2019年湖南省益阳市资阳区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（4分）下列四个数中最小的数是（　　）

A．0 B．0.001 C．﹣1000 D．﹣π

2．（4分）下列计算正确的是（　　）

A．2a+3b＝5ab B．＝±6

C．a6÷a2＝a4 D．（2ab2）3＝6a3b5

3．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

4．（4分）如图，几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

5．（4分）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（　　）

A．45° B．60° C．90° D．120°

6．（4分）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示

请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（　　）

A．400t B．500t C．600t D．700t

7．（4分）某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

8．（4分）在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（　　）

A． B． C． D．

9．（4分）如图，DE是边长为2的菱形ABCD的高，CE＝1，以点D为圆心，DE的长为半径画弧，交BD于F，交DC于G，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B． C． D．

10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④b＝2a中，正确的结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

11．（4分）把化成最简二次根式为　 　．

12．（4分）分解因式：2x2+4xy+2y2＝　 　．

13．（4分）下列事件中，①打开电视，它正在播关于扬州特产的广告；②太阳绕着地球转；③掷一枚正方体骰子，点数“4”朝上；④13人中至少有2人的生日是同一个月．属于随机事件的个数是　 　．

14．（4分）若函数y＝（k﹣1）x|k|﹣2是反比例函数，则k＝　 　．

15．（4分）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1＝30°，则∠D＝　 　．

16．（4分）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论：

①△ODC是等边三角形；②AC＝2AB；③∠AOE＝135°； ④S△AOE＝S△COE，

其中正确的结论的序号是　 　．

17．（4分）某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价　 　元出售该商品．

18．（4分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　 　．

三、解答题（本大题8个小题，共78分）

19．（8分）计算：（π﹣2019）0+6sin60°﹣|5﹣|﹣（）﹣2

20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2．

21．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，BD平分∠ABC．求证：

（1）AD＝EC；

（2）AB＝EC．

22．（10分）2018年9月，振华中学举行了迎国庆中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A﹣书法比赛；B﹣国画竞技；C﹣诗歌朗诵；D﹣汉字大赛；E﹣古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次催记抽取的初三学生共　 　人，m＝　 　，并补全条形统计图；

（2）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少．

23．（10分）反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，4）、（4，m）．

（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

24．（10分）某商场销售A、B两种品牌的教学设备，其进价分别为1.5万元/套，1.2万元/套；售价分别为1.65万元/套、1.4万元/套．该商场计划购进两种教学设备各若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．

（1）设该商场计划购进A、B两种品牌的教学设备各x套、y套，求x，y的值．

（2）调研后，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少数量的1.5倍，采购进资金不超过69万元，问A种设备购进量至多减少多少套？

25．（12分）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，求证：∠ABD＝∠ACE；

（2）如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）在（1）的条件下，若AB＝3，AD＝2，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．

26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2平移后经过点A（﹣1，0）、B（4，0），且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）．

（1）求平移后的抛物线的表达式；

（2）如果点D在线段CB上，且CD＝，求∠CAD的正弦值；

（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．

2019年湖南省益阳市资阳区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（4分）下列四个数中最小的数是（　　）

A．0 B．0.001 C．﹣1000 D．﹣π

【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．

【解答】解：∵﹣1000＜﹣π＜0＜0.001，

∴所给的四个数中最小的数是﹣1000．

故选：C．

【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

2．（4分）下列计算正确的是（　　）

A．2a+3b＝5ab B．＝±6

C．a6÷a2＝a4 D．（2ab2）3＝6a3b5

【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．

【解答】解：A、2a+3b，无法计算，故此选项错误；

B、＝6，故此选项错误；

C、a6÷a2＝a4，正确；

D、（2ab2）3＝8a3b6，故此选项错误；

故选：C．

【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项法则、积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．

