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    定积分练习题-

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    题型
    1.定积分与极限的计算 2.计算下列定积分 3.计算下列广义积分
    内容
    一．定积分的概念与性质 1.定积分的定义 2.定积分的性质 3.变上限函数及其导数 4.牛顿—莱布尼茨公式
    5.换元积分公式与分部积分公式 6.广义积分
    题型
    题型I 利用定积分定义求极限 题型II比较定积分的大小
    题型III利用积分估值定理解题
    题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题
    题型V定积分的计算

    题型VI积分等式证明 题型VII积分不等式证明 题型VIII广义积分的计算
    自测题五
    1.根据极限计算定积分 2.根据定积分求导 3.求极限
    4.求下列定积分 5.证明题
    4月21日定积分练习题
    基础题：
    一．选择题、填空题
    1p2p3p.......np(p0表示成定积分1．将和式的极限limnnP1
    1（ ）
    11x111ppp A．dx B．xdx C．(dx D．(dx
    00x0x0n1112．将和式lim(.........表示为定积分 ．
    nn1n22n3．下列等于1的积分是 （ ）

    A．
    C．1dx

    0    2    1    0xdx B．(x1dx

    0    1    1D．    102dx
    14．|x4|dx= 01
    （ ）



    A．212223 B． C． 33335．曲线ycosx,x[0,]与坐标周围成的面积
    2
    （ ）
    D．25
    3
    6．A．4 B．2 C．
    5
    2D．3
    (e0    1    xexdx=
    （ ）


    A．e121 B．2e C． D．e eee1e1x7.若medx，ndx，则m与n的大小关系是（ ）
    01xA．mn B．mn C．mn D．无法确定
    8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力Fkm1m2，k为常数，m1,m2为两质点的质量，2rr为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功（b>a） ．
    9．由曲线yx1和x轴围成图形的面积等于S．给出下列结果：
    ①    2    11(x21dx；②(1x2dx；③2(x21dx；④2(1x2dx．
    1    01110则S等于（ ） A．①③ B．③④ 10.yA．1 C．②③ D．②④
    x    0(sintcostsintdt，则y的最大值是（ ）
    B．2
    C．
    7
    2D．0
    111. 若f(x是一次函数，且 ．
    1    02f(x17f(xdx5，xf(xdx，那么dx的值是
    016xxtf(tdt012．F(x,2x,cx0,其中f(x在x0处连续，且f(00若F(x在 x0。 x0处连续，则c（
    ）(A.c0; (B.c1; (C.c不存在； (D.c1.

    xtf(tdt013．F(x,2x,cx0,其中f(x在x0处连续，且f(00若F(x在 x0。 x0处连续，则c（
    ）(A.c0; (B.c1; (C.c不存在； (D.c1.
    14．设af(xdx0且f(x在[a,b]连续，则（ ）。
    (A.f(x0;
    (B.必存在x使f(x0；
    (C.存在唯一的一点x使f(x0 ； (D.不一定存在点x使 f(x0。
    bxsinx15．设f(x，则f(xcos2xdx( 300其余（A）3 4（B）3
    4 （C）1 （D）－1
    d2sinx2dx16．=________ dx017. 定积分 18. 定积分
    0    0sinxsin3xdx等于_______ cosxcos3xdx 等于(
    3
    244 （C） （D）
    33 （A） 0 （B）
    19. 定积分    2    0|sinxcosx|dx 等于(
    （A） 0 （B） 1

    （C） 20.定积分21 （D） 2(21 max{x3,x2,1}dx等于(
    22 （A） 0 （B） 4 （C）
    1697 （D） 312tln(1tdt,g(xarcsindt,则当x0时,f(x是g(x的( x2x221.设f(x002(A 同阶无穷小,但不等价 (B 等价无穷小 (C 低价无穷小 (D 高价无穷小
    x22. F(xetcostdt,则F(x在[0,]上有(
    0(A F(2为极大值,F(0为最小值
    (B F(2为极大值,但无最小值 (C F(2为极小值,但无极大值 (D F(2为最小值,F(0为最大值 综合题：
    (1    1x21    2    0x2x2dx(20ln(1xdx(32(x24x2xcos5xdx(4edxex(1lnxlnx(52dx03(32xx22
    (6222tanx[sin22xln(x1x2]dx(721024x2dx(8已知函数f(x在[0,2]上二阶可导，且：f(21，f'(20及22
    0f(xdx4，求：10xf''(2xdx3(9arctanxdx2dx1x2dx(101ex1e3x(1112xx2


