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    北京大学数学科学学院双学位课程介绍

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    北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*---------------
    课程编号：00131700课程名称：数学分析课程类型：必修课每周4+1学时，5学分先修要求：高等数学（两学期）大体目的：
    1.实数与极限的理论、函数的可积性、数项级数，函数列与函数级数一致收敛性的大体知识。
    2.培育学生的抽象思维和推理能力，加深学生对微积分的理论基础的了解，为进一步学习后续数学课程作必要的理论预备。内容提要：
    一.实数与极限的理论
    1.实数理论初步及序列极限。2.确界存在定理，区间套定理，聚点。3.紧性定理（序列紧，有限覆盖，一致持续）。4.完备性（哥西大体列，实数的另一种概念）。5.上极限与下极限。二．持续函数
    1.持续函数的大体性质2.闭区间上持续函数的性质3.一致持续。三.定积分的理论基础
    2.达布和，上积分与下积分。。

    北京大学数学科学学院*双学位课程介绍*---------------
    四．数项级数
    1.数项级数的概念。2.正项级数。3.任意项级数。4.级数的性质。5.无穷乘积。
    五.函数列与函数级数的一致收敛性1.大体问题
    2.一致收敛的概念及其判别法
    3.一致收敛函数列与函数项级数的性质。教学方式：课堂教学教材或参考书：
    1.教材：«数学分析《第一册》《第二册》»伍胜健，北京大学
    出版社。
    2.参考书：«数学分析简明教程»邓东皋等，高等教育出版社成绩评定方法：平常成绩20%，期末考试80%。课程编号：00131710课程名称：高等代数课程类型：必修课每周4+1学时，5学分先修要求：线性代数大体目的：
    1.高等代数是学习和研究近代数学的重要基础，在自然科学、社会科学、经济领域都有重要应用。本课程使学生学习和了解多项式、线性空间和线性变换等大体知识。

    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------
    2.培育学生具有数学的思维方式、创新精神，和解决实际问题的初步能力。内容提要：一.多项式环
    1.大体概念。
    2.整除性，带余除法，最大公因式。3.不可约多顶式，唯一因式分解定理。4.重因式。5.多项式的根。
    6.复数域、实数域上的不可约多项式。7.有理数域上的不可约多项式。8.多元多项式。9.对称多项式。二.线性空间
    1.大体概念。
    2.子空间及其交与和，维数公式。3.子空间的直和。4.商空间。三.线性变换
    1.大体概念。2.线性映射的核和象。3.线性映射的矩阵表示。4.线性变换可对角化的条件。

    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------
    5.不变子空间。
    6.Hamilton-Cayley定理，最小多项式。7.Jordan标准型简介。
    四．具有气宇的线性空间1.双线性函数。2.Euclid空间。
    3.正交变换和对称变换。4.酉空间。教学方式：课堂教学教材：
    «高等代数»(第二版下册，丘维声高等教育出版社2003年学生成绩评定：作业成绩（20%）期末考试成绩（80%）课程编号：00136360课程名称：实变函数与泛函分析课程类型：必修课每周4+1学时，5学分先修要求：《数学分析》
    大体目的：学习Lebesgue测度与Lebesgue积分的大体理论，学习Lp空间的基础知识，学习Hilbert空间和Banach空间的一样理论。为学生提供实分析和泛函分析的基础知识和大体训练，提高分析论证能力，培育以抽象空间为工具研究和解决实际问题的能力，学会无穷维空间中处置线性问题的分析方式。内容提要：
    一、集合与点集（8学时）.集合及其运算

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    .映射
    .n维欧氏空间Rn
    二、Lebesgue测度（8学时）
    .外测度与可测集.可测函数
    .可测函数列的收敛性三、Lebesgue积分（12学时）
    .可测函数的积分
    .Lebesgue积分的极限定理.重积分与累次积分四、Lp空间（8学时）
    1.Lp空间2.L2空间
    五、Hilbert空间（12学时）
    1.距离空间2.Hilbert空间
    3.Hilbert空间上的有界限性算子六、Banach空间（12学时）
    1.Banach空间
    2.Banach空间上的有界限性算子3.Banach空间上的持续线性泛函
    教学方式：课堂教学
    教材：《实变函数与泛函分析》郭懋正北京大学出版社

