2017-2018学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）

1．（2分）下列哪个方程是一元二次方程（　　）

A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣3

2．（2分）函数y=3（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（　　）

A．（3，4） B．（﹣2，4） C．（2，4） D．（2，﹣4）

3．（2分）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（　　）

A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分

4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）

A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA

5．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）

6．（2分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（　　）

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）

7．（2分）若=，则=　 　．

8．（2分）⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是　 　．

9．（2分）若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1=0有实数根，则k的取值范围是　 　．

10．（2分）若方程x2+2x﹣11=0的两根分别为m、n，则mn（m+n）=　 　．

11．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB=2，则AP=　 　．

12．（2分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为　 　cm2（结果保留π）．

13．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=　 　．

14．（2分）如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD=2OA=6，AD：AB=3：1．则点B的坐标是　 　．

15．（2分）如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=　 　°．

16．（2分）如图，已知函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0； ②当x＜2时，y随x增大而增大； ③a﹣b+c＜0；④抛物线过原点；⑤当0＜x＜4时，y＜0．其中结论正确的是　 　．（填序号）

三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）解方程：

（1）x2+2x﹣3=0；

（2）x（x+1）=2（x+1）．

18．（6分）如图，已知AD•AC=AB•AE． 求证：△ADE∽△ABC．

19．（6分）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．

20．（8分）初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．

（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是　 　．

（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．

21．（8分）某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：

（1）请将下表补充完整：（参考公式：方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）

（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：

①从平均数和方差相结合看，　 　的成绩好些；

②从平均数和中位数相结合看，　 　的成绩好些；

③若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．

22．（8分）如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=8，求圆环的面积．

23．（8分）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．请利用小明测量的数据算出电线杆AB的高．

24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， =，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：CD平分∠ACE；

（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．

25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？

（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　 　件，每件商品，盈利　 　元（用含x的代数式表示）；

（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？

26．（8分）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}=﹣1，min{2，2}=2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y=min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．

（1）设y1=x，y2=，则函数y=min{x， }的图象应该是　 　中的实线部分．

（2）请在图1中用粗实线描出函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：

①　 　；②　 　；③　 　；

（3）函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于　 　对称．

27．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上的一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的最大值．

2017-2018学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共6小题，每小题2分，共12分）

1．（2分）下列哪个方程是一元二次方程（　　）

A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+=3 D．x2=2x﹣3

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．

【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；

B、不是一元二次方程，故此选项错误；

C、不是一元二次方程，故此选项错误；

D、是一元二次方程，故此选项正确；

故选：D．

【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程必须同时满足三个条件：

①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；

②只含有一个未知数；

③未知数的最高次数是2．

2．（2分）函数y=3（x﹣2）2+4的图象的顶点坐标是（　　）

A．（3，4） B．（﹣2，4） C．（2，4） D．（2，﹣4）

【分析】由函数解析式即可求得答案．

【解答】解：

∵y=3（x﹣2）2+4，

∴函数图象顶点坐标为（2，4），

故选：C．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．

3．（2分）八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是（　　）

A．95分，95分 B．95分，90分 C．90分，95分 D．95分，85分

【分析】将题目中的数据按照从小到大排列，从而可以得到这组数据的众数和中位数，本题得以解决．

【解答】解：位于中间位置的两数分别是95分和95分，

故中位数为95分，

数据95出现了3次，最多，

故这组数据的众数是95分，

故选：A．

【点评】本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的众数和中位数．

4．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（　　）

A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．

【解答】解：A、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；

B、∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；

C、∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴与不一定相等，故本选项错误；

D、∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误．

故选：B．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

5．（2分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6）、B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣1，2） B．（﹣9，18） C．（﹣9，18）或（9，﹣18） D．（﹣1，2）或（1，﹣2）

