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    线性代数(第一层次III) 试题 西北大学试题真题

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    线性代数（第一层次III）试题西北大学试题真题
    一、填空题（每空3分）
    1．已知四阶行列式
    ．
    ,则的第二列元素的代数余子式的和
    2．已知是二个三维列向量，
    ，则
    ，则
    ．
    则该向量组
    ．
    3．设方阵A满足4．已知向量组无关的充要条件是
    ．
    线性
    5．设
    6．已知向量组
    ，
    则
    的维数
    ，为二阶方阵，且满足
    线性无关，向量组，
    ．
    满足
    ，且
    则
    ，其中
    ，向量空间
    ．
    ，，
    7．已知阶方阵
    ．
    8．已知二次型应满足
    ．
    ，则的一个特征值是
    是正定的，问
    二、（10分）计算阶行列式


    1



    三、（10分）已知二阶方阵二阶单位矩阵，
    是
    满足
    ．
    ，其中，是
    的伴随矩阵，求
    四、（15分）已知线性方程组

    问：
    为何值时，方程组有唯一解、无解、无穷多解？在无穷多解时，求通解．
    五、（10分）已知方阵求
    的值．
    ，是的伴随矩阵的一个特征向量，
    2



    六、（10分）已知
    上的二组基：
    （I），（II）
    （1）求：基（I）到基（II）的过渡矩阵；（2）问：是否存在非零向量
    ，使
    在基（I）下的坐标x与基（II）下的坐标
    满足
    ，
    其中
    ？若存在，求．
    七、（15分）设二次型变换化为标准形
    八、（6分）设

    通过正交
    ，求参数
    及所用的正交变换．
    分别是、
    3
    矩阵，且


    证明
    的列向量组与
    的列向量组等价．

    线性代数（第一层次III）试题西北大学试题真题答案
    一、1.42.-53.4.两两互异
    5.（任意）6.27.-18.
    二、




    4

    三、由得，由于
    ，所以由上式得
    可逆，故
    ．又由于，所以

    四、可求得，于是
    1当2当
    且时，
    时，有惟一解；

    可见
    ，
    ，无解；
    3当时，

    可见
    时，
    ，
    ，无解；而
    时，
    ，
    有无穷多解．此时，同解方程组为
    ，通解为
    ，即
    五、法1设
    （任意），两边左乘
    得
    ，即
    5


    ，也即
    当时，解得可逆时，与
    ．
    又相同的特征向量．于是，设
    ．，即
    法2当
    ，也即
    解得
    六、(1由于
    ．此时
    ，
    ，所以也是的特征向量．，其中
    ，
    所以



    故由基(I到基(II的过渡矩阵为


    （2）坐标变换公式为
    ．当
    时，有
    ，即
    ．由于

    6


    同解方程组为，通解为
    （
    （任意），故任意）
    七、(1二次型的矩阵是
    的特征值．利用
    ，（正交）相似于，于是
    解得
    于是
    ，
    将
    正交化
    ．可求得对应特征值
    ，

    的特征向量分别为
    ，
    再单位化得

    ，
    故正交变换为
    ，

    八、设
    ，

    7

    ．又设

    写成矩阵形式得
    ，
    其中
    ，

    ．由于
    的列向量组线性表示．又由于

    方程组
    有解，故
    的列向量组可由
    的列向量组线性表示．从而
    的列向量组与
    ，方程组
    有解，故
    的列向量组可由
    的列向量组等价．
    8


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