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    2016年高考数学试题和答案-

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    2016年高考数学试题和答案
    2016年普通高等学校招生全国统一考试
    文科数学
    注意事项：
    1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。
    2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷
    一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
    ，2，，3}B{x|x29}，则A（1）已知集合A{1B
    （A）{2，1，0，1，2，3} （B）{2，1，0，1，2} （2）设复数z满足zi3i，则z= （A）12i（B）12i（C）32i（D）32i (3 函数y=Asin(x的部分图像如图所示，则
    （C）{1，2，3}
    （D）{1，2}

    （A）y2sin(2x
    6（B）y2sin(2x
    3（C）y2sin(2x+
    6（D）y2sin(2x+
    31 / 13
    2016年高考数学试题和答案
    (4 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 （A）12（B）32（C）（D）
    3(5 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（A）k（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k= x13（B）1 （C）（D）2 2243（B）−（C）3（D）2 34(6 圆x2+y2−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a= （A）−(7 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

    （A）20π（B）24π（C）28π（D）32π
    (8 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 （A）7533（B）（C）（D） 108810(9中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的a为2，2，5，则输出的s= （A）7 （B）12 （C）17 （D）34 (10 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lgx的定义域和值域相同的是 （A）y=x（B）y=lgx（C）y=2x（D）y1
    x(11 函数f(xcos2x6cos(（A）4（B）5
    πx的最大值为
    2（C）6 （D）7 (12 已知函数f(x（x∈R）满足f(x=f(2-x，若函数y=|x2-2x-3| 与y=f(x 图像的交点为（x1,y1），2 / 13
    2016年高考数学试题和答案
    (x2,y2，…，（xm,ym），则x=
    ii1m(A0 (Bm (C 2m (D 4m 二．填空题：共4小题，每小题5分. (13 已知向量a=(m,4，b=(3,-2，且a∥b，则m=___________.
    xy10(14 若x，y满足约束条件xy30，则z=x-2y的最小值为__________ x30（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA则b=____________. （16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分
    等差数列{an}中，a3a44,a5a76
    （I）求{an}的通项公式； (II设45，cosC，a=1，513bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2
    （18）(本小题满分12分
    某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

    随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
    3 / 13
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    （I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A的估计值； (II记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”. 求P(B的估计值；
    （III）求续保人本年度的平均保费估计值.
    （19）（本小题满分12分）
    如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H，将DEF沿EF折到D'EF的位置. （I）证明：ACHD'； (II若AB5,AC6,AE5,OD'22,求五棱锥D'ABCEF体积. 4

    （20）（本小题满分12分）
    已知函数f(x(x1lnxa(x1. （I）当a4时，求曲线yf(x在1,f(1处的切线方程； (II若当x1,时，f(x＞0，求a的取值范围.
    （21）（本小题满分12分）
    x2y21的左顶点，斜率为kk＞0的直线交E于A，M两点，点N已知A是椭圆E：43在E上，MANA. 4 / 13
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    （I）当AMAN时，求AMN的面积 (II当2AMAN时，证明：3k2. 请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
    （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
    如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F. （Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
    （Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.
    （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
    在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+62+y2=25.
    （Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
    x（Ⅱ）直线l的参数方程是ytcosα,l与C交于A，B两点，AB（t为参数），tsinα,10,求l的斜率. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
    已知函数f(x（Ⅰ）求M；
    （Ⅱ）证明：当a，bM时，ax12x1，M为不等式f(x22的解集.
    b1ab.

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    2016年高考数学试题和答案


    2016年普通高等学校招生全国统一考试
    文科数学答案
    第Ⅰ卷
    一. 选择题
    （1）【答案】D (5【答案】D (9【答案】C

    （2）【答案】C (6 【答案】A
    (3 【答案】A (7 【答案】C


    (4 【答案】A (8 【答案】B (10 【答案】D (11【答案】B (12 【答案】B 二．填空题
    (13【答案】6 和3
    (14【答案】5

