第五章 曲线运动

5.7 向心力

张成进 江苏徐州睢宁魏集中学

★教学目标

(一) 知识与技能

1. 知道什么是向心力，理解它是一种效果力

2. 知道向心力大小与哪些因素有关。理解公式的确切含义，并能用来进行计算

3. 结合向心力理解向心加速度

4. 理解变速圆周运动中合外力与向心力的关系

(二) 过程与方法

1. 从受力分析来理解向心加速度，加深对牛顿定律的理解。

2. 通过用圆锥摆粗略验证向心力的表达式的实验来了解向心力的大小与哪些因素有关，并理解公式的含义。

3. 经历从匀速圆周运动到变速圆周运动再到一般曲线运动的研究过程，让学生领会解决问题从特殊到一般的思维方法。并学会用运动和力的观点分析、解决问题。

(三) 情感态度与价值观

1. 通过亲身的探究活动，使学生获得成功的乐趣，培养学生参与物理活动的兴趣。

2. 经历从特殊到一般的研究过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。

3. 实例、实验紧密联系生活，拉近科学与学生的距离，使学生感到科学就在身边，调动学生学习的积极性，培养学生的学习兴趣。

★教学重点

1. 理解向心力的概念和公式的建立。

2. 理解向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小。

3. 运用向心力、向心加速度的知识解释有关现象。

★教学难点

1. 理解向心力的概念和公式的建立。

2. 运用向心力、向心加速度的知识解释有关现象。

★教学过程

一、引入

师：同学们，在上节课的学习中，我们单纯从运动学角度用公式对匀速圆周运动的加速度进行了研究，得到的结论是：匀速圆周运动的加速度大小为，方向总是与速度方向垂直，始终指向圆心。于是我们把匀速圆周运动的加速度又称作向心加速度。

师：今天我们将结合物体受力从动力学角度用公式来研究向心加速度。

师：现在我们已知知道了匀速圆周运动的加速度的特点，有哪位同学能告诉我：物体做匀速圆周运动时所受的合外力有什么特点？

生：根据公式，我们知道做匀速圆周运动的物体所受的合外力应该是，方向总是与速度垂直指向圆心。

二、向心力

师：由于做匀速圆周运动的物体受到的合外力始终指向圆心，所以我们把匀速圆周运动物体所受的合外力又称作向心力。

【定义】：做匀速圆周运动的物体所受的合外力由于指向圆心，所以该合外力又叫做向心力。

师：做匀速圆周运动的物体所受的合外力真的指向圆心吗？下面我们结合几个实例体会验证一下这个结论。毕竟理论只有结合实际才能被更透彻地理解。

①地球绕太阳的运动可以近似看成匀速圆周运动，试分析做匀速圆周运动的物体（地球）所有受的合外力的特点。

【解析】：地球只受到太阳对它的吸引力，合力即为吸引力。该吸引力指向地球做圆周运动的圆心即日心。

②光滑桌面上一个小球，由于细绳的牵引，绕桌面上的图钉做匀速圆周运动。

【解析】：小球受重力、支持力、绳子的拉力。合力是绳子的拉力，方向沿绳子指向圆心（图钉）

③使转台匀速转动，转台上的物体也随之做匀速圆周运动，转台与物体间没有相对滑动

【解析】：物体受重力、支持力、静摩擦力。合外力为静摩擦力，方向指向圆心。

师：大家结合生活实验仔细体会向心力的定义，回答下面的问题。

【问题】：向心力是不是像重力、弹力、摩擦力那样按性质来命名的？如果是，那么它的施力物体是什么？如果不是，那它是按什么来命名的？

【解析】：向心力不是按性质命名的，它只是做匀速圆周运动的物体所受的合外力。是按效果命名的。本质上它是做匀速圆周运动的物体所受的合外力，只是因为其特殊性：始终指向圆心。所以才把匀速圆周运动这种特殊运动下的合外力又叫做向心力。按效果命名的力还有：动力、阻力、压力、支持力等。

【形象比方】:打个形象的比方：搬运工是什么人？男人？女人？小孩？还是老人？不能这样说。搬运工是个角色名称，只要做的是这个工作，它就可以冠以搬运工的名。一个大人做这个工作，则这个大人可以叫做搬运工；两个小孩做这个工作，则这两个小孩也可以叫做搬运工。

【牢记】：向心力是效果力，不是按性质命名的新的类型的力。

例1、分析下面各种匀速圆周运动中向心力是由哪些力提供？

1 玻璃球沿碗（透明）的内壁在水平面内运动；或者漏斗里的运动，如图。（不计摩擦）

【解析】：支持力、重力。向心力为重力与支持力的合力。由于这两个力的合力必须指向圆心，将支持力沿水平和竖直方向分解后就有如图所示的结论。

②圆锥摆运动：细线下面悬挂一钢球，细线上端固定，设法使小球在水平面面上做圆周运动。

【解析】：重力、绳子拉力。向心力为这两个力的合力，指向圆心。受力分析如下图

【公式】:

