南京市2015届高三年级第三次模拟考试

数 学 2015.05

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

参考公式

样本数据x1，x2，…，xn的方差s2＝ (xi－)2，其中＝xi．

锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

1．已知复数z＝－1，其中i为虚数单位，则z的模为 ▲ ．

2．经统计，在银行一个营业窗口每天上午9点钟排队等候的人数及相应概率如下：

则该营业窗口上午9点钟时，至少有2人排队的概率是 ▲ ．

3．若变量x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值是 ▲ ．

4．右图是一个算法流程图，则输出k的值

是 ▲ ．

5．如图是甲、乙两位射击运动员的5次

训练成绩（单位：环）的茎叶图，则

成绩较为稳定（方差较小）的运动员

是 ▲ ．

6．记不等式x2＋x－6＜0的解集为集合A，函数y＝lg(x－a)的定义域为集合B．若“xA”是“xB”的充分条件，则实数a的取值范围为 ▲ ．

7．在平面直角坐标系xOy中，过双曲线C：x2－＝1的右焦点F作x轴的垂线l，则l与双曲线C的两条渐近线所围成的三角形的面积是 ▲ ．

8．已知正六棱锥P－ABCDEF的底面边长为2，侧棱长为4，则此六棱锥的体积为 ▲ ．

9．在△ABC中， ABC＝120，BA＝2，BC＝3，D，E是线段AC的三等分点，则·的值

为 ▲ ．

10．记等差数列{an}的前n项和为Sn．若Sk－1＝8，Sk＝0，Sk＋1＝－10，则正整数k＝ ▲ ．

11．若将函数f(x)＝∣sin(x－)∣(＞0)的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为偶函数 ，则实数的最小值是 ▲ ．

12．已知x，y为正实数，则＋的最大值为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为 ▲ ．

14．已知a，t为正实数，函数f(x)＝x2－2x＋a，且对任意的x∈[0，t]，都有f(x)∈[－a，a]．若对每一个正实数a，记t的最大值为g(a)，则函数g(a)的值域为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知acosC＋ccosA＝2bcosA．

（1）求角A的值；

（2）求sinB＋sinC的取值范围．

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P－ABCD中，BC∥AD，PA⊥PD，AD＝2BC，AB＝PB， E为PA的中点．

（1）求证：BE∥平面PCD；

（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

17．（本小题满分14分）

如图，摩天轮的半径OA为50m，它的最低点A距地面的高度忽略不计．地面上有一长度为240m的景观带MN，它与摩天轮在同一竖直平面内，且AM＝60m．点P从最低点A处按逆时针方向转动到最高点B处，记AOP＝， ∈(0，π)．

（1）当 ＝时，求点P距地面的高度PQ；

（2）试确定 的值，使得MPN取得最大值．

18．（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，设中心在坐标原点的椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，右准线

l：x＝m＋1与x轴的交点为B，BF2＝m．

（1）已知点(，1)在椭圆C上，求实数m的值；

（2）已知定点A(－2，0)．

①若椭圆C上存在点T，使得＝，求椭圆C的离心率的取值范围；

②当m＝1时，记M为椭圆C上的动点，直线AM，BM分别与椭圆C交于另一点P，Q，

若 ＝λ，＝，求证：λ＋为定值．

19．(本小题满分16分)

已知函数f(x)＝x2－x＋t，t≥0，g(x)＝lnx．

（1）令h(x)＝f(x)＋g(x)，求证：h(x)是增函数；

（2）直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切．对于确定的正实数t，讨论直线l的条数，并说明理由．

20．（本小题满分16分）

已知数列{an}的各项均为正数，其前n项的和为Sn，且对任意的m，n∈N*，

都有(Sm＋n＋S1)2＝4a2ma2n．

（1）求的值；

（2）求证：{an}为等比数列；

（3）已知数列{cn}，{dn}满足|cn|＝|dn|＝an，p(p≥3)是给定的正整数，数列{cn}，{dn}的前p项的和分别为Tp，Rp，且Tp＝Rp，求证：对任意正整数k(1≤k≤p)，ck＝dk．

