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    安徽省黄山市屯溪一中高三(上)第四次月考数.docx-

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    2015-2016学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（12月份）


    一、选择题 1．若集合，则M∩N=（ ）
    A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|0＜x＜2} 2．复数在复平面上对应的点位于（ ）
    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．△ABC中，角A，B，C成等差数列是A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列有关命题的说法中错误的是（ ）
    成立的（ ）
    A．“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是真命题 B．函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在区间是（1，2）
    C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0” D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0 5．已知f（x）=ax5+bx3+sinx﹣8且f（﹣2）=10，那么f（2）=（ ） A．﹣26 B．26 C．﹣10 D．10 6．函数f（x）=的零点个数为（ ）
    A．3 B．2 C．1 D．0 7．如图，在平面四边形ABCD中，若AB=2，CD=3，则=（ ）
    桑水

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    A．﹣5 B．0 C．3 D．5 8．如图所示程序框图，输出结果是（ ）

    A．5 B．6 C．7 D．8 9．已知一个几何体的三视图如图所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于（ ）

    A． B． C． D．.20 10．如果数列{an}满足a1=2，a2=1，且A．
    B． C． D．
    （n≥2），则a100=（
    ）桑水

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    11．已知双曲线﹣=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，点C（0，b），则△ABC面积的最大值为（ ）
    A．1 B．2 C．4 D．8 12．已知A，B，C，D是球面上的四个点，其中A，B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于（ ） A．
    B．
    C．
    D．


    二.填空题
    13．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω=________．
    14．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则的最小值为________．
    15．已知实数x，y满足，z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围为________．
    16．抛物线y2=8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又已知点A（﹣2，0），则的取值范围是________．


    三.解答题
    17．从我市某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下：
    [20，[60，20） 40） [40，50） [50，60） 质量指标值分组 [10，[30，30） 70）
    2 3 4 5 4 2 频数
    （Ⅰ）请你填写下面的频率分布表：若规定“质量指标值不低于30的产品为合格产品”，则该企业生的这种产品的合格率是多少？
    [20，[60，20） 40） [40，50） [50，60） 质量指标值分组 [10，[30，30） 70）
    0.15 0.2 频数
    （Ⅱ）请你估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）． 18．已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．
    （1）求函数f（x）的表达式；
    桑水

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    （2）求函数f（x）在的值域；
    a=2csinA，若（3）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，f（A+）=，求cosB的值．
    19．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，点E位PC的中点 （Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD； （Ⅱ）求E到平面PBD的距离．

    20．已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）
    （1）若函数f（x）在x=1处取得极值2，求a，b的值； （2）求试讨论f（x）的单调性；
    （3）若b=c﹣a（实数c是a与无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值．
    21．已知椭圆E： =1（a＞b＞0），离心率为，且过点A（﹣1，0）．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程．
    （Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上．

    [选修4-1：几何证明选讲] 22．A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点， 如图，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；
    （Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．



    [选修4-4：极坐标与参数方程] 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
    在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．
    桑水

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    （Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．

    [选修4-5：不等式选讲] 24．设函数f（x）=|x﹣a|．
    （Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）+f（﹣x）≥4； （Ⅱ）证明：f（x）+f（﹣）≥2．

    桑水

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    2015-2016学年安徽省黄山市屯溪一中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）（12月份）
    参考答案与试题解析


    一、选择题 1．若集合，则M∩N=（ ）
    A．{x|1＜x＜2} B．{x|1＜x＜3} C．{x|0＜x＜3} D．{x|0＜x＜2} 【考点】交集及其运算．
    【分析】直接求出集合M，N，然后求解M∩N．
    【解答】解：M={x|log2（x﹣1）＜1}={x|0＜x﹣1＜2}={x|1＜x＜3}；
    ={x|0＜x＜2}；
    所以M∩N={x|1＜x＜2}． 故选A． 2．复数在复平面上对应的点位于（ ）
    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
    【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算． 【分析】利用复数的运算法则、复数的几何意义即可得出． 【解答】解：象限． 故选：B．