    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------
    成绩评定方法：作业与期中考试成绩（40%），期末考试成绩（60%）。课程编号：00136250课程名称：近世代数课程类型：必修课每周4+1学时，5学分先修课要求：高等代数大体目的：
    本课程的目的是引导学生把握近世代数的大体概念，主要是群、环、域的概念，和有关群、环、域的大体理论，从而达到对近世代数的语言与理论有所了解的目的，为学习现代数学、物理或其他科学提供基础。内容提要：一、引论
    1.本课程的研究对象
    2.域、环、群的概念与简单性质二、群1.群的例子2.子群，同构，同态
    3.群在集合上的作用，概念与例子4.群作用的轨道
    5.陪集，Lagrange定理，稳固化子，轨道长6.循环群与互换群7.正规子群和商群8.同态大体定理三、域和环

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    1.环的例子，几个大体概念
    2.整数模n的剩余类环，素数p个元的域
    3.F[x]模某个理想的剩余类环，添加一个多项式的根的扩域4.分式域、素域5.中国剩余定理
    6.域的扩张，扩张次数，单扩张的构造7.有限域
    四、有因式分解唯一性的环1.整环的因式分解2.欧氏环，主办想整环3.互换环上的多项式环4.唯一因式分解环上的多项式环教学方式：课堂教学教材：
    《近世代数初步》（第二版）石生明高等教育出版社2006年学生成绩评定：作业成绩（20%）期末考试成绩（80%）课程编号：00136350课程名称：概率论课程类型：必修课每周4+1学时，5学分先修要求：微积分，线性代数（或相当高等数学）大体目的：
    1.本课程的目的是引导学生学习用数学的语言，来刻划、表达与抽象随机现象，着重在随机现象的“建模”。同时，这一课程也使学生对已学过的集合论、微积分、高等代数等数学知识有运用的机遇，

    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------在提高学生分析问题，解决问题的能力方面是一个专门好操练机遇。2.重点放在随机现象的刻划，形成概率空间的概念。例如在概率空间这一部份，重在由等可能性分析过到一样的概率空间。对随机变量，重点也在要学生把握它的统计特点的刻划方式。关于古典概型不宜过多陷于排列组合的计算技术。内容提要：
    1.随机事件及其概率1概率的素朴概念。2古典概型。
    3事件的集合表达，事件运算与集合运算的对应。4概率的加法公式。
    5概率的公理化概念及概率的要紧性质。
    6条件概率（对正概率事件的条件概率）与全概公式。7独立性。
    1离散型随机变量及其取值机遇的描述。2持续型随机变量及其取值机遇的描述。3散布函数。
    4随机变量函数的散布（简单情形）。
    5随机变量概念的抽象。维随机变量（向量）
    1n维随机向量统计特点的刻划。2联合散布与边缘散布。

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    3独立性。
    4随机变量函数的散布（多维）。5n维正态散布。6条件散布。7顺序统计量。
    4.随机变量和随机向量的数字特点1期望（概率加权平均概念的抽象）。2随机变量函数的期望公式。3方差、协方差与相关系数。4条件期望。5.概率极限定理
    1大数定律与切比雪夫不等式，壮大数律（结果与概念）。2中心极限定理。6.随机进程
    1）独立增量进程。2）马尔可夫链。3）分支进程。4）平稳进程。
    教学方式：课堂教学
    教材：《概率与统计》陈家鼎郑忠国北京大学出版社（07、8）参考书:《概率统计讲义》陈家鼎等编高等教育出版社《概率论基础教程》S﹒M﹒Ross著，郑忠国等译人民邮电出版社2007学生成绩评定：期末考试为主，期中考试与平常作业为辅。

