高考理科数学

第一部分（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．圆关于原点（0，0）对称的圆的方程为（ ）

A． B．

C． D．

2．（ ）

A． B．－ C． D．－

3．若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x的取值范围是（ ）

A． B． C．D．（－2，2）

4．已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则向量与的夹角为（ ）

A． B． C． D．－

5．若x，y是正数，则的最小值是（ ）

A．3 B． C．4 D．

6．已知、均为锐角，若的 （ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．对于不重合的两个平面与，给定下列条件：

①存在平面，使得、都垂直于；

②存在平面，使得、都平行于；

③内有不共线的三点到的距离相等；

④存在异面直线l、m，使得l//，l//，m//，m//，

其中，可以判定与平行的条件有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

8．若n展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于 （ ）

A．4 B．6 C．8 D．10

9．若动点（）在曲线上变化，则的最大值为 （ ）

A． B．

C． D．2

10．如图，在体积为1的三棱锥A—BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G， 使AE : EB=AF : FC=AG : GD=2 : 1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O—BCD的体积等于 （ ）

A． B．

C． D．

第二部分（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 把答案填写在答题卡相应位置上.

11．集合R| ，则= .

12．曲线处的切线与x轴、直线所围成的三角形的面积为=

13．已知、均为锐角，且=

14．=

15．某轻轨列车有4节车厢，现有6位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，则这6位乘客进入各节车厢的人数恰好为0，1，2，3的概率为

16．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）

①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形

④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

三、解答题：本大题共6小题，共76分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分13分）

若函数的最大值为2，试确定常数a的值.

18．（本小题满分13分）

在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求：

（Ⅰ）该顾客中奖的概率；

（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值（元）的概率分布列和期望

19．（本小题满分13分）

已知，讨论函数的极值点的个数

20．（本小题满分13分）

如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB⊥侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EA⊥EB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，∠BCC1=，求：

（Ⅰ）异面直线AB与EB1的距离；

（Ⅱ）二面角A—EB1—A1的平面角的正切值.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点.

（Ⅰ）求双曲线C2的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆C1及双曲线C2都恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.

22．（本小题满分12分）

数列{an}满足.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：；

（Ⅱ）已知不等式，其中无理数

e=2.71828….

普通高等学校招生全国统一考试

数学试题卷

一、选择题：本大题共10小题, 每小题5分, 共50分．在每小题给出的四个备选项中, 只有一项是符合题目要求的．

（1）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A= {2，4，5，7}，B = {3，4，5}，则（CUA）∪（CUB）=

（A）{1，6} （B）{4，5}

（C）{2，3，4，5，7} （D）{1，2，3，6，7}

（2）在等差数列{a n}中，若a4+ a6=12，Sn是数列{a n}的前n项和，则S9的值为

（A）48 （B）54 （C）60 （D）66

（3）过坐标原点且与圆相切的直线的方程为

（A）y =－3x 或 （B）y = 3x 或

（C）y =－3x或 （D）y = 3x 或

（4）对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l

（A）平行 （B）相交

（C）垂直 （D）互为异面直线

（5）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为

（A）－540 （B）－162

（C）162 （D）540

（6）为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁－18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：

根据上图可得这100名学生中体重在[56.5, 64.5]的学生人数是

（A）20 （B）30

（C）40 （D）50

（7）与向量的夹角相等, 且模为1的向量是

（A） （B）或

（C） （D）或

（8）将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配

方案有

（A）30种 （B）90种

（C）180种 （D）270种

（9）如图所示, 单位圆中弧AB 的长为表示弧AB 与弦AB所围

成的弓形面积的2倍，则函数的图象是

（10）若a, b, c > 0且,则的最小值为

（A） （B）

（C） （D）

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．

（11）复数 的值是_______．

（12）_______．

（13）已知_______．

（14）在数列中, 若（n≥1）, 则该数列的通项_______．

（15）设函数有最大值, 则不等式的解集为_______．

（16）已知变量满足约束条件,, 若目标函数（其中）仅在点（3,1）处取得最大值，则a的取值范围为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（17）(本小题满分13分)

设函数ωx + sinωxcosωx + a（其中ω> 0, a∈R）, 且的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为．

（Ⅰ）求ω的值；

（Ⅱ）如果在区间上的最小值为, 求a的值．

（18）(本小题满分13分)

某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层可以停靠．若该电梯在底层载有5位乘客, 且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为, 用表示这5位乘客在第20层下电梯的人数, 求：

（Ⅰ）随机变量的分布列；

（Ⅱ）随机变量的期望．

（19）(本小题满分13分)

如图, 在四棱锥中, 底面ABCD,

为直角, E、F分

别为PC、CD的中点．

（Ⅰ）试证：平面BEF；

（Ⅱ）设, 且二面角的平面角大于30°, 求k的取值范围．

（20）(本小题满分13分)

