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    上海华东师范大学附属东昌中学南校九年级数学上册第一单元《一元二次方程》检测(包含答案解析)-

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    一、选择题
    1．据网络统计，某品牌手机2020年一月份销售量为400万部，二月份、三月份销售量连续增长，三月份销售量达到900万部，求二月份、三月份销售量的月平均增长率？若设月平均增长率为x，根据题意列方程为（ ）． A．40012x900 C．4001x900 A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 2B．40021x900
    D．4004001x4001x900 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11
    22．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（ ）
    3．某超市今年1月份的营业额为50万元，已知2月至3月营业额的月增长率是1月至2月营业额的月增长率的2倍，3月份的营业额是66万元，设该超市1月至2月营业额的月增长率为x，根据题意，可列出方程（ ） A．501x66

    B．501x66 C．5012x66D．501x12x66
    2    24．若关于x的一元二次方程(m2x22x10有实数根，则m的取值范围是（ ） A．m3 （ ） A．12 B．15 C．12或15 D．18
    6．用配方法解方程3x26x20时，方程可变形为（ ） A．(x3C．(x122B．m3 C．m3且m2 D．m3且m2
    5．方程x29x180的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为1 31
    3B．3(x121
    3D．(3x121
    7．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A．x210
    xB．ax2+bx+c＝0 D．3x2+2＝x2+2(x﹣12
    B．－1 B．0 C．1或－1 C．1
    D．0 D．1或0
    C．(x﹣1(x﹣2＝0 A．1 A．1 8．关于x的一元二次方程（a－1）x²－x＋a²－1＝0的一个根是0，则a的值为（ ） 9．关于x的方程x2mx0的一个根是1，则m的值为（ ）
    10．关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，那么m的取值范围是（ ） A．m≤1
    4B．m≥1且m≠2
    4
    C．m≤1且m≠﹣2 4D．m≥1
    411．已知a、b、m、n为互不相等的实数，且(a+m( a+n＝2，(b+m( b+n＝2，则ab﹣mn的值为（ ） A．4 A．x＝5 B．1 B．x＝1 C．﹣2 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．﹣1 D．x1＝1，x2＝5
    12．一元二次方程（x﹣3）2﹣4＝0的解是（ ）
    二、填空题
    13．生物学家研究发现，很多植物的生长都有这样的规律：即主干长出若干数目的支干后，每个支干又会长出同样数目的小分支．现有符合上述生长规律的某种植物，它的主干、支干和小分支的总数是91，则这种植物每个支干长出多少个小分支？设这种植物每个支干长出x个小分支，可列方程___________． 14．解方程：x26x8
    解：两边同时加_________，得x26x________8________ 则方程可化为（_______）2=________ 两边直接开平方得_____________ 即_________或_____________
    所以x1__________，x2___________．
    15．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2016＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝_____． 16．已知方程2x26x10的两根为x1,x2，则x12x22_______．
    17．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则b＝_____．
    18．对于任意实数a、b，定义：a◆b＝a2+ab+b2．若方程（x◆2）﹣5＝0的两根记为m、n，则（m+2）（n+2）＝_____．
    19．若关于x的一元二次方程x2+2x﹣m2﹣m＝0（m＞0），当m＝1、2、3、…2020时，相应的一元二次方程的两个根分别记为α1、β1，α2、β2，…，α2020、β2020，则111121121202012020的值为_____．
    20．已知关于x的方程x2﹣px+q＝0的两根为﹣3和﹣1，则p＝_____，q＝_____．
    三、解答题
    21．商店销售某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？ 22．解方程： （1） x28x90 （2）（x+1）2=6x+6 23．解方程：2x²-4x-3=0．

    24．定义：若关于x的一元二次方程axbxc0a0的两个实数根x1，2x2x1x2，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点Mx1,x2，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
    22（1）若关于x的一元二次方程为x2m1xmm0．
    ①求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根，并求出该方程的衍生点M的坐标；
    ②由①得到的衍生点M在直线l：yx3与坐标轴围成的区域上，求m的取值范围．
    （2）是否存在b，c，使得不论kk0为何值，关于x的方程x2bxc0的衍生点M始终在直线ykx25k的图象？若有，求出b，c的值：若没有，说明理由．
    25．用配方法解方程：2x24x50． 26．解下列方程
    （1）x22x10 （2）x32x3

