2018年普通高等学招生全国统一考试（全国一卷）理科数学

参考答案与解析

一、选择题：本题有12小题，每小题5分，共60分。

1、设z=word/media/image1.gif，则|z|=

A、0

B、word/media/image2.gif

C、1

D、word/media/image3.gif

【答案】C

【解析】由题可得word/media/image4.gif，所以|z|=1

【考点定位】复数

2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，则word/media/image5.gifA=

A、{x|-1

B、{x|-1word/media/image6.gifxword/media/image6.gif2}

C、{x|x<-1}∪{x|x>2}

D、{x|xword/media/image6.gif-1}∪{x|xword/media/image7.gif2}

【答案】B

【解析】由题可得CRA={x|x2-x-2≤0}，所以{x|-1word/media/image6.gifxword/media/image6.gif2}

【考点定位】集合

3、某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是：

A、新农村建设后，种植收入减少。

B、新农村建设后，其他收入增加了一倍以上。

C、新农村建设后，养殖收入增加了一倍。

D、新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半。

【答案】A

【解析】由题可得新农村建设后，种植收入37%*200%=74%>60%，

【考点定位】简单统计

4、记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3=S2+S4，a1=2，则a5=

A、-12

B、-10

C、10

D、12

【答案】B

【解析】3*(a1+a1+d+a1+2d)=(a1+a1+d)(a1+a1+d+a1+2d+a1+3d)，整理得:

2d+3a1=0 ; d=-3 ∴a5=2+(5-1)*(-3)=-10

【考点定位】等差数列求和

5、设函数f（x）=x3+(a-1)x2+ax，若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：

A、y=-2x

B、y=-x

C、y=2x

D、y=x

【答案】D

【解析】f（x）为奇函数，有f（x）+f（-x）=0整理得:

f（x）+f（-x）=2*(a-1)x2=0 ∴a=1

f（x）=x3+x

求导f‘（x）=3x2+1

f‘（0）=1 所以选D

【考点定位】函数性质：奇偶性；函数的导数

6、在word/media/image9.gifABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则word/media/image10.gif=

A、word/media/image11.gif-word/media/image12.gif-word/media/image13.gif

B、word/media/image14.gif-word/media/image12.gif-word/media/image15.gif

C、word/media/image11.gif-word/media/image12.gif+word/media/image13.gif

D、word/media/image14.gif-word/media/image16.gif

【答案】A

【解析】AD为BC边∴上的中线 AD=word/media/image17.gif

E为AD的中点∴AE=word/media/image18.gif

EB=AB-AE=word/media/image19.gif

【考点定位】向量的加减法、线段的中点

7、某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为11A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为

A、word/media/image21.gif

B、word/media/image22.gif

C、3

D、2

【答案】B

【解析】将圆柱体的侧面从A点展开：注意到B点在word/media/image23.gif圆周处。

word/media/image24.gifword/media/image25.gif

∴最短路径的长度为AB=word/media/image26.gif

【考点定位】立体几何:圆柱体的展开图形，最短路径

8.设抛物线C：y²=4x的焦点为F，过点（-2，0）且斜率为word/media/image27.gif的直线与C交于M，N两点，则word/media/image28.gif·word/media/image28.gif=

A.5

B.6

C.7

D.8

【答案】D

【解析】

抛物线C：y²=4x的焦点为F(1,0)

直线MN的方程: word/media/image29.gif

消去x整理得：y2-6y+8=0 ∴y=2 或y=4

M、N的坐标（1，2），（4，4）

则word/media/image28.gif·word/media/image28.gif=(0,2)·(3,4)=0*3+2*4=8

【考点定位】抛物线焦点向量的数量积

如果消去Ｘ，计算量会比较大一些，您不妨试试。

9.已知函数f（x）=word/media/image30.gifg（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A. [-1，0）

B. [0，+∞）

C. [-1，+∞）

D. [1，+∞）

【答案】C

【解析】

根据题意：f(x)+x+a=0 有两个解。令M(x)=-a,

N(x)=f(x)+x =word/media/image31.gif

分段求导：N‘(x)=f(x)+x =word/media/image32.gif说明分段是增函数。考虑极限位置，图形如下：

M(x)=-a在区间(-∞，+1]上有2个交点。

∴a的取值范围是C. [-1，+∞）

【考点定位】分段函数、函数的导数、分离参数法

10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形。此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为。直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC. △ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ。在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则

A. p1=p2

B. p1=p3

C. p2=p3

D. p1=p2+p3

【答案】A

【解析】

整个区域的面积： S1+S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC+S△ABC

根据勾股定理，容易推出S半圆BC=S半圆AB+S半圆AC

∴S1=S△ABC故选A

【考点定位】古典概率、不规则图形面积

11.已知双曲线C：word/media/image35.gif -y²=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则∣MN∣=

