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    第六章势流理论

    时间：2020-06-14    下载该word文档
    第六章 势流理论
    课堂提问：
    为什么上弧旋与下弧旋乒乓球的应对方法不同
    本章内容：
    1． 势流问题求解的思路 2．库塔----儒可夫斯基条件 3. 势流的迭加法
    绕圆柱的无环绕流，绕圆柱的有环绕流 4．布拉休斯公式
    5．库塔----儒可夫斯基定理 学习这部分内容的目的有二：
    其一，获得解决势流问题的入门知识，即关键问题是求解速度势。求出速度势之后，可按一定的步骤解出速度分布、压力分布，以及流体和固体之间的作用力。
    其二，明确两点重要结论：
    １）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。 ２）园柱本身转动同时作等速直线运动时，则受到升力作用（麦格鲁斯效应）。 本章重点：
    1、 平面势流问题求解的基本思想。 2、 势流迭加法
    3、 物面条件，无穷远处条件
    4、 绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置，流线图谱，升力，阻力，环流方向等。
    5、 四个简单势流的速度势函数，流函数及其流线图谱。 6、 麦马格鲁斯效应的概念
    7、 计算任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 8、 附加惯性力，附加质量的概念

    本章难点：
    1．绕圆柱有环流，无环流流动的结论，即速度分布，压力分布，压力系数分布，驻点位置， 流线图谱，升力，阻力，环流方向等。 2．任意形状柱体受流体作用力的卜拉修斯定理 3．附加惯性力，附加质量的概念 §６-1 几种简单的平面势流
    平面流动：平面上任何一点的速度、加速度都平行于所在平面，无垂直于该平面的
    分量；与该平面相平行的所有其它平面上的流动情况完全一样。
    例如：
    1）绕一个无穷长机翼的流动，

    2）船舶在水面上的垂直振荡问题，由于船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可以近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。如果我们在船长方向将船分割成许多薄片，并且假定绕各薄片的流动互不影响的话，则这一问题就可以按平面问题处理。这一近似方法在船舶流体力学领域内称为切片理论。 一、均匀流

    流体质点沿ｘ轴平行的均匀速度Vo，

    Vｘ＝Vo， Vy＝０
    平面流动速度势的全微分为
    ddxdyVxdxVydyV0dxxy


    积分： φ＝Vox （６-4） 流函数的全微分为，
    ddxdyVydxVxdyVody xy积分： ψ＝Voｙ （６-5） 由（６-4）和（６-5）可得：

    流线：ｙ=const，一组平行于ｘ轴的直线。


    等势线：ｘ＝const，一组平行于ｙ轴的直线。 均匀流的速度势还可用来表示平行平壁间的 流动或薄平板的均匀纵向绕流，如图６-4所示。

    图６-4
    二、源或汇
    平面源：流体由坐标原点出发沿射线流出，反之，流体从各个方向流过来汇聚于一点，谓之平面汇：与源的流动方向相反。
    设源的体积流量为Ｑ，速度以源为中心，沿矢径方向向外，沿圆周切线方向速度分量为零。现以原点为中心，任一半径ｒ作一圆，则根据不可压缩流体的连续性方程， 体积流量Ｑ
    ２πｒｖｒ＝Ｑ
    ∴ｖｒ＝Ｑ/２πｒ （６-6）
    在直角坐标中，有
    Vxxy
    Vyyx在极坐标中有：

    1rsr （６-7） 1VssrrVr极坐标中φ和ψ的全微分：

    QdrdVrdrrVsddrr2rQddrdVsdrrVrddr2 （６-8）
    Qlnr2Q2d流线：为θ＝const，从原点引出的一组射线；等势线为ｒ＝const，就是和流线正交的一组同心圆。
    由（６-6）式可看出，当Ｑ＞０，则ｖｒ＞０，坐标原点为源点； 如果Ｑ＜０，则ｖｒ＜０，流体向原点汇合，

