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    2017年江苏省镇江市中考数学试卷(含解析版)-

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    2017年江苏省镇江市中考数学试卷
    一、填空题（每小题2分，共24分） 1．（2分）3的倒数是 ． 2．（2分）计算：a5÷a3= ． 3．（2分）分解因式：9﹣b2= ．
    4．（2分）当x= 时，分式的值为零．
     5．（2分）如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是 ．

    6．（2分）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于 （结果保留π）．
    7．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，则EF= ．

    8．（2分）若二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n= ． 9．（2分）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD= °．






    10．（2分）若实数a满足|a﹣|=，则a对应于图中数轴上的点可以是A、B、

    C三点中的点 ．

    11．（2分）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为 ．

    12．（2分）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+ 二、选择题（每小题3分，共15分）
    的值等于 ．
    13．（3分）我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前已为有关国家创造了近1100000000美元税收，其中1100000000用科学记数法表示应为（ ） A．0.11×108
    B．1.1×109 C．1.1×1010
    D．11×108
    14．（3分）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）

    A． B． C． D．
    15．（3分）a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣的图象 上，则（ ）
    A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a 16．（3分）根据下表中的信息解决问题：
    数据 频数
    37 8
    38 4
    39 5
    40 a
    41 1

    若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个



    17．（3分）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4的两部分（如图），下列四个等式： ①S1：S3=1：n ②S1：S4=1：（2n+1） ③（S1+S4）：（S2+S3）=1：n
    ④（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=n：（n+1） 其中成立的有（ ）

    A．①②④ B．②③

    C．②③④ D．③④
    三、解答题（本大题共11小题，满分81分） 18．（8分）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（ ﹣2）0 （2）化简：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2）


    19．（10分）（1）解方程组：



    （2）解不等式：＞1﹣．




    20．（6分）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他集训前后的两次测试成绩（每次测试射击10次），制作了如图所示的条形统计图．



    （1）集训前小杰射击成绩的众数为 ； （2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩； （3）请用一句话评价小杰这次集训的效果．



    21．（6分）某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小明、小丽、小华都参加了本次考查． （1）小丽参加实验A考查的概率是 ；
    （2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率； （3）他们三人都参加实验A考查的概率是 ．

    22．（6分）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．



    （1）求证：四边形BCED是平行四边形；
    （2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．


    23．（6分）如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m） 参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．


    24．（6分）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s． （1）点Q的速度为 cm/s（用含x的代数式表示）． （2）求点P原来的速度．






    25．（6分）如图1，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点

    A（1，3），B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函数y=（k≠0）的
    图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点．

    （1）k= ；
    （2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；

    （3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF=，点P是反比例函数y=（k≠0）

    的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P的坐标为（ ， ）．



    26．（8分）如图1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．
    （1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；
    （2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论； （3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线 段AC的黄金分割点（即=），如图2，试说明四边形DEFC是正方形）．



    27．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．
    （1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于 ；
    （2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；
    （3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．





    28．（11分）【回顾】
    如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于 ． 【探究】
    图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边 形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=，
    小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°=，

    请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程．

    【应用】
    在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5） （1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；
    （2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．








    2017年江苏省镇江市中考数学试卷
    参考答案与试题解析


    一、填空题（每小题2分，共24分）

    1．（2分）（2017•镇江）3的倒数是 ．

    【考点】17：倒数．
    【分析】根据倒数的定义可知．

    【解答】解：3的倒数是．


    故答案为：．

    【点评】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
    倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2．（2分）（2017•镇江）计算：a5÷a3= a2 ． 【考点】48：同底数幂的除法．
    【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【解答】解：a5÷a3=a5﹣3=a2． 故填a2．
    【点评】本题考查同底数幂的除法法则． 3．（2分）（2017•镇江）分解因式：9﹣b2= （3+b）（3﹣b） ． 【考点】54：因式分解﹣运用公式法． 【分析】原式利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=（3+b）（3﹣b）， 故答案为：（3+b）（3﹣b） 【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

    4．（2分）（2017•镇江）当x= 5 时，分式的值为零．
     【考点】63：分式的值为零的条件．
    【分析】根据分式值为零的条件可得x﹣5=0且2x+3≠0，再解即可． 【解答】解：由题意得：x﹣5=0且2x+3≠0， 解得：x=5， 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
    注意：“分母不为零”这个条件不能少． 5．（2分）（2017•镇江）如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一