南京市2015届高三年级第三次模拟考试

数学附加题 2015.05

注意事项：

1．附加题供选修物理的考生使用．

2．本试卷共40分，考试时间30分钟．

3．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：BE· CD＝BD· CE．

B．选修4－2：矩阵与变换

已知矩阵A＝，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为

直线l：x－y＋2a＝0．

（1）求实数a的值；

（2）求A2．

C．选修4－4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，设圆C：＝4 cos 与直线l：＝(∈R)交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．

D．选修4－5：不等式选讲

已知实数x，y满足x＞y，求证：2x＋≥2y＋3．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（本小题满分10分）

如图，四棱锥P－ABCD中，PA平面ABCD，AD∥BC，ABAD，BC＝，AB＝1，BD＝PA＝2．

（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－PD－C的余弦值．

23．（本小题满分10分）

已知集合A是集合Pn＝{1，2，3，…，n} (n≥3，n∈N*)的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f(n)．

（1）求f(3)，f(4)；

（2）求f(n)（用含n的式子表示）．

南京市2015届高三第三次模拟考试

数学参考答案及评分标准 2015.05

说明：

1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，填空题不给中间分数．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1． 2．0.74 3．4 4．6 5．甲

6．(－∞，－3] 7．4 8．12 9． 10．9

11． 12． 13．[－，＋∞) 14．(0，1)∪{2}

二、解答题：本大题共6小题，共90分．

15．解：（1）因为acosC＋ccosA＝2bcosA，所以sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosA，

即sin(A＋C)＝2sinBcosA．

因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB．

从而sinB＝2sinBcosA． ………………………… 4分

因为sinB≠0，所以cosA＝．

因为0＜A＜π，所以A＝． ………………………… 7分

（2）sinB＋sinC＝sinB＋sin(－B)＝sinB＋sincosB－cossinB

＝sinB＋cosB＝sin(B＋)． ………………………… 11分

因为0＜B＜，所以＜B＋＜．

所以sinB＋sinC的取值范围为(，]． ………………………… 14分

16．证明：（1）取PD的中点F，连接EF，CF．

因为E为PA的中点，所以EF∥AD，EF＝AD．

因为BC∥AD，BC＝AD，

所以EF∥BC，EF＝BC．

所以四边形BCFE为平行四边形．

所以BE∥CF． ………………………… 4分

因为BE平面PCD，CF平面PCD，

所以BE∥平面PCD． ………………………… 6分

（2）因为AB＝PB，E为PA的中点，所以PA⊥BE．

因为BE∥CF，所以PA⊥CF． ………………………… 9分

因为PA⊥PD，PD平面PCD，CF平面PCD，PD∩CF＝F，

所以PA⊥平面PCD． ………………………… 12分

因为PA平面PAB，所以平面PAB平面PCD． ………………………… 14分

17．解：（1）由题意，得PQ＝50－50cos ．

从而，当 ＝时，PQ＝50－50cos＝75．

即点P距地面的高度为75m． ………………………… 4分

（2）（方法一）由题意，得AQ＝50sin ，从而MQ＝60－50sin ，NQ＝300－50sin ．

又PQ＝50－50cos ，

所以tanNPQ＝＝，tanMPQ＝＝．

………………………… 6分

从而tanMPN＝tan(NPQ－MPQ)

