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    2018年北京理数高考真题及答案解析-

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    2018年普通高等学校招生全国统一考试
    数 学（理）（北京卷）
    本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
    第一部分（选择题 共40分）
    一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则AIB= （A）{0，1}









    （B）{–1，0，1} （D）{–1，0，1，2} （C）{–2，0，1，2} （2）在复平面内，复数（A）第一象限 （C）第三象限


    1的共轭复数对应的点位于 1i









    （B）第二象限 （D）第四象限
    （3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为

    （A）（C）1 27 6













    （B）（D）5 67
    12（4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展

    做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为 学&科网 （A）32f （C）1225f













    （B）322f （D）1227f
    （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为

    （A）1 （C）3














    （B）2 （D）4 （6）设a，b均为单位向量，则“a3b3ab”是“a⊥b”的
    （A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件









    （B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
    （7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线xmy20的距离，当θ，m变化时，d的最大值为 （A）1 （C）3














    （B）2 （D）4 （8）设集合A{(x,y|xy1,axy4,xay2},则
    （A）对任意实数a，(2,1A




    （B）对任意实数a，（2，1）A （D）当且仅当a（C）当且仅当a<0时，（2，1）A
    3时，（2，1）A
    2第二部分（非选择题 共110分）
    二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。


    （9）设an是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则an的通项公式为__________．
    （10）在极坐标系中，直线cossina(a0与圆=2cos相切，则a=__________．
    ππfx）=cos(x(0， （11）设函数（若f(xf(对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．64（12）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y−x的最小值是__________．

    （13）能说明“若f（x）>f（0）对任意的x∈（0，2］都成立，则f（x）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．
    x2y2x2y2（14）已知椭圆M：221(ab0，双曲线N：221．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四abmn个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________．
    三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）
    在△ABC中，a=7，b=8，cosB=–（Ⅰ）求∠A；
    （Ⅱ）求AC边上的高．

    （16）（本小题14分）
    如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，CC1平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=5，AC=AA1=2．学科*网
    1．
    7
    （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B−CD−C1的余弦值；


    （Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．

    （17）（本小题12分）
    电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
    电影类型 电影部数 好评率
    第一类 140 0.4 第二类 50 0.2 第三类 300 0.15 第四类 200 0.25 第五类 800 0.2 第六类 510 0.1 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
    假设所有电影是否获得好评相互独立．
    （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
    （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“k1”表示第k类电影得到人们喜欢，“k0”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差D1，D2，D3，D4，D5，D6的大小关系．

    （18）（本小题13分）
    设函数f(x=[ax2(4a1x4a3]ex．
    （Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，f(1）处的切线与x轴平行，求a； （Ⅱ）若f(x在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

    （19）（本小题14分）
    已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N． （Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
    uuuuruuuruuuruuur11（Ⅱ）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：为定值．

    （20）（本小题14分）


    设n为正整数，集合A={|(t1,t2,L,tn,tk{0,1},k1,2,L,n}．对于集合A中的任意元素(x1,x2,L,xn和(y1,y2,L,yn，记
    1M（，）=[(x1y1|x1y1|(x2y2|x2y2|L(xnyn|xnyn|]．
    2（Ⅰ）当n=3时，若(1,1,0，(0,1,1，求M（,）和M（,）的值；
    （Ⅱ）当n=4时，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意元素,，当,相同时，M（，）是奇数；当,不同时，M（，）是偶数．求集合B中元素个数的最大值；学.科网 （Ⅲ）给定不小于2的n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同的元素,， M（，）=0．写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明理由．



    绝密★启用前
    2018年普通高等学校招生全国统一考试
    理科数学试题参考答案
    一、选择题 （1）A 二、填空题 （9）an6n3


    （10）12


    （11）2 3（2）D （3）B （4）D （5）C （6）C （7）C （8）D
    （12）3
    （13）f(x=sinx（答案不唯一） 三、解答题 （15）（共13分）
    （14）312
    1π43，∴B∈（，π），∴sinB=1cos2B． 7278ab73=43，∴sinA=由正弦定理得． sinAsinBsinA27πππ∵B∈（，π），∴A∈（0，），∴∠A=．
    223解：（Ⅰ）在△ABC中，∵cosB=–（Ⅱ）在△ABC中，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+sinBcosA=如图所示，在△ABC中，∵sinC=∴AC边上的高为33．
    23114333=． (272714h3333，∴h=BCsinC=7， BC142
    （16）（共14分）
    解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中， ∵CC1⊥平面ABC， ∴四边形A1ACC1为矩形． 又E，F分别为AC，A1C1的中点， ∴AC⊥EF．


    ∵AB=BC． ∴AC⊥BE， ∴AC⊥平面BEF．
    （Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1． 又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC． ∵BE平面ABC，∴EF⊥BE． 如图建立空间直角坐标系E-xyz．

