教学重点

无穷等比数列的各项和的公式的推导及其应用

教学难点

正确理解无穷等比数列的各项和的定义.

教学方法

师生互动

引入

一、复习引入

思考下列问题：

1、和1哪个数大？为什么？

对于问题1，先让学生进行讨论，然后展示他们的结果.

引导学生回答以下问题：

（1）如果你认为，那么比1小多少？

（2）如果你认为，那么你能否找到一个实数a，使得成立？

换一个角度来看，事实上

而是首项为，公比为的无穷等比数列，它的前n项和为

于是可以把看作当时的极限，从而

概

念

分

析

1、无穷等比数列的各项和的公式的推导

提问：在问题1的讨论中，我们将看成首项为、公比为的无穷等比数列的前n项和的极限.请同学们思考，是否无穷等比数列的前n项和的极限都存在？如果它的极限存在，那么极限等于什么？

指出：当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在.

当时，无穷等比数列前项和的极限如下：

∵（）

∴

.

∵，∴.

∴．

让学生尝试从上述推导过程中归纳出无穷等比数列的各项和的公式．

强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．

2、无穷等比数列的各项和的定义

提问：通过刚才的讨论，你能否给无穷等比数列各项和下一个定义？请用数学语言来描述一下．

我们把的无穷等比数列的前项的和当时的极限叫做无穷等比数列的各项和，并用符号表示.

（）.

强调：只有当无穷等比数列的公比满足时，其前n项和的极限才存在．

例

题

讲

解

例1 化下列循环小数为分数：

（1）； （2）.

分析：设法将循环小数化成等比数列的前n项和，然后求极限.

解：（1）

等式右边是首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以

.

（2）

等式右边是加上一个首项为，公比是的无穷等比数列的各项的和，所以.

例2 如图，正方形ABCD的边长为1，联结这个正方形各边的中点得到一个小正方形A1B1C1D1；又联结这个小正方形各边的中点得到一个更小正方形A2B2C2D2；如此无限继续下去.求所有这些正方形周长的和与面积的和．

分析：关键是求出第n个正方形的边长与前一个正方形的边长的关系.

解：由题意得第1个正方形的边长，第n个正方形的边长，.

即所有正方形的边长组成的数列为

，

于是所有正方形的周长组成的数列为

，

这是首项为4、公比为的无穷等比数列，故所有的正方形的周长之和.

所有正方形的面积组成的数列为，

这是首项为、公项为的无穷等比数列，

故所有的正方形的面积之和 .

课

堂

练

习

.

补充练习：（可以和作业的思考题（2）联系讲解）

在边长为1的正方形ABCD中，取AD、BC中点、，得矩形；取、DC中点、，得一小矩形；再取、中点，得一小矩形；如此无限继续下去，求所有这些矩形的面积之和．

所有面积组成首项为，公比为的无穷等比数列，所有这些矩形面积之和为1．事实上，从作图的过程可知，让作图无限下去，这些矩形面积之和正好是边长为1的正方形的面积.

课堂

小结

1. 无穷等比数列的各项和的公式：S= ()；

2．无穷等比数列各项的和，是一个极限值，并且这个极限是可以达到的；

3．无穷等比数列的各项和存在是有条件的，即公比满足；

4．要学会从特殊问题的解决过程中体会一般化问题的解决方法．

作业

1、书面作业：；

2、思考题：（1）正项等比数列的首项为1，前n项和为，求．

（2）早在公元前四世纪我国的公孙龙就有“一尺之捶，日取其半，万事不竭”的提法，（1）请写出此数列并求其各项的和；（2）可把此数列与哪个图形的面积联系起来，使此数列各项的和等于其面积和．

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）