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    (全国通用)2020版高考数学二轮复习第二层提升篇专题六函数与导数第3讲导数的几何意义及简单应用讲义

    时间：2022-11-10 04:23:53    下载该word文档
    第3讲导数的几何意义及简单应用[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ导数的几何意义，求切何意义求参线方程·T10导数的几何意义，求切2019线方程·T13利用导数研究函数的极函数的单调性值·T21(1与最值·T20奇函数的定义及利用导利用导数的几何意义求数的几何意义求切线方切线方程·T132018程·T6利用函数的极值点求参数及单调区间·T21利用导数的几何意义求利用导数研究切线方程·T142017利用导数研究函数的单调性·T21(1(1此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小.(2应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题；常在解答题的第一问中考查，难度一般.考点一导数的几何意义[例1](1(2019·全国卷Ⅱ曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1处的切线方程为(A.x－y－π－1＝0C.2x＋y－2π＋1＝0B.2x－y－2π－1＝0D.x＋y－π＋1＝0调性·T21(1性·T21(1利用导数研究函数的单函数的单调利用导数求函数的单调区间·T21(1何意义求切线方程·T21(1利用导数的几利用导数讨论数·T7全国卷Ⅲ利用导数的几
    (2(2019·全国卷Ⅲ已知曲线y＝ae＋xlnx在点(1，ae处的切线方程为y＝2x＋b，则(A.a＝e，b＝－1C.a＝e，b＝1－1xB.a＝e，b＝1D.a＝e，b＝－1－1[解析](1设y＝f(x＝2sinx＋cosx，则f′(x＝2cosx－sinx，∴f′(π＝－2，∴曲线在点(π，－1处的切线方程为y－(－1＝－2(x－π，即2x＋y－2π＋1＝0.故选C.(2y′＝ae＋lnx＋1，∴k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1(x－1，即y＝(ae＋1x－1.∵已知切线方程为y＝2x＋b，ae＋1＝2，－1∴即a＝e，b＝－1.b＝－1，x故选D.[答案](1C(2D[解题方略]与切线有关问题的处理策略(1已知切点A(x0，y0求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0.(2已知斜率k，求切点A(x1，f(x1，即解方程f′(x1＝k.(3求过某点M(x1，y1的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0，则切线方程为y－f(x0＝f′(x0(x－x0，再把点M(x1，y1代入切线方程，求x0.[跟踪训练]1.(2019·福州市第一学期抽测曲线f(x＝x＋lnx在点(1，1处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为(A.21C.23B.21D.41解析：选Df′(x＝1＋，则f′(1＝2，故曲线f(x＝x＋lnx在点(1，1处的切线x1，0，方程为y－1＝2(x－1，即y＝2x－1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1，2