    图６-7 扩大壁面和源的互换性乃是汇点。 源（汇）的速度势，还适用于扩大（收缩）， 渠道中理想流体的流动。

    图６-7
    三、偶极子

    偶极流：流量相等的源和汇无限靠近，且随着其间距δｘ→０，其流量Ｑ→∞，且Ｑδｘ→Ｍ（δｘ→０） （６-9）
    则这种流动的极限状态称为偶极子，Ｍ称为偶极矩。 用迭加法求φ和ψ。 12
    Q(lnr1lnr2 由图６-8 (ａ所示： 2r1r2xcos1

    因此


    12QQr1(lnr1lnr2ln22r2
    Qr2xcos2ln2r2xcos2Qln(12r2图６-8 (ａ
    z2z3ln(1zz23式中ｚ＝δｘｃｏｓθ１ｒ２是个小量，我们利用泰劳展开式 将φ展开并略去δｘ二阶以上小量得

    Qxcos12r2当δｘ→０时，Ｑδｘ→Ｍ，θ１→θ，ｒ2→ｒ。其中ｒ,θ为Ａ点的极坐标，这样便可从 上式得到偶极子的速度势为

    Mcos2r（６-１0）
    直角坐标有
    Mx （６-11）
    2x2y2对于流函数： 12QQ(12( 22图６-8(ａ三角形ＢＣＤ：ｒ２δθ＝δｘｓｉｎθ１，有
    Mxsin
    2r2xsin1r2
    所以 ｎθｒ2当δｘ→０时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ，所以
    Msin （６-12）
    2r
    直角坐标有 My （６－13）
    2x2y2令ψ＝C即得流线族：
    Myc
    2x2y2或

    yc1 22xy即 xy22y0 c1图6-8（b）1212 （６－14） 图６-１０(ｂ） 配方后得 x(y2c14c12流线：圆心在ｙ轴上与x轴相切的一组圆，如图６-１０(ｂ）中的实线。流体是沿着上述的圆周，由坐标原点流出，重新又流入原点。
    等势线：中心在ｘ轴上与ｙ轴相切的一组圆，并与ψ＝const正交，如图６-8(ｂ）中的虚线。偶极子是有轴线和有方向：源和汇所在的直线就是偶极子的轴线，由汇指向源的方向，就是偶极轴的方向，偶极子的方向是ｘ轴的负向。 四、点涡（环流）
    流场中坐标原点处有一根无穷长直涡索，方向垂直于平面ｘｙ平面，与ｘｙ平面的交点为一个点涡。点涡在平面上的诱导速度沿着以点涡为中心的圆周的切线方向，大小与半径成反比，即
    vs2rvr0 （６－15）
    d 2极坐标下： dvrdrvsrd积分得:

    （６－16） 2dr 流函数 dvsvrdrvrrd2rlnr （６－17） 积分： 2流线：ψ＝const就是ｒ＝Ｃ，即一组以涡点为中 心的同心圆， 如图６-9所示。 注意：Γ＞０对应于反时针的转动，


    Γ＜０对应于顺时针的涡旋。 图６-9 §６－３ 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理 势流迭加法：
    均匀流、源汇、偶极子、点涡这样一些几种简单的势流，具有可迭加性。将它们之中的两个或两个以上迭加起来，在用物面边界条件来控制，会获得有实际意义的结果。
    绕圆柱体的无环流流动就是一个典型的实例。 理想流体的边界条件：
    1） 无穷远条件（远场条件）
    ｒ＝∞，

    vxvvy0
    或ｒ＝∞，

    2）物面条件（近场条件）：vrvrsinvvcos
    ｒ＝ｒ０，ｖｎ＝ｖｒ＝０ 称为不可穿透条件
    零流线： ｒ＝ｒ０处ψ＝０是一条流线。 圆柱在静止无界流体中作等速直线运动