【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．

【解答】解：∵点A（﹣3，6），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，

∴点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2），

故选：D．

【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．

6．（2分）一组数据1，2，3，3，4，5．若添加一个数据3，则下列统计量中，发生变化的是（　　）

A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差

【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．

【解答】解：A、原来数据的平均数是3，添加数字3后平均数仍为3，故A与要求不符；

B、原来数据的众数是3，添加数字3后众数仍为3，故B与要求不符；

C、原来数据的中位数是3，添加数字3后中位数仍为3，故C与要求不符；

D、原来数据的方差==，

添加数字3后的方差==，故方差发生了变化．

故选：D．

【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．

二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）

7．（2分）若=，则=　﹣　．

【分析】根据比例设x=2k，y=3k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解．

【解答】解：∵ =，

∴设x=2k，y=3k（k≠0），

则==﹣．

故答案为：﹣．

【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．

8．（2分）⊙O的半径为4，圆心O到直线的距离为3，则直线与⊙O的位置关系是　相交　．

【分析】由⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，利用直线和圆的位置关系：若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离判断即可求得答案．

【解答】解：∵⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，

又∵3＜4，

∴直线l与⊙O的位置关系是：相交．

故答案为：相交．

【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，注意解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．

9．（2分）若关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1=0有实数根，则k的取值范围是　k≤5　．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k﹣1=0有实数根，

∴△=42﹣4（k﹣1）≥0，

解得：k≤5．

故答案为：k≤5．

【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．

10．（2分）若方程x2+2x﹣11=0的两根分别为m、n，则mn（m+n）=　22　．

【分析】根据根与系数的关系可得出m+n=﹣2、mn=﹣11，将其代入mn（m+n）中即可求出结论．

【解答】解：∵方程x2+2x﹣11=0的两根分别为m、n，

∴m+n=﹣2，mn=﹣11，

∴mn（m+n）=﹣2×（﹣11）=22．

故答案为：22．

【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．

11．（2分）已知点P是线段AB的黄金分割点，AP＞PB．若AB=2，则AP=　　．

【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP=AB，代入数据即可得出AP的长．

【解答】解：由于P为线段AB=2的黄金分割点，

且AP是较长线段；

则AP=2×=﹣1．

【点评】理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．

12．（2分）若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的侧面面积为　3π　cm2（结果保留π）．

【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，所以计算扇形的面积即可得到该圆锥的侧面面积．

【解答】解：该圆锥的侧面面积==3π（cm2）．

故答案为3π．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形面积公式．

13．（2分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC，若AD：AB=4：9，则S△ADE：S△ABC=　16：81　．

【分析】由DE∥BC，证出△ADE∽S△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

【解答】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE：S△ABC=（）2=，

故答案为：16：81．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解决问题．

14．（2分）如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴，OD=2OA=6，AD：AB=3：1．则点B的坐标是　（5，1）　．

【分析】过B作BE⊥x轴于E，根据矩形的性质得到CD=AB，∠DAB=90°，根据余角的性质得到∠ABE=∠DAO，根据相似三角形的性质得到AE=OD=2，BE=OA=1，于是得到结论．

【解答】解：过B作BE⊥x轴于E，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB，∠DAB=90°，

∴∠DAO+∠BAE=∠BAE+∠ABE=90°，

∴∠DAO=∠ABE，

∴△ADO∽△ABE，

∴，

∵OD=2OA=6，AD：AB=3：1，

∴OA=3，BE=1

∴AE=OD=2，

∴OE=5，

∴B（5，1），

故答案为：（5，1）．

【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

15．（2分）如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED=　45　°．

【分析】根据正多边形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求出∠AED的度数，同理可求出∠AEB的度数，再根据∠BED=∠AEB+∠AED即可求出结论．

【解答】解：∵六边形ADHGFE为正六边形，

∴AE=AD，∠DAE=120°，

∴∠AED=（180°﹣120°）=30°．

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD=AE，∠BAD=90°，

∴∠BAE=360°﹣120°﹣90°=150°，

∴∠AEB=（180°﹣150°）=15°，

∴∠BED=∠AEB+∠AED=15°+30°=45°．

故答案为：45．

【点评】本题考查了多边形内角与外角、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠AED、∠AEB的度数是解题的关键．

