21一元二次方程知识点总结

1、 一元二次方程的定义

如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。

2、一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

3、直接开平方法解一元二次方程若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

（1）的解是；（2）的解是；（3）的解是

4、配方法解一元二次方程时，在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方，配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了，这样解一元二次方程的方法叫做配方法。用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2） 把原方程变为的形式。

（3） 若，用直接开平方法求出的值，若n﹤0，原方程无解。

用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为的形式；

5、一元二次方程的求根公式一元二次方程的求根公式是：，用求根公式法解一元二次方程的步骤是：（1）把方程化为的形式，确定的值（注意符号）；（2）求出的值；（3）若，则把及的值代人求根公式，求出。

一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式 △=

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1） △=﹥0方程有两个不相等的实数根；

（2） △==0方程有两个相等的实数根；

（3） △=﹤0方程没有实数根；

利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把所有一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况。

6、因式分解法解一元二次方程

如果两个因式的积等于0，那么这两个方程中至少有一个等于0，即若pq=0时，则p=0或q=0。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。

关键点：（1）要将方程右边化为0；（2）熟练掌握多项式因式分解的方法，常用方法有：提公式法，公式法（平方差公式，完全平方公式）等。

7、一元二次方程的根与系数的关系若是一元二次方程的两个根，则有，

8、列一元二次方程解应用题的一般步骤

（1） 审题，（2）设未知数，（3）列方程，（4）解方程，（5）检验，（6）作答。

关键点：找出题中的等量关系。

（一）增长率问题与降低率问题的数量关系及表示法：（1）若基数为a，增长率为，则一次增长后的值为，两次增长后的值为；（2）若基数为a，降低率为，则一次降低后的值为，两次降低后的值为。

（二）与市场经济有关的问题：如：营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：每件利润=销售价-成本价；总利润=单件利润*销售件数

22二次函数知识点

一、二次函数的概念

形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数，其中，是自变量，分别是函数表达式的二次项系数，一次项系数和常数项。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

二、二次函数的一般表达式

1、 一般式：（，，为常数，）；

2、 顶点式：（，，为常数，）其中；

3、 双根式

三、二次函数的图像性质(轴对称图形)

1. 当时，抛物线开口向上，

对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而减小；

当时，随的增大而增大；当时，有最小值．

2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．

当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．

四、二次函数的图像与各项系数之间的关系

1. 二次项系数

二次函数中，作为二次项系数，显然，总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．

2. 一次项系数

在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．

⑴ 在的前提下，

当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．

⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即

当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；当时，，即抛物线的对称轴就是轴；当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．

总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

3. 常数项 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置．

总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

五、二次函数与一元二次方程：

1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图像与轴的交点个数：

① 当时，图像与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根． 和的一半恰好是对称轴的横坐标.

② 当时，图像与轴只有一个交点；

③ 当时，图像与轴没有交点.

当时，图像落在轴的上方，无论为任何实数，都有；

当时，图像落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

2. 抛物线的图像与轴一定相交，交点坐标为，；

3. 二次函数常用解题方法总结：

⑴ 求二次函数的图像与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；

⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；或者依据函数特点确定自变量能使函数取得最大值的值，并将其带入到表达式中求出最值；

⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合；

（4）二次函数与一次函数的交点，可通过联立方程求解，从而求出交点坐标。

平移规律

在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．

概括成八个字“左加右减，上加下减”．

23旋转知识点

知识点1:旋转的定义及其有关概念

在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，定点O称为旋转中心，转动的角称为旋转角;如果图形上的点P经过旋转到点,那么这两个点叫做这个旋转的对应点. 如图1,线段AB绕点O顺时针转动得到,这就是旋转,点O就是旋转中心,都是旋转角.

说明: 旋转的范围是在平面内旋转，否则有可能旋转为立体图形，因此“在平面内”这一条件不可忽略.决定旋转的因素有三个:一是旋转中心;二是旋转角;三是旋转方向.

知识点2:旋转的性质

由旋转的定义可知，旋转不改变图形的大小和形状，这说明旋转前后的两个图形是全等的.由此得到如下性质：.

1任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角.

2对应点到旋转中心的距离相等.

