导学

日常生活中，常常会遇到一些带有“脑筋急转弯”性质的题，一般不需要复杂的计算，但需要你的语言的敏感度和思维的灵活性

例题

3只猫3分钟吃掉3条鱼，100只猫，吃掉100条鱼，需要几分钟？

解：3分钟

有一根粗细不均匀的绳子．如果从一端把它点燃，这根绳子能燃烧 2 个小时．但由于绳子

粗细不均匀，所以没法确定燃烧到一半是在什么时候．但现在想用这根绳子来确定 1 个小

时的时间，应该怎么做？

「解」

同时点燃绳子的两端，那么 1 小时后这根绳子刚好烧完．

「评议」

其实大家还可以用两根这样的绳子确定一个半小时，方法如下：先把一根绳子的两头

和另一根绳子的一头点燃， 1 小时候，第一根绳子烧完，第二根烧完一半，这时把第二根

绳子的另一头也点燃，那么燃烧第二根绳子共用一个半小时．

小明去河边打水，要用 11 升和 4 升的两只水桶盛出 3 升水．怎么办？要盛出 1 升、 2 升呢？

「解」

盛 3 升水方法，根据 11−4−4 = 3 （升），所以11升桶装满水，倒掉 4 升水，再倒掉 4 升水．盛1升水方法，根据 11×3−4×8 = 1 ，大桶中的水倒满 3 次，小桶中的水倒满 8 次，这时大桶中剩下的水就是 1 升．盛 2 升水方法，根据 11−4×2 = 3 ， 11−4×2−1 = 2 （升），所以 11升大桶装满水，倒掉 4 升水，再倒掉 4 升水，剩下的 3 升水倒入 4 升桶内，再将大桶装满水，先倒出 1 升水，再倒出 8 升水，大桶就剩下 2 升水．