    次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是

    ．

    【考点】X4：概率公式．
    【分析】让奇数的个数除以数的总数即可得出答案．
    【解答】解：图中共有6个相等的区域，含奇数的有1，1，3，3共4个，

    转盘停止时指针指向奇数的概率是=．



    故答案为：．

    【点评】此题主要考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的
    可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．

    6．（2分）（2017•镇江）圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于 10π （结果保留π）．
    【考点】MP：圆锥的计算．
    【分析】根据圆锥的底面半径为4，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
    【解答】解：根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×2×5=10π， 故答案为：10π．
    【点评】此题主要考查了圆锥侧面积公式．掌握圆锥侧面积公式：S侧=πrl是解决问题的关键． 7．（2分）（2017•镇江）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，则EF= 1.5 ．


    【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．
    【分析】由直角三角形的性质求出CD=3，中由三角形中位线定理得出EF的长即可．
    【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，点D是AB的中点，

    ∴CD=AB=3，

    ∵过AC的中点E作EF∥CD交AB于点F，



    ∴EF是△ACD的中位线，

    ∴EF=CD=1.5；

    故答案为：1.5．
    【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质、三角形中位线定理，熟练掌握直角三角形的性质和三角形中位线定理是关键． 8．（2分）（2017•镇江）若二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n= 4 ．
    【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
    【分析】二次函数y=x2﹣4x+n的图象与x轴只有一个公共点，则b2﹣4ac=0，据此即可求得．
    【解答】解：y=x2﹣4x+n中，a=1，b=﹣4，c=n， b2﹣4ac=16﹣4n=0， 解得n=4． 故答案是：4．
    【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 9．（2分）（2017•镇江）如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D．若∠CAD=30°，则∠BOD= 120 °．

    【考点】MC：切线的性质．
    【分析】根据切线的性质求出∠BAC=90°，求出∠OAD=60°，根据圆周角定理得出∠BOD=2∠BAD，代入求出即可． 【解答】解：∵AC与⊙O相切， ∴∠BAC=90°， ∵∠CAD=30°， ∴∠OAD=60°，
    ∴∠BOD=2∠BAD=120°， 故答案为：120．
    【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理，能根据定理得出∠BAC=90°和∠BOD=2∠BAD是解此题的关键．




    10．（2分）（2017•镇江）若实数a满足|a﹣|=，则a对应于图中数轴上的点

    可以是A、B、C三点中的点 B ．

    【考点】29：实数与数轴．

    【分析】由|a﹣|=，可求出a值，对应数轴上的点即可得出结论．



    【解答】解：∵|a﹣|=，


    ∴a=﹣1或a=2． 故答案为：B． 【点评】本题考查了实数与数轴以及解含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出a值是解题的关键． 11．（2分）（2017•镇江）如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为 2+ ．

    【考点】R2：旋转的性质；JA：平行线的性质．
    【分析】根据旋转可得BE=BE'=5，BD=BD'，进而得到BD=BC﹣4，再根据平行线
    分线段成比例定理，即可得到=，即=，即可得出BC的长．

    【解答】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'， ∵D'C=4，
    ∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4， ∵DE∥AC， ∴=，即=，
    解得BC=2+ （负值已舍去）， 即BC的长为2+ ． 故答案为：2+ ．

    【点评】本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．





    12．（2分）（2017•镇江）已知实数m满足m2﹣3m+1=0，则代数式m2+的 值等于 9 ．
    【考点】A3：一元二次方程的解．
    【分析】先表示出m2=3m﹣1代入代数式，通分，化简即可得出结论． 【解答】解：∵m2﹣3m+1=0， ∴m2=3m﹣1，
     ∴m2+

    =3m﹣1+
    =3m﹣1+
     =
    =
    =
    = =9，
    故答案为：9．
    【点评】此题主要考查了代数式的化简求值，分式的通分，约分，解本题的关键是得出m2=3m﹣1．