    111则切线与坐标轴围成的三角形的面积为×1×＝，故选D.2241lnx2.(2019·江西八所重点中学联考已知曲线y＝＋在x＝1处的切线l与直线2x＋xa3y＝0垂直，则实数a的值为________.1lnx111lnx解析：因为y＝f(x＝＋，所以f′(x＝－2＋，所以曲线y＝＋在x＝1xaxaxxa12处的切线l的斜率k＝f′(1＝－1＋.直线2x＋3y＝0的斜率k′＝－.因为切线l与直线a31222x＋3y＝0垂直，所以－1＋×－＝－1，得a＝.a352答案：51133.已知函数f(x＝x－sinx－cosx的图象在点A(x0，y0处的切线的斜率为1，则244tanx0＝________.11311311π解析：∵f(x＝x－sinx－cosx，∴f′(x＝－cosx＋sinx＝＋sinx－.624424422∵函数f(x的图象在点A(x0，y0处的切线斜率为1，π11∴＋sinx0－＝1，622ππ∴x0－＝＋2kπ，k∈Z，622π∴x0＝＋2kπ，k∈Z，3∴tanx0＝tan答案：－3考点二利用导数研究函数的单调性[例2](1(2019·广东省七校联考已知定义在R上的连续可导函数f(x，当x≠0时，有xf′(x＜0，则下列各项正确的是(A.f(－1＋f(2＞2f(0B.f(－1＋f(2＝2f(0C.f(－1＋f(2＜2f(0D.f(－1＋f(2与2f(0大小关系不确定2π＋2kπ＝tanπ－π＝－tanπ＝－3.333
    (2已知函数f(x＝e(e－a－ax，讨论f(x的单调性.[解析](1由题意得，x＜0时，f(x是增函数，x＞0时，f(x是减函数，∴x＝0是函数f(x的极大值点，也是最大值点，∴f(－1＜f(0，f(2＜f(0，两式相加得，f(－1＋f(2＜2f(0，故选C.[答案]C[解](2函数f(x的定义域为(－∞，＋∞，xx2f′(x＝2e2x－aex－a2＝(2ex＋a(ex－a.①若a＝0，则f(x＝e在(－∞，＋∞上单调递增.②若a＞0，则由f′(x＝0，得x＝lna.当x∈(－∞，lna时，f′(x＜0；当x∈(lna，＋∞时，f′(x＞0.故f(x在(－∞，lna上单调递减，在(lna，＋∞上单调递增.③若a＜0，则由f′(x＝0，得x＝ln－.2当x∈－∞，ln－时，f′(x＜0；2当x∈ln－，＋∞时，f′(x＞0.2故f(x在－∞，ln－上单调递减，2在ln－，＋∞上单调递增.2[解题方略]求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论.(2在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.[注意]讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.[跟踪训练]2xaaaaa
    1.(2019·唐山市摸底考试设函数f(x＝x(e＋e，则f(x(A.是奇函数，且在(0，＋∞上是增函数B.是偶函数，且在(0，＋∞上是增函数C.是奇函数，且在(0，＋∞上是减函数D.是偶函数，且在(0，＋∞上是减函数解析：选A法一：由条件可知，f(－x＝(－x(e＋e＝－x(e＋e＝－f(x，故－xx－xxx－xf(x为奇函数.f′(x＝ex＋e－x＋x(ex－e－x，当x＞0时，ex＞e－x，所以x(ex－e－x＞0，又e＋e＞0，所以f′(x＞0，所以f(x在(0，＋∞上是增函数，故选A.法二：根据题意知f(－1＝－f(1，所以函数f(x为奇函数.又f(1＜f(2，所以f(x在(0，＋∞上是增函数，故选A.2.若本例(2变为：已知函数f(x＝e(e－a－ax在[1，＋∞上单调递增，求实数a的取值范围.解：由本例解析知f′(x＝(2e＋a(e－a，∵f(x在[1，＋∞上单调递增，则f′(x≥0在[1，＋∞上恒成立，∴(2e＋a(e－a≥0，∴－2e≤a≤e在[1，＋∞上恒成立，∴－2e≤a≤e，∴实数a的取值范围为[－2e，e].3.若本例(2变为：函数f(x＝e(e－a－ax在[1，＋∞上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解：由本例解析知f′(x＝2e－ae－a，设t＝e，∵x∈[1，＋∞，∴t∈[e，＋∞，即g(t＝2t－at－a在[e，＋∞上有零点.∴g(e＝2e－ae－a<0，解得a>e或a<－2e，∴实数a的取值范围为(－∞，－2e∪(e，＋∞.考点三利用导数研究函数的极值(最值问题22222xx－xxx2xxxxxxxx2x2x