    3．△ABC中，角A，B，C成等差数列是A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
    成立的（ ）
    =    =    在复平面上对应的点    位于第二【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
    【分析】根据等差数列和两角和的正弦公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断． 【解答】解：若A，B，C成等差数列，则A+C=2B，∴B=60°， 若， 则sin（A+B）=， 即sinAcosB+cosAsinB=， ∴cosAsinB=cosAcosB， 若cosA=0或tanB=， 即A=90°或B=60°，
    ∴角A，B，C成等差数列是成立的充分不必要条件． 故选：A．

    桑水

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    4．下列有关命题的说法中错误的是（ ）
    A．“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是真命题 B．函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在区间是（1，2）
    C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0” D．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0 【考点】命题的真假判断与应用．
    【分析】写出原命题的否命题判断A；利用函数零点存在性定理判断B；写出命题的逆否命题判断C；写出特称命题的否定判断D．
    【解答】解：“若x2+y2=0，则x，y全为0”的否命题是：“若x2+y2≠0，则x，y不全为0”，是真命题，故A正确；
    函数f（x）=ex+x﹣2是增函数，若有零点，则唯一，又f（0）=﹣1，f（1）=e﹣1＞0，∴f（x）的零点所在区间是（0，1），故B错误； 命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，故C正确； 对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故D正确． ∴错误的命题是B． 故选：B．

    5．已知f（x）=ax5+bx3+sinx﹣8且f（﹣2）=10，那么f（2）=（ ） A．﹣26 B．26 C．﹣10 D．10 【考点】正弦函数的奇偶性；函数奇偶性的性质；函数的值．
    【分析】观察f（x）的解析式可看出，函数y=ax5+bx3+sinx为奇函数，从而可以求出f（﹣2）+f（2），然后根据f（﹣2）=10便可得出f（2）的值． 【解答】解：根据f（x）解析式得：f（﹣2）+f（2）=﹣16； 又f（﹣2）=10； ∴f（2）=﹣26． 故选A．

    6．函数f（x）=A．3 B．2 C．1 的零点个数为（ ）
    D．0 【考点】函数零点的判定定理．
    【分析】令函数f（x）=0，求解即可，注意x的取值范围． 【解答】解：∵x﹣1＞0，x2﹣5x+5＞0， ∴x＞
    令函数f（x）=∴x+1=0，或ln（x2﹣5x+5）=0， ∴x2﹣5x+5=1． 解得x=4，
    ∴所求零点的个数是1个． 故选C．
    =0 桑水

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    7．如图，在平面四边形ABCD中，若AB=2，CD=3，则=（ ）

    A．﹣5 B．0 C．3 D．5 【考点】平面向量数量积的运算．
    【分析】利用向量的三角形法则和数量积运算即可得出．
    【解答】解：∵=+， =+，∴+=+++=﹣， ∴（+）•（+）=（﹣）•（+）=2﹣2=22﹣32=﹣5． 故选：A．


    8．如图所示程序框图，输出结果是（ ）

    A．5 C．7 D．8 【考点】程序框图．
    【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出i值．
    【解答】解：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型“循环结构 第1次循环：S=0+1=1，i=2，a=1×2+1=3； 第2次循环：S=1+3=4，i=3，a=3×3+4=13； 第3次循环：S=4+13=17，i=4，a=13×4+17=69； 第4次循环：S=17+69=86，i=5，a=69×5+86=431；
    第5次循环：S=86+431=517，i=6，a=431×6+517≥500； 跳出循环，输出i=6． 故选B．
    B．6 桑水

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    9．已知一个几何体的三视图如图所示，正视图、俯视图为直角三角形，侧视图是直角梯形，则它的体积等于（ ）

    A． B． C． D．.20 【考点】由三视图求面积、体积．
    【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，把该四棱锥放入棱长为4的正方体中，容易计算出它的体积． 【解答】解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是如图所示的四棱锥D﹣CBEC1，

    桑水

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    把该四棱锥放入棱长为4的正方体中，如图所示； 则该四棱锥的体积为
    V=S四边形CBEC1•CD=×故选：C．