    均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为：
    = 均匀流动+
    偶极子流动



    12v0rCosMCos2r （ ６－18）



    12v0rSinMSin2r （６－19）

    观察ψ＝０这条流线，由（６－19）式，我们有： Sin(v0M0 2r若ｓｉｎθ＝０，有θ＝０或π，因此ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴； 若ｖ０ｒ－Ｍ２πｒ＝０，v0rM0 2r
    即ｒ２＝Ｍ２πｖ０，r2MMr02, 就有ｒ＝ｒ０， 即ｒ＝ｒ０的圆周 令
    2v02v0也是ψ＝０的流线的一部分，如图６－１0所示。
    2验证边界条件，将M2v0r0代入φ，有
    r02 （６－２0） v0cos(rr速度

    r02vrv0cos(12rr （６－21） 图６－１0
    2r1vv0sin(102rr当ｒ→∞，从上式可得

    vrv0cosvv0sin
    当ｒ＝ｒ０时，ｖｒ＝0
    这就证明了均匀流和偶极子迭加的速度势，满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的边界条件，当ｒ≥ｒ０的流动与均匀流绕圆柱的流动完全一样。
    设想把均匀流加偶极子的流动图案中ｒ＜ｒ０的那一部分去掉（不感兴趣），而在其中充实以一个ｒ＝ｒ０的圆柱体，对流场流动不会有任何影响。 圆柱表面上速度分布：
    ｒ＝ｒ０时：vr0v2v0sin （６－22）
    负号表示其方向与s坐标轴方向相反， 如图６-10
    驻点位置：
    Ａ，Ｃ两点θ＝π或０，ｖｓ＝０称为驻点或分流点。 对Ｂ，Ｄ两点：

    2v2v0 （６－23）
    Ｂ，Ｄ两点：速度达到最大值，等于来流速度ｖ０之两倍，与圆柱体半径无关，

    Ｂ，Ｄ两点：速度增至２ｖ０，达最大值。然后又逐渐减小，在Ｃ点汇合时，速度又降至零。
    离开Ｃ点后，又逐渐加速，流向后方的无限远处时，再恢复为ｖ０。

    圆柱表面上压力分布：
    运动是定常，设无穷远均匀流中的压力为ｐ０，忽略了质量力，拉格朗日方程pv22p0v022
    将园柱表面上速度分布代入，即得圆柱表面上压力分布 pp0v022(14sin2 （６－24）
    物面上的压力分布定义： Cppp0 （６－25）
    12v024由（６-24）式可得 Cp14sin （６-2６）
    压力分布既对称于ｘ轴也对称于ｙ轴，见图６-１1（ａ）。 Ａ，Ｃ两点压力最大ｃｐ＝１
    Ｂ，Ｄ两点压力最小ｃｐ＝－３ （６－2７） 沿ψ＝０这条流线压力变化为：
    左方无限远处，ｃｐ＝０，流到Ａ点时压力为极大值ｃｐ＝１。由Ａ点分为两支分别流向Ｂ，Ｄ点，压力逐渐减小为极小值ｃｐ＝－３。流向Ｃ点时压力逐渐增大，Ｃ点达极大值ｃｐ＝１。由Ｃ点流向右方无限远处，压力又再次减小，最后压力重新降至ｐ０，ｃｐ＝０。

    （ａ）理想流体；（ｂ）真实流体




    图６-１1

    因为其压力分布对称于ｘ轴，显然合力在ｙ轴上的分力Ｌ（升力）为零；同样，因其压力分布对称于ｙ轴，故合力在ｘ轴上的分力Ｒ（阻力）为零，即
    升力Ｌ＝０
    阻力 Ｒ＝０ （６－2８）
    这一结果与实验结果有严重矛盾，称为达朗贝尔谬理。
    如图６-１1（ｂ）所示为圆柱表面压力分布的实测结果。与图６-１1（ａ）相比较，Ｃ点处由正压变为负压，破坏了压力分布对ｙ轴的对称性，从而引起了作用于物体的阻力。其原理，边界层理论一章再详细讨论。
    达朗贝尔谬理在理论上仍然有意义。成立的条件可归纳为下列五点； １）理想流体； ２）无界流场；
    ３）物体周围的流场中没有源、汇、涡等奇点存在； ４）物体作等速直线运动； ５）流动在物体表面上没有分离。
    如果上述条件全部成立，那么任何物体的的确不受阻力作用。
    上面任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。因此，根据达朗贝尔谬理，我们可以来分析物体在流体中运动时可能受力的种类及其本质。