    题型一求已知函数的极值(最值[例3](1(2019·昆明市质量检测已知函数f(x＝ax＋bx＋clnx(a＞0在x＝1和x5＝2处取得极值，且极大值为－，则函数f(x在区间(0，4]上的最大值为(2A.0C.2ln2－4(2已知函数f(x＝5B.－2D.4ln2－4＋2x(x＞1，则函数f(x的极小值为________.lnx2xc2ax2＋bx＋c[解析](1f′(x＝2ax＋b＋＝(x＞0，a＞0.因为函数f(x在x＝1和xxcx＝2处取得极值，所以f′(1＝2a＋b＋c＝0①，f′(2＝4a＋b＋＝0②.又a＞0，2所以当0＜x＜1或x＞2时，f′(x＞0，f(x是增函数，当1＜x＜2时，f′(x＜0，f(x51是减函数.所以当x＝1时，f(x极大值＝f(1＝a＋b＝－③.联立①②③，解得a＝，b＝221－3，c＝2.f(4＝×16－3×4＋2ln4＝4ln2－4，经比较函数f(x在区间(0，4]上的最大2值是f(4＝4ln2－4.故选D.(2f(x＝＋2x(x＞1，lnxlnx－1＋2lnxf′(x＝，2lnx令f′(x＝0，得2lnx＋lnx－1＝0，11解得lnx＝或lnx＝－1(舍去，即x＝e2.211当1＜x＜e2时，f′(x＜0，当x＞e2时，f′(x＞0，11e211∴f(x的极小值为f(e2＝＋2e2＝4e2.121[答案](1D(24e2[解题方略]利用导数研究函数极值、最值的方法(1若求极值，则先求方程f′(x＝0的根，再检查f′(x在方程根的左右函数值的符号.22x
    (2若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′(x＝0根的大小或存在情况来求解.(3求函数f(x在闭区间[a，b]的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a，f(b与f(x的各极值进行比较得到函数的最值.题型二由函数的极值(最值确定参数值(范围[例4]已知函数f(x＝2lnx－2ax＋x有两个极值点x1，x2(x1<x2，求实数a的取值范围.[解]f(x的定义域为(0，＋∞，22（x－ax＋1）f′(x＝－2a＋2x＝，22xx令f′(x＝0，即x－ax＋1＝0，要使f(x在(0，＋∞上有两个极值点，则方程x－22ax＋1＝0有两个不相等的正根，Δ＝a－4>0，则x1＋x2＝a>0，解得a>2，x1x2＝1>0，∴实数a的取值范围为(2，＋∞.[解题方略]已知函数极值点或极值求参数的方法列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证验证根的合理性[跟踪训练]1.函数y＝f(x的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是(2A.(－1，3为函数y＝f(x的单调递增区间B.(3，5为函数y＝f(x的单调递减区间
    C.函数y＝f(x在x＝0处取得极大值D.函数y＝f(x在x＝5处取得极小值解析：选C由函数y＝f(x的导函数的图象可知，当x＜－1或3＜x＜5时，f′(x＜0，y＝f(x单调递减；当x＞5或－1＜x＜3时，f′(x＞0，y＝f(x单调递增.所以函数y＝f(x的单调递减区间为(－∞，－1，(3，5，单调递增区间为(－1，3，(5，＋∞.函数y＝f(x在x＝－1，5处取得极小值，在x＝3处取得极大值，故选项C错误，选C.2.设函数f(x＝－klnx，k＞0在x＝1处取得极小值，则极小值为(21A.－2C.－11B.2D.1x2kx2－k解析：选Bf′(x＝x－＝.由f′(x＝0解得x＝k(x＝－k舍去.xxf(x与f′(x在区间(0，＋∞上的情况如下：xf′(xf(x所以f(x的单调递减区间是(0，k，单调递增区间是(k，＋∞.11由条件知，k＝1，解得k＝1，极小值f(1＝－0＝.