    10．如果数列{an}满足a1=2，a2=1，且A．
    B． C． D．
    （n≥2），则a100=（
    ）×4×4=．
    【考点】数列递推式．
    【分析】要求a100，只要根据已知递推公式求出通项即可，而由整理可得，结合a1=2，a2=1可求an，从而可求
    【解答】解：∵
    ∴∵a1=2，a2=1 ∴
    ，，
    是等差数列，首项为，公差为 ∴∴∴故选：D

    11．已知双曲线﹣=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，点C（0，b），则△ABC


    面积的最大值为（ ）
    A．1 B．2 C．4 D．8 【考点】双曲线的简单性质．
    【分析】求出A，B的坐标，可得△ABC面积，利用基本不等式求出△ABC面积的最大值．桑水

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    【解答】解：∵双曲线﹣=1（0＜b＜2）与x轴交于A、B两点，
    ∴A（﹣，0），B（，0），
    ∵点C（0，b）， ∴△ABC面积S=×2当且仅当b=时取等号，
    ∴△ABC面积的最大值为2， 故选：B．


    12．已知A，B，C，D是球面上的四个点，其中A，B，C在同一圆周上，若D不在A，B，C所在的圆周上，则从这四点中的任意两点的连线中取2条，这两条直线是异面直线的概率等于（ ） A．
    B．
    C．
    D．
    ×b=×b=    ≤    =2 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】从这四点中的任意两点的连线共有条，基本事件总数n==6条，从这四点中的任意两点的连线中取2=15，利用列举法求出这两条直线是异面直线包含的基本事件个数，由此能求出这两条直线是异面直线的概率． 【解答】解：从这四点中的任意两点的连线共有=6条，
    其中A，B，C三点中任意两点连线有3条，AB、AC、BC， D与A，B，C中的每一个点都构成一条直线，AD、BD、CD， 从这四点中的任意两点的连线中取2条，基本事件总数n==15，
    这两条直线是异面直线包含的基本事件有：AC与BD，AB与CD、BC与AD，共3种， ∴这两条直线是异面直线的概率p=故选：B．

    二.填空题
    13．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点．
    记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω=． 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
    桑水

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    【分析】根据函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与y轴交与P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，可得P点坐标为（0，1），|AB|=，再由△PAB的面积等于π，可得： =π，求出周期后，可得ω的值． 【解答】解：∵函数f（x）=2sin（ωx+由x=0时，2sin）（ω＞0）的图象与y轴交与P，
    =1可得：P点坐标为（0，1），
    ）（ω＞0）的图象与A，B，
    函数f（x）=2sin（ωx+故|AB|=，
    ∵△PAB的面积等于π， ∴=π， ∴T=4π=∵ω＞0， ∴ω=， 故答案为：
    ，


    14．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn是数列{an}前n项的和，则的最小值为4．
    【考点】等差数列的性质．
    【分析】由等比中项的性质、等差数列的通项公式列出方程求公差d，代入等差数列的通项公式、前n项和公式求出an、Sn，代入求出式子的最小值．
    【解答】解：因为a1，a3，a13成等比数列，所以又a1=1，所以（1+2d）2=1×（1+12d）， 解得d=2或d=0（舍去）， 所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，Sn=====n2，
    ，
    利用分离常数法化简后，利用基本不等式则
    桑水

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    =﹣2≥2﹣2=4，
    当且仅当故答案为：4．

    时取等号，此时n=2，且取到最小值4，
    15．已知实数x，y满足，z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围为[﹣1，1]． 【考点】简单线性规划．
    【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再根据题意建立关于a的不等式组，解之即可得出实数a的取值范围．
    【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，
    得到如图的△ABC及其内部，其中 A（3，﹣3），B（3，9），C（﹣3，3），
    设z=F（x，y）=2x﹣y，把A、B、C坐标分别代入得
    F（3，﹣3）=3a﹣3，F（3，9）=3a+9，F（﹣3，3）=﹣3a+3 结合题意，可得∴实数a的取值范围为[﹣1，1] 故答案为：[﹣1，1]
    ，解之得﹣1≤a≤1．