＝＝

＝． ………………………… 9分

令g( )＝， ∈(0，π)，

则g()＝， ∈(0，π)．

由g()＝0，得sin ＋cos －1＝0，解得 ＝．

………………………… 11分

当 ∈(0，)时，g( )＞0，g( )为增函数；当 ∈(，)时，g( )＜0，g( )为减函数，

所以，当 ＝时，g( )有极大值，也为最大值．

因为0＜MPQ＜NPQ＜，所以0＜MPN＜，

从而当g( )＝tanMPN取得最大值时，MPN取得最大值．

即当 ＝时，MPN取得最大值． ………………………… 14分

（方法二）以点A为坐标原点，AM为x轴建立平面直角坐标系，

则圆O的方程为 x2＋(y－50)2＝502，即x2＋y2－100y＝0，点M(60，0)，N(300，0)．

设点P的坐标为 (x0，y0)，所以Q (x0，0)，且x02＋y02－100y0＝0．

从而tanNPQ＝＝，tanMPQ＝＝．

………………………… 6分

从而tanMPN＝tan(NPQ－MPQ)

＝＝

＝．

由题意知，x0＝50sin ，y0＝50－50cos ，

所以tanMPN＝＝． ………………………… 9分

（下同方法一）

18．解：（1）设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)．

由题意，得解得

所以椭圆方程为＋＝1．

因为椭圆C过点(，1)，所以＋＝1，

解得m＝2或m＝－(舍去）．

所以m＝2． ………………………… 4分

（2）①设点T(x，y)．

由＝，得(x＋2)2＋y2＝2[(x＋1)2＋y2]，即x2＋y2＝2． ………………… 6分

由得y2＝m2－m．

因此0≤m2－m≤m，解得1≤m≤2．

所以椭圆C的离心率e＝ [，]． ………………………… 10分

②（方法一）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

则＝(x0＋2，y0)，＝(x1＋2，y1)．

由＝， 得

从而 ………………………… 12分

因为＋y02＝1，所以＋(y1)2＝1．

即2(＋y12)＋2(－1)x1＋2(－1)2－1＝0．

因为＋y12＝1，代入得2 (－1)x1＋32－4＋1＝0．

由题意知，≠1，

故x1＝－，所以x0＝．

同理可得x0＝． ………………………… 14分

因此＝，

所以＋＝6． ………………………… 16分

（方法二）设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．

直线AM的方程为y＝(x＋2)．

将y＝(x＋2)代入＋y2＝1，得((x0＋2)2＋y)x2＋4yx＋4y－(x0＋2)2 ＝0(*)．

因为＋y02＝1，所以（*）可化为(2x0＋3)x2＋4yx－3x－4x0＝0．

因为x0x1＝－，所以x1＝－．

同理x2＝． ………………………… 14分

因为＝，＝，

所以＋＝＋＝＋

＝＋＝6．

即λ＋为定值6． ………………………… 16分

19．解：（1）由h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2－x＋t＋lnx，得h' (x)＝2x－1＋，x＞0．

因为2x＋≥2＝2，所以h' (x)＞0，

从而函数h(x)是增函数． ………………………… 3分

（2）记直线l分别切f(x)，g(x)的图象于点(x1，x12－x1＋t)，(x2，lnx2)，

由f'(x)＝2x－1，得l的方程为y－(x12－x1＋t)＝(2x1－1)(x－x1)，即y＝(2x1－1)x－x12＋t．

由g'(x)＝，得l的方程为y－lnx2＝(x－x2)，即y＝· x＋lnx2－1．

所以(*)