16．（2分）如图，已知函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0）．下列结论：①b2﹣4ac＞0； ②当x＜2时，y随x增大而增大； ③a﹣b+c＜0；④抛物线过原点；⑤当0＜x＜4时，y＜0．其中结论正确的是　①④⑤　．（填序号）

【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断题目中的各个小题是否正确，从而可以解答本题．

【解答】解：由函数图象可知，

抛物线与x轴两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确，

当x＜2时，y随x的增大而减小，故②错误，

当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故③错误，

由函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴经过点（2，0），且与x轴的一个交点坐标为（4，0），则另一个交点为（0，0），故④正确，

当0＜x＜4时，y＜0，故⑤正确，

故答案为：①④⑤．

【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．

三、解答题（共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（8分）解方程：

（1）x2+2x﹣3=0；

（2）x（x+1）=2（x+1）．

【分析】（1）利用“十字相乘法”对等式的左边进行因式分解；又可以利用公式法解方程；

（2）利用因式分解法解方程．

【解答】（1）解：（x+3）（x﹣1）=0 …（2分）

x1=﹣3，x2=1 …（4分）

解二：a=1，b=2，c=﹣3 …（1分）

x= …（2分）

x= …（3分）

x1=﹣3，x2=1． …（4分）

（2）x（x+1）﹣2（x+1）=0…（1分）

（x+1）（x﹣2）=0…（2分）

x1=﹣1，x2=2…（4分）

【点评】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程的知识，解题的关键是掌握因式分解法解方程的步骤以及熟记求根公式．

18．（6分）如图，已知AD•AC=AB•AE． 求证：△ADE∽△ABC．

【分析】利用相似三角形的性质得出=，进而利用相似三角形的判定方法得出答案．

【解答】证明：∵AD•AC=AE•AB，

∴=

在△ABC与△ADE 中

∵=，∠A=∠A，

∴△ABC∽△ADE．

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相似三角形判定方法是解题关键．

19．（6分）已知抛物线的顶点坐标是（1，﹣4），且经过点（0，﹣3），求与该抛物线相应的二次函数表达式．

【分析】设顶点式y=a（x﹣1）2﹣4，然后把（0，﹣3）代入求出a即可得到抛物线解析式．

【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，

把（0，﹣3）代入得﹣3=a（0﹣1）2﹣4，解得a=1，

所以二次函数表达式为y=（x﹣1）2﹣4，

即y=x2﹣2 x﹣3．

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式．也考查了二次函数的性质．

20．（8分）初三（1）班要从2男2女共4名同学中选人做晨会的升旗手．

（1）若从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率是　　．

（2）若从这4人中随机选2人，求这2名同学性别相同的概率．

【分析】（1）直接根据概率公式求解；

（2）列举出所有12种等可能的结果数，再找出这2名同学性别相同的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：

（1）从这4人中随机选1人，则所选的同学性别为男生的概率==，

故答案为：；

（2）从4人中随机选2人，所有可能出现的结果有：（男1，男2）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男1）、（男2，女1）、（男2，女2）、（女1，男1）、（女1，男2）、（女1，女2）、（女2，男1）、（女2，男2）、（女2，女1），共有12种，