「评议」

像这种问题，可以借助于计算凑数，比如例题 5 ，题目只给了 11 升和 4 升的容量，所以

只能通过 11 和 4 凑数．

丙开始买了 64 瓶汽水，如果 4 个空瓶可以换一瓶汽水，那么他最多能喝到

多少瓶汽水？如果他开始买了 67 瓶汽水呢？

「解」如果他开始买了 67 瓶汽水，那么：先把其中 64 瓶汽水喝完，剩 3 瓶．用

这 64 个空瓶可以换 16 瓶汽水；然后把这 16 瓶汽水喝完，再用这 16 个空

瓶换 4 瓶汽水；再把这 4 瓶汽水喝完，用这 4 个空瓶换 1 瓶汽水．最后把

这 1 瓶 和 最 开 始 剩 下 的 3 瓶 喝 完 ， 可 以 再 换 1 瓶 ． 一 共 可 以 喝

64+16+4+1 = 85 （瓶）汽水．

一班同学一共有 49 人．现在他们要过一条河，如果只有一条可乘 7 人的橡

皮船，从河的一边划到对岸需要 3 分钟，那么把全班同学都运到河对岸，

最少需要多少分钟？

「解」先固定一个人当船夫，每次只能运 6 个人过河．剩下 48 个人，需要运 7 个

来回再加 1 个单趟，即过河 15 次．最少需要 15×3 = 45 （分钟） ．

「评议」在这类过河问题中，有一个人要充当划船的角色，即每次可以过去

的人数是 7-1 = 6 （人） ．

一班同学一共有 26 人．现在他们要过一条河，如果只有一条可乘 6 人的橡

皮船，过一次河需要 4 分钟，那么把全班同学都运到河对岸，最少需要多

少分钟？

答案：需过 9 次河，最少需 36 分钟．

一名农夫带着一只狗、一只兔和一筐白菜要过河．只有一只小船，农夫一次

可以带一样东西过河．农夫不在的情况下，狗会咬兔子，兔子会吃白菜．农

夫用什么办法可以安全地将三样东两都带过河呢？

「解」先运兔子过河，然后返回；再运狗过河，将兔子带回；再带白菜过河，返回；

最后运兔子过河．

现有形状完全相同的 3 枚硬币，已知其中有一枚假币，它和真币的重量不

一样，但是不知道假币比真币轻还是重，现有一台无砝码的天平，至少要称

几次，才能找出这枚假币，并且推算出假币比真币轻还是重？

分情况讨论：先取其中两个硬币，放在天平的两端．

如果天平平衡，说明这两枚都是真币；那么，剩下的一枚是假币．

如果天平不平衡，用第三枚替换其中任意一枚．

如果替换后，天平平衡，说明被换下来的那枚硬币是假币．比较之前的天平

状况，可以判断出假币比真币轻还是重．

如果替换后，天平不平衡，说明交换双方的两枚硬币是真币．可以确定哪一

枚是假币．比较之前的天平状况，可以判断出假币比真币轻还是重．

「评议」可以在此题基础上继续提问，其他条件不变的情况下，硬币变成 9

枚，该怎样推算？

4 个同样的盒子排成一排，小明把 6 个同样的棋子分装在盒中，其中

只有一个盒子没有装棋子， 然后他外出了． 小光从两个有棋子的盒子里各拿

一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来仔细查看了一番，

没有发现有人动过这些盒子和棋子．那么小明是怎样把这 6 个棋子放到盒

子中的？

解：原来这 4 个盒子里放的棋子数分别是： 0，1，2，3 ．小光从棋子数

为 1，2 的两个盒子中，各取出一个放入空盒，棋子数变成： 2，0，1，3 ． 然

后，小光再把盒子重新排了一下．

甲让乙给客人烧水沏茶。洗开水壶要用 1 分钟，烧开水要用 15 分钟，洗茶壶要用 1 分钟，

洗茶杯要用 1 分钟，拿茶叶要用 2 分钟。乙估算了一下，完成这些工作要花 20 分钟。为

了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟？

「解」

除了烧开水外的四项工作，都需要乙亲自完成，所以必须一个接一个的去完成，没有哪两

项可以同时去做。

烧开水时，经常做家务的同学知道乙是闲着的，所以他可以同时去做一些其它工作，在剩

下的四项工作中，洗开水壶不能做，因为它必须在烧开水前完成，不过除此之外的三项工

作都可以去做。

至此已经分析完所有的工作，之后如何安排工作便是一件很清晰的事情。

乙先洗开水壶，紧接着烧开水，在烧开水的过程中依次去完成其它三项工作，这时需要的

时间最少，是 16 分钟。

有 100 根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取 1 根， 2 根， 3 根， 4 根火柴，谁取到最后一根火柴谁输。甲先取，问：谁有必胜的策略？

「解」

如果剩 1 根，那么先取的输。

如果剩 2 至 5 根，先取可以取得剩 1 根，所以先取必胜。

如果剩 6 根，先取的取完后剩 2 至 5 根，那么根据上面的分析知，先取的输。

如果剩 7 至 10 根，先取的取完后可以保证剩 6 根，他必胜。

根据上面的分析，对 100 根的总数，甲可以取 4 根，剩 96 根，等乙取完后，甲再取使得

剩下 91 根，之后每次甲只要使自己取完后剩下的数目是 5 的倍数加 1 ，那最后 1 根必然是乙取到，所以甲必胜。

黑板上写有 1，2，3，4，5，…，2009 这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自

然数，如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜，请问谁有必胜的

策略，具体的策略是怎样的。

「解」

如果只有 1、2、3 ，那么甲擦去一个奇数后获胜。

如果是 1 到 5 ，甲擦去一个奇数后剩下两奇两偶，接下来如果乙擦去一个奇数，那甲擦去

一个偶数，甲胜；如果乙擦去一个偶数，那甲擦去一个奇数，还是甲胜。

通过上面的分析，对 2009 个数字，可以为甲设计一个策略：首先他擦去一个奇数，等乙

擦完后，甲擦去一个和乙选择的数字奇偶性不同的数，这样可以保证每次甲擦完后，剩下

的数中都是一半奇数，一半偶数，那最后剩的两个数，奇偶性一定是不同的，所以甲必胜。

甲乙两人玩一个游戏：有两堆小球，一堆 2009 个，一堆 2008 个，甲乙两人轮流从中取

球，每次只能从同一堆中拿，个数不为零即可。如果规定最后拿完球的人为赢，甲先取，

问谁有必胜的策略？

答案：甲必胜，甲先从 2009 那堆拿 1 个，以后甲每次和乙拿不同堆，但数目与乙拿的数

目相同。

评议：如果是3堆，每堆的数量分别是4、5、6呢？

桌子上又7只杯子，杯口均朝上，每次翻动4只杯子，能否经过若干次翻动后，使全部杯口朝下？为什么？

答案:不能。