第16课时 利用导数判断函数的单调性

(限时：10分钟)

1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)

解析：由函数y＝f(x)的图象可知，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，函数f(x)均为减函数，故在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上，f′(x)均小于0，故选D.

答案：D

2．y＝xlnx在(0,5)上是(　　)

A．单调增函数

B．单调减函数

C．在上单调递减，在上单调递增

D．在上单调递增，在上单调递减

解析：∵y′＝x·＋lnx＝1＋lnx，令y′＞0可得x＞，

令y′＜0可得0＜x＜.故选C.

答案：C

3．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(　　)

A．(－1,1]　　　　　　　B．(0,1]

C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)

解析：对函数y＝x2－lnx求导，得y′＝x－＝(x＞0)，令解得x∈(0,1]．因此函数y＝x2－lnx的单调递减区间为(0,1]，故选B.

答案：B

4．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是__________．

解析：由f(x)＝x3＋x2＋mx＋1在R上单调，又f′(x)＝3x2＋2x＋m，则f(x)在R上只能单调递增．∴Δ＝4－12m≤0，

∴m≥.

答案：m≥

5．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)．若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上是单调递增的，求a的取值范围．

解析：f′(x)＝2x－＝.

要使f(x)在[2，＋∞)上是单调递增的，

则f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立，

即≥0在x∈[2，＋∞)时恒成立．

∵x2>0，∴2x3－a≥0，即a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．

∴a≤(2x3)min.

∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是单调递增的，

∴(2x3)min＝16，∴a≤16.

当a＝16时，f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0，

∴a的取值范围是{a|a≤16}．

(限时：30分钟)

1．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　)

A．(－∞，2)　　　　　　　B．(0,3)

C．(1,4) D．(2，＋∞)

解析：f′(x)＝ex＋ex(x－3)＝ex(x－2)，令f′(x)＞0，得x－2＞0，x＞2，∴f(x)的递增区间是(2，＋∞)．

答案：D

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2．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如右图所示，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是

(　　)

word/media/image18_1.pngA

　　word/media/image19_1.pngB

word/media/image20_1.pngC

　　word/media/image21_1.pngD

解析：由图象可获得如下信息：

(1)函数y＝f(x)与y＝g(x)两个函数在x＝x0处的导数相同，故两函数在x＝x0处的切线平行或重合．

(2)通过导数的正负及大小可以知道函数y＝f(x)和y＝g(x)为增函数且y＝f(x)增长的越来越慢，而y＝g(x)增长的越来越快．

答案：D

3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是(　　)

A．y＝sinx B．y＝xex

C．y＝x3－x D．y＝lnx－x

解析：B中，y′＝(xex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y＝xex在(0，＋∞)上为增函数．

对于A，C，D都存在x＞0，使y′＜0的情况．

答案：B

4．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且当x＞0时，有f′(x)＞0，g′(x)＞0，则当x＜0时，有(　　)

A．f′(x)＞0，g′(x)＞0

B．f′(x)＞0，g′(x)＜0

C．f′(x)＜0，g′(x)＞0

D．f′(x)＜0，g′(x)＜0

解析：由已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数．

∵x＞0时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，

∴f(x)，g(x)在(0，＋∞)上递增．

∴x＜0时，f(x)递增，g(x)递减．

∴x＜0时，f′(x)＞0，g′(x)＜0.

答案：B

5．若函数y＝a(x3－x)的单调减区间为，则a的取值范围是(　　)

A．a＞0 B．－1＜a＜0

C．a＞1 D．0＜a＜1

解析：y′＝a(3x2－1)＝3a.

当－＜x＜时， ＜0，要使y＝a(x3－x)在上单调递减，只需y′＜0，即a＞0.

答案：A

6．函数f(x)＝的单调增区间为__________．

解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝.

令f′(x)＞0，则1－lnx＞0，lnx＜1，得0＜x＜e，

即函数f(x)＝的单调增区间为(0，e)．

答案：(0，e)

7．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为(－1,3)，则b＝__________，c＝________.

解析：f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由条件知即解得b＝－3，c＝－9.

答案：－3　－9

8．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为__________．

解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，则g′(x)＝f′(x)－2.

∵对任意x∈R，f′(x)＞2，∴g′(x)＞0.

∴g(x)在R上为增函数．

又g(－1)＝f(－1)＋2－4＝0，∴x＞－1时，g(x)＞0.

∴由f(x)＞2x＋4，得x＞－1.

答案：(－1，＋∞)

9．已知f(x)＝lnx＋＋ax(a∈R)，求f(x)在[2，＋∞)上是单调函数时a的取值范围．

解析：f′(x)＝－＋a＝.

①当a＝0时，f′(x)＝在x∈[2，＋∞)上，f′(x)＞0，∴f(x)在[2，＋∞)上是单调函数，符合题意．

②当a＜0时，令g(x)＝ax2＋x－1，

则f(x)在[2，＋∞)上只能单调递减，

∴f′(x)≤0在[2，＋∞)上恒成立，

∴g(x)≤0在[2，＋∞)上恒成立．

又∵g(x)＝ax2＋x－1＝a2－－1的对称轴为x＝－＞0，

∴－－1≤0，∴a≤－.

③当a＞0时，f(x)在[2，＋∞)上只能递增，

∴f′(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立．

∴g(x)≥0在[2，＋∞)上恒成立．

又∵g(x)＝ax2＋x－1，对称轴为x＝－＜0，

∴g(2)≥0，∴a≥－.

又∵a＞0，∴a＞0.

综上所述，实数a的取值范围为∪[0，＋∞)．

10．已知函数f(x)＝x3－ax－1.

(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．

解析：(1)∵3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，

∴a≥3x2.

但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，

即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．

(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，

即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，

且在直线y＝a的下方．

即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．

11．已知x＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x－x2成立．

证明：设f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，其定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝－1＋x＝.

当x＞－1时，f′(x)＞0，则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．

∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0.

∴当x＞0时，不等式ln(1＋x)＞x－x2成立．