【单位】：N

【方向】:总是与速度垂直，时刻指向圆心。

观看视频文件：飞机拐弯；花样滑冰；链球运动；摩擦力提供向心力；圆锥摆应用

例2如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起作匀速圆周运动，则A的受力情况是（  ）

　　A、受重力、支持力

　　B、受重力、支持力和指向圆心的摩擦力

　　C、重力、支持力、向心力、摩擦力

　　D、以上均不正确

【解析】：因为物体做的是匀速圆周运动，所以有物体所受的合外力应该指向圆心。对物体受力分析知：物体A在水平转台上，其受重力G竖直向下，支持力F竖直向上，这两个力是一对平衡力。这两个力的合力是0，更不可能指向圆心，所以物体与转台间一定有静摩擦力，且摩擦力的方向一定指向圆心。当然我们也可以从静摩擦力的定义来判断静摩擦力的方向。静摩擦力的方向与相对运动趋势方向相反。假设A与转盘之间无摩擦力，A将沿切线方向飞出去，发生相对运动．因而A与转盘间有相运动趋势，A必受静摩擦力的作用．那么A所受的静摩擦力是不是沿切线方向跟物体飞出去的方向相反呢？这里就必须搞清参考系的问题．我们说A沿切线飞出是相对于地球而言的，而现在是转盘给了A静摩擦力，因而必须以转盘为参考系来说明A相对运动趋势的方向．如图所示，在A沿切线飞至C的同时，转盘上A原来所处的位置就转到了B点，可以看出，A相对于转盘是沿半径远离圆心的，这正是A相对于转盘运动趋势的方向，所以，物体A受到的静摩擦力的方向必然是沿着半径指向圆心的．

解：正确选项为B．

三、向心力的作用效果

师：现在我们来讨论向心力的作用效果。力的作用效果可以物体的运动状态发生变化，要讨论力的作用效果，就是要讨论在该力作用下物体的运动状态是如何变化的。

师：我们都知道在向心力的作用下物体做的是匀速圆周运动，那做匀速圆周运动的物体的运动状态是如何变化的？

生：速度大小不变，方向不断变化。

师：也就是说向心力的作用效果是只改变物体的运动方向，不改变物体的速度的大小。上节课学习向心加速度的时候也说过，向心力产生的向心加速度是用来描述物体速度方向变化快慢的物理量。

【牢记】：向心力的作用效果是只改变速度的方向，不改变速度的大小。

师：既然力与速度垂直时的作用效果是只改变速度方向，不改变速度大小，那力与速度同一直线时的作用效果是什么呢？

生：学面的学习中我们已经了解到：合外力与速度同一直线时，物体做直线运动，同向加速，反向减速。从这个结论我们可以看到：当力与速度同一直线时，力只改变物体速度的大小，不改变速度的方向。

师：回答得很好！那如果力与速度既然不在同一直线上，也不垂直，那这种情况下力的作用效果是什么？

生：我们可以利用力的分解合成把这个力分解到速度所在的直线上和与速度垂直的方向上，则速度方向上的分力改变速度大小，不改变方向；垂直速度方向上的分力只改变速度方向，不改变速度大小。综合来看就是这个力既改变速度大小，也改变速度方向。

师：回答得非常好！到此，我们对力与运动的理解更透彻了。

【牢记】：

①力与速度同一直线，力只改变速度大小，不改变速度方向。

②力与速度垂直，力只改变速度方向，不改变速度大小。

③力与速度成其它任意角度，根据力的分解合成将力分解到速度所在直线和与速度垂直的直线上，则有力既改变速度大小，同时也改变速度方向。

四、用圆锥摆粗略验证向心力的表达式

指导学生阅读教材 “实验”部分，引导学生思考下面的问题：

1、实验器材有哪些？

2、简述实验原理（怎样达到验证的目的）

3、实验过程中要注意什么？测量那些物理量（记录哪些数据）？

4、实验过程中差生误差的原因主要有哪些？

学生认真阅读教材，思考问题，学生代表发言。教师点评、总结。

学生分组实验，独立验证。教师巡视，及时发现并记录学生实验过程中存在的问题。

教师听取学生汇报验证的结果，引导学生对实验的可靠性作出评估。

注：d1指悬挂点到纸面的距离,d2指球心到纸面的距离，

d指悬挂点到球心的距离

观看动画：圆锥摆

师生互动，得出结论：

1、实验的过程中，多项测量都是粗略的，存在较大的误差，用两个方法得到的力并不严格相等。

2、通过实验我们还体会到，向心力并不是像重力、弹力、摩擦力那样具有某种性质的力来命名的。它是效果力，是按力的效果命名的。在圆锥摆实验中，向心力是小球重力和细线拉力的合力，还可以理解为是细线拉力在水平面内的一个分力。