选B.223.已知函数f(x＝e＋x＋(3a＋2x在区间(－1，0上有最小值，则实数a的取值范围是(1A.－1，－eeB.－1，－31D.－1，－3ex2(0，k－kk（1－lnk）2(k，＋∞＋x23C.－，－1e解析：选D由f(x＝e＋x＋(3a＋2x可得，f′(x＝e＋2x＋3a＋2，因为函数f(x＝e＋x＋(3a＋2x在区间(－1，0上有最小值，所以函数f(x＝e＋x＋(3a＋2x在区间(－1，0上有极小值，而f′(x＝e＋2x＋3a＋2在区间(－1，0上单调递增，所以f′(x＝e＋2x＋3a＋2＝0在区间(－1，0上必有唯一解，xxx2xx2
    f′（－1）＝e－2＋3a＋2＜0，1由零点存在定理可得解得－1＜a＜－，3ef′（0）＝1＋3a＋2＞0，－11所以实数a的取值范围是－1，－，故选D.3e逻辑推理——分类与整合思想研究函数的单调性[典例]已知函数f(x＝lnx－ax＋ax(a∈R.(1当a＝1时，求函数f(x的单调区间；(2若函数f(x在区间(1，＋∞上是减函数，求实数a的取值范围.[解](1当a＝1时，f(x＝lnx－x＋x，其定义域为(0，＋∞，12x－x－1∴f′(x＝－2x＋1＝－，2222xx令f′(x＝0，则x＝1(负值舍去.当0<x<1时，f′(x>0；当x>1时，f′(x<0.∴函数f(x的单调递增区间为(0，1，单调递减区间为(1，＋∞.12(2法一：f′(x＝－2ax＋ax＝－（2ax＋1）（ax－1）.x1①当a＝0时，f′(x＝>0，x∴f(x在区间(0，＋∞上为增函数，不合题意；1②当a>0时，由f′(x<0，得x>.a1∴f(x的单调递减区间为，＋∞.a1≤1，依题意，得a解得a≥1；a>0，1③当a<0时，由f′(x<0，得x>－.2a1∴f(x的单调递减区间为－，＋∞.2a1－≤1，1依题意，得2a解得a≤－.2a<0，
    1综上所述，实数a的取值范围是－∞，－∪[1，＋∞.21－2ax＋ax＋12法二：f′(x＝－2ax＋a＝.22xx由f(x在区间(1，＋∞上是减函数，可得g(x＝－2ax＋ax＋1≤0在区间(1，＋∞上恒成立.①当a＝0时，1≤0不合题意；11<1，a>或a<0，②当a≠0时，可得4a即42g（1）≤0，－2a＋a＋1≤0，1a>或a<0，41∴∴a≥1或a≤－.21a≥1或a≤－2，1∴实数a的取值范围是－∞，－∪[1，＋∞.2[素养通路]逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.本题是含参函数的单调性问题，对于此类问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：①方程f′(x＝0是否有根；②若f′(x＝0有根，求出根后是否在定义域内；③若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.考查了逻辑推理这一核心素养.[专题过关检测]A组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.已知函数f(x的导函数f′(x满足下列条件：①f′(x>0时，x<－1或x>2；②f′(x<0时，－1<x<2；③f′(x＝0时，x＝－1或x＝2.则函数f(x的大致图象是(22
    解析：选A根据条件知，函数f(x在(－1，2上是减函数.在(－∞，－1，(2，＋∞上是增函数，故选A.2.设函数f(x＝xe＋1，则(A.x＝1为f(x的极大值点B.x＝1为f(x的极小值点C.x＝－1为f(x的极大值点D.x＝－1为f(x的极小值点解析：选D由题意得，f′(x＝(x＋1e，令f′(x＝0，得x＝－1，当x∈(－∞，－1时，f′(x＜0，当x∈(－1，＋∞时，f′(x＞0，则f(x在(－∞，－1上单调递减，在(－1，＋∞上单调递增，所以x＝－1为f(x的极小值点，故选D.3.