3．（4分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】先定界点，再定方向即可得．

【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示如下：

故选：C．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；

二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．

4．（4分）如图，几何体的俯视图是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．

【解答】解：从上面看，几何体的俯视图是．

故选：D．

【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的视图是俯视图．

5．（4分）如图，直线a∥b，c⊥a，则c与b相交所形成的∠2度数为（　　）

A．45° B．60° C．90° D．120°

【分析】根据垂线的定义可得∠1＝90°，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2＝∠1．

【解答】解：∵c⊥a，

∴∠1＝90°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠1＝90°．

故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．

6．（4分）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从九年级的500名同学中任选出10名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如下表所示

请你估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是（　　）

A．400t B．500t C．600t D．700t

【分析】先计算这10名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，然后乘以总数500即可解答．

【解答】解：＝1.2（t），

500×1.2＝600（t），

答：估计这500名同学的家庭一个月节约的水总量大约是600 t；

故选：C．

【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．

7．（4分）某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】等量关系为：原来走350千米所用的时间﹣提速后走350千米所用的时间＝1，根据等量关系列式．

【解答】解：原来走350千米所用的时间为，现在走350千米所用的时间为：，

所以可列方程为：﹣＝1，故选B．

【点评】找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．

8．（4分）在下列网格中，小正方形的边长为1，点A、B、O都在格点上，则∠A的正弦值是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据勾股定理求出OA，根据正弦的定义解答即可．

【解答】解：由题意得，OC＝2，AC＝4，

由勾股定理得，AO＝＝2，

∴sinA＝＝，

故选：A．

【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

9．（4分）如图，DE是边长为2的菱形ABCD的高，CE＝1，以点D为圆心，DE的长为半径画弧，交BD于F，交DC于G，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π B． C． D．

【分析】根据题意，可以求得DE和∠DCE的度数，从而可以求得∠BDC的度数，然后利用扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．

【解答】解：∵DE是边长为2的菱形ABCD的高，CE＝1，

∴∠DEC＝90°，DC＝2，

∴cos∠DCE＝，DE＝＝，

∴∠DCE＝60°，

∴∠ADC＝120°，

∴∠FDG＝60°，

∴图中阴影部分的面积为：＝，

故选：B．

【点评】本题考查扇形面积的计算、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②a﹣b+c＞0；③abc＞0；④b＝2a中，正确的结论的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据二次函数图象与x交点的个数来判定b2﹣4ac的符号；将x＝﹣1时，y＜0来推知a﹣b+c的符号；根据函数图象的开口方向、与坐标轴的交点的位置以及对称轴的位置来判定abc的符号；根据图象的对称轴来判断b＝2a的正误．

【解答】解：①根据二次函数的图象知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2﹣4ac＞0；故本选项错误；

②根据图示知，当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；故本选项正确；

③∵抛物线的开口向下，

∴a＜0；

又∵该抛物线与y交于正半轴，

∴c＞0，

而对称轴x＝﹣＝﹣1，

∴b＝2a＜0，

∴abc＞0；故本选项正确；

④由③知，b＝2a；故本选项正确；

综上所述，正确的选项有3个．

故选：C．

【点评】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

11．（4分）把化成最简二次根式为　　．

【分析】先化成分数，再根据二次根式的性质进行化简即可．

【解答】解：＝＝，

故答案为：．

【点评】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

12．（4分）分解因式：2x2+4xy+2y2＝　2（x+y）2　．

【分析】先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．

【解答】解：2x2+4xy+2y2＝2（x2+2xy+y2）＝2（x+y）2．

故答案为：2（x+y）2．

【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

13．（4分）下列事件中，①打开电视，它正在播关于扬州特产的广告；②太阳绕着地球转；③掷一枚正方体骰子，点数“4”朝上；④13人中至少有2人的生日是同一个月．属于随机事件的个数是　2　．

