根号2有多大呢?

郑伟君

背景介绍

张老师的教龄有15年了,他很敬业,与学生的关系也较融洽。用人教社的新教材是第一次,看完教材后,他发觉新教材的教学内容发生了较大的变化,实数的内容被提前到勾股定理之前,这对平方根概念的接受增加了难度。为此,他对教材进行认真的钻研,尽量使教学过程更符合学生的思维特点,找准思维的起点。下面是他讲“有多大呢?”的教学片断。

情境描述

师:讲完算术平方根的概念后,今天数学课的教学内容是用逼近法探求有多大和用计算器求一个数的算术平方根.

(师生复习了算术平方根的概念)

师:求一个正数或零的算术平方根有两种情况,当这个数是完全平方数时,可以直接用平方的方法算出它的平方根,例如:9的算术平方根是3,0.01的算术平方根是0.1;当这个数a不能表示成另一个数的平方时,我们暂时还不能求出它的算术平方根的具体数值,但可以用符号来表示,例如上节课我们已经用拼图的方法知道了面积为2的正方形的边长是,这就是说数2的算术平方根是。那么究竟是多少呢?先请同学们独立思考,然后再讨论交流。

(同学们有些在看着面积为2的正方形若有所思,有在草稿纸上画图思考,有些几个同学在低声交流。约2分钟后──)

生1:老师,我没有求出的具体大小,但我觉得的大小应该在1和2之间。

师:为什么?请讲理由。

生1:我是看书上的图后有这样的感觉的。

师:好,是否可以说得更明白些呢?

生2:通过画图我发现,面积为1的正方形的边长是1,面积为4的正方形的边长为,而面积为2的正方形比1大比4小,所以它的边长应该在1和2之间.

(张老师在黑板上画出了3个正方形的草图,有了图,其他同学对生2的想法表示理解。)

师:(板书):1<<2.也即2是1点几的数,它到底应等于多少呢?

(这下同学们好像看到了希望,热情高了不少,动手动脑的人看上去更多了。)

生3:(自言自语地)只要确定十分位的数就好了,可怎么办呢?

师:(附和着生3)是呀,可怎么确定十分位数的大小呢?

生4:(高兴地)我知道了,1.5,对是1.5.应是1与2的中间数1.5.

生2:(大声地)不对不对,1.5的正方形面积是1.52=2.25比2大。(稍停)那应该是1.4,但1.42=1.96,又太小了,奇怪呀,怎么会这样呢?

(这时,教室里的声音大起来了,同学们感到有些迷惑,好像猜谜时已经很接近谜底但又说不出具体的结果的感觉.他们在思考,在猜测,在议论……)

生5:十分位的数是4,其实我们已经给求出来了.

(有些同学表示不解,张老师也要求生5说理由)

生5:比1.5小而又比1.4大的数应该是1.4……,这不是可以肯定它的十位数是4了吗?

(此言一出,教室里先是安静,然后响起了热烈的掌声)

师:对,很好.也就是1.4<<1.5,即2=1.4…,这个百分位上的数?那么是多少呢?

(马上有同学进行回答)

生6:百分位上的数是1,我用刚才的方法,计算出1.412和1.422,它们分别是1.9881和2.0164,而2在这两个数之间,所以百分位上的数是1。

师:(板书)1.41<<1.42,即=1.41…,现在我们已经有了很好的经验,大家可以类似地用刚才的方法,分别求出它的千分位、万分位等数位上的数,看看究竟会等于多少呢?

(同学们借助计算器,很快就求出了千、万分位上的数。但是对于究竟等于多少还是无法求出,并且出现了两种不同的观点。教室里开始热闹起来了,争论声也此起彼伏,张老师听着同学们的争论,也不急于表态.稍停,他请争论的一方代表发言)

生7:我认为这个数是不存在的,因为我们已经计算到它的万分位了,还不能求出它的精确值,并且按这种算法可以预见它的精确的结果是求不出来的,所以这个数是不存在的。

(教室里安静下来了,另一方的有些同学也感觉生7讲得有道理)

(张老师请持有另一种观点的学生发表意见)

生8:我认为这个数是存在的,因为面积是2的正方形是存在的,我们已经拼出来了,而它的边长就是,这个长度不就是的值吗?