    (12(1x11210dx (13求极限lim(x0nx01tdtx2x0sintdtx2
    (14用定积分定义计算极限：lim(3nnn... 22222n1n2nnx2(15设隐函数yy(x由方程xetdty3ln40所确定，求:0dy
    dx2x(et21dt0(16设f(xx2Ax0处可导，并求出f'(0.4x0,问当A为何值时，f(x在x0点
    (17设f(xcosx22f(xdx,其中f(x为连续函数，试求:f(x
    0ax2 (18设正整数a，且满足关系lim(x1xe4xdx，试求a的值。x0axa
    4月22日定积分练习题
    基础题：
    1．积分中值定理af(xdxf((ba，其中（ ）。

    (A 是[a,b]内任一点；
    b (B. 是[a,b]内必定存在的某一点； (C. 是[a,b]内唯一的某一点； (D. 是[a,b]的中点。
    2.




    11(1x1x2dx(
    （B）（A） 2（C）2
    （D）
    43. 设fC[0,1]，且（A）2
    （B）3
    10f(xdx2，则2f(cos2xsin2xdx(
    0（C）4 （D）1

    4. 设f(x在[a,b]上连续，且
    b    af(xdx0，则（ ）。
    （A）在[a,b]的某个子区间上，f(x0；

    （B）在[a,b]上，f(x0；
    （C）在[a,b]内至少有一点c，f(c0；

    （D）在[a,b]内不一定有x，使f(x0。
    2    5.     x32x2xdx=(
    0(A
    415(22 (B 415(22
    (C
    428235 (D428235 lnx6. ddxln(1tdt=(
    2x(A
    1xln(1lnx2ln(12x (B
    1    xln(1lnxln(12x
    (C ln(1lnxln(12x (Dln(1lnx2ln(12x
    22(1x07. f(xxcosx1x0,则f(x在x0点( 1x2x0xcostdt0(A 连续,但不可导
    (B 可导,但导函数不连续 (C 不连续 (D 导函数连续
    1ex11exdx(

    (A 1
    1e 1e1e (C
    1e (B (D 1 填空、选择题
    8(12sinxdx_______,020cos7xdx_______,
    (2limx021x0tsintdtln(1x______;(3x22xdx_______;(4曲线yt(1tdt的上凸区间是_______;1x(501cos2xdx_______;0
    (6设f(x是连续函数，且f(xsinxf(xdx，则：f(x______;(7x(1x2005(exexdx______;111(8limxxx1ln(1x21dt_______;tt2(9设函数y(t1edt的极大值点为_______;0(10设正值函数f(x在[a,b]上连续，则函数F(xf(tdtaxxb1dtf(t
    在(a,b上至少有___个根(A0(B1(C2(D341x2(11f(tdt,则：f(xdx______;004x(A16(B8(C4(D2x
    1dx_______1x2311(A(B(C(D不存在222
    1(13dx________21xx1(122(A0(B
    2(C    4(D发散4月23日定积分练习题
    一．计算下列定积分的值 （1） （5）
    94exex1dx3tan2xdx(xdx;; dx（9）0； （10） （11）（12）4002x1x131(4xxdx；（2）(x1dx； （3）2(xsinxdx；（4）2cos2xdx；
    1    2    2    5    0    2    π20e2dx1x2cosd （6）(2x3dx； （7）dx； （8）2 00exlnx；21x211
    11dx25x22(lnxdx; （15） （16）cosxsin2xdx;esinxdx;1（13）x （14）00(x2x13/20ee
    （17）

    二．求下列极限：

    201cosxdxdx; （18）0exex; 1sin2x(edt21x2. （1）limcostdt; （2）lim0x202txxx0edtxt20

    三．利用定积分求极限


    111n;2 （1）lim(n12(n22(nnn
    （2）limn(n111; 222n1(n22n

    四．证明题
    dx（）设1f'(x在(,上连续，证明：((xtf'(tdtf(xf(a。
    adx
    33sinxcosx （2）证明:2dx2dx,并求出积分值。0sinxcosx0sinxcosx
    (3设函数f(x在[0,]上连续，且f(xdx0,f(xcosxdx0试证明在(0,内至少00存在两个不同的点1,2,使f(1f(20（作辅助函数F(xf(tdt,x(0,,再使用积分中值定理和Rolle定理）0x
    （4）设f(x在[0,1]上可导，且满足f(12xf(xdx,证明：必存在点（0，1），使得f'(
    4月24日定积分练习题
    一、填空题：