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．

【解答】解：打开电视，它正在播关于扬州特产的广告是随机事件；

太阳绕着地球转是不可能事件；

掷一枚正方体骰子，点数“4”朝上是随机事件；

13人中至少有2人的生日是同一个月是必然事件；

故答案为：2．

【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

14．（4分）若函数y＝（k﹣1）x|k|﹣2是反比例函数，则k＝　﹣1　．

【分析】根据反比例函数的定义列出关于k的方程，然后解方程即可．

【解答】解：根据题意，得

|k|﹣2＝﹣1，且k﹣1≠0，

解得，k＝﹣1．

故答案是：﹣1．

【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y＝kx﹣1（k≠0）的形式．

15．（4分）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1＝30°，则∠D＝　60°　．

【分析】先根据垂直的定义，得出∠BAD＝60°，再根据平行线的性质，即可得出∠D的度数．

【解答】解：∵DA⊥CE，

∴∠DAE＝90°，

∵∠EAB＝30°，

∴∠BAD＝60°，

又∵AB∥CD，

∴∠D＝∠BAD＝60°，

故答案为：60°．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及垂线的定义，解题时注意：两直线平行，内错角相等．

16．（4分）如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE＝15°，则下列结论：

①△ODC是等边三角形；②AC＝2AB；③∠AOE＝135°； ④S△AOE＝S△COE，

其中正确的结论的序号是　①、②、③、④　．

【分析】根据角平分线的定义可得∠BAE＝45°，然后求出∠BAO＝60°，再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA＝OB，然后判断出△AOB是等边三角形，然后求出△ODC也是等边三角形，判断出①正确；求出AC＝2AB，判断出②正确；判断出△ABE是等腰直角三角形，然后求出AB＝BE，再求出BO＝BE，根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE＝75°，然后求出∠AOE＝135°，判断出③正确；根据等底等高的三角形的面积相等可得S△AOE＝S△COE，判断出④正确．

【解答】解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝45°，

∵∠CAE＝15°，

∴∠BAO＝∠BAE+∠CAE＝45°+15°＝60°，

又∵矩形中OA＝OB＝OC＝OD，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠AOB＝∠COD＝60°，

∴△ODC是等边三角形，故①正确；

由等边三角形的性质，AB＝OA，

∴AC＝2AB，故②正确；

∵∠BAE＝45°，∠ABE＝90°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∴AB＝BE，

∴BO＝BE，

∵∠COB＝180°﹣60°＝120°，

∴∠BOE＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③正确；

∵△AOE和△COE的底边AO＝CO，点E到AC的距离相等，

∴S△AOE＝S△COE，故④正确；

综上所述，正确的结论是①②③④．

故答案为：①、②、③、④．

【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂线段最短，等底等高的三角形的面积相等，综合题，但难度不大，熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

