2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.已知复数满足（为虚数单位），其中是的共轭复数，，则复数的虚部为（ ）

A． B． C． D．

2.正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（ ）

A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．大前提、小前提、结论都不正确

3.如图所示，在边长为的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）

A． B． C． D．

4.设随机变量服从正态分布，若，则（ ）

A． B． C． D．与的值有关

5.若对任意实数，有，则（ ）

A． B． C． D．

6.年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（ ）

A． B． C． D．

7.已知是离散型随机变量，，，，则（ ）

A． B． C． D．

8.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

9.曲线作线性变换后得到的回归方程为，则函数的单调递增区间为（ ）

A． B． C． D．

10.在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ）

A． B． C． D．

11.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则的均值（ ）

A． B． C． D．

12.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（ ）

A．事件与事件不相互独立 B．、、是两两互斥的事件

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为 ．

14.甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为、、，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为 ．

15.若的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为 ．

16.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，……，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则 ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（1）已知复数满足，的虚部为，求复数；

（2）求曲线、直线及两坐标轴围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积.

18.为了巩固全国文明城市创建成果，今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度，随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共名进行调查，调查结果如下：

（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关；

（2）现从参与调查的女户主中按此项工作的“支持”与“反对”态度用分层抽样的方法抽取人，从抽取的人中再随机地抽取人赠送小礼品，记这人中持“支持”态度的有人，求的分布列与数学期望.

参考公式：，其中.

参考数据：

19.证明下列不等式.

（1）当时，求证：；

（2）设，，若，求证：.

20.已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若对于一切，均有成立，求实数的取值范围.

21.某中学开设了足球、篮球、乒乓球、排球四门体育课程供学生选学，每个学生必须且只能选学其中门课程.假设每个学生选学每门课程的概率均为，对于该校的甲、乙、丙名学生，回答下面的问题.

（1）求这名学生选学课程互不相同的概率；

（2）设名学生中选学乒乓球的人数为，求的分布列及数学期望.

请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于，两点.

（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）若点的极坐标为，求的面积.

23.选修4-5：不等式选讲

已知函数.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若的解集包含，求的范围.

数学试卷（理科）参考答案

一、选择题

1-5: ACCAB 6-10: CABDC 11、12：CD

二、填空题

13. 14. 15. 16.

三、解答题

17.（1）设，由已知条件得，，

∵的虚部为，∴，∴或，即或.

（2）.

18.解：（1），

∴没有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关.

（2）依题意可知，抽取的名女户主中，持“支持”态度的有人，持反对态度的有人，的所有可能取值为，，，

，，，

∴的分布列为：

∴.

19.证明：（1）要证；即证，

只要证，只要证，

只要证，由于，只要证，

最后一个不等式显然成立，所以；

（2）因为，，，所以，

，

当且仅当，即时，等号成立，所以.

20.解：（1）∵，∴，∴，∴的解集为，

（2）∵，

∴当时，恒成立，∴，

∴对一切均有成立，

又，

当且仅当时，等号成立.

∴实数的取值范围为.

21.解：（1）名学生选学的课程互不相同的概率

.

（2）的所有可能取值为，，，，

，，

，，

∴的分布列为：

.

22.解：（1）因为直线的参数方程为，得，

故直线的普通方程为，

又曲线的极坐标方程为，即，

因为，，∴，即，

故曲线的直角坐标方程为.

（2）因为点的极坐标为，∴点的直角坐标为，∴点到直线的距离.

将，代入中得，，，

，

∴的面积.

23.解：（1）当时，可化为：，

①当时，不等式为：，解得：，故，

②当时，不等式为：，解得：，故，

③当时，不等式为：，解得：，故.

综上，原不等式的解集为：.

（2）∵的解集包含，∴在内恒成立，

∴在内恒成立，

∴在内恒成立，

∴，解得，即的取值范围为.

