1抛物线的定义:平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
2抛物线的图形和性质:
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距:
③通径:过焦点垂直于轴的弦长为
④顶点平分焦点到准线的垂线段:
⑤焦半径为半径的圆:以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆:以焦半径 FP为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
3抛物线标准方程的四种形式:
4抛物线
①焦点坐标是:
②准线方程是:
③焦半径公式:若点
④焦点弦长公式:过焦点弦长
⑤抛物线
5一般情况归纳:
方程 | 图象 | 焦点 | 准线 | 定义特征 |
y2=kx | k>0时开口向右 | (k/4,0) | x= ─k/4 | 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 |
k<0时开口向左 | ||||
x2=ky | k>0时开口向上 | (0,k/4) | y= ─k/4 | 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 |
k<0时开口向下 | ||||
抛物线的定义:
例1:点M与点F (-4,0)的距离比它到直线l:x-6=0的距离4.2,求点M的轨迹方程.
分析:点M到点F的距离与到直线x=4的距离恰好相等,符合抛物线定义.
答案:y2=-16x
例2:斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于点A、B,求线段A、B的长.
分析:这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:把求弦长AB转化为求A、B两点到准线距离的和.
解:如图8-3-1,y2=4x的焦点为F (1,0),则l的方程为y=x-1.
由
设A (x1,y1),B (x2,y2) 则x1+x2=6.
又A、B两点到准线的距离为
点评:抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。
例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2) 已知抛物线的焦点是F (0,3)求它的标准方程;
(3) 已知抛物线方程为y=-mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程;
(4) 求经过P (-4,-2)点的抛物线的标准方程;
分析:这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清属哪类标准型,再录求P值(注意p>0).特别是(3)题,要先化为标准形式:
答案:(1)
例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上
分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p;从实际分析,一般需确定p和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论
解:(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px或x2=2py(p>0),
∵过点(-3,2),
∴4=-2p(-3)或9=2p·2
∴p=
∴所求的抛物线方程为y2=-
(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2)
当焦点为(4,0)时,
∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;
焦点为(0,-2)时,
∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y,
对应的准线方程分别是x=-4,y=2
常用结论
① 过抛物线y2=2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p
② 设A(x1,y), 1B(x2,y2)是抛物线y2=2px上的两点, 则AB过F的充要条件是y1y2=-p2
③ 设A, B是抛物线y2=2px上的两点,O为原点, 则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p,0)
例5:过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O作弦OA⊥OB,与抛物线分别交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,求证:y1y2=-4p2.
分析:由OA⊥OB,得到OA、OB斜率之积等于-1,从而得到x1、x2,y1、y2之间的关系.又A、B是抛物线上的点,故(x1,y1)、(x2,y2)满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.
证:由OA⊥OB,得
弦的问题
例1 A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,满足OA OB(O为坐标原点)求证:(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;
(2)直线AB经过一个定点
(3)作OM AB于M,求点M的轨迹方程
解:(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵OA OB, ∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得:x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)
(2)直线AB的斜率k=
∴直线AB的方程为y─y1=
即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y=
直线AB过定点C(2p,0)
(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y=
又AB OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即
由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x 0)
解法2: 由OM AB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出
例2 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标
解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=
又设点A,B,M在准线
则|AF|=|AA/|=x1+
∴x=
等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x─
由
依题意|AB|=
∴k2=1/2, 此时x=
∴y= ±
例3设一动直线过定点A(2, 0)且与抛物线
解析: 设
由
又
由
由
所以Q点轨迹为一线段(抠去一点):
(
例4 已知抛物线
①求抛物线方程; ②求
解: ①设
由
又
所以
抛物线方程为
②由
令
又由
例5 定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB的中点为M,求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标
解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x=
又设点A,B,M在准线
则|AF|=|AA/|=x1+
∴x=
等号在直线AB过焦点时成立,此时直线AB的方程为y=k(x─
由
依题意|AB|=
∴k2=1/2, 此时x=
∴y= ±
综合类(几何)
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴?
解:思路一:求出M、Q的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ//x轴,为此,将方程
直线OP的方程为
令
由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.
思路二:利用命题“如果过抛物线
设
又直线OP的方程为
因为
从而
这一证法运算较小.