17．（4分）某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价　6　元出售该商品．

【分析】先设最多降价x元出售该商品，则降价出售获得的利润是22.5﹣x﹣15元，再根据利润率不低于10%，列出不等式即可．

【解答】解：设降价x元出售该商品，

则22.5﹣x﹣15≥15×10%，

解得x≤6．

故该店最多降价6元出售该商品．

故答案为：6．

【点评】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．

18．（4分）如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为　135°　．

【分析】如图，连接EC．首先证明∠AEC＝135°，再证明△EAC≌△EAB即可解决问题；

【解答】解：如图，连接EC．

∵E是△ADC的内心，∠ADC＝90°，

∴∠ACE＝∠ACD，∠EAC＝∠CAD，

∴∠AEC＝180°﹣（∠ACD+∠CAD）＝135°，

在△AEC和△AEB中，

，

∴△EAC≌△EAB，

∴∠AEB＝∠AEC＝135°，

故答案为135°．

【点评】本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

三、解答题（本大题8个小题，共78分）

19．（8分）计算：（π﹣2019）0+6sin60°﹣|5﹣|﹣（）﹣2

【分析】本题需根据零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

【解答】解：（π﹣2019）0+6sin60°﹣|5﹣|﹣（）﹣2，

＝1+6×﹣（3﹣5）﹣4，

＝1+3﹣3+5﹣4，

＝2．

【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值等考点的运算．

20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝2．

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：原式＝•

＝，

当x＝2时，

原式＝．

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．

21．（8分）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AE∥DC，BD平分∠ABC．求证：

（1）AD＝EC；

（2）AB＝EC．

【分析】（1）证明四边形AECD是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出结论；

（2）由平行线的性质和角平分线的定义得出∠ADB＝∠ABD，证出AB＝AD，即可得出AB＝EC．

【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴AD＝EC；

（2）∵AD∥BC，BD平分∠ABC，

∴∠ADB＝∠CBD，∠ABD＝∠CBD，

∴∠ADB＝∠ABD，

∴AB＝AD，

∴AB＝EC．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．

22．（10分）2018年9月，振华中学举行了迎国庆中华传统文化节活动．本次文化节共有五个活动：A﹣书法比赛；B﹣国画竞技；C﹣诗歌朗诵；D﹣汉字大赛；E﹣古典乐器演奏．活动结束后，某班数学兴趣小组开展了“我最喜爱的活动”的抽样调查（每人只选一项），根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题：

（1）此次催记抽取的初三学生共　100　人，m＝　10　，并补全条形统计图；

（2）初三年级准备在五名优秀的书法比赛选手中任意选择两人参加学校的最终决赛，这五名选手中有三名男生和两名女生，用树状图或列表法求选出的两名选手正好是一男一女的概率是多少．

【分析】（1）利用条形统计图和扇形统计图，用A选项的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用E选项的人数除以调查的总人数可得到m的值，再计算出B选项的人数后补全条形统计图；

（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出选出的两名选手正好是一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）调查的总人数为25÷25%＝100（人），

所以m%＝＝10%，即m＝10，

B选项的人数为100﹣25﹣30﹣20﹣10＝15（人），

补全条形统计图为：

故答案为100，10；

（2）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中选出的两名选手正好是一男一女的结果数为12，

所以选出的两名选手正好是一男一女的概率＝＝．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．也考查了统计图．

23．（10分）反比例函数（k为常数，且k≠0）的图象经过点A（1，4）、（4，m）．

（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标．

【分析】（1）先把A点坐标代入y＝求出k得到反比例函数解析式；然后把B（4，m）代入反比例函数解析式求出m得到B点坐标；

（2）作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣4），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标．

【解答】解：（1）把A（1，4）代入y＝得k＝1×4＝4，

∴反比例函数解析式为y＝；

把B（4，m）代入y＝得4m＝4，解得m＝1，

∴B点坐标为（4，1）；

（2）如图，作A点关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于P点，则A′（1，﹣4），

∵PA+PB＝PA′+PB＝BA′，

∴此时PA+PB的值最小，

设直线BA′的解析式为y＝mx+n，

把A′（1，﹣4），B（4，1）代入得

解得：

∴直线BA′的解析式为y＝x﹣，

当y＝0时，x﹣＝0，解得x＝，

∴P点坐标为（，0）．

【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式：先设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝（k为常数，k≠0）；再把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；接着解方程，求出待定系数；然后写出解析式．也考查了最短路径问题．

24．（10分）某商场销售A、B两种品牌的教学设备，其进价分别为1.5万元/套，1.2万元/套；售价分别为1.65万元/套、1.4万元/套．该商场计划购进两种教学设备各若干套，共需66万元，全部销售后可获毛利润9万元．

（1）设该商场计划购进A、B两种品牌的教学设备各x套、y套，求x，y的值．

（2）调研后，该商场决定在原计划的基础上，减少A种设备的购进数量，增加B种设备的购进数量，已知B种设备增加的数量是A种设备减少数量的1.5倍，采购进资金不超过69万元，问A种设备购进量至多减少多少套？

【分析】（1）首先设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，根据题意即可列方程组，解此方程组即可求得答案；

（2）首先设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，根据题意即可列不等式1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，解此不等式组即可求得答案．

【解答】解：（1）设该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为x套，y套，

，

解得：，

答：该商场计划购进A，B两种品牌的教学设备分别为20套，30套；

（2）设A种设备购进数量减少a套，则B种设备购进数量增加1.5a套，

1.5（20﹣a）+1.2（30+1.5a）≤69，

解得：a≤10，

答：A种设备购进数量至多减少10套．

【点评】此题考查了一元一次不等式与二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系和不等关系．

25．（12分）如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．

（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，求证：∠ABD＝∠ACE；

（2）如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．

（3）在（1）的条件下，若AB＝3，AD＝2，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．

【分析】（1）依据等腰三角形的性质得到AB＝AC，AD＝AE，依据同角的余角相等得到∠DAB＝∠CAE，然后依据SAS可证明△ADB≌△AEC，最后，依据全等三角形的性质可得到∠ABD＝∠ACE；