2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.将点的直角坐标化成极坐标为（ ）

A． B． C． D．

2.设离散型随机变量的概率分布列如表：

则等于（ ）

A． B． C． D．

3.已知自然数，则等于（ ）

A． B． C． D．

4.直线（为参数）被圆截得的弦长为（ ）

A． B． C． D．

5.有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式种数为（ ）

A．24 B．14 C．10 D．9

6.设随机变量服从分布，且，，则（ ）

A．， B．，

C．， D．，

7.极坐标方程表示的图形是（ ）

A．两个圆 B．两条直线

C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线

8.已知点在以点为焦点的抛物线（为参数）上，则等于（ ）

A． B． C． D．

9.，，三个人站成一排照相，则不站在两头的概率为（ ）

A． B． C． D．

10.若，则展开式中，项的系数为（ ）

A． B． C． D．

11.设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）

A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5

12.口袋中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球，从袋中一次摸出2个球，记下号码并放回，若这2个号码之和是4的倍数或这2个球号码之和是3的倍数，则获奖.某人从袋中一次摸出2个球，其获奖的概率为（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.在的展开式中的系数为 ．

14.若直线（为参数）与直线垂直，则常数 ．

15.在极坐标系中，点到曲线上的点的距离的最小值为 ．

16.已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为，已知，且该产品的次品率不超过，则这10件产品的次品率为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；

（2）若直线与曲线交于，两点，求.

18.已知的展开式中，所有项的二项式系数之和为128.

（1）求展开式中的有理项；

（2）求展开后所有项的系数的绝对值之和.

19.某市地产数据研究所的数据显示，2018年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.

（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价（万元/平方米）与月份之间具有较强的线性相关关系，试求关于的回归直线方程；

（2）若政府不调控，按照3月份至7月份房价的变化趋势预测12月份该市新建住宅的销售均价.

参考数据：，，；

参考公式：，.

20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）曲线与相交于，两点，求过，两点且面积最小的圆的标准方程.

21.传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏.将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，如图是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.

（1）若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成列联表，并据此资料你是否有的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？

注：，其中.

（2）若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；

（3）如果在优秀等级的选手中取4名，在良好等级的选手中取2名，再从这6人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中有2名选手的等级为优秀的概率.

22. “节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统.某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如图所示.将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立.

（1）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；

（2）用表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随机变量的分布列及数学期望.

数学试卷（理科）答案

一、选择题

1-5: 6-10: 11、12：

二、填空题

13.45 14. 15. 16.

三、解答题

17.解：（1）直线：（为参数）的普通方程为.

因为，所以，

所以，

又，，

故曲线的普通方程为.

（2）据（1）求解知，直线的普通方程为，

曲线：为以点为圆心，半径长为的圆，

所以点到直线的距离，

所以直线被曲线截得线段的长为.

18.解：根据题意，，得.

（1）展开式的通项为，，

于是当时，对应项为有理项，即有理项为，，，.

（2）展开式中所有项的系数的绝对值之和即为展开式中各项系数之和.

在中令得展开式中所有项的系数和为2187.

19.解：（1）

计算可得，，，

所以，，

所以关于的回归直线方程为.

（2）将代入回归直线方程得，

所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.

20.解：（1）由消去参数，得，

即曲线的普通方程为.

由，得，

由，，得，即，

即曲线的直角坐标方程为.

（2）过，两点且面积最小的圆是以线段为直径的圆，设点，，

由消去，得，

则，，

所以圆心坐标为，

又因为半径，

所以过，两点且面积最小的圆的标准方程为.

21.解：（1）由条形图可知列联表如表：

，

∴没有的把握认为优秀与文化程度有关.

（2）由条形图可知，所抽取的100人中，优秀等级有75人，故优秀率为，

所以所有参赛选手中优秀等级人数约为人.

（3）记优秀等级中4人分别为，，，，良好等级中的两人为，，

则任取3人的取法有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，

其中有2名选手的等级为优秀的有，，，，，，，，，，共12种，

故所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率为.

22.解：（1）设表示事件“月用水量不低于12吨”，表示事件“月用水量低于4吨”，表示事件“在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨”.

因此，，，

因为每天的用水量相互独立，

所以.

（2）可能取得值为0,1,2,3，

相应的概率分别为，，，，

故的分布列为

因为，所以的数学期望为.

2019年高二下学期数学（理科）期末模拟试卷

注意事项：

1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。