    二、选择题（每小题3分，共15分） 13．（3分）（2017•镇江）我国对“一带一路”沿线国家不断加大投资，目前已为有关国家创造了近1100000000美元税收，其中1100000000用科学记数法表示应为（ ）
    A．0.11×108 B．1.1×109 C．1.1×1010 D．11×108 【考点】1I：科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
    【解答】解：1100000000用科学记数法表示应为1.1×109， 故选：B．
    【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 14．（3分）（2017•镇江）如图是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ）




    A． B． C． D． 【考点】U2：简单组合体的三视图．
    【分析】根据组合体的形状即可求出答案．
    【解答】解：该主视图是：底层是3个正方形横放，右上角有一个正方形， 故选（C）
    【点评】本题考查三视图，解题的关键是根据组合体的形状进行判断，本题属于基础题型． 15．（3分）（2017•镇江）a、b是实数，点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数
    y=﹣的图象上，则（ ）

    A．a＜b＜0 B．b＜a＜0 C．a＜0＜b D．b＜0＜a 【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
    【分析】根据反比例函数的性质可以判断a、b的大小，从而可以解答本题．

    【解答】解：∵y=﹣，


    ∴反比例函数y=﹣的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而
    增大，

    ∵点A（2，a）、B（3，b）在反比例函数y=﹣的图象上，

    ∴a＜b＜0， 故选A． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质． 16．（3分）（2017•镇江）根据下表中的信息解决问题：
    37 38 39 40 41 数据
    8 4 5 a 1 频数
    若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
    【考点】W4：中位数；V7：频数（率）分布表．
    【分析】直接利用a=1、2、3、4、5、6分别得出中位数，进而得出符合题意的答案．
    【解答】解：当a=1时，有19个数据，最中间是：第10个数据，则中位数是38；



    当a=2时，有20个数据，最中间是：第10和11个数据，则中位数是38； 当a=3时，有21个数据，最中间是：第11个数据，则中位数是38；
    当a=4时，有22个数据，最中间是：第11和12个数据，则中位数是38； 当a=5时，有23个数据，最中间是：第12个数据，则中位数是38；
    当a=6时，有24个数据，最中间是：第12和13个数据，则中位数是38.5； 故该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有：5个． 故选：C． 【点评】此题主要考查了中位数以及频数分布表，正确把握中位数的定义是解题关键． 17．（3分）（2017•镇江）点E、F分别在平行四边形ABCD的边BC、AD上，BE=DF，点P在边AB上，AP：PB=1：n（n＞1），过点P且平行于AD的直线l将△ABE分成面积为S1、S2的两部分，将△CDF分成面积为S3、S4的两部分（如图），下列四个等式： ①S1：S3=1：n ②S1：S4=1：（2n+1） ③（S1+S4）：（S2+S3）=1：n ④（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=n：（n+1） 其中成立的有（ ）

    A．①②④ B．②③ C．②③④ D．③④
    【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．


    【分析】根据平行线的性质，相似三角形的性质可知=（）2，S3=n2S1，


    =（）2，求出S2，S3，S4（用S1，n表示），即可解决问题．

    【解答】解：由题意∵AP：PB=1：n（n＞1），AD∥l∥BC，
    ∴=（）2，S3=n2S1，=（）2， 整理得：S2=n（n+2）S1，S4=（2n+1）S1， ∴S1：S4=1：（2n+1），故①错误，②正确， ∴（S1+S4）：（S2+S3）=[S1+（2n+1）S1]：[n（n+2）S1+n2S1]=1：n，故③正确， ∴（S3﹣S1）：（S2﹣S4）=[n2S1﹣S1]：[n（n+2）S1﹣（2n+1）S1]=1：1，故④错误，
    故选B．
    【点评】本题考查平行四边形的性质．相似三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

    三、解答题（本大题共11小题，满分81分） 18．（8分）（2017•镇江）（1）计算：（﹣2）2+tan45°﹣（ ﹣2）0



    （2）化简：x（x+1）﹣（x+1）（x﹣2）
    【考点】4B：多项式乘多项式；2C：实数的运算；4A：单项式乘多项式；6E：零指数幂；T5：特殊角的三角函数值． 【分析】（1）根据特殊角三角函数值，零指数幂，可得答案． （2）原式去括号合并得到最简结果即可． 【解答】解：（1）原式=4+1﹣1=4；