A.word/media/image36.gif

B.3

C.word/media/image37.gif

D.4

word/media/image38.gif

【答案】B

【解析】

右焦点,OF=word/media/image39.gif==2，

渐近线方程y=word/media/image40.gifx∴∠NOF=∠MOF =30°

在Rt△OMF中，OM=OF*cos∠MOF=2*cos=30°word/media/image41.gif

在Rt△OMN中，MN=OMword/media/image42.gif=word/media/image41.gif*word/media/image43.gif=3

【考点定位】双曲线渐近线、焦点

概念清晰了，秒杀！有时简单的“解三角”也行，甚至双曲线都不用画出来。如果用解方程，计算量很大。

12.已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为

A. word/media/image44.gif

B.word/media/image45.gif

C.word/media/image46.gif

D.word/media/image47.gif

【答案】A

【解析】

如图平面α截正方体所得截面为正六边形，此时，截面面积最大，其中边长GH=word/media/image48.gif

截面面积S=6×word/media/image49.gif×（word/media/image48.gif）2=word/media/image44.gif

【考点定位】立体几何 截面

【盘外招】交并集理论：ABD交集为word/media/image41.gif，AC交集为word/media/image51.gif，选A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若x，y满足约束条件word/media/image52.gif则z=3x+2y的最大值为.

【答案】6

【解析】

当直线z=3x+2y经过点（2，0）时，Zmax=3*2+0=6

【考点定位】线性规划（顶点代入法）

14.记Sn为数列｛an｝的前n项和.若Sn=2an+1，则S6=.

【答案】-63

【解析】

S1=2a1+1=a1 ∴a1=-1

n>1时，Sn=2an+1，Sn-1=2an-1+1 两式相减：Sn-Sn-1=an=2an-2an-1∴an=2an-1

an=a1×2n-1= （-1）×2n-1

∴S6=（-1）×（26-1）=-63

【考点定位】等比数列的求和

15.从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.（用数字填写答案）

【答案】16

【解析】

word/media/image54.gif=2word/media/image55.gif6+1word/media/image56.gif=16

【考点定位】排列组合

16.已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是.

【答案】word/media/image57.gif

【解析】

f（x）=2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)

考虑到f（x）为奇函数，可以求f（x）最大值.将f（x）平方：

f2（x）=4sin2x(1+cosx)2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3≧(4/3) word/media/image58.gif 3-3cosx）word/media/image59.gif3(1+cosx))/4）4=word/media/image60.gifword/media/image55.gif（word/media/image61.gif）4=word/media/image62.gif

当3-3cosx=1+cosx 即cosxword/media/image63.gif时，f2（x）取最大值

f（x）min=word/media/image57.gif

【考点定位】三角函数的极值，基本不等式的应用

【其他解法】：１．求导数解答　

　　　　　　　２．f（x）=2sinx(1+cosx)看成单位圆中一个三角形面积求解。

三.解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.

（1）求cos∠ADB；

（2）若DC=word/media/image64.gif，求BC.

【答案】

【解析】（1）在△ABD中，由正弦定理得word/media/image65.gif

∴sin∠ADB =ABsin∠ADB/BD=word/media/image66.gif

由题设可知，∠ADB<90°∴word/media/image68.gif =word/media/image69.gif=word/media/image70.gif

(2)由题设及（1）可知cos∠BDC= sin∠ADB=word/media/image66.gif

在△BCD中，由余弦定理得

BC2=BD2+DC2-2BDword/media/image55.gifDCword/media/image55.gifcos∠BDC

=25+8-2word/media/image55.gif5word/media/image71.gif=25

∴BC=5

【考点定位】正弦定理余弦定理

18.（12分）

如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把∆DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.

（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；

（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

【答案】

【解析】（1）由已知可得PF⊥BF ，BF⊥EF∴BF⊥平面PEF

又BF在平面ABFD上∴平面PEF⊥平面ABFD

(2)PH⊥EF，垂足为H，由（1）可得，PH⊥平面ABFD∴DP与平面ABFD所成角就是∠PDH.

CD2=PD2=DH2+PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+（EF-HF）2+PH2

CF2=PF2=HF2+PH2

设正方形ABCD的边长为2.上面两个等式即是：

22=12+（2-HF）2+PH2

12=HF2+PH2

∴解方程得HF=word/media/image73.gif PH=word/media/image74.gif

在Rt△PHD中,sin∠PDH=PH/PD=word/media/image74.gif/2=word/media/image49.gif.

【考点定位】立体几何点、直线、面的关系

19.（12分）

设椭圆C：word/media/image75.gif +y²=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为（2，0）.

（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.