    （15）【答案】2113
    （16）【答案】1
    三、解答题
    （17）(本小题满分12分 【答案】（Ⅰ）an【解析】
    试题分析：(Ⅰ 根据等差数列的性质求a1，d，从而求得an；（Ⅱ）根据已知条件求bn，再求数列bn的前10项和.
    试题解析：(Ⅰ设数列an的公差为d，由题意有2a15d4,a15d3，解得2n3；（Ⅱ）24. 52a11,d，
    5所以an的通项公式为an2n3. 56 / 13
    2016年高考数学试题和答案
    （Ⅱ）由(Ⅰ知bn当n=1,2,3时，12n3， 52n32,bn1； 52n3当n=4,5时，23,bn2；
    52n3当n=6,7,8时，34,bn3；
    52n3当n=9,10时，45,bn4，
    5所以数列bn的前10项和为1322334224. 考点：等茶数列的性质，数列的求和. 【结束】
    （18）(本小题满分12分 【答案】（Ⅰ）由60503030求P(A的估计值；（Ⅱ）由求P(B的估计值；（III）根据200200平均值得计算公式求解. 【解析】 试题分析：
    试题解析：(Ⅰ事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60500.55，
    200故P(A的估计值为0.55. （Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为故P(B的估计值为0.3. (Ⅲ由题所求分布列为： 保费 频率
    0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.10 2a 0.05 30300.3，
    200调查200名续保人的平均保费为
    0.85a0.30a0.251.25a0.151.5a0.151.75a0.302a0.101.1925a，
    因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点：样本的频率、平均值的计算. 7 / 13
    2016年高考数学试题和答案
    【结束】
    （19）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】
    试题分析：（Ⅰ）证AC//EF.再证AC//HD（Ⅱ）证明ODOH.再证OD平面ABC..最后呢五棱锥D'ABCEF体积.
    试题解析：（I）由已知得，ACBD,ADCD.又由AECF得69. 4AECF，故AC//EF.
    ADCD
    由此得EFHD,EFHD，所以AC//HD.. （II）由EF//AC得OHAE1. DOAD4由AB5,AC6得DOBO所以OH1,DHDH3.
    AB2AO24.
    于是ODOH(2219DH,故ODOH.由（I）知ACHD，又ACBD,BD所以AC平面BHD,于是ACOD. 又由ODOH,AC又由22222
    HDH，
    OHO，所以，OD平面ABC.
    EFDH9得EF.
    ACDO211969五边形ABCFE的面积S683.
    2224所以五棱锥D'ABCEF体积V16923222. 342考点：空间中的线面关系判断，几何体的体积. 【结束】
    （20）（本小题满分12分）
    【答案】（Ⅰ）2xy20.；（Ⅱ）,2.. 8 / 13
    2016年高考数学试题和答案
    【解析】
    试题分析：（Ⅰ）先求定义域，再求f(x，f(1，f(1，由直线方程得点斜式可求曲线yf(x在(1,f(1处的切线方程为2xy20.（Ⅱ）构造新函数g(xlnxa(x1，对实数a分类讨论，用导数法求解. x1试题解析：（I）f(x的定义域为(0,.当a4时，
    f(x(x1lnx4(x1,f(xlnx在(1,f(1处的切线方程为2xy20.
    13，f(12,f(10.曲线yf(xx（II）当x(1,时，f(x0等价于lnx令g(xlnxa(x10. x1a(x1，则 x112ax22(1ax1g(x,g(10， 22x(x1x(x1（i）当a2，x(1,时，x2(1ax1x2x10，故g(x0,g(x在22x(1,上单调递增，因此g(x0；
    （ii）当a2时，令g(x0得
    x1a1(a121,x2a1(a121，
    由x21和x1x21得x11，故当x(1,x2时，g(x0，g(x在x(1,x2单调递减，因此g(x0. 综上，a的取值范围是,2. 考点：导数的几何意义，函数的单调性. 【结束】
    （21）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）【解析】
    试题分析：（Ⅰ）先求直线AM的方程，再求点M的纵坐标，最后求AMN的面积；（Ⅱ）9 / 13 144；（Ⅱ）4932,2.
    2016年高考数学试题和答案
    设Mx1,y1，，将直线AM的方程与椭圆方程组成方程组，消去y，用k表示x1，从而表示|AM|，同理用k表示|AN|，再由2AMAN求k. 试题解析：（Ⅰ）设M(x1,y1，则由题意知y10. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为又A(2,0，因此直线AM的方程为yx2. ，
    4x2y21得7y212y0， 将xy2代入431212，所以y1. 7711212144因此AMN的面积SAMN2. 27749解得y0或yx2y21得 （2）将直线AM的方程yk(x2(k0代入43(34k2x216k2x16k2120. 121k216k2122(34k22由x1(2得x1，故|AM|1k|x12|. 22234k34k34k12k1k21由题设，直线AN的方程为y(x2，故同理可得|AN|. 43k2k由2|AM||AN|得322k324k6k3k80. ，即2234k43k22设f(t4t6t3t8，则k是f(t的零点，f'(t12t12t33(2t10， 所以f(t在(0,单调递增，又f(3153260,f(260， 因此f(t在(0,有唯一的零点，且零点k在(3,2内，所以3k2. 考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【结束】
    请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号
    （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
    10 / 13
    2016年高考数学试题和答案
    【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）【解析】
    1. 2试题分析：（Ⅰ）证DGFCBF,再证B,C,G,F四点共圆；（Ⅱ）证明RtBCGRtBFG,四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍.
    试题解析：（I）因为DFEC,所以DEFCDF,
    则有GDFDEFFCB,DFDEDG, CFCDCB所以DGFCBF,由此可得DGFCBF, 由此CGFCBF180,所以B,C,G,F四点共圆. （II）由B,C,G,F四点共圆，CGCB知FGFB，连结GB， 由G为RtDFC斜边CD的中点，知GFGC,故RtBCGRtBFG, 因此四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍，即
    0111S2SGCB21.
    222
    考点：三角形相似、全等，四点共圆 【结束】
    （23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 【答案】（Ⅰ）12cos110；（Ⅱ）【解析】
    试题分析：（I）利用xy，xcos可得C的极坐标方程；（II）先将直线l的11 / 13 222215. 3
    2016年高考数学试题和答案
    参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l的斜率．
    试题解析：（I）由xcos,ysin可得C的极坐标方程12cos110. （II）在（I）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R 由A,B所对应的极径分别为1,2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得
    2212cos110.
    于是1212cos,1211,
    |AB||12|(122412144cos244,
    2由|AB|10得cos315,tan， 83所以l的斜率为1515或. 33考点：圆的极坐标方程与普通方程互化，直线的参数方程，点到直线的距离公式. 【结束】
    （24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 【答案】（Ⅰ）M{x|1x1}；（Ⅱ）详见解析. 【解析】
    试题分析：（I）先去掉绝对值，再分x1111，x和x三种情况解不等式，即2222可得；（II）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a， b时，ab1ab．12x,x,211试题解析：（I）f(x1,x,
    2212x,x.2当x1时，由f(x2得2x2,解得x1；
    212 / 13
    2016年高考数学试题和答案
    当11x时，f(x2； 221时，由f(x2得2x2,解得x1. 2当x所以f(x2的解集M{x|1x1}. （II）由（I）知，当a,bM时，1a1,1b1，从而
    (ab2(1ab2a2b2a2b21(a21(1b20，
    因此|ab||1ab|.
    考点：绝对值不等式，不等式的证明. 【结束】

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