    【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除


    一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
    设月平均增长率为x，根据三月及五月的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】
    解：设月平均增长率为x， 根据题意得：400（1+x）2=900． 故选：C． 【点睛】
    年数本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）=增长后的量．
    2．D 解析：D 【分析】
    方程常数项移到右边，两边加上4变形得到结果即可． 【详解】
    解：x2﹣4x﹣7＝0，

    移项得：x24x7

    配方得：x24x474 ，即(x2211 故答案为：D． 【点睛】
    本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
    3．D 解析：D 【分析】
    根据2月份的营业额=1月份的营业额×（1+x），3月份的营业额=2月份的营业额×（1+2x），把相关数值代入即可得到相应方程． 【详解】
    解：∵1月份的营业额为50万元，2月份的营业额比1月份增加x， ∴2月份的营业额=50×（1+x）， ∴3月份的营业额=50×（1+x）×（1+2x）， ∴可列方程为：50（1+x）（1+2x）=66． 故选：D． 【点睛】
    本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．注意先求得2月份的营业额．
    4．D 解析：D 【分析】
    根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac的意义得到m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，然后解不等式组即可得到m的取值范围． 【详解】
    解：∵关于x的一元二次方程（m-2）x2-2x+1=0有实数根， ∴m-2≠0且△≥0，即（-2）2-4×（m-2）×1≥0，解得m≤3， ∴m的取值范围是 m≤3且m≠2． 故选：D． 【点睛】
    本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
    5．B 解析：B 【分析】
    首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意． 【详解】

    解：解方程x2-9x+18=0，得x1=3，x2=6， 当3为腰，6为底时，不能构成等腰三角形；
    当6为腰，3为底时，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15． 故选：B． 【点睛】
    本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
    6．C 解析：C 【分析】
    先移项得到3x26x2，再把方程两边都除以3，然后把方程两边加上1即可得到x121．
    3【详解】
    移项得：3x26x2， 二次系数化为1得：x2x222， 321，
    3方程两边加上1得：x2x1所以x1故选：C． 【点睛】
    21．
    3本题考查了解一元二次方程－配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
    7．C 解析：C 【分析】
    根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】
    A、是分式方程．错误；
    B、当a＝0时不是一元二次方程，错误； C、是，一元二次方程，正确；
    D、3x2+2＝x2+2(x﹣12整理后为x=0，是一元一次方程，错误； 故选：C． 【点睛】
    考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

    8．B 解析：B 【分析】
    把x0代入，求出a的值即可． 【详解】
    解：把x0代入可得a210， 解得a1，
    ∵一元二次方程二次项系数不为0， ∴a1， ∴a1， 故选：B． 【点睛】
    本题考查一元二次方程的解，注意二次项系数不为0．
    9．A 解析：A 【分析】
    由关于x的方程x2+mx=0的一个根为-1，得出将x=-1，代入方程x2+mx=0求出m即可． 【详解】
    解：∵-1是方程x2+mx=0的根， ∴1-m=0， ∴m=1， 故答案为：A. 【点睛】
    此题主要考查了一元二次方程的解，由方程的根为-1，代入方程是解决问题的关键．
    10．B 解析：B 【分析】
    关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，由于二次项系数有字母，要考虑二次项系数不为0，再由一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，满足△≥0，取它们的公共部分即可． 【详解】
    关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根， m-2≠0, m≠2,
    △=9-4×(-1×(m-2≥0, m-1,
    4    1且m≠2．
    4关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根，m的取值范围是m-
    故选：B． 【点睛】
    本题考查关于x的一元二次方程（m-2）x2+3x-1＝0有实数根的问题，关键掌握方程的定义，二次项系数不为0，含x的最高次项的次数为2，而且是整式的方程，注意判别式使用条件，前提是一元二次方程，还要求一般形式．
    11．C 解析：C 【分析】
    先把已知条件变形得到a2+ (m+n a+mn﹣2＝0，b2+( m+n b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+( m+n x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值． 【详解】
    解：∵(a+m( a+n＝2，(b+m( b+n＝2， ∴a2+( m+na+mn﹣2＝0，b2+( m+nb+mn﹣2＝0， 而a、b、m、n为互不相等的实数，
    ∴可以把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两个实数根， ∴ab＝mn﹣2， ∴ab﹣mn＝﹣2． 故选：C． 【点睛】
    本题考查一元二次方程根与系数的关系及整式的乘法，理解代数思想，把“a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根”是解题关键．
    12．D 解析：D 【分析】
    利用直接开平方法求解即可． 【详解】
    解：∵（x﹣3）2﹣4＝0， ∴（x﹣3）2＝4， 则x﹣3＝2或x﹣3＝﹣2， 解得x1＝5，x2＝1， 故选：D． 【点睛】
    本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，掌握解法是关键.
    二、填空题