    （2）原式=x2+x﹣x2+x+2=2x+2．
    【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

    19．（10分）（2017•镇江）（1）解方程组：



    （2）解不等式：＞1﹣．


    【考点】C6：解一元一次不等式；98：解二元一次方程组． 【分析】（1）用加减消元法求出方程组的解．
    （2）根据一元一次不等式的解法，去分母，去括号，移项，合并，系数化为1即可得解．
    【解答】解：（1） ，

    ①+②得：3x=9， x=3，
    代入①得：3﹣y=4， y=﹣1．


    则原方程组的解为 ．
    （2）去分母得，2x＞6﹣3（x﹣2）， 去括号得，2x＞6﹣3x+6， 移项、合并得，5x＞12，
     系数化为1得，x＞．

    【点评】此题主要考查了二元一次方程组合解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的一般步骤和解方程组的方法上解题得关键． 20．（6分）（2017•镇江）为了解射击运动员小杰的集训效果，教练统计了他集训前后的两次测试成绩（每次测试射击10次），制作了如图所示的条形统计图． （1）集训前小杰射击成绩的众数为 8 ； （2）分别计算小杰集训前后射击的平均成绩； （3）请用一句话评价小杰这次集训的效果．




    【考点】VC：条形统计图；W2：加权平均数；W5：众数． 【分析】（1）根据众数的定义可得； （2）根据加权平均数的定义可得答案； （3）由（2）中答案可得答案． 【解答】解：（1）集训前小杰射击成绩的众数为为8环， 故答案为：8；

     =8.5（环），
         小杰集训后射击的平均成绩为=8.9（环）；
     （2）小杰集训前射击的平均成绩为
    （3）由集训前后平均环数的变化可知，小杰这次集训后的命中环数明显增加． 【点评】本题主要考查众数和平均数及条形统计图，熟练掌握众数和平均数的定义是解题的关键． 21．（6分）（2017•镇江）某校5月份举行了八年级生物实验考查，有A和B两个考查实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考查，并由学生自己抽签决定具体的考查实验，小明、小丽、小华都参加了本次考查．

    （1）小丽参加实验A考查的概率是 ；

    （2）用列表或画树状图的方法求小明、小丽都参加实验A考查的概率；

    （3）他们三人都参加实验A考查的概率是 ．

    【考点】X6：列表法与树状图法；X4：概率公式． 【分析】（1）由可参加实验考查只有两个，可得出小丽参加实验A考查的概率是 ；

    （2）画出树状图，结合树状图得出结论；

    （3）由每人选择实验A考查的概率为，利用概率公式即可求出三人都参加实
    验A考查的概率．

    【解答】解：（1）小丽参加实验A考查的概率是．


    故答案为：．




    （2）画树状图如图所示．
    ∵两人的参加实验考查共有四种等可能结果，而两人均参加实验A考查有1种，

    ∴小明、小丽都参加实验A考查的概率为．


    （3）他们三人都参加实验A考查的概率是××=．



    故答案为：．


    【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解题的关键是：（1）根据可参加的实验考查的个数，求出小丽参加实验A考查的概率；（2）画出树状图；（3）套用概率公式求出三人都参加实验A考查的概率． 22．（6分）（2017•镇江）如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，∠A=∠F，∠1=∠2．
    （1）求证：四边形BCED是平行四边形；
    （2）已知DE=2，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．

    【考点】L7：平行四边形的判定与性质． 【分析】（1）由已知角相等，利用对顶角相等，等量代换得到同位角相等，进而得出DB与EC平行，再由内错角相等两直线平行得到DE与BC平行，即可得证； （2）由角平分线得到一对角相等，再由两直线平行内错角相等，等量代换得到一对角相等，再利用等角对等边得到CN=BC，再由平行四边形对边相等即可确定出所求． 【解答】（1）证明：∵∠A=∠F， ∴DE∥BC，
    ∵∠1=∠2，且∠1=∠DMF， ∴∠DMF=∠2， ∴DB∥EC，
    则四边形BCED为平行四边形； （2）解：∵BN平分∠DBC， ∴∠DBN=∠CBN， ∵EC∥DB，
    ∴∠CNB=∠DBN，