它们出现的可能性相同，满足“这2名同学性别相同”（记为事件A）的结果有种，

所以P（A）==．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．

21．（8分）某市射击队甲、乙两名队员在相同的条件下各射耙10次，每次射耙的成绩情况如图所示：

（1）请将下表补充完整：（参考公式：方差S2= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]）

（2）请从下列三个不同的角度对这次测试结果进行分析：

①从平均数和方差相结合看，　甲　的成绩好些；

②从平均数和中位数相结合看，　乙　的成绩好些；

③若其他队选手最好成绩在9环左右，现要选一人参赛，你认为选谁参加，并说明理由．

【分析】（1）根据统计表，结合平均数、方差、中位数的定义，即可求出需要填写的内容．

（2）①可分别从平均数和方差两方面着手进行比较；

②可分别从平均数和中位数两方面着手进行比较；

③可从具有培养价值方面说明理由．

【解答】解：（1）甲的方差 [（9﹣7）2+（5﹣7）2+4×（7﹣7）2+2×（8﹣7）2+2×（6﹣7）2]=1.2，

乙的平均数：（2+4+6+8+7+7+8+9+9+10）÷10=7，

乙的中位数：（7+8）÷2=7.5，

填表如下：

（2）①从平均数和方差相结合看，甲的成绩好些；

②从平均数和中位数相结合看，乙的成绩好些；

③选乙参加．

理由：综合看，甲发挥更稳定，但射击精准度差；乙发挥虽然不稳定，但击中高靶环次数更多，成绩逐步上升，提高潜力大，更具有培养价值，应选乙．

故答案为：（1）1.2，7，7.5；（2）①甲；②乙．

【点评】本题考查了折线统计图和综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，折线统计图能清楚地看出数据的变化情况．

22．（8分）如图，大圆的弦AB、AC分别切小圆于点M、N．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AB=8，求圆环的面积．

【分析】（1）连结OM、ON，根据切线的性质定理证明；

（2）根据垂径定理、勾股定理计算即可．

【解答】（1）证明：连结OM、ON、OA，

∵AB、AC分别切小圆于点M、N．

∴AM=AN，OM⊥AB，ON⊥AC，

∴AM=BM，AN=NC，

∴AB=AC；

（2）解：∵弦AB切与小圆⊙O相切于点M，

∴OM⊥AB，

∴AM=BM=4，

∴在Rt△AOM中，OA2﹣OM2=AM2=16，

∴S圆环=πOA2﹣πOM2=πAM 2=16π．

【点评】本题考查的是切线的性质、垂径定理以及勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

23．（8分）如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN，量得其影长MF为0.5米，量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米．请利用小明测量的数据算出电线杆AB的高．

【分析】把直角梯形ABCD分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质求解可得．

【解答】解：过C点作CG⊥AB于点G，

∴GC=BD=3米，GB=CD=2米．

∵∠NMF=∠AGC=90°，NF∥AC，

∴∠NFM=∠ACG，

∴△NMF∽△AGC，

∴=，

∴AG===6，

∴AB=AG+GB=6+2=8（米），

故电线杆子的高为8米．

【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论．

24．（8分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形， =，AC为直径，DE⊥BC，垂足为E．

（1）求证：CD平分∠ACE；

（2）若AC=9，CE=3，求CD的长．

【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DCE=∠BAD，根据圆周角定理得到∠DCE=∠BAD，证明即可；

（2）证明△DCE∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，

∴∠BAD+∠BCD=180°，

∵∠BCD+∠DCE=180°，

∴∠DCE=∠BAD，

∵=，

∴∠BAD=∠ACD，

∴∠DCE=∠ACD，

∴CD平分∠ACE；

（2）解：∵AC为直径，

∴∠ADC=90°，

∵DE⊥BC，

∴∠DEC=90°，

∴∠DEC=∠ADC，

∵∠DCE=∠ACD，

∴△DCE∽△ACD，

∴=，即=，

∴CD=3．

【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．

25．（10分）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？

（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　2x　件，每件商品，盈利　50﹣x　元（用含x的代数式表示）；

（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？

【分析】（1）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可得出结论；

（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；

（3）根据“盈利=单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．

【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）=1692（元）．

答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．

（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，

∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．

故答案为：2x；50﹣x．

（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）=2000，

整理，得：x2﹣35x+250=0，

解得：x1=10，x2=25，

∵商城要尽快减少库存，

∴x=25．

答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．

26．（8分）对于实数a，b，我们可以用min{a，b}表示a，b两数中较小的数，例如min{3，﹣1}=﹣1，min{2，2}=2．类似地，若函数y1、y2都是x的函数，则y=min{y1，y2}表示函数y1和y2的“取小函数”．