    13．1+x+x2=91【分析】如果设每个支干分出x个小分支根据每个支干又长出同样数目的小分支可知：支干的数量为x个小分支的数量为x•x=x2个然后根据主
    干支干和小分支的总数是91就可以列出方程【详解】解
    解析：1+x+x2=91 【分析】
    如果设每个支干分出x个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为x个，小分支的数量为x•x=x2个，然后根据主干、支干和小分支的总数是91就可以列出方程． 【详解】
    解：依题意得支干的数量为x个， 小分支的数量为x•x=x2个，
    那么根据题意可列出方程为：1+x+x2=91， 故答案为：1+x+x2=91． 【点睛】
    本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．
    14．999x+31x+3=±1x+3=1x+3=-1-2-4【分析】根据配方法求解即可【详解】解：两边同时加9得99则方程可化为1两边直接开平方得x+3=±1即x+3=1或x+3=-1所以-2-4故答案
    解析：9 9 9 x+3 1 x+3=±1 x+3=1 x+3=-1 -2 -4 【分析】
    根据配方法求解即可． 【详解】
    解：两边同时加9，得x26x989， 则方程可化为x31， 两边直接开平方得x+3=±1， 即x+3=1或x+3=-1， 所以x1-2，x2-4．
    故答案为：9；9；9；x+3；1；x+3=±1；x+3=1；x+3=-1；-2；-4． 【点睛】
    本题考查了配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
    215．2016【分析】将x=-1代入ax2﹣bx﹣2016＝0得到a+b﹣2016＝0然后将a+b当作一个整体解答即可【详解】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2016＝0得：a+b﹣2016＝
    解析：2016． 【分析】
    将x=-1代入ax2﹣bx﹣2016＝0得到a+b﹣2016＝0，然后将a+b当作一个整体解答即可．

    【详解】
    解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2016＝0得：a+b﹣2016＝0， 即a+b＝2016． 故答案是2016． 【点睛】
    本题主要考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的概念是解答本题的关键．
    16．8【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可列出两根之和及两根之积的值再对其进行变形即可求解【详解】由题可得：∴故答案为：8【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值熟记结论且灵活变形是解
    解析：8 【分析】
    利用一元二次方程根与系数的关系，可列出两根之和及两根之积的值，再对其进行变形即可求解． 【详解】
    由题可得：x1x23，x1x22221，
    2    2∴x1x2x1x22x1x232故答案为：8． 【点睛】
    1918，
    2本题考查一元二次方程根与系数的关系进行变形求值，熟记结论且灵活变形是解题关键．
    17．21【分析】先把常数项移到等号的右边再等号两边同时加上16即可【详解】解：∵x2﹣8x＝5∴x2﹣8x+16＝5+16即（x﹣4）2＝21故答案为：21【点睛】本题主要考查一元二次方程的配方掌握完全
    解析：21 【分析】
    先把常数项移到等号的右边，再等号两边同时加上16，即可． 【详解】 解：∵x2﹣8x＝5，
    ∴x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21， 故答案为：21． 【点睛】
    本题主要考查一元二次方程的配方，掌握完全平方公式，是解题的关键．
    18．-1【分析】根据新定义可得出mn为方程x2＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m＋n＝−2mn＝−1变形（m＋2）（n＋2）得到mn＋2（m＋n）＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】
    解析：-1 【分析】