消去x1得lnx2＋－(t＋1)＝0 (**)． ………………………… 7分

令F(x)＝lnx＋－(t＋1)，则F'(x)＝－＝＝，x＞0．

由F'(x)＝0，解得x＝1．

当0＜x＜1时，F'(x)＜0，当x＞1时，F'(x)＞0，

所以F(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，

从而F(x)min＝F(1)＝－t． ………………………… 9分

当t＝0时，方程(**)只有唯一正数解，从而方程组(*)有唯一一组解，

即存在唯一一条满足题意的直线； ………………………… 11分

当t＞0时，F(1)＜0，由于F(et＋1)＞ln(et＋1)－(t＋1)＝0，

故方程(**)在(1，＋∞)上存在唯一解； ………………………… 13分

令k(x)＝lnx＋－1(x≤1)，由于k' (x)＝－＝≤0，故k (x)在(0，1]上单调递减，

故当0＜x＜1时，k (x)＞k (1)＝0，即lnx＞1－，

从而lnx＋－(t＋1)＞(－)2－t．

所以F()＞(＋)2－t＝＋＞0，又0＜＜1，

故方程(**)在(0，1)上存在唯一解．

所以当t＞0时，方程(**)有两个不同的正数解，方程组(*)有两组解．

即存在两条满足题意的直线．

综上，当t＝0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为1；

当t＞0时，与两个函数图象同时相切的直线的条数为2．

………………………… 16分

20．解：（1）由(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m，得(S2＋S1)2＝4a，即(a2＋2a1)2＝4a．

因为a1＞0，a2＞0，所以a2＋2a1＝a2，即＝2． ………………………… 3分

证明：（2）（方法一）令m＝1，n＝2，得(S3＋S1)2＝4a2a4，即(2a1＋a2＋a3)2＝4a2a4，

令m＝n＝2，得S4＋S1＝2a4，即2a1＋a2＋a3＝a4．

所以a4＝4a2＝8a1．

又因为＝2，所以a3＝4a1． ………………………… 6分

由(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m，得(Sn＋1＋S1)2＝4a2na2，(Sn＋2＋S1)2＝4a2na4．

两式相除，得＝，所以＝＝2．

即Sn＋2＋S1＝2(Sn＋1＋S1)，

从而Sn＋3＋S1＝2(Sn＋2＋S1)．

所以an＋3＝2an＋2，故当n≥3时，{an}是公比为2的等比数列．

又因为a3＝2a2＝4a1，从而an＝a1·2 n－1，n∈N*．

显然，an＝a1·2 n－1满足题设，

因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分

（方法二）在(Sm＋n＋S1)2＝4a2na2m中，

令m＝n，得S2n＋S1＝2a2n． ①

令m＝n＋1，得S2n＋1＋S1＝2 ， ②

在①中，用n＋1代n得，S2n＋2＋S1＝2a2n＋2． ③

②－①，得a2n＋1＝2－2a2n＝2 (－)， ④

③－②，得a2n＋2＝2a2n＋2－2＝2 (－)， ⑤

由④⑤得a2n＋1＝． ⑥

………………………… 8分

⑥代入④，得a2n＋1＝2a2n；⑥代入⑤得a2n＋2＝2a2n＋1，

所以＝＝2．又＝2，

从而an＝a1·2 n－1，n∈N*．

显然，an＝a1·2 n－1满足题设，

因此{an}是首项为a1，公比为2的等比数列． ………………………… 10分

（3）由（2）知，an＝a1·2 n－1．

因为|cp|＝|dp|＝a1·2p－1，所以cp＝dp或cp＝－dp．

若cp＝－dp，不妨设cp＞0，dp＜0，

则Tp≥a1·2p－1－(a1·2p－2＋a1·2p－3＋…＋a1)＝a1·2p－1－a1·(2p－1－1)＝a1＞0．

Rp≤－a1·2p－1＋(a1·2p－2＋a1·2p－3＋…＋a1)＝－a1·2p－1＋a1·(2p－1－1)＝－a1＜0．

这与Tp＝Rp矛盾，所以cp＝dp．

从而Tp－1＝Rp－1．

由上证明，同理可得cp－1＝dp－1．如此下去，可得cp－2＝dp－2，cp－3＝dp－3．…，c1＝d1．

即对任意正整数k(1≤k≤p)，ck＝dk． ………………………… 16分

南京市2015届高三第三次模拟考试

数学附加题参考答案及评分标准 2015.05

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．

A．选修4—1：几何证明选讲

证明：因为AB是⊙O的切线，所以ABD＝AEB．

又因为BAD＝EAB，所以△BAD∽△EAB．

所以＝． ………………………… 5分

同理，＝.．

因为AB，AC是⊙O的切线，所以AB＝AC．

因此＝，即BE· CD＝BD· CE． ………………………… 10分

B．选修4—2：矩阵与变换

解：（1）设直线l上一点M0(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下变为l 上点M(x，y)，