已知函数, 其中为常数．

（Ⅰ）若, 讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若, 且 试证：．

（21）(本小题满分12分)

已知定义域为R的函数满足．

（Ⅰ）若, 求； 又若；

（Ⅱ）设有且仅有一个实数, 使得,求函数的解析表达式．

（22）(本小题满分12分)

已知一列椭圆

, n = 1, 2, …, 若椭圆Cn上有一点

Pn, 使Pn到右准线ln的距离dn是| Pn Fn |与

| Pn Gn |的等差中项, 其中Fn、Gn分别是Cn

的左、右焦点．

（Ⅰ）试证： （n≥1）；

（Ⅱ）取,并用Sn表示△PnFnGn的面积,试证： （n≥3）．

2007年普通高等学校招生全国统一考试（ 卷）

数学试题卷（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若等比数列的前项和且，则等于（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

2．命题“若，则”的逆否命题是（　　）

Ａ．若，则或 Ｂ．若，则

Ｃ．若或，则 Ｄ．若或，则

3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（　　）

Ａ．部分 Ｂ．部分 Ｃ．部分 Ｄ．部分

4．若展开式的二项式系数之和为，则展开式的常数项为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

5．在中，，，，则（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

6．从张元，张元，张元的奥运预赛门票中任取张，则所取张中至少有张价格相同的概率为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

7．若是与的等比中项，则的最大值为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

8．设正数满足，则（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

9．已知定义域为的函数在上为减函数，且函数为偶函数，则（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

10．如题（10）图，在四边形中，，

，，

则的值为（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上．

11．复数的虚部为______．

12．已知满足则函数的最大值是______．

13．若函数的定义域为，则的取值范围为______．

14．设为公比的等比数列，若和是方程的两根，则______．

15．某校要求每位学生从门课程中选修门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同的选课方程有______种．（以数字作答）

16．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线于两点，则的值为______．

三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问4分．）

设．

（Ⅰ）求的最大值及最小正周期；

（Ⅱ）若锐角满足，求的值．

18．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问9分）

某单位有三辆汽车参加某种事故保险，单位年初向保险公司缴纳每辆元的保险金，对在一年内发生此种事故的每辆汽车，单位可获元的赔偿（假设每辆车最多只赔偿一次），设这三辆车在一年内发生此种事故的概率分别为，，，且各车是否发生事故相互独立，求一年内该单位在此保险中：

（Ⅰ）获赔的概率；

（Ⅱ）获赔金额的分布列与期望．

19．（本小题满分13分，其中（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分）

如题（19）图，在直三棱柱中，

，，；

点分别在，上，且，

四棱锥与直三棱柱的体积之比为．

（Ⅰ）求异面直线与的距离；

（Ⅱ）若，求二面角的平面角的正切值．

20．（本小题满分13分，其中（Ⅰ），（Ⅱ），（Ⅲ）小问分别为6，4，3分．）

已知函数在处取得极值，其中为常数．

（Ⅰ）试确定的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调区间；

（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．

21．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．）

已知各项均为正数的数列的前项和满足，且，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设数列满足，并记为的前项和，求证：

．

22．（本小题满分12分，其中（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分．）

如题（22）图，中心在原点的椭圆的右焦点为，右准线的方程为：．

（1）求椭圆的方程；

（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点，，，使，

证明：为定值，并求此定值．

2008年普通高等学校招生全国统一考试( 卷)

数学试题卷（理工农医类）

一、 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）复数1+=

(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3

(2)设m,n是整数，则“m,n均为偶数”是“m+n是偶数”的

(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(3)圆O1:x2+y2-2x=0和圆O2:x2+y2-4y=0的位置关系是

(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切

(4)已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为

(A) (B) (C) (D)

(5)已知随机变量服从正态分布N(3,a2),则P(＝

(A) (B) (C) (D)

(6)若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,,则下列说法一定正确的是

(A)f(x)为奇函数 （B）f(x)为偶函数

(C) f(x)+1为奇函数 （D）f(x)+1为偶函数

(7)若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段所成的比的值为

(A)－ (B) － (C) (D)

(8)已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx(k＞0),离心率e=,则双曲线方程为

（A）－=1 (B)

(C) (D)

(9)如解（9）图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点.V1为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，V2为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

（A）V1= (B) V2=

（C）V1> V2 （D）V1< V2

(10)函数f(x)=() 的值域是

（A）[-] (B)[-1,0] （C）[-] （D）[-]

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填写在答题卡相应位置上

（11）设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4},则(AB)= .

（12）已知函数，在点在x=0处连续，则 .

(13)已知(a>0) ，则 .

