分）设a，b∈R，关于x，y的不等式|x|+|y|＜1和ax+4by≥8无公共解，则ab的取值范围是　 　．

15．（5分）正项数列{an}的前n项和为Sn，且（n∈N*），设，则数列{cn}的前2016项的和为　 　．

16．（5分）已知F是椭圆C：+=1的右焦点，P是C上一点，A（﹣2，1），当△APF周长最小时，其面积为　 　．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（12分）△ABC中，已知点D在BC边上，且，AB=3．

（Ⅰ）求AD的长；

（Ⅱ）求cosC．

18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥AB，EF=AD=AB．

（1）过BD作截面与线段FC交于点N，使得AF∥平面BDN，试确定点N的位置，并予以证明；

（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．

19．（12分）2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[0，2000]，（2000，4000]，（4000，6000]，（6000，8000]，（8000，10000]五组，并作出如下频率分布直方图：

（Ⅰ）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；

（Ⅲ）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

附：临界值表参考公式：，．

20．（12分）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

（3）当点P在直线l上移动时，求|AF|•|BF|的最小值．

21．（12分）已知函数f（x）=+be﹣x，点M（0，1）在曲线y=f（x）上，且曲线在点M处的切线与直线2x﹣y=0垂直．

（1）求a，b的值；

（2）如果当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，求k的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．（10分）选修4﹣4；坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．

（1）求点A，B，C，D的直角坐标；

（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]

23．设f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．

（1）求集合M；

（2）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．

一、A．C．A B．C．D．C．C．D．C．C．B．

二、． [﹣16，16]； 4．

三、17．【解答】解：（Ⅰ）由得到：AD⊥AC，

所以，

所以．（2分）

在△ABD中，由余弦定理可知，BD2=AB2+AD2﹣2AB•AD•cosBAD

即AD2﹣8AD+15=0，（4分）

解之得AD=5或AD=3，

由于AB＞AD，

所以AD=3．（6分）

（Ⅱ）在△ABD中，由正弦定理可知，，

又由，

可知（8分）

所以（10分）

因为，

即（12分）

　18．解：（1）当N为CF的中点时，AF∥平面BDN．

证明：连结AC交BD于M，连结MN．

∵四边形ABCD是矩形，∴M是AC的中点，

∵N是CF的中点，

∴MN∥AF，又AF⊄平面BDN，MN⊂平面BDN，

∴AF∥平面BDN．

（2）过F作FO⊥平面ABCD，垂足为O，过O作x轴⊥AB，作y轴⊥BC于P，则P为BC的中点．

以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD=1，则BF=1，FP=，∵EF==1，∴OP=（AB﹣EF）=，∴OF=．

∴A（，﹣，0），B（，，0），C（﹣，，0），F（0，0，），N（﹣，，）．

∴=（0，2，0），=（﹣，，），=（﹣，﹣，）．

设平面ABF的法向量为=（x，y，z），则，

∴，令z=得=（2，0，），

∴=﹣1，||=，||=．

∴cos＜，＞==﹣．

∴直线BN与平面ABF所成角的正弦值为|cos＜，＞|=．

19．解：（Ⅰ）记每户居民的平均损失为元，则：=（1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003）×2000=3360…（2分）

（Ⅱ）由频率分布直方图，得：

损失超过4000元的居民有：

（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50=15户，

∴ξ的可能取值为0，1，2，

P（ξ=0）==，

P（ξ=1）==，

P（ξ=2）==，

∴ξ的分布列为：

Eξ=0×+1×+2×=．

（Ⅲ）如图：

K2=≈4.046＞3.841，

所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．…（12分）

20解：（1）焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离，解得c=1，

所以抛物线C的方程为x2=4y．

（2）设，，

由（1）得抛物线C的方程为，，所以切线PA，PB的斜率分别为，，

所以PA：①PB：②

联立①②可得点P的坐标为，即，，

又因为切线PA的斜率为，整理得，

直线AB的斜率，

所以直线AB的方程为，

整理得，即，

因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，

所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．

（3）根据抛物线的定义，有，，

所以=，

由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，

所以=．

所以当时，|AF|•|BF|的最小值为．

21．解：（1）f（x）=+be﹣x的导数为

f′（x）=，

由切线与直线2x﹣y=0垂直，可得

f（0）=1，f′（0）=﹣，

即有b=1，a﹣b=﹣，

解得a=b=1；

（2）当x≠0时，都有f（x）＞+ke﹣x，

即为+e﹣x＞+ke﹣x，

即有（1﹣k）e﹣x＞，即1﹣k＞，

可令g（x）=，g（﹣x）==g（x），

即有g（x）为偶函数，只要考虑x＞0的情况．

由g（x）﹣1=，

x＞0时，ex＞e﹣x，

由h（x）=2x﹣ex+e﹣x，h′（x）=2﹣（ex+e﹣x）≤2﹣2=0，

则h（x）在x＞0递减，即有h（x）＜h（0）=0，

即有g（x）＜1．

故1﹣k≥1，解得k≤0．

则k的取值范围为（﹣∞，0]．

22．解：（1）点A，B，C，D的极坐标为

点A，B，C，D的直角坐标为

（2）设P（x0，y0），则为参数）

t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ

∵sin2φ∈[0，1]

∴t∈[32，52]