    由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）． uuuruur0，1，CB=(1，2，0， ∴CD=(2，设平面BCD的法向量为n(a，，bc， uuurnCD02ac0∴uur，∴，
    a2b0nCB0令a=2，则b=-1，c=-4，
    ∴平面BCD的法向量n(2，1，4， uur2，0， 又∵平面CDC1的法向量为EB=(0，uuruurnEB21∴cosnEB． uur=21|n||EB|由图可得二面角B-CD-C1为钝角，所以二面角B-CD-C1的余弦值为21．
    21（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面BCD的法向量为n(2，，F（0，0，2）， 1，4，∵G（0，2，1）uuuruuuruuur2，1，∴nGF2，∴n与GF不垂直， ∴GF=(0，∴GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内，∴GF与平面BCD相交． （17）（共12分）
    解：（Ⅰ）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，


    第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50． 故所求概率为500.025．学科%网
    2000（Ⅱ）设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为P（ABAB）=P（AB）+P（AB） =P（A）（1–P（B））+（1–P（A））P（B）． 由题意知：P（A）估计为0.25，P（B）估计为0.2． 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35． （Ⅲ）D1>D4>D2=D5>D3>D6． （18）（共13分）
    解：（Ⅰ）因为f(x=[ax2(4a1x4a3]ex，
    所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex =［ax2–（2a+1）x+2］ex． f ′(1=(1–ae．
    由题设知f ′(1=0，即(1–ae=0，解得a=1． 此时f (1=3e≠0． 所以a的值为1．
    （Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2ex． 若a>11，则当x∈(，2时，f ′(x<0； 2a当x∈(2，+∞时，f ′(x>0． 所以f (x在x=2处取得极小值． 若a≤11，则当x∈(0，2时，x–2<0，ax–1≤x–1<0， 22所以f ′(x>0．
    所以2不是f (x的极小值点． 综上可知，a的取值范围是（（19）（共14分）
    解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），
    1，+∞）．
    2

    所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x． 由题意可知直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）． y24x由得k2x2(2k4x10． ykx1依题意(2k424k210，解得k<0或0<k<1． 又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3． 所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）． 2k41，x1x22．
    2kky2直线PA的方程为y21(x1．
    x11由（I）知x1x2令x=0，得点M的纵坐标为yM同理得点N的纵坐标为yNy12kx1122． x11x11kx212． x21uuuruuuruuuruuur由QM=QO，QN=QO得=1yM，1yN．
    22k4x11x21111112x1x2(x1x21k2k2=2． 所以11yM1yN(k1x1(k1x2k1x1x2k1k2所以11为定值．学科*网
    （20）（共14分）
    解：（Ⅰ）因为α=（1，1，0），β=（0，1，1），所以 M(α，α=1[(1+1−|1−1|+(1+1−|1−1|+(0+0−|0−0|]=2，
    2    1[(1+0–|1−0|+(1+1–|1–1|+(0+1–|0–1|]=1．
    2M(α，β）=（Ⅱ）设α=（x1，x 2，x3，x4）∈B，则M(α，α）= x1+x2+x3+x4． 由题意知x1，x 2，x3，x4∈{0，1}，且M(α，α为奇数， 所以x1，x 2，x3，x4中1的个数为1或3．
    所以B{(1，0，0，0），（0，1，0，0，（0，0，1，0，（0，0，0，1，（0，1，1，1，(1，0，1，1，(1，1，0，1，(1，1，1，0}.

    将上述集合中的元素分成如下四组：

    （1，0，0，0，(1，1，1，0；（0，1，0，0，(1，1，0，1；（0，0，1，0，（1，0，1，1；（0，0，0，1，（0，1，1，1. 经验证，对于每组中两个元素α，β，均有M(α，β）=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素． 所以集合B中元素的个数不超过4. 又集合{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1}满足条件， 所以集合B中元素个数的最大值为4. （Ⅲ）设Sk={( x1，x 2，…，xn）|( x1，x 2，…，xn）∈A，xk =1，x1=x2=…=xk–1=0}（k=1，2，…，n，Sn+1={( x1，x 2，…，xn）| x1=x2=…=xn=0}， 则A=S1∪S1∪…∪Sn+1．
    对于Sk（k=1，2，…，n–1）中的不同元素α，β，经验证，M(α，β≥1. 所以Sk（k=1，2 ，…，n–1）中的两个元素不可能同时是集合B的元素． 所以B中元素的个数不超过n+1. 取ek=( x1，x 2，…，xn）∈Sk且xk+1=…=xn=0（k=1，2，…，n–1）. 令B=（e1，e2，…，en–1）∪Sn∪Sn+1，则集合B的元素个数为n+1，且满足条件. 故B是一个满足条件且元素个数最多的集合．


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