    ∴∠CNB=∠CBN， ∴CN=BC=DE=2． 【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键． 23．（6分）（2017•镇江）如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15m，求实验楼的垂直高度即CD长（精确到1m） 参考值：sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75．
    【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
    【分析】作AE⊥CD于E，根据正切的定义求出CE和AE，计算即可． 【解答】解：作AE⊥CD于E， ∵AB=15m， ∴DE=AB=15m， ∵∠DAE=45°， ∴AE=DE=15m，
     在Rt△ACE中，tan∠CAE=，
     则CE=AE•tan37°=15×0.75≈11cm， ∴AB=CE+DE=11+15=26m．
    答：实验楼的垂直高度即CD长为26m．

    【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 24．（6分）（2017•镇江）如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点D在AC上，AD=1cm，点P从点A出发，沿AB匀速运动；点Q从点C出发，沿C→B→A→C的路径匀速运动．两点同时出发，在B点处首次相遇后，点P的运动速度每秒提高了2cm，并沿B→C→A的路径匀速运动；点Q保持速度不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在D点处再次相遇后停止运动，设点P原来的速度为xcm/s．





    x cm/s（用含x的代数式表示）．

    （2）求点P原来的速度．
    （1）点Q的速度为

    【考点】B7：分式方程的应用． 【分析】（1）设点Q的速度为ycm/s，根据题意得方程即可得到结论；
    （2）根据勾股定理得到AC= = =5，求得CD=5﹣1=4，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）设点Q的速度为ycm/s， 由题意得3÷x=4÷y，
    ∴y=x，


    故答案为：x；
    （2）AC= = =5，
    CD=5﹣1=4，
    在B点处首次相遇后，点P的运动速度为（x+2）cm/s，
    由题意得 ， =

    解得：x=（cm/s），


    答：点P原来的速度为cm/s．

    【点评】本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．


    25．（6分）（2017•镇江）如图1，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y=（k≠0）
    的图象交于点A（1，3），B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函数
    y=（k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D
    关于直线l的对称点．




    （1）k= 3 ；
    （2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；

    （3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF=，点P是反比例函数y=（k≠0）

    的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P
    的坐标为（ ， ）．

    【考点】GB：反比例函数综合题．

    【分析】（1）把A点坐标代入y=中可求出k的值；

    （2）先利用反比例函数的中心对称性得到C（﹣1，﹣3），再把B（m，1）代入
    y=求出m得到B（3，1），通过确定直线AB的解析式得到D（4，0），接着利
    用对称性确定E（2，0），于是利用待定系数法看球出直线BC的解析式为y=x﹣2，然后判断点E是否直线BC上；
    （3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，如图2，先确定M（0，4），计
    算出BM=3 ，BE= ，EF=，再证明△BMN∽△BEF，通过相似比计算出MN=，从

    而得到N（0，），则利用待定系数法得到直线BN的解析式为y=﹣x+，然



    得P点坐标． 后通过解方程组
    【解答】解：（1）∵A（1，3）在反比例函数y=的图象上，

    ∴k=1×3=3；
    （2）点B、E、C在同一条直线上．理由如下：

    ∵直线OA与反比例函数y=（k≠0）的图象的另一支交于点C，

    ∴点A与点C关于原点对称， ∴C（﹣1，﹣3），

    ∵B（m，1）在反比例函数y=的图象上，

    ∴1×m=3，解得m=3，即B（3，1），




    把A（1，3）代入y=﹣x+b得﹣1+b=3，解得b=4， ∴直线AB的解析式为y=﹣x+4，
    当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4，则D（4，0）， ∵点E与点D关于直线x=3对称， ∴E（2，0），
    设直线BC的解析式为y=px+q，
    把B（3，1），C（﹣1，﹣3）代入得 ，解得 ，

    ∴直线BC的解析式为y=x﹣2， 当x=2时，y=x﹣2=0， ∴点E在直线BC上，
    即点B、E、C在同一条直线上；
    （3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，如图2， 当x=0时，y=﹣x+4=4，则M（0，4），