    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------
    课程编号：00136590课程名称：复变函数课程类型：必修课每周4+1学时5学分先修要求：数学分析、高等代数大体目的：
    明白得和把握复变函数的大体理论，通过学习进一步增强对数学逻辑推理和计算的训练，体会复变函数所表现的数学的优美的地方，了解其相关的应用。内容提要：
    1.复数及扩充复平面。2.解析函数概念。定理和Cauchy公式。级数。
    5.留数定理和辐角原理。6.解析开拓。映射定理简介。教学方式：课堂教学教材与参考书：
    1．《复变函数简明教程》谭小江，伍胜健北京大学出版社
    2．《复变函数教程》方企勤北京大学出版社3.Ahlfors,.:ComplexAnalysis,.NewYork.1979成绩评定：平常作业20%，期中考试30%，期末考试50%
    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------

    课程编号：00136840课程名称：统计学课程类型：必修课每周4+1学时5学分先修要求：概率论大体目的：
    数理统计学是研究如何有效地搜集数据，如何对数据进行推理，以便对问题进行推断或预测，从而对决策和行动提供依据和建议。数理统计学是应用普遍的基础性学科。
    通过教学，使学生把握这门科学的大体概念和大体思想。大体的统计方式及有关的理论。使学生了解大量实际问题的类型及与数理统计学的联系。还要求学生能正确进行计算和利用统计表。内容提要：。（最大似然估量，矩估量）。
    (均方误差，UMVU估量。4.估量的相合性和渐近正态性。5.置信区间。
    ，N－P引理及似然比查验。
    7.广义似然比查验和关于正态整体的查验。
    8.拟合优度查验。
    9.一元线性回归，多元线性回归（参数估量和查验）。10.预测和操纵。11.变量选择和方差分析。12.统计决策与贝叶斯分析简介。
    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------
    教学方式：课堂教学
    教材：《概率与统计》陈家鼎郑忠国北京大学出版社（07、8）

    参考书：
    《概率统计讲义》陈家鼎刘婉如汪仁官高等教育出版社学生成绩评定：期末考试为主，期中考试与平常作业为辅。课程编号：00136260课程名称：常微分方程课程类型：必修课每周4+1学时5学分先修要求：高等数学几类一阶微分方程的初等解法。
    线性方程和线性方程组的解法。
    3.把握微分方程的大体理论，如解的存在唯一性、解的延伸和对初值及参数的持续依托性。
    4.把握二阶微分方程的斯托姆--刘维尔边值问题的理论。内容提要：
    。
    2.解的存在唯一性、解的延伸及解对初值和参数的持续依托性。
    3.常系数线性微分方程组。4.方程的幂级数解法。线性微分方程的边值问题。。教学方式：课堂教学教材或参考书：
    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------
    1.《常微分方程教程》第二版丁同仁李承治高教出版社2．《常微分方程》王高雄周之铭朱思铭王寿松高教出版社2000第二版3.《常微分方程》（有中译本）学生成绩评定方式：
    平常作业和期中考试成绩（40%）期末考试成绩（60%）

    课程编号：00136240课程名称：拓扑学课程类型：选修课每周4+1学时5学分先修要求:高等代数近世代数大体目标：
    1.拓扑学是学习和研究近代数学的重要基础，本课程使学生了解拓扑学的大体概念。
    2.使学生取得抽象思维和逻辑推理的训练，提高数学能力。内容提要：
    1．拓扑空间及有关的大体概念；持续映射和同胚映射，乘积空间和拓扑基。
    2.分离公理和可数公理；紧致性和连通性。3.拓扑流形和闭曲面分类定理。4．大体群。
    教学方式：课堂教学为主。
    教材或参考书：
    1.《基础拓扑学讲义》尤承业北京大学出版社
    学生成绩评定方式:作业20分，期中考试20分，期末考试60分。

