《圆的标准方程》教学设计

一、教材分析

《圆的标准方程》是在认识《直线与方程》等知识的基础上对解析几何进一步深入认识，提高学生运用坐标法、几何法、数形结合的思想研究解析几何的能力，为后来进一步学习圆锥曲线奠定基础。

圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对后续直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用。

在义务教育阶段，学生已经学习了圆的定义和一些性质。前面又刚刚学习了直线的方程，接触解析几何也有一段时间，但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难。还有我校学生普遍计算能力较弱，对于解析几何中将几何问题转化为代数问题，计算环节上常常会出现困难。

另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强，课堂上应尽量给学生自主思考的时间，以及合作交流的机会。

二、教学目标

1、掌握圆的标准方程；能够根据圆的标准方程写出圆心和半径；能够根据条件求出圆的标准方程；

2、进一步培养学生利用代数方法解决几何问题的能力；加深对数形结合思想的理解和对待定系数法的运用；

3、通过学生的自主学习和探索，培养学生自主学习的能力；培养学生研究问题的能力和对问题敏锐、细致的观察能力；提高学生“应用”数学的能力和“应用”数学的意识。

三、教学重点与难点

教学重点：圆的标准方程及其应用。

教学难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程.

四、授课类型 ：新课

五、课时安排： 1课时

六、教学方法：引导、探究

七、教学准备：直尺、圆规、多媒体

八、教学过程

（一）新课引入

下图是一张心理测试的图片，让学生观察，回答看到了什么？

【设计意图】用一道心理学测试题来调动一下学生的积极性，调节一下课堂气氛。同时可以很快引出“圆”。

其实除去花纹，图中是一些圆组成的图形。

环节1<温故知新、引入新课>

提问学生：圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？圆的定义是什么？

在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，圆是否也可用一个方程来表示呢?如果能，这个方程又有什么特征呢?——引出课题

（二）讲授新课

环节2<师生合作、探究新知>

确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为，半径为（其中、、都是常数，）．设为这个圆上任意一点，那么点满足的条件是（引导学生自己列出）,由两点间的距离公式让学生写出点适合的条件

化简可得： (1)

【设计意图】适当的引导，让学生主动思考，逐步得出方程。

若点M(x,y)在圆上，则由上述过程知，点M的坐标满足方程（1）,反之，若点的坐标满足方程（1），则说明点M与圆心A的距离为r，即点M在圆心为A的圆上。

【设计意图】类比直线方程的讲解，让学生感知方程与曲线的关系，即此处的方程与圆的关系。

于是把称为是圆心为A（a,b），半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程。

环节3<热身练习、小试牛刀>

练习1、口答：说出下列各圆的圆心和半径

(1)

(2)

(3)

【设计意图】刚刚认识了圆的标准方程，先让学生简单地由方程说出圆心和半径。

练习2、写出下列各圆的方程

(1)圆心在点C（-3,4），半径长为

(2)圆心在点C（0,0），半径长为r

(3)经过点P（5,1），圆心在点C（8，-3）

(4)已知两点P(4,9),Q(6,3),以线段PQ为直径的圆

【设计意图】通过口答渐进状态，然后让学生由一些简单的条件写圆的方程。题目设置，层层递进，后两道需要学生绕过一个小障碍得到答案，体会小小的成就感。

小结：

1、由圆的标准方程可知圆心坐标和半径长；

由圆心坐标和半径长可求出圆的标准方程；

2、圆心是圆的定位条件；半径是圆的定形 条件。

环节4<典例分析、新知应用>

例1：已知圆的方程是，试判断点，（-2，-1），（3，2）是否在这个圆上．

解：圆的标准方程是 ．

把点的坐标代入方程，左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；把点，的坐标代入方程，左右两边不相等，点，的坐标不适合圆的方程，所以点，不在这个圆上．

【设计意图】本题让学生体会点在圆上，则点的坐标一定满足方程，反之，不满足。

追问：点，不在圆上，那在圆内还是圆外？

用点到圆心的距离来分析，得出在圆内，在圆外。

【设计意图】让学生进一步思考如果点不在圆上，则在圆内或圆外，如何判断呢？学生很自然地想到用点到圆心的距离和半径比较。

师生共同探究得出结论：

小结：设点到圆心（a,b）的距离为d，圆的半径长为r,则

d>r点在圆外；

d=r点在圆上；

d点在圆内。

例2：的三个顶点的坐标是,求它的外接圆的方程．

分析：不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆。

让学生动手画图，能否用学过的知识画出该三角形的外接圆？

教师适时适当引导点拨。

【设计意图】本道题想通过让学生画图，回忆初中关于圆的知识，思考如何画出外接圆。既让学生动手，也让其由图展开思维。学生能通过思考想出什么方法就先用什么方法，两种方法的讲解顺序灵活处理。

解法一、待定系数法

设圆心坐标为（a,b）,半径长为r

则圆的标准方程为．①

因为都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①．于是

　　解此方程组，

　　得

所以的外接圆的方程是

解法二：利用圆的性质“数形结合”（课件上辅助线的做法掩饰）

作出线段AB,BC的垂直平分线PD,PE交于点P, 点P即为圆心

求出线段AB的中点D(6,-1),线段BC的中点E（9/2，-11/2）

又=-2， =1，

=1/2 =-1

直线PD的方程为：y+1=1/2(x-6) 即x-2y-8=0 ①

直线PE的方程为: y+11/2=-(x-9/2) 即 x+y+1=0 ②

将①，②联立，解得x=2,y=-3

圆心点P坐标为（2，-3）

半径长r==5

所以，的外接圆的方程是 　

练习：已知圆心为C的圆经过A（1，1），和B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上，求经过圆的标准方程

【设计意图】例2讲了两个方法，该练习与之类型相似，方法类同，学生可以通过这道题巩固加深。

环节5<总结概括、加深理解>

课堂小结：

　1、圆的标准方程．

　2、点与圆的位置关系的判断方法．

3、根据已知条件求圆的标准方程的方法．

【设计意图】通过让学生归纳总结要点，教师点评，加深学生的理解，巩固学习成果。

作业：

课本124页A组：2、3、4

【设计意图】让学生通过作业继续熟悉和练习今天所讲的内容，应用本节着重强调的思想和方法，再次体会解析几何的内涵。同时，也为之后的内容奠定基础。

九、板书设计

十、教学反思

本节课的设计试图遵循学生的认知规律，尽可能的让学生自主学习、自主探索和研究，在学习中着重体现和渗透重要的思想和方法，例如：待定系数法、解析法、轨迹思想、数形结合思想、方程思想等。

1.尽可能调动学生的主体意识，积极参与探究活动，在探究中学习。

2.鼓励学生大胆尝试，在错误中获得反思的能力。

3.解析几何将几何问题转化为代数问题，通过计算来得到相关的结论，而我们学生计算能力较弱，课堂上应注意引导，才能让学生在有限的时间内化解这个难点。

4.对不同的思路进行积极探索，并大胆尝试一题多思，在探索中获取知识 、方法。