    而B（3，1），E（2，0），F（，0），

    ∴BM= =3 ，BE= = ，EF=2﹣=，

    ∵OM=OD=4，
    ∴△OMD为等腰直角三角形， ∴∠OMD=∠ODM=45°，
    ∵点E与点D关于直线x=3对称， ∴∠BED=∠BDE=45°， ∴∠BMN=∠BEF=135°， ∵∠ABP=∠EBF， ∴△BMN∽△BEF，
    ∴=，即 =，解得MN=，


    ∴N（0，），

    设直线BN的解析式为y=ax+n，


    ，解得 把B（3，1），N（0，）代入得 ，


    ∴直线BN的解析式为y=﹣x+，




    ， 得 或 解方程组




    ∴P点坐标为（，）．


    故答案为3，，．






    【点评】本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质；会利用待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，能通过解方程求它们的交点坐标；会运用相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式． 26．（8分）（2017•镇江）如图1，Rt△ACB 中，∠C=90°，点D在AC上，∠CBD=∠A，过A、D两点的圆的圆心O在AB上．
    （1）利用直尺和圆规在图1中画出⊙O（不写作法，保留作图痕迹，并用黑色水笔把线条描清楚）；
    （2）判断BD所在直线与（1）中所作的⊙O的位置关系，并证明你的结论； （3）设⊙O交AB于点E，连接DE，过点E作EF⊥BC，F为垂足，若点D是线 段AC的黄金分割点（即=），如图2，试说明四边形DEFC是正方形）．

    【考点】MR：圆的综合题． 【分析】（1）如图1，作线段AD的垂直平分线交AB于O，然后以点O为圆心，OA为半径作圆；
    （2）连接OD，如图1，利用∠A=∠ODA、∠CBD=∠A得到∠CBD=∠ODA，则可证明∠ODB=90°，然后根据切线的判定方法可判断BD为⊙O的切线；
    （3）先证明△CDB∽△CBA得到CB2=CD•CA，再根据黄金分割的定义得到AD2=CD•AC，则AD=CB，接着证明△ADE≌△BCD得到DE=DC，易得四边形CDEF为矩形，然后根据正方形的判定方法可判断四边形DEFC是正方形． 【解答】解：（1）如图1，⊙O为所作；




    （2）BD与⊙O相切．理由如下： 连接OD，如图1， ∵OA=OD，
    ∴∠A=∠ODA， ∵∠CBD=∠A， ∴∠CBD=∠ODA， ∵∠C=90°，
    ∴∠CBD+∠CDB=90°， ∴∠ODA+∠CDB=90°， ∴∠ODB=90°， ∴OD⊥BD，
    ∴BD为⊙O的切线；
    （3）∵∠CBD=∠A，∠DCB=∠BCA， ∴△CDB∽△CBA， ∴CD：CB=CB：CA， ∴CB2=CD•CA，
    ∵点D是线段AC的黄金分割点， ∴AD2=CD•AC， ∵AD=CB， ∵AE为直径， ∴∠ADE=90°，
    在△ADE和△BCD中 ，
    ∴△ADE≌△BCD， ∴DE=DC， ∵EF⊥BC， ∴∠EFC=90°，
    ∴四边形CDEF为矩形， ∴四边形DEFC是正方形．

    【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握正方形的判定方法、圆的定义、圆周角定理和切线的判定方法；会利用相似比表示线段之间的关系，记住黄金分割的定义；会作线段的垂直平分线． 27．（8分）（2017•镇江）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t＞0），二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为点D．




    ；

    （2）点E是二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合），求OE•EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式； （3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y=x2+bx（b＜0）的图象于点M、N，连接DM、DN，当△DMN≌△FOC时，求t的值．
    （1）当t=12时，顶点D到x轴的距离等于

    【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）当t=12时，B（4，12），将点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b的值，于是可得到抛物线的解析式，最后利用配方法可求得点D的坐标，从而可求得点D到x轴的距离； （2）令y=0得到x2+bx=0，从而可求得方程的解为x=0或x=﹣b，然后列出OE•AE关于b的函数关系式，利用配方法可求得b的OE•AE的最大值，以及此时b的值，于是可得到抛物线的解析式；
    （3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．依据全等三角形的性质可得到MN=CO=t，DG=FH=2，然后由点D的坐标可得到点N的坐标，最后将点N的坐标代入抛物线的解析式可求得t的值． 【解答】解：（1）当t=12时，B（4，12）．
    将点B的坐标代入抛物线的解析式得：16+4b=12，解得：b=﹣1， ∴抛物线的解析式y=x2﹣x．
    2
    ∴y=（x﹣）﹣．
    ∴D（，）．