（2）先判断出△ADB∽△AEC，即可得出结论；

（3）分为点E在AB上和点E在AB的延长线上两种情况画出图形，然后再证明△PEB∽△AEC，最后依据相似三角形的性质进行证明即可．

【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴AB＝AC＝3，AD＝AE＝2，∠DAB＝∠CAE．

∴△ADB≌△AEC．

∴∠ABD＝∠ACE．

（2）（1）中结论成立，理由：

在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，

∴AB＝AC，

在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，

∴AD＝AE，

∴

∵∠BAC＝∠DAE＝90°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△ADB∽△AEC．

∴∠ABD＝∠ACE

（3）解：①当点E在AB上时，BE＝AC﹣AE＝1．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝＝．

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠PEB＝∠AEC，

∴△PEB∽△AEC．

∴．

∴．

∴PB＝．

②当点E在BA延长线上时，BE＝5．

∵∠EAC＝90°，

∴CE＝．

同（1）可证△ADB≌△AEC．

∴∠DBA＝∠ECA．

∵∠BEP＝∠CEA，

∴△PEB∽△AEC．

∴．

∴．

∴PB＝．

综上所述，PB的长为或．

【点评】此题是相似形综合题，主要考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，证明得△PEB∽△AEC是解题的关键．

26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝﹣x2平移后经过点A（﹣1，0）、B（4，0），且平移后的抛物线与y轴交于点C（如图）．

（1）求平移后的抛物线的表达式；

（2）如果点D在线段CB上，且CD＝，求∠CAD的正弦值；

（3）点E在y轴上且位于点C的上方，点P在直线BC上，点Q在平移后的抛物线上，如果四边形ECPQ是菱形，求点Q的坐标．

【分析】（1）根据平移前后a的值不变，用待定系数法求解即可；

（2）求出直线BC的解析式，确定点D的坐标，过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N，运用面积法求出BN，再根据相似三角形的性质求出DM，根据直角三角函数求解即可；

（3）设点Q的坐标为（n，﹣n2+3n+4），如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ＝PC，点P的坐标为（n，﹣n+4），根据邻边相等列出方程即可求解．

【解答】解：（1）设平移后的抛物线的解析式为y＝﹣x2+bx+c．

将A（﹣1，0）、B（4，0），代入得

解得：

所以，y＝﹣x2+3x+4．

（2）如图1

∵y＝﹣x2+3x+4，∴点C的坐标为（0，4）．

设直线BC的解析式为y＝kx+4，将B（4，0），代入得kx+4＝0，解得k＝﹣1，

∴y＝﹣x+4．

设点D的坐标为（m，4﹣m）．

∵CD＝，∴2＝2m2，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），

∴点D的坐标为（1，3）．

过点D作DM⊥AC，过点B作BN⊥AC，垂足分别为点M、N．

∵，

∴，

∴．

∵DM∥BN，∴，

∴，

∴．

∴．

（3）如图2

设点Q的坐标为（n，﹣n2+3n+4）．

如果四边形ECPQ是菱形，则n＞0，PQ∥y轴，PQ＝PC，点P的坐标为（n，﹣n+4）．

∵PQ＝﹣n2+3n+4+n﹣4＝4n﹣n2，，

∴，解得或n＝0（舍）．

∴点Q的坐标为（，）．

【点评】此题主要考查二次函数综合问题，会灵活运用待定系数法求抛物线，直线的解析式，会运用面积法，相似三角形性质求相关线段，会根据菱形性质确定顶点坐标是解题的关键．

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日期：2019/6/9 17:58:34；用户：152********；邮箱：152********；学号：24559962