（1）设y1=x，y2=，则函数y=min{x， }的图象应该是　B　中的实线部分．

（2）请在图1中用粗实线描出函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象，并写出该图象的三条不同性质：

①　对称轴为y轴　；②　x＜﹣2时y随x的增大而减小　；③　最小值为0　；

（3）函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象关于　直线x=1　对称．

【分析】（1）依据函数解析式，可得当x≤﹣1时，x≤；当﹣1＜x＜0时，x＞；当0＜x＜1时，x≤；当x≥1时，x＞；进而得到函数y=min{x， }的图象；

（2）依据函数y=（x﹣2）2和y=（x+2）2的图象与性质，即可得到函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象及其性质；

（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=1，进而得到函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴．

【解答】解：（1）当x≤﹣1时，x≤；当﹣1＜x＜0时，x＞；当0＜x＜1时，x≤；当x≥1时，x＞；

∴函数y=min{x， }的图象应该是

故选：B；

（2）函数y=min{（x﹣2）2，（x+2）2}的图象如图中粗实线所示：

性质为：对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0．

故答案为：对称轴为y轴； x＜﹣2时y随x的增大而减小；最小值为0；

（3）令（x﹣4）2=（x+2）2，则x=1，

故函数y=min{（x﹣4）2，（x+2）2}的图象的对称轴为：直线x=1．

故答案为：直线x=1．

【点评】本题主要考查的是反比例函数以及二次函数图象与性质的综合应用，本题通过列表、描点、连线画出函数的图象，然后找出其中的规律，通过画图发现函数图象的特点是解题的关键．

27．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，∠B=30°，O是线段AB上的一个动点，以O为圆心，OB为半径作⊙O交BC于点D，过点D作直线AC的垂线，垂足为E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）设OB=x，求∠ODE的内部与△ABC重合部分的面积y的最大值．

【分析】（1）证明OD∥AC，由DE⊥AC，可得DE⊥OD，可得DE是⊙O的切线；

（2）分两种情况：

①当点E在CA的延长线上时，如图2，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF，根据面积公式表示OD和DF的长，由公式可得y的关系式，并计算当E与点A重合时，x的值，确定其取值范围；

②当点E在线段AC上时，如图4，围成的图形为梯形AODE，根据梯形面积公式可得结论；

综合两个最大值取y的最大值即可．

【解答】（1）证明：如图1，连接OD，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B．…（1分）

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B…（2分）

∴∠ODB=∠C

∴OD∥AC． …（3分）

∵DE⊥AC，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）①当点E在CA的延长线上时，如图2，设DE与AB交于点F，围成的图形为△ODF．

∵OD=OB=x，∠B=30°，

∴∠FOD=60°，

∵∠ODE=90°，

∴DF= x，

∴S△ODF= x•x=x2，

当E与点A重合时，如图3，

则OB=x，

Rt△AOD中，∠AOD=60°，

∴∠DAO=30°，

∴OA=2x，

则x+2x=10，x=，

∴S△ODF=y= x•x=x2（0＜x≤），

当x=时，y最大，最大值为；…（6分）

②当点E在线段AC上时，如图4，围成的图形为梯形AODE．

∵AB=AC=10，∠B=30°，

∴BC=10，

作OH⊥BC，

∵OD=OB=x，∠B=30°，

∴BD=2BH= x，

∴CD=10﹣x，

∵∠C=30°，∠DEC=90°，

∴DE=（10﹣x），CE= （10﹣x）=15﹣x，

∴AE=x﹣5，

∴S梯形AODE=（x﹣5+x）•（10﹣x）=﹣（x﹣6）2+10（＜x＜10），

当x=6时，S梯形AODE最大，最大值为10；…（9分）

综上所述，当x=6时，重合部分的面积y的最大值为10．…（10分）

注：自变量取值范围不写不扣分；若写了有错整体扣（1分）

【点评】本题是圆与函数的综合题，考查了直角三角形30°角的性质、等腰三角形的判定和性质、切线的判定、三角形和梯形的面积等知识，解题的关键是寻找特殊点解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．