已知直线y＝kx－2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为(A.ln2C.1－ln2B.1D.1＋ln2xx解析：选D由y＝xlnx知y′＝lnx＋1，设切点为(x0，x0lnx0，则切线方程为y－x0lnx0＝(lnx0＋1·(x－x0，因为切线y＝kx－2过定点(0，－2，所以－2－x0lnx0＝(lnx0＋1(0－x0，解得x0＝2，故k＝1＋ln2，选D.4.若x＝2是函数f(x＝(x－2axe的极值点，则函数y＝f(x的最小值为(A.(2＋22e－22xB.0D.－e2C.(2－22e2解析：选Cf(x＝(x－2axe，xf′(x＝(2x－2aex＋(x2－2axex＝[x2＋2(1－ax－2a]ex，由已知得，f′(2＝0，所以2＋22－2a－22a＝0，解得a＝1.所以f(x＝(x－2xe，所以f′(x＝(x－2e，所以函数的极值点为－2，2，当x∈(－2，2时，f′(x＜0；2x2x
    所以函数y＝f(x是减函数，当x∈(－∞，－2或x∈(2，＋∞时，f′(x＞0，函数y＝f(x是增函数.又当x∈(－∞，0∪(2，＋∞时，x－2x＞0，f(x＞0，当x∈(0，2时，x－2x＜0，f(x＜0，所以f(xmin在x∈(0，2上，又当x∈(0，2时，函数y＝f(x递减，当x∈(2，2时，函数y＝f(x递增，所以f(xmin＝f(2＝(2－22e2.5.已知函数f(x＝(2x＋lnx－ae在(0，＋∞上单调递增，则实数a的最大值是(A.5－ln2C.2－ln2B.5－2ln2D.5＋2ln2x221xx解析：选A∵f(x＝(2x＋lnx－ae，∴f′(x＝(2x＋lnx＋＋2－ae，x∈(0，＋x1∞.依题意，知x∈(0，＋∞时，f′(x≥0恒成立，即a≤2x＋lnx＋＋2在(0，＋∞x1112x＋x－1（2x－1）（x＋1）上恒成立.设g(x＝2x＋lnx＋＋2，则g′(x＝2＋－2＝＝，222xxxxxx∈(0，＋∞.令g′(x＝0，得x＝或x＝－1(舍去.令g′(x＜0，则0＜x＜，令g′(x111＞0，则x＞，∴当x＝时，函数g(x取得最小值，g(xmin＝g＝5－ln2，222∴a≤5－ln2，即实数a的最大值是5－ln2.故选A.6.已知函数f(x为偶函数，当x＞0时，f(x＝x－4，设a＝f(log30.2，b＝f(30.2－x－1212，c＝f(－3，则(A.c＞a＞bC.c＞b＞aB.a＞b＞cD.b＞a＞c1.11.1解析：选A因为函数f(x为偶函数，所以a＝f(log30.2＝f(－log30.2，c＝f(－3＝f(3.11因为log3＜log30.2＜log3，所以－2＜log30.2＜－1，所以1＜－log30.2＜2，93所以3＞3＞－log30.2＞1＞31.1－0.21.1.－x因为y＝x在(0，＋∞上为增函数，y＝－4在(0，＋∞上为增函数，所以f(x在(0，＋∞上为增函数，所以f(3＞f(－log30.2＞f(3二、填空题1.1－0.2，所以c＞a＞b，故选A.
    7.(2019·江苏高考在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1(e为自然对数的底数，则点A的坐标是________.1解析：设A(m，n，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程为y－n＝(x－m.m1又切线过点(－e，－1，所以有n＋1＝(m＋e.m再由n＝lnm，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1.答案：(e，18.若函数f(x＝x＋alnx不是单调函数，则实数a的取值范围是________.解析：由题意知f(x的定义域为(0，＋∞，f′(x＝1＋，要使函数f(x＝x＋alnx不是单调函数，则需方程1＋＝0在(0，＋∞上有解，即x＝－a，∴a<0.答案：(－∞，09.设定义在R上的函数y＝f(x的导函数为f′(x.如果存在x0∈[a，b]，使得f(b－axaxf(a＝f′(x0(b－a成立，则称x0为函数f(x在区间[a，b]上的“中值点”.