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    华中师大一附中高中招生考试数学含参考答案

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    2007年华中师大一附中高中招生考试——数学
    （考试时间：80分钟，总分：100分）

    一、选择题：（每小题4分，共24分）
    1、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，ABAC则图中阴影部分的面积为（）A．1
    2，⊙A与BC相切，
    B．1C．1D．12345
    1n1
    (2007n，n是大于1的自然数，那么(x1x2n的值是（）22007
    2、已知x
    A．
    111nnB．C．(12007D．(1200720072007
    3717373
    B．xC．xD．x46194343
    3、设两数19x+1和92x+74之中的较大者为f(x，若f(x≥0，则实数x的取值范围为（）A．x
    4、如图，在△ABC中，M为BC边的中点，MI∥CA，且MI与∠A的平分线AI相交于点I．若AB=10，
    AC=16，则MI的长度为（）A．3B．
    79C．4D．22
    5、设0＜a＜b＜c，实数x，y（x＞y）满足2x+2y=a+b+c，2xy=ac，则x，
    y的取值范围是（）
    A．a＜x＜b，0＜y＜aB．b＜x＜c，0＜y＜aC．a＜x＜c，0＜y＜aD．b＜x＜c，0＜y＜c
    6、已知a为自然数，关于x的方程2xa1xa40至少有一个整数根，则a可取值的个数为（）
    A．1B．2C．3D．4
    二、填空题：（每小题5分，共20分）
    2
    7、设x1，x2是方程xx30的两个根，那么x14x219的值为_____________．
    3
    3
    8、已知二次函数yxxa的图像与x轴的两个不同交点到原点的距离之和不超过5，则实数a的取值范围为_____________．
    9、自然数a、b、c、d满足条件1≤a＜b＜c＜d≤2007，a+b+c+d=ad+bc，设abcd的最大值为m，最小值为n，则
    2
    mn
    _____________．6
    10、如图，已知射线OM与射线ON互相垂直，A是直径PQ为2cm的半圆形铁片上一点，且弧AQ的度数为60°，动点P从点O沿射线OM开始滑动，同时动点Q在ON上滑动，当点Q滑至点O停止时，点A所经过的路程是_____________．


    三、解答题（共4小题，13+13+15+15共56分）
    11、如图，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于点E、D，交⊙O于点F、G，且BE、BD的长恰好是关于x的方程x6x(m4m130的两根（其中m是实数）．
    （1）求BE和BD的长．
    （2）若GEEF63，求∠A的度数．

    12、学校食堂改建一个开水房，计划用电炉或煤烧水，但用煤烧水时也要用电鼓风及时排气，用煤烧开水时每吨开水的费用为S元，用电炉烧开水时每吨开水的费用为P元．且S=5x+0.2y+5，
    2
    2
    P10.2y2076y，其中x为每吨煤的价格，y为每百度电的价格，如果烧煤时费用不超过用电
    炉的费用，则用煤烧水，否则就用电炉烧水．
    （1）如果每吨煤的价格为135元，当两种方法烧水费用相同时，每百度电的价格应为多少元？（2）如果每百度电价不低于60元，为了确保用煤烧水，则每吨煤的最高价是多少？

    13、将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．设A、P两点间的距离为x．
    （1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？证明你的结论．
    （2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出此时x的取值范围．
    （3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．
    14、是否存在满足下列条件的锐角△ABC：其三边的长及一条高的长是四个连续的整数，且这条高将△ABC分成的两个直角三角形的边长均为整数，若存在这样的锐角三角形，求出所有满足条件的锐角三角形的边长，若不存在，请说明理由．


    2007年华中师大一附中高中招生考试——数学
    参考答案

    一、选择题：（每小题4分，共24分）
    题号12答案
    C
    D
    3A
    4A
    5B
    6C

    二、填空题：（每小题5分，共20分）
    题号7
    答案
    0
    8
    1
    6a＜
    4
    92011
    10
    (33cm

    三、解答题（共4小题，13+13+15+15共56分）
    11、解：（1）364(m4m130(m20m=－2原方程即为x6x90x1x23即BE=BD=3．（2）由相交弦定理得BE·AE=GE·EFAE23△PBC∽△PAB
    2
    2
    2
    BCPB

    ABPA
    PBBD

    PAAE
    BE=BD∠BDE=∠BED∠BDP=∠AEP又∠PBD=∠PAE△PBD∽△PAE∴sinA
    BCBD33
    ∠A=60°．ABAE232
    12、解：（1）当x=135时，S=P即6750.2y510.2y2076y68y276y0
    (76y2276y8076y4y=60
    答：每百度电的价格应为60元．
    （2）60≤y≤76
    5x0.2y510.2y2076yx2y476y12(76y12153
    ∴xmax135
    答：每吨煤的最高价是135元．
    13、解：（1）PQ=PB．

    证明：过点P作MN平行BC，得到矩形BCNM和等腰△PCNPN=CN=BM△PNQ≌△BMPPQ=PB．
    （2）作PH⊥BC，得到△PBH≌△BPM≌△PQNS四边形PBCQ=S正方形PHCQAP=xPM
    2222xPN(1xy(1x222
    2
    2
    当BP⊥AC时，点Q与点C重合，所以0AP＜
    ∴y
    212
    ）．x2x1（0x＜22
    （3）①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，QP=QC，此时x=0；
    ②当点Q在DC延长线上时，可令CP=CQ，此时
    NQMP
    22x，CNBM1xCP2x，CQ2x122
    2x2x1x=1．

    14、解：存在锐角三角形满足条件．
    如图，△ABC的三边长及高AD的长是四个连续的整数：n，n+1，n+2，n+3，不妨设AD＜AB＜AC，则AD只能等于n或n+1，设CD=x（x也为整数）①若AD=n+1，AB=n+2，AC=n+3，BC=n，则BD=n－x，
    (n32(n22x2(nx2n(2xn25n5n=5，x=4
    AD=6，CD=4，AC=8AD2CD2AC2矛盾！
    ②若AD=n，AB=n+2，AC=n+3，BC=n+1，则BD=n+1－x，
    (n32(n22x2(n1x2(n1(2xn33(n13n=2，x=3
    AD=2，CD=3，AC=5AD，CD，AC不能构成三角形！
    ③若AD=n，AB=n+1，AC=n+3，BC=n+2，则BD=n+2－x，
    (n32(n12x2(n2x2x
    2
    2
    2
    2
    1
    n32
    2
    由ADCDACn(n3(n3n=12，x=9
    12
    2
    AD=12，AB=13，BC=14，AC=15，CD=9，BD=5满足条件！
    ④若AD=n，AB=n+1，AC=n+2，BC=n+3，则BD=n+3－x，
    (n22(n12x2(n3x2(n3(n52x3(n33n无正整数解！
    综上：满足条件的锐角三角形只有一个，它的边长为13，14，15．

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