    §６－3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应提问：
    乒乓球和排球中的弧圈球的运动轨迹为什么不是直线 圆柱在静止无界流体中作等速直线运动同时自身转动

    现在将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加。

    = 均匀流动+偶极子流动+点涡




    r02v0cos(rr2 （６－2９） 2rv0sin(r0lnrr2上式中的点涡取环量为－Γ，这是为了符合圆柱体顺射针转动的条件。 由（６－2９），当ｒ＝ｒ０， 速度分布：
    lnr0const.仍保持为流线。 2r02vrv0cos(r2rr （６－3０）
    2r1vv0sin(102r2rr圆柱表面上速度分布：用ｒ＝ｒ０代入上式得：
    vr0

    v2v0sin1 （６－3１）
    2rr0


    圆柱表面：法向速度仍为零，满足不可穿透条件。切向速度不为零，多出一项环流的速度。
    圆柱顺时针的环流和无环量绕流方向相同，因而速度增加，而下表面则方向相反，因而速度减少。
    驻点位置：驻点位置离开ｘ轴下移的距离与Γ的大小有关。 根据（６-3１）式有： 02v0sins 2r0解出 sins
    4r0v0１）Γ＜４πｒ０v０，则｜ｓｉｎθｓ｜＜１， 两个驻点在圆柱面上，左右对称位于第
    三、四象限，如图６-１3（ａ）所示，而且Ａ，Ｂ两个驻点随着Γ值的增加而向下移动， 互相靠拢。
    ２）Γ＝４πｒ０ｖ０，两个驻点重合，位于圆柱面的最下端，如图６-１3（ｂ）所示。 ３）Γ＞４πｒ０ｖ０，驻点不在圆柱面上。驻点脱离圆柱面沿ｙ轴向下移动到相应的位置。

    令（５-3０）式中的ｖｒ＝０和ｖθ＝０，得到两个位于ｙ轴上的驻点，一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。这种流动只有一个在圆柱体外的自由驻点，如图６-１3（ｃ）所示。 结论：合成流动对称ｙ轴，仍将不遭受阻力。但环量的存在流动图形不对称ｘ轴，因此产生了向上的升力。




    （ａ） （ｂ） （ｃ）
    图６-１3
    升力的大小：将圆柱表面上速度分布v2v0sin代入柏努利方程：
    2r0pCC单位长圆柱所受到的升力为v222C22(2v0sin22r0v0sin222vsin0r082r02
    2 （６－3３）
    L0psinr0d
    将（６-33）代入上式，并考虑到
    2    0sin0d0,
    2    0sind0,320sin2d
    得到：Lv0 （６－3４）
    称为库塔——儒可夫斯基升力定理。 上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系， 即升力的大小准确地和环量Γ成正比。


    升力的方向：图６-１4所示 来流速度矢量逆环量方向旋转９０°
    它在绕流问题中具有普遍意义，即不仅对圆柱是正确的，而且对有尖后缘的任意翼 型都是正确的（参阅第十二章）。其实流体由于粘性， 圆柱后部会有分离，这时除升力外还会有阻力，但升

    力基本上可用（６-3４）式计算。

    麦格鲁斯效应：流体绕流圆柱体会产生升力的现象。 图６-１4 问题：
    1）分析乒乓球和排球中的弧圈球 2）Ｂｕｃｋａｎ号试验船， 1983年美国又造了一艘作了改进的试验船“追踪号”。 如图６-１5
    §６－4 附加惯性力与附加质量
    物体在无界流体内的运动可分为两大类： 1）匀速直线运动 1）非匀速直线运动。
    匀速直线运动：坐标转与物体固定在一起，问题转换为均匀、定常绕流问题。 非匀速直线运动：坐标固定于物体上，得到的绕流问题本身可能就是不定常运动，要另想办法来处理这一不定常运动问题。
    设在无界的流体中取一半径非常大的球面Σ， 物体质量为Ｍ，推动物体的力不仅必须为增加物 体的动能而作功，而且还要为增加流体的动能而 作功。力Ｆ将大于Ｍａ，若设 Ｆ＝（Ｍ＋λ）ａ （６－3５） λ称为附加质量，Ｍ＋λ称为虚质量。 将λａ移到（６－3５）式左边，令