【答案】

【解析】（1）由已知可得F（1，0），直线l的方程为x=1

由已知可得,点A的坐标为（1，word/media/image48.gif）或（1，—word/media/image48.gif）

∴直线AM的方程为y=—word/media/image48.gifx+word/media/image76.gif或y=word/media/image48.gifx—word/media/image76.gif

(2)当l与x轴重合，.∠OMA=∠OMB=00

当l与x轴垂直，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB

当l与x轴不重合且不垂直，设直线l的方程为y=k(x-1) (k≠0)

点A(x1,y1),B(x2,y2) ，x1<2,X2<2,则直线MA、MB的斜率之和

KMA+KMB=word/media/image77.gif+word/media/image78.gif=word/media/image79.gif+word/media/image80.gif=word/media/image81.gif

将y=k(x-1)代入椭圆C的方程得：（2k2+1）x2-4k2x+(2k2-2)=0

x1∴+x2=word/media/image82.gif,x1x2=word/media/image83.gif

word/media/image84.gif =word/media/image85.gif

从而KMA+KMB=0 MA、MB的倾斜角互补，∴∠OMA=∠OMB

综上所述，∠OMA=∠OMB

【考点定位】圆锥曲线

20、（12分）

某工厂的某、种、产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件产品作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验，设每件产品为不合格品的ｋ概率都为P（0，且各件产品是否为不合格品相互独立。

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f（P），f（P）求f（P）的最大值点word/media/image86.gif。

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的word/media/image86.gif作为P的值，已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用。

（i） 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX：

（ii） 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？

【答案】

【解析】（1）f（P）=word/media/image87.gifP2(1-P)18=word/media/image88.gif (9P)2(1-P)18≧word/media/image89.gif}20=word/media/image90.gif}20

当9P=1-P，即f（P）的最大值点P0=0.1. f（0.1）=word/media/image91.gif

(2)令Y表示余下的180件产品中不合格品件数，依题意可知Y-B(180,0.1),

X=20*2+25Y=40+25Y

∴EX=E(40+25Y)=40+25EY=490

(ii)如果开箱检验，检验费=200*2=400元

EX>400,∴应该对这箱余下的所有产品作检验。

【考点定位】随机变量及分布：二项分布最值（基本不等式）、数学期望

21、（12分）

已知函数word/media/image92.gif.

（1）讨论word/media/image93.gif的单调性；

（2）若word/media/image93.gif存在两个极值点word/media/image94.gif,word/media/image95.gif ,证明：word/media/image96.gif .

【答案】

【解析】（1）f（x）的定义域为（0，+∞）

f’（x）=-word/media/image97.gif=-word/media/image98.gif

△=a2-4

(i)若a≤2,则f’（x）≤0，当且仅当a=2,x=1时f’（x）=0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减。

(i)若a>2,令f’（x）=0得到，word/media/image99.gif

当x∈（0，word/media/image100.gif）∪（word/media/image101.gif，+∞）时，f’（x）<0

当x∈（word/media/image100.gif, word/media/image101.gif）时，f’（x）>0

∴f（x）在x∈（0，word/media/image100.gif）,（word/media/image101.gif，+∞）单调递减,在（word/media/image100.gif, word/media/image101.gif）单调递增。

(2)由(1)可得f(x)存在2个极值点当且仅当a>2

由于f(x)的极值点x1,x2满足x2-ax+1=0 所以x1x2=1 不妨设x1则x2>1 由于

word/media/image102.gif

word/media/image96.gif等价于word/media/image103.gif

设g(x)= word/media/image104.gif由(1)可知g（x）在（0，+∞）单调递减，又g(1)=0,从而当x∈（1，+∞）时g(x)<0

∴word/media/image103.gif即word/media/image96.gif

【考点定位】函数导数的应用

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]、（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为y=k∣x∣+2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为p²+2pword/media/image105.gif-3=0.

（1） 求C₂的直角坐标方程:

（2） 若C₁与C₂有且仅有三个公共点，求C₁的方程.

【答案】

【解析】（1）由x=cosθ,y=sinθ得到C₂的直角坐标方程：

x2+y2+2x-3=0 即(x+1)2+y2=4

(2)由（1）可知C2是圆心为A（-1,0），半径为2的圆。

由题设可知，C1是过点B（0，2）且关于Y轴对称的两条射线，且

C1：=word/media/image106.gif

显然，K=0时，C1与C2相切，只有一个交点。

K>0时，C1与C2没有交点。

∴C1与C2有且仅有三个交点，则必须满足K<0且y=kx+2(x>0)与C2相切,圆心到射线的距离d=word/media/image107.gif故K=-4/3或K=0.

经检验，因为K<0，所以K=-4/3。

综上所述，所求 C₁的方程y=-word/media/image108.gif∣x∣+2.

【考点定位】极坐标与参数方程直线与圆的关系

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.

（1） 当a=1时， 求不等式f（x）﹥1的解集；

（2） 当x∈（0，1）时不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范围.

【答案】

【解析】（1）当a=1时， f（x）=∣x+1∣-∣x-1∣=word/media/image109.gif

∴不等式f（x）﹥1的解集为{x|x>word/media/image73.gif}

(2)当x∈（0，1）时不等式f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣﹥x成立,等价于∣ax-1∣<1成立

若a≤0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣≧1

若a>0，当x∈（0，1）时∣ax-1∣<1的解集为0word/media/image110.gif∴word/media/image110.gif>=1 故0

综上所述，a的取值范围是（0，2］。

【考点定位】绝对值不等式含参数不等式恒成立的问题