    16．抛物线y2=8x的焦点为F，点P（x，y）为该抛物线上的动点，又已知点A（﹣2，0），则的取值范围是．
    【考点】抛物线的简单性质．
    桑水

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    【分析】过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|，可得求出过A抛物线的切线方程，即可得出结论．
    【解答】解：过P作抛物线准线的垂线，垂足为M，则|PF|=|PM|， ∵抛物线y2=8x的焦点为F（2，0），点A（﹣2，0） ∴=，
    =，设过A抛物线的切线方程为y=k（x+2），代入抛物线方程可得k2x2+（4k2﹣8）x+4k2=0， ∴△=（4k2﹣8））2﹣16k4=0， ∴k=±1 ∴∈[．
    故答案为：．

    三.解答题
    17．从我市某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，测量的原始数据已丢失，只余下频数分布表如下：
    [20，[60，20） 40） [40，50） [50，60） 质量指标值分组 [10，[30，30） 70）
    2 3 4 5 4 2 频数
    （Ⅰ）请你填写下面的频率分布表：若规定“质量指标值不低于30的产品为合格产品”，则该企业生的这种产品的合格率是多少？
    [20，[60， 1020 3040 4050 5060 质量指标值分组[，）[，）[，）[，）30） 70）
    0.15 0.2 频数
    （Ⅱ）请你估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）．
    【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数． 【分析】（Ⅰ）由已知条件作出频率分布表，由此能求出该企业生产这种产品的合格率． （Ⅱ）众数是频率最大的区间的“中间值”，平均数是各组的频率乘以该组区间的“中间值”之和，中位数左边和右边的频率相等，由此能估计这种产品质量指标值的众数、平均数、中位数的值． 【解答】解：（Ⅰ）由已知条件作出频率分布表如下：
    质量指标[10，20） [20，30） [30，40） [40，50） [50，60） [60，70）
    值分组 频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.2 0.1 ∴该企业生产这种产品的合格率为： p=0.2+0.25+0.2+0.1=0.75．
    （Ⅱ）∵众数是频率最大的区间的“中间值”，
    ∴众数为： =45，
    ∵平均数是各组的频率乘以该组区间的“中间值”之和，
    ∴平均数为： =15×0.1+25×0.15+35×0.2+45×0.25+55×0.2+65×0.1=41． ∵中位数左边和右边的频率相等，
    桑水

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    从表中可知，中位数落在区间[40，50）内， 设中位数为x，则0.1+0.15+0.2+0.25×∴这种产品质量指标值的中位数的估计值为42．

    18．已知函数f（x）=sinωx﹣2sin2（ω＞0）的最小正周期为3π．
    ，解得x=42，
    （1）求函数f（x）的表达式； （2）求函数f（x）在的值域；
    a=2csinA，若（3）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a＜b＜c，f（A+）=，求cosB的值．
    【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
    【分析】（1）先利用二倍角公式的变形形式及辅助角公式把函数化简为y=2sin（ωx+﹣1，根据周期公式可求ω，进而求f（x）即可； （2）根据x的范围求出x+的范围，从而求出函数f（x）的值域即可；
    ）（3）先求出A的三角函数值，再求出A+B的值，根据两角和的余弦公式计算即可． 【解答】解：（1）f（x）==sin（ϖx）﹣2•
    sin（ϖx）+cos（ϖx）﹣1 ）﹣1，
    =2sin（ϖx+依题意函数f（x）的最小正周期为3π， 即=3π，解得ϖ=，
    ）﹣1； 时： x+=﹣=∈（﹣，），
    所以f（x）=2sin（x+（2）x∈∴x+x+时：f（x）取得最小值﹣2，
    时：f（x）取得最大值1，
    故函数f（x）的值域是（﹣2，1]； （3）a=2csinA，由正弦定理得 ∴==，…
    ，…
    ，
    又sinA≠0，∴sinC=又因为 a＜b＜c，所以C=桑水

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    由f（A+得：2sin[（∴2sin（A+∴cosA=）=+， ）+， ，
    ]﹣1=，
    ）﹣1=，sinA=，
    ，
    而A+B=π﹣C=∴cos（A+B）=cos∴cosAcosB﹣sinAsinB=， ∴676cos2B﹣24×26cosB+69=0， 解得：cosB=或．