那么函数f(x＝x－3x在区间[－2，2]上的“中值点”为________.解析：由f(x＝x－3x求导可得f′(x＝3x－3，设x0为函数f(x在区间[－2，2]上的“中值点”，则f′(x0＝23答案：±3三、解答题10.已知函数f(x＝x＋ax－alnx.(1若曲线y＝f(x在x＝2处的切线与直线x＋3y－2＝0垂直，求实数a的值；(2若函数f(x在[2，3]上单调递增，求实数a的取值范围.2323f（2）－f（－2）2－（－2）232＝1，即3x0－3＝1，解得x0＝±.3a2x2＋ax－a8＋a解：(1f′(x＝2x＋a－＝(x＞0，依题意有f′(2＝＝3，∴a＝－xx22.－2x(2依题意有2x＋ax－a≥0在x∈[2，3]上恒成立，即a≥在[2，3]上恒成立，∵x－122－2x′＝－2x＋4x≤0(x∈[2，3],∴y＝－2x在[2，3]上单调递减，∴当x∈[2，3]x－12（x－1）x－1－2x＝－8，时，x－1max2222
    ∴实数a的取值范围为[－8，＋∞.1e211.(2019·重庆市七校联合考试设函数f(x＝－x，g(x＝a(x－1－lnx(a∈R，exe为自然对数的底数.(1证明：当x＞1时，f(x＞0；(2讨论g(x的单调性.e解：(1证明：f(x＝令s(x＝ex－1x－1xex－1－x，x－1－x，则s′(x＝e－1，当x＞1时，s′(x＞0，所以s(x在(1，＋∞上单调递增，又s(1＝0，所以s(x＞0，从而当x＞1时，f(x＞0.12ax－1(2g′(x＝2ax－＝(x＞0，2xx当a≤0时，g′(x＜0，g(x在(0，＋∞上单调递减，当a＞0时，由g′(x＝0得x＝12a.0，1当x∈时，g′(x＜0，g(x单调递减，2a1，＋∞当x∈时，g′(x＞0，g(x单调递增.2aππ12.已知函数f(x＝asinx＋bcosx(a，b∈R，曲线y＝f(x在点，f处的切线33π方程为y＝x－.3(1求a，b的值；(2求函数g(x＝fx＋3xππ在0，上的最小值.2π解：(1由切线方程知，当x＝时，y＝0，331π所以f＝a＋b＝0.232因为f′(x＝acosx－bsinx.3π1所以由切线方程知，f′＝a－b＝1，23213所以a＝，b＝－.22
    13π(2由(1知，f(x＝sinx－cosx＝sinx－，322πsinxxcosx－sinx0＜x≤所以函数g(x＝，g′(x＝，2xx2π设u(x＝xcosx－sinx0＜x≤，2π则u′(x＝－xsinx＜0，故u(x在0，上单调递减，2π所以u(x＜u(0＝0，即g′(x＜0在0，上恒成立，2π所以g(x在0，上单调递减，2ππ2所以函数g(x在0，上的最小值为g＝.22πB组——大题专攻强化练1.设f(x＝xlnx－ax＋(2a－1x，a∈R.(1令g(x＝f′(x，求g(x的单调区间；(2已知f(x在x＝1处取得极大值，求实数a的取值范围.解：(1由f′(x＝lnx－2ax＋2a，可得g(x＝lnx－2ax＋2a，x∈(0，＋∞.11－2ax则g′(x＝－2a＝.2xx当a≤0时，x∈(0，＋∞时，g′(x＞0，函数g(x单调递增；当a＞0时，x∈0，时，g′(x＞0，函数g(x单调递增，2a1x∈，＋∞时，g′(x＜0，函数g(x单调递减.2a所以当a≤0时，g(x的单调增区间为(0，＋∞，11当a＞0时，g(x的单调增区间为0，，单调减区间为，＋∞.2a2a(2由(1知，f′(1＝0.①当a≤0时，f′(x单调递增，所以当x∈(0，1时，f′(x＜0，f(x单调递减；当x∈(1，＋∞时，f′(x＞0，f(x单调递增.所以f(x在x＝1处取得极小值，不符合题意.1