思路三:直线MQ的方程为
将直线MO的方程
说明:本题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立.
例2 已知过抛物线
分析:求RAB的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以
解:设AB所在的直线方程为
将其代入抛物线方程
当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时,△RAB的面积有最大值.
设直线l方程为
由
∴△RAB的最大面积为
例3 直线
(1)将直线
(2)求出
分析:
解:(1)设
设
将
由
∴函数
(2)∵
解得
∴函数
当
例4 如图所示:直线l过抛物线
分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论.
证法一:假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线,因为直线l与抛物线交于A、B两点,所以直线l的斜率存在,且不为零;直线CD的斜率存在,且不为0.
设C、D的坐标分别为
∴l的方程为
∵直线l平分弦CD
∴CD的中点
即
由
证法二:假设直线l是弦CD的垂直平分线
∵焦点F在直线l上,∴
由抛物线定义,
∵
∴CD的垂直平分线l:
例5 设过抛物线
分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N看成定点
解法一:设
则:
把N点看作定点,则AB所在的直线方程为:
由①、②得:
用x、y分别表示
解法二:点N在以OA、OB为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设
设
在求以OB为直径的圆方程时以
由①+②得:
例6如图所示,直线
分析:因为曲线段C上的任一点是以点N为焦点,以
解:以
由题意,曲线段C是N为焦点,以
∴设曲线段C满足的抛物线方程为:
令
∴由两点间的距离公式,得方程组:
解得
∵△AMN为锐角三角形,∴
又B在曲线段C上,
则曲线段C的方程为
例7如图所示,设抛物线
分析:由于P、Q均为弦AB、CD的中点,故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标,由两点距离公式即可求出
解:(1)设
由
由
同
则
(2)
例8 已知直线
分析:设出直线
解法一:设抛物线
则有点
则有
如图,
∴
两式相除,消去
由
∴直线
解法二:设点
又设
故
由
∴
又
∴
将
∴
∴
又直线
∴
∴直线
说明:
(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法,它的思路明确,但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强,一时难于想到.
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时,这种方法是最常规方法,需要重点掌握.
例9 如图,正方形
分析:本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力.
解:∵直线
由方程组
∴
由已知,
∴
两边平方后,整理得,
当
当
∴正方形
说明:运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件.
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为
分析:利用抛物线有关性质求解.
解:如图,设彗星轨道方程为
彗星位于点
解方程组
故
故
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为
说明:
(1)此题结论有两个,不要漏解;
(2)本题用到抛物线一个重要结论:顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点,其证明如下:设
例11 如图,抛物线顶点在原点,圆
分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质,以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把
解:由圆的方程
∵
设
由已知可知,直线
∴
说明:本题如果分别求
11.已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A、B两点.
(1)求证:|AB|=
(2)求|AB|的最小值.
(1)证明:如右图,焦点F的坐标为F(
设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·(x-
tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+
此方程的两根应为交点A、B的横坐标,根据韦达定理,有x1+x2=
设A、B到抛物线的准线x=-
(2)解析:因|AB|=
所以,当θ=
12.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分,求证:
解析:(1)当AB⊥x轴时,m=n=p,
∴
(2)当AB不垂直于x轴时,设AB:y=k(x-
A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,
∴m=
将AB方程代入抛物线方程,得
k2x2-(k2p+2p)x+
∴
∴
=
本题若推广到椭圆,则有
14.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点M(1,-3)、N(5,1),若点C满足
(1)求证:
(2)在x轴上是否存在一点P(m,0),使得过点P任作抛物线的一条弦,并以该弦为直径的圆都过原点.若存在,请求出m的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.
(1)证明:由
由
∴x1x2=16,x1+x2=12,
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.
∴x1x2+y1y2=0.故
(2)解析:存在点P(4,0),使得过点P任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点.
由题意知:弦所在的直线的斜率不为零,
故设弦所在的直线方程为:x=ky+4,代入y2=x,得y2-4ky-16=0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOA·kOB=
∴OA⊥OB,故以AB为直径的圆都过原点.
设弦AB的中点为M(x,y),
则x=
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k·(4k)+8=4k2+8.
∴弦AB的中点M的轨迹方程为:
¥29.8
¥9.9
¥59.8