(教室里更安静了,觉得生8讲得也很有道理,这下他们可分不清到底谁是正确的了,同学们只好拿眼睛看着张老师,好像他的脸上写着答案一样)

师:确切地说这个数的精确值是无法求得的,正如生7理解的那样,我们可以不断地计算出它的小数位数,并且这些数是没有规律的,是无限的,我们把它叫做无限不循环小数。

生9:我们只要用尺子量出面积为2的正方形的边长不就可以得到它的值了吗?

(很快有同学说,这个量得的数是近似值.同学表示接受)

师:实际上,许多正有理数的算术平方根都是无限不循环小数。例如,,,…,由于这些数的精确值无法得到,所以我们只能引入符号“”来表示一个非负数的算术平方根。其实圆周率也是一个这样的数,所以我们用π来表示它,3.14是它的近似值,现在用世界上运算速度最快的超级计算机已求得小数点后面的第2061亿位了。

生9:老师,那这样的数与我们以前学过的数就不一样了?

师:对,我们以后把这样的数叫做无理数。

生:无理数的近似值怎样求呢?

师:刚才的方法就是计算或者说是估计它的值的一种方法,但它的计算很麻烦.我们可以通过查表或利用计算器来求它的近似值,下面我们就学习用计算器求一个数的算术平方根。

……

分析与讨论

算术平方根的概念学生理解起来是有一定难度的,这一方面是因为它是平方运算的逆运算,已知指数和幂(平方数)求底数,因为没有具体的计算公式可用,只能依赖于它的描述性的定义,另一方面是很多数的算术平方根是无理数,没有一个精确的值,只能用符号来表示它,这些都与学生已有的知识经验是完全不一样的,从而使算术平方根的抽象性大大增加,所以学生对的存在性引起怀疑也是比较自然的。为此,教材在上节课中安排了用拼图的方法给出了一个面积为2的正方形也是为了强化的存在性。而用逼近法求的近似值的一个主要目的是进一步让学生感受算术平方根的存在性,并从逼近的过程让学生体验这一重要的数学思想。从案例描述的教学过程来看,张老师把教材的意图理解得比较到位。

由于用逼近法确定一个数的范围,在以前的学习中从未出现过,所以学生一下子很难体会到它的妙处,思维也很难展开,因此张老师在开始时并不直接给出的范围,而是通过让学生思考去找到确定这个值大小的一个入口,事实上学生通过画图取得了成功;确定十分位的数的大小是一个难点,由于老师的“幕后”策划学生也接受了它,下面的数值确定,其方法与前面类似,学生容易接受。但由于计算工具的限制和实际上这个数的无限性,最后还是无法求得它的精确值,所以会出现两种不同的认识,这是很正常的。张老师的处理方法也是较好的。课后与张老师交流时得知,虽然学生暂时接受了的无限性,但很多同学还是存在着疑问,尤其是对它的不循环性更有疑惑,也有学生说,可以表示为面积等于2的正方形的边长,那么,,,…,呢,它们的近似值怎么能像那样画出来呢?确实,由于还没有学过勾股定理,无法向学生说明,所以从这个角度来说,也是教材体系上的一个遗憾吧。

点评

本案例有以下的特点:

①教师对教材的把握和理解准确到位。算术平方根的概念对七年级的学生来说有点难接受,因为它的求法依赖的是描述性的规定,且很多正数的算术平方根是无理数,无理数的无限不循环对学生来说不易理解,而在此之前学生还没有学过勾股定理,所以对于像,,,…,这类的数很难用图形来说明它们的存在性,只能通过面积为2的正方形的边长作为此类数的代表来进行学习。另一方面,用逼近法探求的近似值是一种重要的且实用的数学思想和方法,从案例的描述过程来看教师很重视它的地位,花时间来引导学生进行探究学习,这很值得肯定。

②学过程注意渗透新的教学理念,注重探究性对学生来说是一种新数,其实这节课中对它值的确定的过程是使学生经历数的范围的一次重要扩充的过程。开始时在1和2之间以及它的十分位数的确定显得特别重要,教师提出问题后而不直接给出答案,而是放手让学生思考和探究,通过学生的探究和交流达到了目的。这一过程体现了要尽量让学生经历思考和交流的过程的教学理念。在老师的“策划”下,课堂的探究气氛越来越浓,学生的学习主动性也越来越高,后来形成的两种不同的观点,就是学生深入思考的结果。最后,老师才对应该怎样认识作了归纳性的发言,且提到了引入符号的必要性,统一了学生的认识。在这一过程中,老师不急于表态,以一个参与者的角色组织着学生的学习过程,这种教学态度和方法也很值得提倡。(许芬英)