课后实验：“做一做”

教师指导学生两人一组，完成课本 “做一做”栏目中的实验，自己感受向心力的大小。

五、演示实验：向心力演示器

观看视频文件：向心力演示器实验

观看动画：向心力演示器

六、变速圆周运动

师：如果物体做的是变速圆周运动，那合外力还是指向圆心吗？

生：如果合外力还是指向圆心，即始终与速度垂直，则合外力只能改变速度的方向不能改变速度的大小，不可能能做变速圆周运动。

师：那变速圆周运动的合外力应该是怎样的呢？

生：变速圆周运动的合外力应该既不指向圆心，也不与速度同一直线，而是成其它某一夹角，将其分解后切向与法向各分得一个分力，法向分力指向圆心，作用效果是改变速度方向，不改变速度大小，使物体做圆周运动；切身分力与速度同一直线，只改变速度大小，不改变方向。两分力共同作用效果就是变速圆周运动。

师：回答得很好！因为法向分力的作用效果是不改变速度大小，只改变速度方向，是物体做圆周运动的原因，我们把这个力也叫做向心力，它产生的加速度也叫做向心加速度。切向分力产生的加速度叫做切向加速度。

【牢记】：

1 向心加速度和向心力概念公式虽然是从匀速圆周运动得出的，它同样适用于变速圆周运动。

2 做圆周运动的物体法向分力的合力就是向心力，大小等于。

3 变速圆周运动的合外力不等于向心力，不指向圆心。

例3、一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。图甲、乙、丙、丁分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，你认为正确的是哪一个？

【解析】：由题意知，向心力的作用效果有两个，一方面改变物体的运动方向，一方面改变物体的运动快慢，且因汽车减速，切向加速度与运动方向相反。故正确答案是丙。

例4、如图所示，长0.40m的细绳，一端拴一质量为0.2kg的小球，在光滑水平面上绕绳的另一端做匀速圆周运动，若运动的角速度为5.0rad/s，求绳对小球需施多大拉力？

【解析】：小球沿半径等于绳长的圆周做匀速圆周运动，根据向心力公式，所需向心力的大小为：

　　运动中，小球受到竖直向下的重力G，竖直向上的水平面支持力N和沿绳指向圆心的绳的拉力F，如图所示，这三个力的合力提供了小球做匀速圆周运动所需的向心力，由于其中重力G和支持力N为一对平衡力，因此实际由绳的拉力为小球做匀速圆周运动的向心力，为此绳对小球需施拉力的大小为N．

例5、如图，小球在关于O点对称的AB两点间摆动，最高点时与竖直方向夹角为30°，则

（1） 小球做圆周运动的向心力由哪些力提供？

（2） 若摆线的长度L=m，小球质量为m，小球在最低点O的速度为,求小球在O点时绳子拉力多大？小球在B点时绳子拉力多大、

【解析】：①向心力由绳子拉力与重力在法向的分力的合力提供。

②O 点

B 点

例6、质量分别为M和m的两个小球，分别用长2l和l的轻绳拴在同一转轴上，当转轴稳定转动时，拴M和m的悬线与竖直方向夹角分别为和，如图所示，则（ ）

A． B．

C． D．

【解析】：分析任一小球的运动情况，如质量为m的球被长为l的

轻绳拴着在水平面做匀速圆周运动，细绳与竖直方向的夹角为。其受力分析如图所示，根据牛顿第二定律有：

因M、m两球是拴在同一转轴上，故两球角速度相等，

利用上式可知

，所以A选项正确。

例7、如图所示，半径为R的圆筒绕轴以角速度ω匀速转动，物体m与圆筒壁的动摩擦因数为μ，设，为使 m 不下滑，ω至少为多大？

【解析】：小物块在水平面内做匀速圆周运动，向心力由墙壁对它的弹力FN提供，竖直方向必须满足f 静 ＝mg，根据题设有：f 静max = f 滑=μFN， 且FN=mω2R，得ω≥

七、一般曲线运动

师：如果运动轨迹既不是直线，也不是圆周运动，可以称为一般曲线运动。尽管这时曲线各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看成圆周运动的一部分。这样在分析质点经过曲线上某位置时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。

【牢记】：所有做曲线运动的物体都需要向心力，其向心力，其中R为物体所在曲线处的曲率半径，对应的向心加速度