    19．在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，点E位PC的中点 （Ⅰ）求证：BC⊥平面PBD； （Ⅱ）求E到平面PBD的距离．

    【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定． 【分析】（Ⅰ）由已知推导出PD⊥底面ABCD，BC⊥BD，由此能证明BC⊥平面PBD． （Ⅱ）由 BC⊥平面PBD，能求出E到平面PBD的距离． 【解答】证明：（Ⅰ）∵侧面PCD⊥底面ABCD于CD，PD⊂面PCD，PD⊥CD， ∴PD⊥底面ABCD，
    ∵BC⊂面ABCD，∴PD⊥BC 在Rt△ABD中，AB=AD=1，故，
    在直角梯形ABCD中，AB=AD=1，CD=2，故由BC2+BD2=CD2，得BC⊥BD， 又∵PD⊥BC，PD∩DB=D， ∴BC⊥平面PBD．… 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知 BC⊥平面PBD， E为平面PBD的斜线段PC的中点， 故E到平面PBD的距离．
    桑水

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    20．已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）
    （1）若函数f（x）在x=1处取得极值2，求a，b的值； （2）求试讨论f（x）的单调性；
    （3）若b=c﹣a（实数c是a与无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，求c的值．
    【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （3）求出f（x）的极值，函数f（x）有3个零点等价于f（0）•f（﹣a）=b（＜0，根据函数的单调性求出c的值即可． 【解答】解：（1）f（x）=x3+ax2+b，f′（x）=3x2+2ax， 若函数f（x）在x=1处取得极值2，
    a3+b）则，解得：；
    （2）f′（x）=3x2+2ax=x（3x+2a），
    a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞0或x＜﹣a，
    ∴f（x）在（﹣∞，﹣a）递增，在（﹣a，0）递减，在（0，+∞）递增， a=0时，f′（x）≥0，f（x）在R递增，
    a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＜0或x＞﹣a，
    ∴f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，﹣a）递减，在（﹣a，+∞）递增； （3）由（2）得：函数f（x）有2个极值， 分别是：f（0）=b，f（﹣a）=a3+b，
    a3+b）＜0，
    则函数f（x）有3个零点等价于f（0）•f（﹣a）=b（∴或，
    桑水

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    又b=c﹣a，∴a＞0时，设g（a）=a3﹣a+c，
    a3﹣a+c＞0或a＜0时， a3﹣a+c＜0，
    ∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是，
    ∴（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0，在（1，）∪（，+∞）上，g（a）＞0均恒成立， 从而g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，故c=1；
    此时，f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，
    ∵f（x）有3个零点，则x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有2个异与﹣1的不等实根， ∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）=a2+2a﹣3＞0， 且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0， 解得：a∈综上：c=1．

    21．已知椭圆E： =1（a＞b＞0），离心率为，且过点A（﹣1，0）． ，
    （Ⅰ）求椭圆E的方程．
    （Ⅱ）若椭圆E的任意两条互相垂直的切线相交于点P，证明：点P在一个定圆上． 【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系． 【分析】（Ⅰ）根据且b=1，则a=，c=1；
    ；（Ⅱ）设P（x0，y0），分两类讨论：①当直线l的斜率存在且非零时，得出②当直线l的斜率不存在或斜率等于零时，P【解答】解析：（Ⅰ）由已知所以，b=1，则，a=，c=1，
    ；
    也符合上述关系．
    ，且椭圆的焦点在y轴上，
    所以椭圆E的方程为：（Ⅱ）设两切线的交点P（x0，y0），过交点P的直线l与椭圆①当直线l的斜率存在且非零时，x0≠±1． 设其斜率为k，则直线l：y=k（x﹣x0）+y0，联立方程相切，
    ，
    桑水