    111②当0＜a＜时，＞1，由(1知f′(x在0，内单调递增，22a2a1可得当x∈(0，1时，f′(x＜0，x∈1，时，f′(x＞0.2a1所以f(x在(0，1内单调递减，在1，内单调递增，2a所以f(x在x＝1处取得极小值，不符合题意.11③当a＝时，＝1，f′(x在(0，1内单调递增，在(1，＋∞内单调递减，22a所以当x∈(0，＋∞时，f′(x≤0，f(x单调递减，不符合题意.111④当a＞时，0＜＜1，当x∈，1时，f′(x＞0，f(x单调递增，当x∈(1，＋22a2a∞时，f′(x＜0，f(x单调递减，所以f(x在x＝1处取得极大值，符合题意.1综上可知，实数a的取值范围为a＞.22.已知函数f(x＝－x＋ax－lnx(a∈R.(1若函数f(x是单调递减函数，求实数a的取值范围；(2若函数f(x在区间(0，3上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围.1－2x＋ax－1解：(1f′(x＝－2x＋a－＝(x＞0，22xx因为函数f(x是单调递减函数，所以f′(x≤0在(0，＋∞恒成立，所以－2x＋ax－1≤0在(0，＋∞恒成立，1即a≤2x＋对(0，＋∞恒成立，2x1因为2x＋≥2x1122x·＝22当且仅当2x＝，即x＝时取等号，所以a≤22.xx22－2x＋ax－1(2因为函数f(x在(0，3上既有极大值又有极小值，所以f′(x＝＝0x在(0，3上有两个相异实根，即2x－ax＋1＝0在(0，3上有两个相异实根，令g(x＝2x－ax＋1，22
    a＜－22或a＞2a0＜4＜3，0＜a＜12，则得g（0）＞0，a＜19，g（3）＞0，319即22＜a＜.319所以实数a的取值范围是22，.3Δ＞0，2，3.(2019·全国卷Ⅲ已知函数f(x＝2x－ax＋2.(1讨论f(x的单调性；(2当0<a<3时，记f(x在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围.解：(1f′(x＝6x－2ax＝2x(3x－a.令f′(x＝0，得x＝0或x＝.3232a若a>0，则当x∈(－∞，0∪，＋∞时，f′(x>0，3当x∈0，时，f′(x<0，3aa故f(x在(－∞，0，，＋∞单调递增，在0，单调递减；33若a＝0，f(x在(－∞，＋∞单调递增；若a<0，则当x∈－∞，∪(0，＋∞时，f′(x>0，3aaa当x∈，0时，f′(x<0，3故f(x在－∞，，(0，＋∞单调递增，在，0单调递减.33(2当0<a<3时，由(1知，f(x在0，单调递减，在，1单调递增，所以f(x在[0，33aa1]的最小值为f＝－＋2，最大值为f(0＝2或f(1＝4－a.2734－a，0<a<2，于是m＝－＋2，M＝272，2≤a<3.3aaaaaa32－a＋27，0<a<2，所以M－m＝a27，2≤a<3.3a3当0<a<2时，可知2－a＋单调递减，27a3
    8所以M－m的取值范围是，2.27当2≤a<3时，单调递增，27a38所以M－m的取值范围是，1.278综上，M－m的取值范围是，2.274.已知常数a≠0，f(x＝alnx＋2x.(1当a＝－4时，求f(x的极值；(2当f(x的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围.解：(1由已知得f(x的定义域为x∈(0，＋∞，aa＋2xf′(x＝＋2＝.xx2x－4当a＝－4时，f′(x＝.x∴当0<x<2时，f′(x<0，即f(x单调递减；当x>2时，f′(x>0，即f(x单调递增.∴f(x只有极小值，且在x＝2时，f(x取得极小值f(2＝4－4ln2.(2∵f′(x＝a＋2x，x∴当a>0，x∈(0，＋∞时，f′(x>0，即f(x在x∈(0，＋∞上单调递增，没有最小值；当a<0时，由f′(x>0得，x>－，2a∴f(x在－，＋∞上单调递增；2由f′(x<0得，x<－，2∴f(x在0，－上单调递减.2∴当a<0时，f(x的最小值为f－＝aln－＋2－.222根据题意得f－＝aln－＋2－≥－a，222即a[ln(－a－ln2]≥0.∵a<0，∴ln(－a－ln2≤0，解得a≥－2，∴实数a的取值范围是[－2，0.aaaaaaaaa

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