则＝＝，

所以 ………………………… 3分

代入l 方程得(ax0＋y0)－(x0＋ay0)＋2a＝0，

即(a－1)x0－(a－1)y0＋2a＝0．

因为(x0，y0)满足x0－y0＋4＝0，

所以＝4，解得a＝2． ………………………… 6分

（2）由A＝，得A2＝＝． ………………… 10分

C．选修4—4：坐标系与参数方程

解： 以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，则由题意，得

圆C的直角坐标方程 x2＋y2－4x＝0，

直线l的直角坐标方程 y＝x． ………………………… 4分

由解得或

所以A(0，0)，B(2，2)．

从而以AB为直径的圆的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2＝2x＋2y．

………………………… 7分

将其化为极坐标方程为：2－2(cos＋sin)＝0，即＝2(cos＋sin)．

…………………… 10分

D．选修4—5：不等式选讲

证明：因为x＞y，所以x－y＞0，从而

左边＝(x－y)＋(x－y)＋＋2y

≥3＋2y

＝2y＋3

＝右边．

即原不等式成立． ………………………… 10分

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分．

22．解：（1）因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，

所以PAAB，PAAD．

又ADAB，

故分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

根据条件得AD＝．

所以B(1，0，0)，D(0，，0)，C(1，，0)，P(0，0，2)．

从而＝(－1，，0)，＝(1，，－2)．

………………………… 3分

设异面直线BD，PC所成角为 ，

则cos ＝|cos＜，＞|＝||

＝||＝．

即异面直线BD与PC所成角的余弦值为． ………………………… 5分

（2）因为AB平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为＝(1，0，0)．

设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由n，n，＝(1，，－2)，＝(0，，－2)，

得解得

不妨取z＝3，则得n＝(2，2，3)． ………………………… 8分

设二面角A－PD－C的大小为，

则cos＝cos＜，n＞＝＝＝．

即二面角A－PD－C的余弦值为． ………………………… 10分

23．解：（1）f(3)＝1，f(4)＝2； ………………………… 2分

（2）设A0＝{m∣m＝3p，p∈N*，p≤}，

A1＝{m∣m＝3p－1，p∈N*，p≤}，

A2＝{m∣m＝3p－2，p∈N*，p≤}，

它们所含元素的个数分别记为∣A0∣，∣A1∣，∣A2∣．……………………… 4分

①当n＝3k时，则∣A0∣＝∣A1∣＝∣A2∣＝k．

k＝1，2时，f(n)＝(C)3＝k3；

k≥3时，f(n)＝3C＋(C)3＝k3－k2＋k．

从而 f(n)＝n3－n2＋n，n＝3k，k∈N*． ………………………… 6分

②当n＝3k－1时，则∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝∣A2∣＝k．

k＝2时，f(n)＝f(5)＝2×2×1＝4；

k＝3时，f(n)＝f(8)＝1＋1＋3×3×2＝20；

k＞3时，f(n)＝C＋2C＋C (C)2＝k3－3k2＋k－1；

从而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－1，k∈N*． ………………………… 8分

③当n＝3k－2时，∣A0∣＝k－1，∣A1∣＝k－1，∣A2∣＝k．

k＝2时，f(n)＝f(4)＝2×1×1＝2；

k＝3时，f(n)＝f(7)＝1＋3×2×2＝13；

k＞3时，f(n)＝2C＋C＋(C)2 C＝k3－k2＋5k－2；

从而 f(n)＝n3－n2＋n－，n＝3k－2，k∈N*．

所以f(n)＝ …………………… 10分