    ＦＩ＝－λａ （６－3６）
    则有： Ｆ＋ＦＩ＝Ｍａ （６－3７）
    ＦＩ为物体加速周围流体质点时受到周围流体质点的作用力，称为附加惯性力， 由（６-3６）可见ＦＩ的方向与加速度方向相反。
    当ａ＞０时ＦＩ＜０，即物体加速度运动时，ＦＩ为阻力；
    当ａ＜０时，ＦＩ＞０，即物体减速时，ＦＩ为推力，即ＦＩ使既难于加速也难于减速，结果使物体惯性加大，在效果上相当于质量增加了一个附加质量λ。 附加质量的计算：在物体外部，Σ内部流场τ体积内的流体动能为
    T12vd 2或 T1v2d （６－3８） 2式中
    222((xyz (((
    xxyyzzv2(222(222xyz所以 v2((( （６－3９） xxyyzz根据高斯定理，对于在区域τ及外边界Σ和内边界Ｓ上所定义的单值连续函数P,Q,R有：
    (    PQRd[Pcos(n,xQcos(n,yRcos(n,z]dxyz
    [Pcos(n,xQcos(n,yRcos(n,z]ds将上式用于（６－39）和（６－38）式，可得
    T    2[cos(n,xcos(n,ycos(n,z]dxyz2[scos(n,xcos(n,ycos(n,z]dxyz

    由方向导数的定义可知：
    因此 Tcos(n,xcos(n,ycos(n,z xyzn2dn2sd n上式中对Σ的面积分可以略去不计。
    以圆柱运动为例，当圆柱体在静止流体中运动时，其绝对速度势为
    r02Vcos
    r速度势及其微分的量阶为 ~1r1~2nrs2r1~r
    :当Σ取得足够大时，ｒ→∞，则

        1d~20 nr所以动能计算式简化为 T2sdn（6- 40）



    设单位速度Ｖ＝１所对应的速度势用φ０表示，则V0 （６- 4１）
    式中 (x,y,z,t, VV(t, 00(x,y,z 于是（６-4０）可写成
    T
    可见，    2(0s0dV2n（６-4２）

    0s0d在动能表达中处于质量的地位，起质量的作用，也具有质量的量n
    纲，令：

    0s0d （６- 4３）n
    即为附加质量的计算式。式中φ０是Ｖ＝１所对应的单位速度势，仅与物体的形状和运动的方向有关，而与物体的速度或加速度无关，因而附加质量也具有此性质。 实际上，物体（如船舶）的运动有六个自由度，在船舶与海洋工程中： 纵荡（surge）： 纵向非定常运动，附加质量λ１１，λ１１＝（５～ｍ， 横荡（sway）：横向非定常运动，附加质量λ２２，λ２２≈（～）ｍ； 升沉（Heave）：垂向非定常运动，附加质量λ33≈（～ｍ； 横摇（Roll）：绕ｘ轴的转动，附加转动惯量λ44≈（～）Ixx ， 纵摇（Pitch）：绕ｙ轴的转动，附加转动惯量λ55≈（１－２）Iyy 首摇（Yow）：船舶绕ｚ轴的转动，相应有附加转动惯量λ66≈λ55。 ｍ，Ixx，Iyy分别为船舶排开的水质量；绕ｘ轴转动时的转动惯量；绕ｙ轴的转动惯量。
    船舶靠离码头，总是要作加速或减速运动，因此要考虑附加质量。另外，在研究船舶横摇，纵摇时要考虑附加转动惯量。

    §６-7 作用在物体上的流体动力和力矩
    如图６-19所示，作用于ｄＳ上的力为ｐｄＳ，在ｘ和ｙ方向的投影分别为
    dXpdSsinpdy （６- 6２）
    dYpdScospdx积分得ｘ和ｙ方向的总力：
    XpdysYpdxs （６-6３）
    现按下述表达式定义作用力Ｐ和共轭作用力P：
    PXiY （６-6４）