    根据新定义可得出m、n为方程x2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m＋n＝−2、mn＝−1，变形（m＋2）（n＋2）得到mn＋2（m＋n）＋4然后利用整体代入得方法进行计算． 【详解】
    解：∵（x◆2）﹣5＝x2+2x+4﹣5， ∴m、n为方程x2+2x﹣1＝0的两个根， ∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，
    ∴（m+2）（n+2）＝mn+2（m+n）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1． 故答案为﹣1． 【点睛】
    本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1＋x2＝bc，x1•x2＝． aa19．【分析】由一元二次方程根与系数的关系解题即【详解】解：∵x2+2x﹣m2﹣m＝0m＝123…2020∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2α2β2＝﹣2×3；…α 解析：4040
    2021【分析】
    由一元二次方程根与系数的关系解题，即+=-，【详解】
    解：∵x2+2x﹣m2﹣m＝0，m＝1，2，3，…，2020，
    ∴由根与系数的关系得：α1+β1＝﹣2，α1β1＝﹣1×2；α2+β2＝﹣2，α2β2＝﹣2×3；…α2020+β2020＝﹣2，α2020β2021＝﹣2020×2021；
    bac．
    a1+12+23+3+++∴原式＝112233=222+++122334++2020+2020
    202020202
    2020202111 2020202111111=2(122334=2(1=4040
    2021    4040． 20211
    2021故答案为：【点睛】
    本题考查一元二次方程根与系数的关系，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关
    键．
    20．-43【分析】由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程解之即可得出结论【详解】解：根据题意得﹣3+（﹣1）＝p﹣3×（﹣1）＝q所以p＝﹣4q＝3故答案为﹣43【点睛】本题考查了根与系数的关系
    解析：-4 3 【分析】
    由根与系数的关系可得出关于p或q的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】
    解：根据题意得﹣3+（﹣1）＝p，﹣3×（﹣1）＝q， 所以p＝﹣4，q＝3． 故答案为﹣4，3． 【点睛】
    本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出-3+（-1）=-p,（-3）（-1）=q是解题的关键．
    三、解答题

    21．每件售价为45元 【分析】
    设该商品的单价为x元，根据题意得到方程，解方程即可求解． 【详解】
    解：设该商品的单价为x元．
    根据题意，得x3020010x402250． 解这个方程，得x1x245． 答：每件售价为45元． 【点睛】
    本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据利润得到相应的等量关系是解题的关键．
    22．（1）x11，x29；（2）x11，x25． 【分析】
    （1）利用配方法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【详解】 （2）x28x9，
    2x28x42942(x425，
    x45，
    ∴x11，x29；

    （2）x16x6，
    2x12(6x60，
    x126(x10，
    x1x160，
    (x1(x50，
    x11， x25．
    【点睛】
    本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
    23．x1【分析】
    210210 ,x222利用公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】 解：2x²-4x-3=0 ∵ a=2，b=-4，c=-3，
    ∴=b24ac442340＞0，
    2∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
    2bb4ac440210∴x， 2a42∴x1210210． ,x222【点睛】
    本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求根公式是解题关键． 24．（1）①见解析，Mm1,m；②1m2；（2）存在，b12，c20 【分析】
    （1）①根据根的判别式和衍生点的定义，即可得出结论； ②先确定点出点M在在直线y=x+1上，借助图象即可得出结论； （2）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可． 【详解】
    22解：（1）①x2m1xmm0，
    2∵2m14mm10， 2
    ∴不论x为何值，该方程总有两个不相等的实数根， x22m1xm2m0，
    解得：x1m1，x2m，
    22方程x2m1xmm0的衍生点为Mm1,m．
    ②由①得，Mm1,m， 令m1x，my，∴yx1，
    ∴点M在在直线yx1上，与y轴交于A点， 当x=0时，y=1， ∴A0,1，
    ∵直线l1：yx3与直线yx1交于B点，
    yx3解，
    yx1x1解得，
    y2∴B1,2，
    ∵点M的在直线l：yx3与坐标轴围成的区域上 ∴1m2；

    （2）存在．直线ykx25kkx210，过定点M2,10， ∴x2bxc0两个根为x12，x210， ∴210b，210c，∴b12，c20． 【点睛】
    本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，两条直线相交问题，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．
    25．x11【分析】
    1414 ,x2122利用完全平方公式进行配方解一元二次方程即可得． 【详解】

    2x24x50，
    2x24x5， 5， 25x22x11，
    272x1， 2x22xx1x114，
    214， 2即x11【点睛】
    1414． ,x2122本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 26．（1）x1x21；（2）x13,x24． 【分析】
    （1）利用配方法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】
    （1）x22x10，
    (x120，
    解得x1x21； （2）x32x3，
    0，
    x3    2x3x3x310，即x3x40，
    x30或x40，
    x3或x4，
    即x13,x24． 【点睛】
    本题考查了解一元二次方程，主要解法包括：直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等，熟练掌握各解法是解题关键．

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