(14)设是等差数列{an}的前n项和，,则= .

（15）直线l与圆(a<3)相交于两点A，B，弦AB的中点为（0，1），则直线l的方程为 .

(16)某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有 种（用数字作答）.

三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（17）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）

设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，且A=，c=3b.求：

（Ⅰ）的值；

（Ⅱ）cotB+cot C的值.

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立.求：

（Ⅰ） 打满3局比赛还未停止的概率；

（Ⅱ）比赛停止时已打局数的分别列与期望E.

（19）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）

如题（19）图，在中，B=,AC=,D、E两点分别在AB、AC上.使

,DE=3.现将沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.

（20）（本小题满分13分.（Ⅰ）小问5分.（Ⅱ）小问8分.）

　　　设函数曲线y=f(x)通过点（0，），且在点处的切线垂直于y轴.

（Ⅰ）用a分别表示b和c；

（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数的单调区间.

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

　　　如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

（Ⅰ）求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若,求点P的坐标.

（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

　　　设各项均为正数的数列{an}满足.

（Ⅰ）若，求，并猜想的值（不需证明）；

（Ⅱ）记对n≥2恒成立，求a2的值及数列{bn}的通项公式.

高考数学2009年普通高等学校招生全国统一考试（ 卷）数学试题卷（理工农医类）

本试卷满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．直线与圆的位置关系为（ ）

A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离

2．已知复数的实部为，虚部为2，则=（ ）

A． B． C． D．

3．的展开式中的系数是（ ）

A．16 B．70 C．560 D．1120

4．已知，则向量与向量的夹角是（ ）

A． B． C． D．

5．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

6．锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

A． B． C． D．

7．设的三个内角，向量，，若，则=（ ）

A． B． C． D．

8．已知，其中，则的值为（ ）

A．6 B． C． D．

9．已知二面角的大小为，为空间中任意一点，则过点且与平面和平面所成的角都是的直线的条数为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

10．已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．

11．若，，则----------------．

12．若是奇函数，则------------------．

13．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 ----------------种（用数字作答）．

14．设，，，，则数列的通项公式= --------------------．

15．已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是---------------------- ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）

设函数．

（Ⅰ）求的最小正周期．

（Ⅱ）若函数与的图像关于直线对称，求当时的最大值．

17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）

某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：

（Ⅰ）两种大树各成活1株的概率；

（Ⅱ）成活的株数的分布列与期望．

18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问8分）

设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．

19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

如题（19）图，在四棱锥中，且；平面平面，；为的中点，．求：

（Ⅰ）点到平面的距离；

（Ⅱ）二面角的大小．

20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率，是椭圆上的动点．

（Ⅰ）若的坐标分别是，求的最大值；

（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，是点在轴上的射影，点满足条件：，．求线段的中点的轨迹方程；

21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）

设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．

（Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项；

（Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：；

2010年普通高等学校招生全国统一考试（ 卷）

数学试题卷（理工农医类）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）在等比数列中， ，则公比q的值为

A．2 B．3 C．4 D．8

（2） 已知向量a，b满足，则

A．0 B． C． 4 D．8

（3）=

A． —1 B． — C． D．1

（4）设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为

A．—2 B． 4 C． 6 D． 8

（5） 函数的图象

A．关于原点对称 B．关于直线y=x对称

C．关于x轴对称 D．关于y轴对称

（6）已知函数的部分图象如题（6）图所示，则

A． =1 =

B．=1 =-

C．=2 =

D．=2 = -

（7）已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的

最小值是

A． 3 B． 4

C． D．

（8） 直线y=与圆心为D的圆交与A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为

A． B． C． D．

（9）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种

（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是

A． 直线 B． 椭圆 C． 抛物线 D．双曲线

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡的相应位置上。

（11）已知复数z=1+i ，则=____________．

（12）设U=，A=，若，则实数m=_________．

（13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________．

（14）已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________．

（15）已知函数满足：，，则=_____________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（16）（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）

设函数。

（I）求的值域；

（II）记的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若=1，b=1,c=，求a的值。

（17）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求：

（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。

（18）（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）

已知函数其中实数

（Ⅰ）若a=-2，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在x=1处取得极值，试讨论的单调性。

（19）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）

如题（19）图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，

PA底面ABCD，PA=AB=，点E是棱PB的中点。

（Ⅰ）求直线AD与平面PBC的距离；

（Ⅱ）若AD=，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值。

（20）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）

已知以原点O为中心，为右焦点的双曲线C的离心率。

（Ⅰ）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

（Ⅱ）如题（20）图，已知过点的直线与过点（其中）的直线的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求的面积。

（21）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）

在数列中，=1，，其中实数。

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若对一切有，求c的取值范围。