    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------
    课程编号：00136230课程名称：微分几何课程类型：选修课每周4+1学时5学分先修要求:高等代数线性代数解析几何大体目的：
    1.熟悉欧氏空间中常见曲线和常见曲面的方程和形状。2.掌握欧氏空间中曲线和曲面的各种曲率的计算。

    3.掌握欧氏空间中曲线和曲面微分几何的基本理论和基本方法。4.了解曲面内蕴微分几何的意义，大体概念和理论。内容提要：
    1.曲线论：曲线的曲率和挠率，Frenet公式，曲线论大体定理。2.曲面论：
    1）曲面的第一大体形式。
    2）曲面的第二大体形式，法曲率，主曲率，主方向，平均曲率，Gauss曲率。3）Gauss-Codazzi方程。4）曲面论大体定理。
    3.曲面内蕴微分几何：Gauss定理，测地曲率，测地线，Gauss-Bonnet公式。教学方式：课堂教学。教材或参考书：
    1.《微分几何初步》陈维桓北京大学出版社
    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*--------------
    学生成绩评定方式:
    平常作业15分，期中考试25分，期末考试60分。课程编号：00136220课程名称：运筹学课程类型：选修课每周4+1学时5学分先修要求：无大体目的：

    1.从运筹学的来源：军事、治理、经济等几个方面入手，进行大体案例分析，使学生了解运筹学的重要意义。2.把握求解运筹学大体问题的大体方式。3.学会用运算机解决运筹学的问题。内容提要：
    下面的各个内容都将包括大体案例分析。通过实例，揭露运筹学的意义性。
    1.线性计划、对偶问题、运输问题及其求解方式。2.整数计划、指派问题、物流合理化。3.动态计划及其应用。
    4.图与网络，网络最大流及最短路问题。
    5.计谋与决策，它们在竞争、对抗、利益分派方面的应用，在金融、治理的应用。
    6.随机效劳系统，系统的优化。
    7.存贮论的大体概念，确信性与随机性存贮模型。教学方式：课堂教学与上机实验相接合。教材或参考书：
    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------
    1．《运筹学》清华大学出版社
    2．《有效运筹学》魏国华傅家良周仲良复旦大学出版社学生成绩评定方式：考试50分，平常成绩50分。课程编号：00136830课程名称：数学应用软件
    课程类型：选修课每周4+1学时5学分(包括教学、习题、上

    机实习
    先修要求：统计学，运算机基础大体目的：
    本课程力图让统计和数学双学位的同窗在一个学期时刻内把握统计和数学中经常使用的专用软件的大体知识，能够学会用这些专用软件解决问题。在学习软件同时，巩固学生对概率统计和数学中有关概念的把握，加深明白得。内容提要：
    本课程教学统计专业和数学专业用到的专用软件。统计软件教学SAS系统的利用。SAS系统是国际公认的权威性大型数据治理、分析、开发系统，能够完成大部份实际的统计数据分析任务。数学软件教学LaTeX排版系统和Matlab矩阵计算系统。LaTeX是数学界乃至自然科学界撰写论文的最经常使用工具软件，用好LaTeX对科研工作是一大帮忙。Matlab是流行的矩阵计算系统，在科学工程计算中有很多应用。课程内容包括:

    北京大学数学科学学院*双学位招生简章*---------------
    1.SAS系统入门和SAS/INSIGHT的探讨性数据分析；2.SAS语言及数据治理；3.SAS报表和图形功能；
    4.经常使用统计问题如安在SAS中处置，如假设查验，回归分析，方差分析等；

    5.LaTeX排版常识，如大体文章结构、公式、制表、插图、幻灯演示；
    6.Matlab矩阵计算介绍，包括矩阵计算、数据输入输出、程序操纵结构、子程序。教学方式：课堂教学，上机教材或参考书：
    《统计软件教程》李东风人民邮电出版社学生成绩评定：闭卷考试加平常成绩。



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