    PXiY （６-6５）
    则将（６-6３）式代入（６-6５）式，可得共轭作用力： 图６-19
    Pip(dxidyipdz （６-66）ss
    由伯努利方程式
    pC
    在物体周线上12v
    2dzdSeidSeiei2dzei2
    2因此式中    1Pi(Cvei2dz
    s2iCei2dziC(dxidyCdyiCdx0
    s    s    s    sPi(vei2dzs2故 2i((veidz2s所以 Pi((22sdw2dz （６-6７）
    dz即

    idw2XRe[(dz]s2dzidw2(dz] （６—6８）YIm[s2dzPPX2Y2
    上两式即为计算作用在物体上流体动力的卜拉休斯（Blasius）公式。这样，如果绕任意形状柱体流动的复势Ｗ（ｚ）为已知，就可以根据这一公式求出作用在单位长度柱体上的共轭作用力，取实部即得Ｘ，取虚部加负号就是Ｙ。
    现在来求作用在任意形状柱体上对坐标原点的力矩。由图６-19及（６-6２）式，可得
    dMdYxdXyp(xdxydy所以 M
    sp(xdxydy （６-6９）
    由于 ZdZ(xiy(dxidyxdxydyi(ydxxdy

    ∴ xdxydyRe(zdz 将伯努利方程pC12v代入（６-69）式进行积分。因
    2    s    sx2y2C(xdxydyC20
    2所以 M 因为dzei22vs2(xdxydy2vsRezdz
    dz再考虑到｜ｖ｜２也是实数，上式可写成：
    MRe(即 MRe[v2s2ei2zdz
    2(    s    dwzdz] （６-7０）
    dz上式即为计算作用在物体上的流体动力力矩的卜拉休斯公式。
    这样，如果绕任意形状柱体流动的复势Ｗ（ｚ）为已知，则只要对上式方括号内积分进行运算，然后取其实部，便可求得作用于单位长度柱体上作用力对原点的力矩。 例 已知速度势φ＝x－３x y2 求流函数ψ。 解: vx３3x23yxvy6xy y

    vx3x23y2yvy6xy x将上式积分得:
    (3x23y2dyf(x3x2yy2f(x
    式中f(x为与y无关的函数。 将ψ对x求导:6xyf(xvy6xy x所以即f(x=C。从而求得流函数为
    3x2yy2c
    例 已知平面点涡的流函数 1求两者迭加后的速度势。
    Qlnr 和平面点汇的流函数2 22
    Qlnr 2211QQ而 (rrr22rQ积分得： lnrC(
    2对θ求导得另外又有 C(
    另外 rrr2r2所以 C(
    2即 C(
    2Q将C(θ代入(a式得势函数为lnr
    22Q与流函数lnr比较,显然是相互正交的。
    2225628r例６．3已知流函数100rsin(12ln
    25r解：将两个基本解迭加得12求:
    （１）驻点位置； （２）绕物体的环量； （３）无穷远处的速度； （４）作用在物体上的力。 解（１）求驻点位置(先求速度场
    25100cos(12rr
    25628v100sin(12r2rrvr令ψ＝０，可解出零流线为r=5,可知r=5的圆柱即为物面。 在物面上，ｒ＝５时，ｖｒ＝０，所以
    v200sin628 10r6280.1
    2000令ｖθ＝０，有 sins0即驻点位置为s1544s2174016

    ２）求环量。
    vrd(200sin00226285d62810(m2/s
    （３）求速度
    在物面上4r0Vsins
    所以V628100(m/s 14r0sins45(10即为无穷远的来流速度。 ４）求合力。
    若ρ＝１０００kg／ｍ３
    则Ｌ＝×10Ｎ／ｍ。
    例 在x＞0的右半平面(y轴为固壁内,处于x轴上距壁面为a处有一强度为m的点源,
    求流动的复势及壁面上的速度分布。
    解 用镜像法,在z=a的对称位置z=-a处虚设一个等强度的点源,则可形成y轴处固壁,这时流 动的复势为

    w(zmln(zamln(za
    ii2７设zar1e1,zar2e所以tan1mln(r1r2,m(12则
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