主要内容

本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型. 学习本章时应注意以下几点.

1、本章的基本概念较多，且有些概念（如内点、聚点、边界点等）相互联系，形式上也常有类似之处，因而容易混淆. 学习这些概念时要细心认真，注意准确牢固地掌握每一个概念的实质，学习时可同其类似的概念对照，注意区别概念间的异同点.

尤其要注意的是，本章对有些概念（如聚点），给出了多种等价（充要）条件，这将有利于理解概念的本质，特别是在讨论某些具体问题时，如能恰当地选用某种条件，常常会给问题的解决带来方便. 所以对等价条件必须深刻理解，熟练灵活地运用.

2、在开集、闭集和完备集的性质的讨论中，开集是基础，因为闭集是开集的补集，完备集是一种特殊的闭集，所以弄清了开集的性质，闭集和完备集的性质也就自然得到了.

3、本章中定理亦较多，对定理的学习，要注意弄清下述三点：一是定理的条件和要证的结论；二是定理的证明方法和推理过程；三是定理的意义和作用. 要特别注意论证思路和方法，这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力. 同是定理， 然它们的意义和作用也会不尽相同.本章有些定理，如有限覆盖定理（定理2.2.5），聚点存在定理（定理2.1.5）以及直线上开集的结构定理（定理2.3.1）等都是本章中的重要定理，在今后的学习中常有应用.

　　4、康托集是本章给出的一个重要例子. 对它的一些特殊性质，在直观上是难以想象的，比如它既是不包含任何区间的完备集，同时它还具有连续基数 ，下章中我们还将证明它的测度为零. 正是因为它的这些“奇怪”性质，使得它在许多问题的讨论中起着重要作用.

复习题

一、判断题

1、设，，则。（× ）

2、设，，则。（× ）

3、设，则。（× ）

4、设点为点集的内点，则。（√ ）

5、设点为点集的外点，则。（√ ）

6、设点为点集的边界点，则。（× ）

7、设点为点集的内点，则为的聚点，反之为的聚点，则为的内点。（× ）

8、设点为点集的聚点，则为的边界点。（× ）

9、设点为点集的聚点，且不是的内点，则为的边界点。（√ ）

10、设点为点集的孤立点，则为的边界点。（√ ）

11、设点为点集的外点，则不是的聚点，也不是的边界点。（√ ）

12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（√ ）

13、开集中可以含有边界点和孤立点。（× ）

14、是开集的内部（开核）。（√ ）

15、任意多个开集的并集仍为开集。（√ ）

16、任意多个开集的交集仍为开集。（× ）

17、有限个开集的交集仍为开集。（√ ）

18、闭集中的每个点都是聚点。（× ）

19、和都是闭集。（√ ）

20、是闭集。（√ ）

21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（√ ）

22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（× ）

23、有限个闭集的并集仍为闭集。（√ ）

24、是开集是闭集。（√ ）

25、是完全集（完备集）是无孤立点的闭集。（√ ）

二、填空题

1、设，是上的全部有理点，则；的内部 空集 ；。

2、设，，则；的内部 空集 ；。

3、设，，则；的内部；。

4、设是康托（三分）集，则为 闭 集；为 完全 集；没有 内 点； c ； 0 。

5、设为上的开集的构成区间，则满足，且，。

6、设，写出的所有的构成区间。

7、设，写出的所有的构成区间。

8、设为上的闭集，为的孤立点，则必为的两个邻接区间的 公共 端点。

9、设为上的闭集，则的邻接区间必为的构成区间。

三、证明题

1、证明：。

证明：因为，，所以，，，从而

反之，对任意，即对任意，有

为无限集，

从而为无限集或为无限集至少有一个成立，即或，所以，，。综上所述，。

2、证明：若为闭集，则为开集；若为开集，则为闭集。

证明：若为闭集，对任意，有，所以，不是的聚点。注意到为闭集，存在，使得，即，所以，是的内点。故是开集。

（反证法）若不是闭集，则存在的一个聚点，从而。有是开集，存在，所以，这与是的一个聚点矛盾。故为闭集。

3、证明：为闭集。

证明：因为为闭集，则，而，所以。反之，因为，所以，，即为闭集。

4、证明：开集减闭集的差集仍为开集；闭集减开集的差集仍为闭集。

证明：记为开集，为闭集。由于，，且两个开集的交集仍为开集，两个闭集的交集仍为闭集，开集的余集是闭集，闭集的余集是开集，所以，是开集，是闭集。

5、设是上的实值连续函数，则对任意实常数，为开集，为闭集。

证明：对任意，有，由连续函数的局部保号性，存在，使对任意，有，即，所以，，即为的内点。所以为开集。又是开集，所以，为闭集。

6.证明：中任意闭集都可以表示成可数个开集的交。

证：设为任意一个闭集，令，则均是开集，且，从而．下证：．

对，则对,，使得，即

，于是，从而．但是闭集，所以，故．

因此，可以表示成可数个开集的交。证毕。

7．是Ｒ上的连续函数，是开集，则一定是开集．

证明： 若则结论成立；若则对即又是开集，故，又在连续，对上述，使得当时，有，可见，当时，，从而可知，即是开集．