    ∴顶点D与x轴的距离为．


    故答案为：．

    （2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2+bx=0，解得x=0或x=﹣b， ∵OA=4，
    ∴AE=4﹣（﹣b）=4+b．
    ∴OE•AE=﹣b（4+b）=﹣b2﹣4b=﹣（b+2）2+4， ∴OE•AE的最大值为4，此时b的值为﹣2， ∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x．



    （3）过D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H．

    ∵△DMN≌△FOC，
    ∴MN=CO=t，DG=FH=2．


    ∵D（﹣，﹣），

    ∴N（﹣+，﹣+2），即（，）．


    2 把点N和坐标代入抛物线的解析式得：=（）+b•（），


    解得：t=±2 ． ∵t＞0， ∴t=2 ． 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、配方法求二次函数的顶点坐标，全等三角形的性质，求得点N的坐标（用含b和t的式子表示）是解题的关键． 28．（11分）（2017•镇江）【回顾】
    如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于 3 ． 【探究】
    图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边
    形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=，
    小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°=，

    请你写出小明或小丽推出sin75°=的具体说理过程．

    【应用】
    在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5） （1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；
    （2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．




    【考点】LO：四边形综合题．
    【分析】回顾：如图1中，作AH⊥BC．求出AH即可解决问题；
    探究：如图2中，根据S四边形ABCD=BC•AB•sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH列出方程即可解决问题；
    应用：①作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．因为EC=EH，推出EB+EC=EB+EH，在△EBH中，BE+EH≥BH，推出BE+EC的最小值为BH，求出BH即可解决问题；
    ②结论：点G不是AD的中点．理由反证法证明即可． 【解答】由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH= a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC= b，
    解：回顾：如图1中，作AH⊥BC．

    在Rt△ABH中，∵∠B=30°，AB=3，

    ∴AH=AB•sin30°=，


    ∴S△ABC=•BC•AH=×4×=3，


    故答案为3．

    探究：如图2中，

    由题意可知四边形EFGH是矩形，AB=CD=2a，AH=DH=BF=CF=b，EF=GH= a﹣b，EH=FG=b﹣a，BC= b，
    ∵S四边形ABCD=BC•AB•sin75°=2S△ABE+2S△BFC+S矩形EFGH

    ∴ b•2a•sin75°=2××a× a+2××b2+（ a﹣b）（b﹣a），


    ∴2 absin75°= ab+ab，

    ∴sin75°=．

    如图3中，




    易知四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=75°， ∴S四边形EFGH=2•S△ABE+2•S△ADF+S平行四边形ABCD，

    ∴（a+b）（ a+b）═2××a× a+2××b2+ b•2a•sin75°，



    ∴sin75°=．


    应用：①作C关于AD的对称点H，CH交AD于J，连接BH，EH．

    在Rt△DCJ中，JC=CD•sin75°=（ + ），


    ∴CH=2CJ=（ + ），

    222在Rt△BHC中，BH=BC+CH=36+（ + ）2=86+25 ，

    ∵EC=EH，
    ∴EB+EC=EB+EH，
    在△EBH中，BE+EH≥BH， ∴BE+EC的最小值为BH，
    ∴t=BE+CE，t2的最小值为BH2，即为86+25 ．


    ②结论：点G不是AD的中点．
    理由：作CJ⊥AD于J，DH⊥CG于H．

    不妨设AG=GD=5，∵CD=5， ∴DC=DG，∵DH⊥CG， ∴GH=CH=3，



    在Rt△CDH中，DH= = =4，

    ∵S△DGC=•CG•DH=•DG•CJ，
    ∴CJ=，

    ∴sin∠CDJ==，
    ∵∠CDJ=75°，

    ∴与sin75°=矛盾，

    ∴假设不成立，
    ∴点G不是AD的中点．
    【点评】本题考查四边形综合题、锐角三角函数、勾股定理、三角形的面积．轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会理由分割法求四边形的面积，学会用反证法解决问题，属于中考压轴题．




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