    1. 如果在区间[a,b]上, f(x1,则2. 120f(
    (利用积分中值定理和Rolle定理证明）baf(xdx .
    10(2x3dx .
    3. 设f(x4. 设f(x5. x01sint2dt,则f(x . etdt,则f(x .
    2cosx    20cos5xsinxdx

    6. 22n1sinxdx . 27. 11dx . 3x8. 比较大小, 231xdx

    2    31x3dx.
    9. 由曲线ysinx与x轴,在区间[0,]上所围成的曲边梯形的面积为 . 10. 曲线yx在区间[0,1]上的弧长为 . 二、选择题：
    1. 设函数 f(x仅在区间[0，4]上可积，则必有A．C．2.设I1=30f(xdx=[ ]
    205f(xdxf(xdx1232f(xdx B．f(xdx01313f(xdx f(xdx
    305f(xdx D．f(xdx0101010xdx，I2=x2dx，则[ ]
    A． I1I2 B．I1I2 C．I1I2 D．I1I2 3. yx0(t1(t2dt则3dyx0
    dxA．2 B．-2 C．0 D．1
    4.     a    0x(23xdx2,则a
    A．2 B．-1 C．0 D．1

    1x2(x05. 设f（x）=则f(xdx=[ ]
    1x(x0A．2C．1x01xdx B．2x2dx

    0    1x00    2dx+xdx D．xdx100101x2dx
    6. limx0sint2dtx2
    A．11 B． C．0 D．1 23x7. F(xecostdt,则F(x在[0,]上有(
    0    t
    (E F(2为极大值,F(0为最小值
    (F F(2为极大值,但无最小值 (G F(2为极小值,但无极大值 (H F(2为最小值,F(0为最大值
    8. 设方程组xx0sintdtxdyt确定了y是的函数，则ydx（ ） 0costdt (Acott (Btant (Csint (Dcost 9. 设f(x是区间a,b上的连续函数，且x221f(tdtx3，则f(2（(A 2 (B -2
    (C 14 (D14
    10. 定积分
    1ln(1x01x2dx =（ ）
    （A） 1 （B）
    2 （C） ln2 （D）
    8ln2
    11. 定积分 4tan2x1exdx =（ ）
    4（A）
    12 （B） 142 （C） 12 （D） 14 12.下述结论错误的是 （ ）
    (A 0x1x2dx 发散 ( B 011x2dx收敛
    (C x1x2dx0 ( D x1x2dx发散
    ）


    13. 设函数 fR[a,b]， 则极限
    lim    nf(x|sinnx|dx 等于（ ）
    0（A） 2f(xdx （B）
    0    2    f(xdx
    0（C）
    1    f(xdx （D） 不存在
    014. 设f(x为连续函数，且满足（A）xexxx0x2f(txdtex1，则f(x（ ）。
    2


    （B）xe （C）xexx
    （D）xe
    15. 设正定函数fC[a,b，F(x (a,b内根的个数为 (
    （A）0 （C）2
    （B）1 （D）3



    n    xaf(tdtxb1dt，则F(x0在 f(x
    16.定积分的定义为    b    af(xdxlimf(ixi，以下哪些任意性是错误的(
    0i1(A 随然要求当maxxi0时，if(x的极限存在且有限，但极限值仍是iii任意的。

    (B 积分区间[a,b]所分成的分数n是任意的。
    (C 对给定的份数n，如何将[a,b]分成n份的分法也是任意的，即除区间端点ax0,bxn外，各个分点x1x2xn1的取法是任意的。
    (D 对指定的一组分点，各个i[xi1,xi]的取法也是任意的。

    lnx17. ddxln(1tdt=( 2
    x(D
    1xln(1lnx2ln(12x (E
    1    xln(1lnxln(12x
    (F ln(1lnxln(12x (Dln(1lnx2ln(12x
    18. ddx(x21t21tdt( ） (A x21x (C x41x2 三．计算题：
    dx2 1. dx01t2dt
    3. 1dx04x2
    5. a10x2a2dx(a0 27. 10tet2dt


    (B x21x2
    ( D 2x51x2
    2. 20sinxdx(xet2dt2 4. lim0x0x
    0te2t2dt 6. 4dx1xx
    8. 1x0edx



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