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    消y得：因为直线l与椭圆相切，△=0， 即化简得，，
    ，
    ﹣﹣﹣﹣﹣﹣（*）
    因椭圆外一点所引的两条切线互相垂直，则k1k2=﹣1， 而k1，k2为方程（*）的两根，故，整理得：；
    ，
    ②当直线l的斜率不存在或斜率等于零时，易求得P点的坐标为显然，点P也满足方程：，
    综合以上讨论得，对任意的两条相互垂直的切线，点P的坐标均满足方程x2+y2=3， 故点P在定圆x2+y2=3上．

    [选修4-1：几何证明选讲] 22．A、B、C、D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点， 如图，且EC=ED．（Ⅰ）证明：CD∥AB；
    （Ⅱ）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A、B、G、F四点共圆．

    【考点】圆內接多边形的性质与判定． 【分析】（I）根据两条边相等，得到等腰三角形的两个底角相等，根据四点共圆，得到四边形的一个外角等于不相邻的一个内角，高考等量代换得到两个角相等，根据根据同位角相等两直线平行，得到结论．
    （II）根据第一问做出的边和角之间的关系，得到两个三角形全等，根据全等三角形的对应角相等，根据平行的性质定理，等量代换，得到四边形的一对对角相等，得到四点共圆． 【解答】解：（I）因为EC=ED， 所以∠EDC=∠ECD 因为A，B，C，D四点在同一圆上， 所以∠EDC=∠EBA 故∠ECD=∠EBA， 所以CD∥AB （Ⅱ）由（I）知，AE=BE， 因为EF=EG，故∠EFD=∠EGC 从而∠FED=∠GEC 连接AF，BG，△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE 桑水

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    又CD∥AB，∠FAB=∠GBA， 所以∠AFG+∠GBA=180° 故A，B．G，F四点共圆



    [选修4-4：极坐标与参数方程] 23．选修4﹣4：坐标系与参数方程
    在直角坐标xOy中，圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．
    （Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标（用极坐标表示）； （Ⅱ）求圆C1与C2的公共弦的参数方程．
    【考点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程． 【分析】（I）利用，以及x2+y2=ρ2，直接写出圆C1，C2的极坐标方程，求出圆C1，C2的交点极坐标，然后求出直角坐标（用坐标表示）；
    （II）解法一：求出两个圆的直角坐标，直接写出圆C1与C2的公共弦的参数方程． 解法二利用直角坐标与极坐标的关系求出方程．
    【解答】解：（I）由可知圆圆解，x2+y2=ρ2，
    ，的极坐标方程为ρ=2， ，即得：ρ=2，， ），（2，）．
    ），（1，）．
    的极坐标方程为ρ=4cosθ，
    ，然后求出圆C1与C2的公共弦的参数故圆C1，C2的交点坐标（2，（II）解法一：由得圆C1，C2的交点的直角坐标（1， ）
    故圆C1，C2的公共弦的参数方程为（或圆C1，C2的公共弦的参数方程为（解法二）将x=1代入得ρcosθ=1 桑水

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    从而于
    ．
    是圆C1，C2的公共弦的参数方程为

    [选修4-5：不等式选讲] 24．设函数f（x）=|x﹣a|．
    （Ⅰ）当a=1时，解不等式f（x）+f（﹣x）≥4； （Ⅱ）证明：f（x）+f（﹣）≥2．
    【考点】分段函数的应用．
    【分析】（Ⅰ）当a=1时，化简可得|x﹣1|+|x+1|≥4，从而讨论以去绝对值号，从而解得；（Ⅱ）f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣|=|x﹣a|+|+a|≥|x+|≥2．
    【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，∵f（x）+f（﹣x）≥4，
    ∴|x﹣1|+|x+1|≥4，
    当x≤﹣1时，﹣2x≥4，故x≤﹣2， 当﹣1＜x＜1时，2≥4，不成立， 当x≥1时，2x≥4，故x≥2；
    综上所述，不等式f（x）+f（﹣x）≥4的解集为 （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）； （Ⅱ）证明：∵f（x）+f（﹣） =|x﹣a|+|﹣=|x﹣a|+|+a| ≥|x+|≥2，
    故f（x）+f（﹣）≥2．

    |
    桑水

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    2016年9月7日
    桑水

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