3对应线段相等，对应角相等.

3:旋转作图

1.明确作图的条件:(1)已知旋转中心;(2)已知旋转方向与旋转角.

2.理解作图的依据:(1)旋转的定义: 在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转;(2)旋转的性质:经过旋转,图形上的每一点都绕旋转中心沿相同的方向转动了相同的角度,任意一对对应点与旋转中心的连线所组成的角都是旋转角,对应点到旋转中心的距离相等.

3.掌握作图的步骤:(1)分析题目要求,找出旋转中心、旋转角；（2）分析图形，找出构成图形的关键点；（3）沿一定的方向，按一定的角度，通过截取线段的方法，找出各个关键点

知识点4中心对称与中心对称图形

中心对称：把一个图形 绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一图形重合那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，点叫对称中心，其性质：中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分。中心对称的两个图形是全等形。

中心对称图形是把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫中心对称图形，如菱形，圆等。

知识点5两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x,y）关于原点的对称点为（-x,-y）

24圆的知识点

1、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①是直径 ② ③ ④ 弧弧 ⑤ 弧弧

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙中，∵∥

∴弧弧

2、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：①；②；

③；④ 弧弧

3、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角

∴

2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

即：在⊙中，∵、都是所对的圆周角

∴

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙中，∵是直径 或∵

∴ ∴是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

4、圆内接四边形：圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

5、点与圆的位置关系

1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；

3、点在圆外 点在圆外；

6、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；

3、直线与圆相交 有两个交点；

7、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：∵且过半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

8、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

即：∵、是的两条切线

∴

平分

9、正多边形与圆

右图中中心为------半径为-------

边心距是--------

10、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：（1）弧长公式：；

（2）扇形面积公式：

2圆锥的侧面积公式： 圆锥的侧面展开图中的弧长等于底面圆周的周长，侧面展开图的半径就是圆锥的母线长。

26反比例知识点

1. 定义：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数。还可以写成

2. 反比例函数的图像

⑴图像的画法：描点法

1 列表（应以O为中心，沿O的两边分别取三对或以上互为相反的数）

2 描点（有小到大的顺序）

3 连线（从左到右光滑的曲线）

⑵反比例函数的图像是双曲线，（为常数，）中自变量，函数值，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是或）。

⑷反比例函数（）中比例系数的几何意义是：过双曲线 （）上任意引轴轴的垂线，所得矩形面积为。

3．反比例函数性质如下表：

4.反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出

5.在反比例函数y=k/x的图像上任一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形的面积--------------------

6.一次函数y=k1x+b与y=k2/x的交点问题：联立y=k1x+b与y=k2/x得k1x+b=k2/x若根的判别式大于0则有两个交点，等于0有一个交点，小于0没有交点

27相似知识点

1. 平行线分线段成比例定理：

①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l1∥l2∥l3。

②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。

③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。

2. 相似三角形的判定：

①两角对应相等，两个三角形相似

②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

③三边对应成比例，两三角形相似

④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似

⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

3. 相似三角形的性质

①相似三角形的对应角相等

②相似三角形的对应边成比例

③相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

④相似三角形周长的比等于相似比

⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方

4.通过位似可以把图形放大或缩小，在平面直角坐标系中若原图形上的点为（x,y）,相似比为k，则对应的位似图形上点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）

28锐角三角函数知识点

一、 锐角三角函数（正弦、余弦、正切）

在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sinc），记作sin A，即。

把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cos A，即 ；

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tan A，即。

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数（trigonometric function of acute angle）。

当锐角A的大小确定时，∠A的对边与斜边的比（正弦）、∠A的邻边与斜边的比（余弦）、∠A的对边与邻边的比（正切）分别是确定的。

二、300、450、600的正弦值、余弦值和正切值如下表：

三、解直角三角形

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形。

1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是：

（1）边角之间的关系：

sinA＝cosB＝， cosA＝sinB＝，tanA＝cotB＝，cotA＝tanB＝。

（2）两锐角之间的关系： A＋B＝90°。

（3）三条边之间的关系： 。

2、解直角三角形的基本类型和方法：

三注意实际问题中的仰角与俯角，及坡度问题