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【精】最新高中数学课时分层作业11正切函数的性质与图象新人教A版必修4
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[学业达标练]
一、选择题
1.函数y=|x|tan 2x是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数,又是偶函数
A [易知2x≠kπ+,即x≠+,k∈Z,定义域关于原点对称.
又|-x|tan(-2x)=-|x|tan 2x,
∴y=|x|tan 2x是奇函数.]
2.下列各式中正确的是( )
【导学号:84352107】
A.tan 735°>tan 800° B.tan 1>-tan 2
C.tan<tan D.tan<tanword/media/image2.gif
D [对于A,tan 735°=tan 15°,
tan 800°=tan 80°,tan 15°<tan 80°,
所以tan735°<tan 800°;
对于B,-tan 2=tan(π-2),
而1<π-2<,所以tan 1<-tan 2;
对于C,<<<π,tan<tan;
对于D,
tan=tan<tan.]
3.函数y=tan(cos x)的值域是( )
A. B.word/media/image3.gif
C.[-tan 1,tan 1] D.以上都不对
C [cos x∈[-1,1],y=tan x在[-1,1]上是增函数,所以y=tan(cos x)的值域是[-tan 1,tan 1].]
4.与函数y=tan的图象不相交的一条直线是( )
A.x= B.x=-word/media/image4.gif
C.x= D.x=word/media/image5.gif
D [当x=时,y=tan=tan =1;当x=-时,y=tan=1;当x=时,y=tan =-1;当x=时,y=tan 不存在.]
5.方程tan=在区间[0,2π]上的解的个数是( )
【导学号:84352108】
A.5 B.4
C.3 D.2
B [由tan=,得2x+=+kπ,k∈Z,
所以x=,k∈Z,又x∈[0,2π),
所以x=0,,π,,故选B.]
二、填空题
6.函数y=+的定义域为________.
word/media/image6.gif [由题意得,所以2kπ-<x≤2kπ,k∈Z,
所以函数y=+的定义域为.]
7.函数y=|tan x|,y=tan x,y=tan(-x),y=tan|x|在上的大致图象依次是________(填序号).
【导学号:84352109】
图145
①②④③ [∵|tan x|≥0,∴图象在x轴上方,∴y=|tan x|对应①;∵tan|x|是偶函数,∴图象关于y轴对称,∴y=tan|x|对应③;而y=tan(-x)与y=tan x关于y轴对称,∴y=tan(-x)对应④,y=tan x对应②,故四个图象依次是①②④③.]
8.f(x)=asin x+btan x+1,满足f(5)=7,则f(-5)=________.
-5 [∵f(5)=asin 5+btan 5+1=7,
∴asin 5+btan 5=6,
∴f(-5)=asin(-5)+btan(-5)+1
=-(asin 5+btan 5)+1
=-6+1=-5.]
三、解答题
9.已知函数f(x)=3tan.
(1)求它的最小正周期和单调递减区间;
(2)试比较f(π)与f的大小.
【导学号:84352110】
[解] (1)因为f(x)=3tanword/media/image8.gif
=-3tan,
所以T===4π.
由kπ-<-<kπ+(k∈Z),
得4kπ-<x<4kπ+(k∈Z).
因为y=3tan在(k∈Z)上单调递增,所以f(x)=3tan在(k∈Z)上单调递减.
故函数的最小正周期为4π,单调递减区间为(k∈Z).
(2)f(π)=3tan=3tan=-3tan,
f=3tan=3tan=-3tan,
因为<,且y=tan x在上单调递增,
所以tan<tan,所以f(π)>f.
10.已知函数f(x)=2tan的最小正周期T满足1<T<,求正整数k的值,并写出f(x)的奇偶性、单调区间.
[解] 因为1<T<,
所以1<<,即<k<π.因为k∈N*,
所以k=3,则f(x)=2tan,
由3x-≠+kπ,k∈Z得x≠+,k∈Z,定义域不关于原点对称,
所以f(x)=2tan是非奇非偶函数.由-+kπ<3x-<+kπ,k∈Z,
得-+<x<+,k∈Z.
所以f(x)=2tan的单调增区间为,k∈Z.
[冲A挑战练]
1.函数y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间内的图象是( )
A B
C D
D [当<x<π,tan x<sin x,
y=2tan x<0;
当x=π时,y=0;
当π<x<时,tan x>sin x,y=2sin x.故选D.]
2.函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y=1所得的线段长为,则ω的值是( )
A.1 B.2
C.4 D.8
C [由题意可得f(x)的周期为,则=,
∴ω=4.]
3.函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域为________.
【导学号:84352111】
[-4,4] [∵-≤x≤,
∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].]
4.若f(n)=tan,(n∈N*)则f(1)+f(2)+…+f(2017)=________.
word/media/image9.gif [因为f(x)=tanx的周期T==3,
且f(1)=tan=,f(2)=tan=-,f(3)=tan π=0,
所以f(1)+f(2)+…+f(2017)=×0+tan=.]
5.已知函数f(x)=tanword/media/image10.gif
(1)求f(x)的定义域;
(2)设β∈(0,π),且f(β)=2cos,求β的值.
【导学号:84352112】
[解] (1)由x+≠kπ+,k∈Z得x≠kπ+,k∈Z.
所以函数f(x)的定义域是.
(2)依题意;得tan=2cos,
所以=2sin,
整理得sin=0,
所以sin=0或cos=.
因为β∈(0,π),所以β+∈,
由sin=0得β+=π,β=,
由cos=得β+=,β=,
所以β=或β=.
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